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Vídeo de la lección: Vectores en términos de vectores unitarios perpendiculares

En este video, vamos a aprender cómo escribir vectores en forma de componentes usando vectores unitarios perpendiculares.

13:09

Transcripción del vídeo

Ya sabemos que un vector es una cantidad que se puede representar algebraicamente como un par ordenado de números o gráficamente como un segmento orientado. Podemos usar vectores para representar fuerzas o velocidad, o cualquier otra cosa que tenga asociados una magnitud y una dirección y sentido específicos.

En este video, vamos a ver el concepto de vectores unitarios, que son básicamente vectores cuyo módulo es una unidad y que apuntan en una dirección específica. Aquí tenemos el vector AB, que es cuatro, tres. Esto significa que el desplazamiento de A a B implica un movimiento de cuatro unidades en el sentido positivo de la dirección 𝑥 y de tres unidades en el sentido positivo de la dirección 𝑦. De ahí vienen estos números.

Y hemos obtenido un triángulo rectángulo porque el eje 𝑥 y el eje 𝑦 están en ángulos rectos entre sí, por lo que este ángulo de aquí mide noventa grados. Tenemos un triángulo y queremos calcular la longitud de este vector aquí, AB, así que vamos a usar el teorema de Pitágoras para calcular esa longitud, la hipotenusa de ese triángulo.

Un poco de terminología, vamos a calcular la magnitud (o módulo) de AB; es decir, la longitud del vector AB. Y la notación que vamos a usar para el módulo del vector AB son estas líneas verticales aquí, que es la notación estándar. Escribamos el teorema de Pitágoras, la magnitud de AB todo al cuadrado, por lo que la longitud de la hipotenusa de aquí al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados.

Así que AB, la magnitud de AB al cuadrado es igual a cuatro al cuadrado más tres al cuadrado. Cuatro al cuadrado es 16; tres al cuadrado es nueve; sumando esos dos, obtenemos 25. Por lo tanto, la magnitud de AB al cuadrado es 25. Por lo tanto, si sacamos raíces cuadradas de ambos lados, obtenemos la magnitud de AB como la raíz cuadrada de 25, que es cinco. Acabamos de hallar que la longitud del vector AB es cinco unidades.

Es decir que, si quisiéramos generar un vector unitario en la misma dirección que el vector AB, podemos tomar el vector AB y simplemente dividirlo por su longitud. Y como la longitud de un vector es su módulo, tenemos el vector AB dividido por el módulo del vector AB, y acabamos de calcular que es cinco. Así que el vector unitario en la dirección de AB es el vector AB dividido por cinco.

Lo que eso significa es que tenemos que tomar la componente 𝑥 y dividirla por cinco, y luego tomar la componente 𝑦 y dividirla por cinco. La componente 𝑥 es cuatro; la componente 𝑦 es tres. Por lo que el vector unitario en la dirección de AB es esto de aquí: cuatro quintos es la componente 𝑥; tres quintos es la componente 𝑦. Este vector tendrá una longitud de uno.

Así que este vector rojo de aquí, que va de aquí a aquí, es el vector unitario en la dirección AB. Es un quinto de la longitud del vector 𝐴𝐵. Es un vector que tiene una componente 𝑥 de cuatro quintos y una componente 𝑦 de tres quintos. Obviamente no lo hemos dibujado con mucha precisión, pero así es básicamente como se vería el vector. Por lo tanto, el vector unitario en la dirección AB, si AB es cuatro, tres, es básicamente un vector que comienza en A, que tiene también la misma dirección y sentido que el vector 𝐴𝐵, pero tiene una longitud de uno.

En este caso, hemos visto que este vector unitario es el vector cuatro quintos, tres quintos. Vamos a comprobar que, de hecho, la longitud de este lado de aquí es uno. Y para ello vamos a hacer uso del teorema de Pitágoras nuevamente. La longitud al cuadrado es cuatro quintos al cuadrado más tres quintos al cuadrado, que es dieciséis veinticincoavos más nueve veinticincoavos, que es veinticinco veinticincoavos, que es uno. Si ahora sacamos la raíz cuadrada de eso, obtenemos la longitud, y la raíz cuadrada de uno es igual a uno. De modo que esa longitud es definitivamente igual a uno. Aquí es donde entra la idea del vector unitario.

Este es el método en general, y luego vamos a ver algunos ejemplos más para asegurarnos de que queda claro. Supongamos que tenemos un vector v, que tiene una componente 𝑥 igual a y una componente 𝑦 igual a 𝑏. El vector unitario en la dirección del vector v es el vector v dividido por la magnitud del vector v. Por lo tanto, cualquiera que sea la longitud de v, si dividimos esa longitud por sí misma, obtendremos una respuesta de uno. Esta parte de aquí hace que la longitud de este vector unitario sea precisamente la unidad.

Y obviamente seguirá en la misma dirección; las componentes 𝑥 y 𝑦 estarán en la misma proporción que el vector original, por lo que tendrá la misma dirección y sentido. Para calcular la componente 𝑥, tomamos la componente 𝑥 original, a, y la dividimos por la raíz cuadrada de a al cuadrado más b al cuadrado, según el teorema de Pitágoras. Y para calcular la componente 𝑦 correspondientemente, tomamos la componente 𝑦 original y la dividimos por la magnitud del vector, o sea, por la raíz cuadrada de a al cuadrado más b al cuadrado. Esto nos dará el vector unitario en la dirección del vector v. Y esto puede parecer un poco intimidante cuando lo escribimos así, pero en realidad es muy fácil de aplicar. Veamos un ejemplo.

Tenemos que hallar el vector unitario en la dirección AB, donde AB es el vector cinco, menos seis. Así que lo primero es hacer un pequeño bosquejo para ver esto con mayor claridad. No tiene que ser un diagrama con una gran precisión, pero un bosquejo rápido aquí nos da una idea de lo que está sucediendo. Tenemos el vector AB; vamos a más cinco en la dirección 𝑥, menos seis en la dirección 𝑦.

Lo primero que debemos hacer es calcular la longitud de este vector AB aquí. Y, si dividimos ese vector por esa longitud, crearemos un pequeño vector aquí, que comienza en A, que va en esta dirección, la misma dirección que AB, pero solo tendrá una longitud de uno.

Ahora tenemos un triángulo rectángulo. Y ahora, usando el teorema de Pitágoras, la magnitud de AB, la longitud de un vector AB, todo al cuadrado es igual a la componente 𝑥 al cuadrado, eso es cinco al cuadrado, más la componente 𝑦 al cuadrado, eso es menos seis al cuadrado. Cinco al cuadrado es 25, menos seis al cuadrado es 36. Así que los sumamos y obtenemos 61.

Ahora bien, recuerda que esa era la magnitud al cuadrado. Sacando raíces cuadradas de ambos lados, tenemos que la magnitud del vector AB es igual a la raíz cuadrada de 61. Esta vez no tenemos números tan agradables, así que los dejaremos en ese formato preciso, raíz de 61. Y podemos usar esto para calcular el vector unitario en la dirección de AB. Recuerda que sería el vector original 𝐴𝐵 dividido por la magnitud de ese vector.

Así que nuestro vector original era cinco, menos seis. Y ahora tenemos que dividir cada componente por la magnitud del vector. Cinco dividido por la raíz cuadrada de 61 y menos seis dividido por la raíz cuadrada de 61. Y eso es todo. Este vector aquí, cinco sobre la raíz de 61, menos seis sobre la raíz 61, tiene una longitud de uno. Y las componentes 𝑥 y 𝑦 están en la misma proporción que el vector original AB. En otras palabras, está apuntando exactamente en la misma dirección y sentido, por lo que es el vector unitario en la dirección AB.

Bien, hagamos una cuestión más.

Halla el vector unitario en la dirección de 𝑃𝑄. La diferencia aquí es que nos han dado el punto 𝑃, nos han dado el punto 𝑄 y tenemos que hallar el vector.

Así que lo primero es dibujar nuestro vector PQ, de modo que vaya en esa dirección de ahí, y tenemos que averiguar cuál es el vector original PQ. En la dirección 𝑥, comenzamos con una coordenada 𝑥 de tres, y vamos a bajar a una coordenada 𝑥 de menos cinco. Así que vamos a ir tres aquí más otros cinco aquí. Eso es menos ocho en la dirección 𝑥. En la dirección 𝑦, comenzamos en menos cuatro y nos movemos. Así que vamos a subir cuatro hasta aquí y luego uno más hasta aquí, así que es un cinco positivo en la dirección 𝑦.

Así que, resumiendo esto, 𝑃𝑄 es menos ocho, cinco. Y ahora podemos abordar esto como lo hicimos con la cuestión anterior: usar un triángulo rectángulo, un poco del teorema de Pitágoras para calcular la longitud del vector PQ y, finalmente, dividir el vector PQ por esa longitud. La magnitud de PQ al cuadrado es menos ocho al cuadrado más cinco al cuadrado, que es 64 más 25. Recuerda que es PQ al cuadrado; la magnitud de PQ al cuadrado es igual a 89.

Sacando la raíz cuadrada de ambos lados, hemos terminado con otro número horrible, así que la magnitud de PQ es la raíz cuadrada de 89. Así que hay que dividir cada componente de PQ por la raíz de 89. Y el vector unitario en la dirección PQ es simplemente el vector original PQ dividido por su longitud, por lo que la componente 𝑥 es menos ocho dividido por la raíz de 89, y la componente 𝑦 es cinco dividido por la raíz de 89 también.

Y ahí lo tenemos, el vector unitario en la dirección PQ.

Y todo esto es muy bonito y está muy bien, pero ¿por qué usamos vectores unitarios, después de todo? Bueno, contienen toda la información sobre la dirección y el sentido del vector, pero su módulo es la unidad. Son como indicadores de dirección que están listos para ser multiplicados por un número para informar a las personas qué tan lejos deben ir en esa dirección. Y también son útiles para hallar el ángulo entre dos vectores diferentes, pero esa es una historia para otro día.

Está bien, no podemos resistirnos. Hagamos un ejemplo más con vectores unitarios, pero solo uno.

Con suerte recordarás, que tenemos vectores especiales 𝑖 y 𝑗, que son vectores unitarios en la dirección del eje 𝑥 positivo y del eje 𝑦 positivo. Por lo tanto, en un sistema de coordenadas 𝑖 apunta hacia la derecha y 𝑗 apunta hacia arriba. 𝑖 es uno, cero y 𝑗 es cero, uno. Así que, si tenemos este vector aquí dos 𝑖 menos tres 𝑗, son solo dos de estas 𝑖 encadenadas seguidas por menos tres de las 𝑗 encadenadas.

En otras palabras, son dos pasos de longitud unidad en la dirección 𝑥 y menos tres pasos de longitud unidad en la dirección 𝑦, pero no nos vamos a preocupar demasiado por el formato de esta cuestión porque lo haremos en términos de los vectores unitarios 𝑖 y 𝑗. Aunque tenemos 𝑖 y 𝑗 por todas partes, el proceso es exactamente igual a lo que hemos hecho antes. Así que queremos calcular la magnitud del vector. Y para hacerlo, vamos a usar el teorema de Pitágoras.

Dos, más dos, es la componente 𝑥 y menos tres es la componente 𝑦. Así que podemos escribir que la magnitud de este vector dos 𝑖 menos tres 𝑗 todo al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados del triángulo. Que es dos al cuadrado más menos tres al cuadrado, que obviamente es cuatro más nueve, que es 13. Recuerda que esa era la magnitud al cuadrado, por lo que sacando raíces cuadradas de ambos lados dice que la longitud de esta línea es la raíz cuadrada de 13.

Y, de nuevo, todo lo que tenemos que hacer para calcular el vector unitario en esa dirección es dividir cada una de esas componentes, las componentes 𝑥 y 𝑦, por la magnitud del vector resultante, de modo que esa es la raíz de 13. Dos dividido por la raíz de 13𝑖 y menos tres dividido por la raíz de 13𝑗.

Incluso en el formato de vectores 𝑖, 𝑗, el proceso sigue siendo el mismo. Para calcular el vector unitario en la dirección de un vector particular, tomamos ese vector y lo dividimos por el módulo del vector. Básicamente dividimos cada una de las componentes por la magnitud del vector original, la cual calculamos usando el teorema de Pitágoras. Espero que esto te haya dado una idea básica de los vectores unitarios.

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