Vídeo: El área del cilindro

En este vídeo vamos a aprender cómo calcular el área lateral y total de un cilindro a partir de su altura y su radio o diámetro. Vamos a aplicar lo que sabemos a un problema en el que vamos a tener que calcular hacia atrás, a partir de un área y radio conocidos, para hallar la altura.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a ver cómo calcular el área de un cilindro y luego vamos a aplicar este método a un par de problemas. Pensemos, pues, en cómo podemos calcular el área de un cilindro. Ahora bien, se supone que ya sabemos que, para calcular el área de un prisma, tenemos que hallar primero el área total de sus caras. Por lo tanto, lo que debemos preguntarnos ahora es cómo son las distintas caras del cilindro. Bien, una forma de averiguarlo es dibujando el plano de este cilindro, y viendo así cómo quedaría en dos dimensiones al desplegarlo.

En primer lugar, el cilindro tiene dos caras circulares. Son las que están en la parte superior y en la base del cilindro, estas que hemos coloreado aquí. Por lo tanto, cuando dibujamos el desarrollo plano de este cilindro, tenemos que incluir estas dos bases circulares. Ya hemos etiquetado el diagrama. Tiene las medidas ℎ y 𝑟; ℎ se refiere a la altura del cilindro y 𝑟 se refiere al radio del círculo. Y estas dos son caras circulares. Ahora bien, un cilindro también cuenta con una cara curva, que es esta que estamos ahora coloreando en naranja. Pensemos en cuál puede ser su forma.

Aunque sea una superficie curva, si la desplegamos para que sea una superficie plana, vemos que en realidad es un rectángulo. Puedes comprobarlo por tu cuenta. Si tienes una lata de comida en casa o algo parecido, y despegas la etiqueta, verás que la forma de la etiqueta es, de hecho, un rectángulo. Entonces, si añadimos esto a nuestro desarrollo, veremos que el desarrollo del cilindro es algo así, una parte rectangular y estas dos partes circulares. Bien, ahora tenemos que calcular el área de cada una de estas partes. Bueno, empecemos con el círculo, y recordemos que la fórmula para el área de un círculo es 𝜋𝑟 al cuadrado, así que cada uno de estos círculos añadirá esa cantidad al área. Por lo tanto, tendremos un aporte total de dos 𝜋𝑟 al cuadrado del círculo de arriba y del círculo de la base.

Ahora pensemos en cómo podemos calcular el área de este rectángulo. Para el rectángulo multiplicamos la longitud por la anchura, y esta medida de aquí es la altura del cilindro. Así que es ℎ. Y luego tenemos que pensar en cuál es la anchura del rectángulo, esta medida de aquí. Bueno, si lo pensamos con detenimiento, o quizás si nos vamos de nuevo a la lata de comida y despegamos la etiqueta, veremos que esta longitud de aquí concuerda perfectamente con la circunferencia del círculo de arriba y de la base. Como ya sabemos, la fórmula para calcular la circunferencia de un círculo es, o bien 𝜋𝑑, donde 𝑑 representa el diámetro, o bien dos 𝜋𝑟, donde 𝑟 representa el radio. Y como ya hemos usado el radio en otras partes de nuestro cálculo, vamos a usarlo de nuevo aquí. Por lo tanto, las dimensiones del rectángulo son ℎ y dos 𝜋𝑟, lo que significa que el área de este rectángulo es su producto, que será dos 𝜋𝑟ℎ.

Ahora ya tenemos todo lo que necesitamos para escribir la fórmula del área total del cilindro. Va a ser la suma de estas tres áreas. Aquí está la fórmula. El área total del cilindro es igual a dos 𝜋𝑟 al cuadrado más dos 𝜋𝑟ℎ. Ahora bien, cuando operamos con cilindros, a veces no se nos pide que calculemos el área total. A veces se nos pide que calculemos algo llamado área lateral. Y esto se refiere a la parte curva del área. Por lo tanto, en el desarrollo de nuestro cilindro es esta parte rectangular de aquí. Por lo tanto, si nos piden que calculemos el área lateral, entonces usaremos esta otra fórmula, que es dos 𝜋𝑟ℎ, pues solo nos interesa el área del rectángulo. Veamos cómo podemos aplicar esto a un problema.

En este enunciado se nos pide que calculemos el área lateral del siguiente cilindro. Y podemos ver que este cilindro tiene una altura de 13 centímetros y un diámetro de 10 centímetros. Por lo tanto, en primer lugar, debemos tener en cuenta que el enunciado nos ha pedido que hallemos el área lateral. Así que solo nos interesa esa parte curva, no toda el área, que comprende también las bases circulares. Recordemos que la fórmula que necesitamos aquí es la del área lateral, que es dos 𝜋𝑟ℎ. En este problema ℎ es 13 centímetros, y 𝑟 se refiere al radio. No conocemos el radio. Tenemos el diámetro, que es 10. Y el radio es la mitad de eso, que es cinco. Por lo tanto, nuestro cálculo es que el área lateral es dos por 𝜋 por cinco por 13.

Ahora nos acordamos de que dos 𝜋𝑟 en la fórmula para calcular el área lateral está representando a la circunferencia del círculo. Y otra forma de expresarlo sería 𝜋𝑑. Por lo tanto, en vez de dividir este valor de 10 por dos para obtener el radio, e incluir el factor de dos en la fórmula, podríamos haber hecho 𝜋𝑑ℎ y luego 𝜋 por 10 por 13. Por lo tanto, en vez de dividir entre dos y multiplicar por dos, podríamos haberlo hecho de una forma un poco más sencilla.

De un modo u otro obtenemos el mismo resultado. Así que hacemos dos por 𝜋 por cinco por 13, que nos da un área lateral de 130𝜋. Podemos dejar la respuesta en términos de 𝜋, si así se nos ha pedido, o si no tenemos calculadora. Pero si decidimos continuar y expresar la respuesta en forma decimal, entonces obtenemos 408.4 centímetros cuadrados. Y lo hemos redondeado a una cifra decimal o a la décima más cercana. Recordemos que debemos poner las unidades, pues estamos hablando de área. Así que tienen que estar al cuadrado las unidades en la respuesta, por eso tenemos centímetros cuadrados en este problema. Vale, veamos otro problema sobre esto.

Esta vez se nos pide que calculemos el área total del siguiente cilindro.

Así que tenemos que acordarnos de la fórmula para calcular el área total. Recordemos que esta vez se incluyen las bases circulares también. Aquí está la fórmula que necesitamos. El área total es igual a dos 𝜋𝑟 al cuadrado más dos 𝜋𝑟ℎ. Así que ahora basta con sustituir los valores correctos en esta fórmula. El radio es seis milímetros y la altura es 25 milímetros. Así que el cálculo es dos por 𝜋 por seis al cuadrado más dos por 𝜋 por seis por 25. Lo cierto es que no necesitamos los paréntesis, no son necesarios matemáticamente. Tan solo los hemos puesto para que queden más claras las dos partes del cálculo.

Por lo tanto, si calculamos esto, obtenemos 72𝜋 más 300𝜋. Y eso nos da un total de 372𝜋 para el área total. De nuevo, podemos dejar la respuesta tal y como está, pero vamos a expresarla como un número decimal. Al hacerlo, obtenemos una respuesta de 1168.7 milímetros cuadrados. Y, como en el ejemplo anterior, hemos redondeado la respuesta a una cifra decimal. Hemos visto que tenemos que fijarnos bien en un par de cosas, ¿se nos ha pedido el área total o el área lateral? De este modo sabremos si tenemos que incluir o no las bases circulares. Y también debemos preguntarnos ¿se nos ha dado el radio o en su lugar tenemos el diámetro del cilindro? En el caso de que conozcamos el diámetro, tenemos que pensar en cómo vamos a usarlo en la fórmula.

Bien, este es el último problema que vamos a resolver en el vídeo. Supón que el área total de un cilindro de dos metros de radio es 28𝜋 metros cuadrados. Calcula la altura del cilindro.

Este problema es un ejemplo en el que tenemos que trabajar hacia atrás. Se nos da el área y tenemos que calcular una de las dimensiones del cilindro, que falta. Por lo tanto, en primer lugar, tenemos que recordar la fórmula para esto. Y, si leemos el enunciado detenidamente, vemos que habla del área total. Así que, en este caso, nos hace falta la fórmula del área total en lugar del área lateral. Así que es esta fórmula de aquí, el área total es igual a dos 𝜋𝑟 al cuadrado más dos 𝜋𝑟ℎ. Podemos usar esta fórmula para plantear una ecuación con el radio y el área total, que sí conocemos, y la altura, que no conocemos. Una vez que tengamos la ecuación podremos resolverla para hallar la altura.

Vamos a plantear esta ecuación. Vamos a sustituir 𝑟 por dos en esta fórmula. Así que dos 𝜋𝑟 al cuadrado va a ser dos por 𝜋 por dos al cuadrado. Y luego dos 𝜋𝑟ℎ va a ser dos por 𝜋 por dos por este valor ℎ que no conocemos. Y se nos dice que todo es igual a 28𝜋. Así que ya hemos planteado el comienzo de nuestra ecuación. Ahora vamos a simplificarla un poco. Vemos que el primer término se va a simplificar. Bueno, dos al cuadrado es cuatro y luego multiplicado por dos da ocho. Así que tenemos ocho para el primer término. Y luego el segundo término, dos por dos es cuatro, así que tenemos cuatro 𝜋ℎ para el segundo término. Esto nos lleva a este paso de aquí. Ocho 𝜋 más cuatro 𝜋ℎ es 28𝜋. Ahora bien, todos estos términos tienen un factor de 𝜋, así que podemos dividir por 𝜋 o cancelar ese factor para simplificar la ecuación un poco más.

Escribamos esto de nuevo para poder verlo un poco más claro, y vemos que nuestra ecuación es cuatro ℎ más ocho igual a 28. Para resolver esta ecuación que es relativamente sencilla, el primero paso que tenemos que dar es restar ocho a ambos lados de la ecuación. Y así obtenemos que cuatro ℎ es igual a 20. Y ahora tenemos que dividir ambos lados de la ecuación por cuatro. Al hacerlo obtenemos que ℎ es igual a cinco. Recordemos que ℎ representa la altura, por lo que necesita una unidad. Si volvemos al enunciado, vemos que todas las unidades están en metros y metros al cuadrado, así que la altura del cilindro es de cinco metros. En este problema hemos tenido que utilizar la información que se nos ha proporcionado y luego resolver una ecuación para hallar la dimensión desconocida en el cilindro.

Resolver un problema parecido en el que es el radio el que falta sería algo más complicado, pues tendríamos que resolver una ecuación cuadrática. Pero esa sería una posible extensión de este tema. Entonces, para resumir, en este vídeo hemos aprendido cómo calcular el área total y lateral de un cilindro. Hemos visto de dónde viene la fórmula en términos del desarrollo plano del cilindro. La hemos aplicado a un par de problemas directos en los que solo hemos tenido que sustituir valores. Finalmente hemos visto un problema en el que hemos tenido que trabajar hacia atrás a partir de un área conocida para calcular la altura del cilindro.

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