Vídeo: La derivada de las funciones trigonométricas inversas

En este vídeo vamos a aprender cómo hallar la derivada de las funciones trigonométricas inversas.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo hallar las derivadas de las funciones trigonométricas inversas. Aprenderemos a hacerlo aplicando la derivación implícita. Y, por lo tanto, es importante que, antes de ver este vídeo, sepas cómo aplicar la regla de la cadena, o, al menos que entiendas cómo funciona la derivación implícita. Después de hallar las derivadas de las funciones trigonométricas inversas básicas, veremos cómo pueden aplicarse estas derivadas a funciones trigonométricas inversas más complejas.

Antes de ver cómo hallar la derivada de las funciones trigonométricas inversas, vamos a fijarnos un momento en la función 𝑦 igual a seno de 𝑥. Recordemos que 𝑥 es un número real. Y, como estamos operando con una función trigonométrica, tenemos que asegurarnos de que está expresada en radianes. Para esta función podemos decir que 𝑥 es igual a la inversa del seno de 𝑦. Este superíndice menos uno indica que es la función inversa. Ahora hemos de darnos cuenta de que hemos de poner restricciones para que el arcoseno de 𝑥 o la inversa del seno de 𝑥 sea una función. Por lo tanto, vamos a acotar el dominio de 𝑓 de 𝑥 igual a la inversa del seno de 𝑥. Y decimos que 𝑥 tiene que ser mayor o igual que menos uno y menor o igual que uno.

Además, en la función 𝑥 igual a la inversa del seno de 𝑦, podemos ver que 𝑥 va a tomar valores mayores o iguales que menos 𝜋 sobre dos y menores o iguales que 𝜋 sobre dos. Además, tenemos que acordarnos de la regla de la cadena. Y esta regla dice que, si 𝑦 es una función de 𝑢 y 𝑢 es una función con derivada en 𝑥, entonces d𝑦 sobre d𝑥 es igual a d𝑦 sobre d𝑢 por d𝑢 sobre d𝑥. Ahora vamos a hacer uso de todo lo que hemos visto aquí para hallar la derivada de la inversa de la función seno.

Halla la derivada con respecto a 𝑥 de la inversa de la función seno.

Queremos hallar, pues, la derivada de la inversa del seno de 𝑥 con respecto a 𝑥. Así que vamos a comenzar igualando 𝑦 a la inversa del seno de 𝑥. Por lo tanto, podemos decir que 𝑥 debe ser igual a seno de 𝑦. Vamos a derivar ambos lados de esta ecuación con respecto a 𝑥. Así que decimos que d sobre d𝑥 de 𝑥 es igual a d sobre d𝑥 de seno de 𝑦. Bueno, la derivada de 𝑥 con respecto a 𝑥 es bastante sencilla, es uno. Pero vamos a tener que hacer uso de la derivación implícita, que es una aplicación de la regla de la cadena, para derivar seno de 𝑦 con respecto a 𝑥.

La derivada de seno de 𝑦 con respecto a 𝑦 es coseno de 𝑦. Por lo que la derivada de seno de 𝑦 con respecto a 𝑥 es coseno de 𝑦 por la derivada de 𝑦 con respecto a 𝑥, que es d𝑦 sobre d𝑥. Ahora vemos que uno es igual a coseno de 𝑦 por d𝑦 sobre d𝑥. Dividimos ambos lados de la ecuación por coseno de 𝑦 para despejar la derivada. Y vemos que d𝑦 sobre d𝑥 es igual a uno sobre coseno de 𝑦. Pero ahora tenemos un problema. Queremos una expresión para la derivada en términos de 𝑥, no de 𝑦.

Y recordemos que hemos dicho que 𝑥 es igual a seno de 𝑦. Así que vamos a usar la identidad coseno al cuadrado de 𝜃 más seno al cuadrado de 𝜃 igual a uno. Y sustituimos 𝜃 por 𝑦. Vamos a restar seno al cuadrado de 𝑦 a ambos lados de la ecuación. Luego, tomamos la raíz cuadrada a ambos lados. Y vemos que coseno de 𝑦 es igual a la raíz cuadrada positiva y negativa de uno menos seno al cuadrado de 𝑦. Recordemos que la inversa del seno está restringida al intervalo cerrado desde menos 𝜋 partido por dos a 𝜋 partido por dos.

De acuerdo con esta definición, esto significa que 𝑦 debe ser mayor o igual que 𝜋 sobre dos y menor o igual que 𝜋 sobre dos que, a su vez, significa que coseno de 𝑦 debe ser mayor o igual que cero y menor o igual que uno. Y esto se debe a que en el intervalo 𝑦 mayor o igual que menos 𝜋 sobre dos y menor o igual que 𝜋 sobre dos. El valor más pequeño que toma el coseno de 𝑦 es cero. Y el valor más grande es uno. Y esto significa que aquí solo tenemos que tomar la raíz cuadrada positiva de uno menos seno al cuadrado de 𝑦.

Ahora ya podemos sustituir seno de 𝑦 por 𝑥. Y vemos que coseno de 𝑦 es igual a la raíz cuadrada de uno menos 𝑥 al cuadrado. Y, por lo tanto, d𝑦 sobre d𝑥 es igual a uno partido por la raíz cuadrada de uno menos 𝑥 al cuadrado. Así que hemos hallado la derivada de la inversa del seno de 𝑥. Y es uno sobre la raíz cuadrada de uno menos 𝑥 al cuadrado para los valores de 𝑥 en el intervalo menos uno menor que 𝑥 menor que uno.

En el siguiente ejemplo vamos a aplicar otro método que nos ayudará a hallar la derivada de la función inversa del coseno.

Para hacer esto debemos conocer el teorema de la función inversa. Y este teorema dice que, si 𝑓 es una función derivable con una derivada continua 𝑓 prima, y 𝑓 prima de 𝑎 es distinta de cero, entonces no solo es 𝑓 invertible sino que tiene una inversa derivable. Y la derivada de la inversa de 𝑓 en un punto 𝑏 igual a 𝑓 de 𝑎 es igual a uno partido por la derivada de 𝑓 en 𝑎. Esto a veces se expresa como d𝑥 sobre d𝑦 igual a uno partido por d𝑦 sobre d𝑥. Veamos cómo puede ayudarnos esto a derivar la función inversa del coseno.

Halla la derivada de la inversa del coseno de 𝑥 sobre 𝑎 con respecto a 𝑥 sabiendo que 𝑎 es distinta de cero.

Vamos a comenzar igualando 𝑦 a la inversa del coseno de 𝑥 sobre 𝑎. Esto también puede escribirse como 𝑥 sobre 𝑎 igual a coseno de 𝑦. Y luego multiplicamos ambos lados por 𝑎. Y vemos que 𝑥 es igual a 𝑎 por coseno de 𝑦. Vamos a derivar nuestra expresión para 𝑥 con respecto a 𝑦. En otras palabras, vamos a calcular d𝑥 sobre d𝑦. Usaremos el resultado general, el cual dice que la derivada de coseno de 𝑥 con respecto a 𝑥 es menos seno de 𝑥. Y vemos que d𝑥 sobre d𝑦 debe ser igual a menos 𝑎 seno de 𝑦.

Muy bien, antes de continuar tenemos que acordarnos de que, en las funciones trigonométricas inversas, sus dominios están acotados. Y sabemos que el dominio de la inversa del coseno de 𝑥 o nuestro coseno a la menos uno de 𝑥 es mayor o igual que cero y menor o igual que 𝜋. Esto quiere decir que 𝑦 debe ser mayor o igual que cero y menor o igual que 𝜋. Ahora vamos a aplicar el teorema de la función inversa. Y vamos a tomar valores de 𝑦 mayores que cero y menores que 𝜋, de modo que seno de 𝑦 sea distinto de cero.

Si aplicamos este criterio, podemos decir que d𝑥 sobre d𝑦 es igual a uno partido por d𝑦 sobre d𝑥, que puede reorganizarse diciendo que d𝑦 sobre d𝑥 es igual a uno partido por d𝑥 sobre d𝑦. Y vemos que, en nuestro caso, d𝑦 sobre d𝑥 es igual a uno sobre menos 𝑎 seno de 𝑦. Y tenemos una expresión para la derivada en términos de 𝑦. Recordemos que queremos que la derivada esté en términos de 𝑥. Hemos dicho que 𝑥 sobre 𝑎 es igual a coseno de 𝑦. Así que vamos a usar la propiedad que dice que seno al cuadrado de 𝑦 más coseno al cuadrado de 𝑦 es igual a uno, y vamos a reorganizarla para decir que seno de 𝑦 es igual a más o menos la raíz cuadrada de uno menos coseno al cuadrado de 𝑦. Cuando 𝑦 está entre cero y 𝜋, seno de 𝑦 es mayor que cero. Por lo tanto, solo nos interesa la raíz positiva.

Sustituimos esto en nuestra expresión para la derivada. Y obtenemos menos uno sobre 𝑎 por la raíz cuadrada de uno menos coseno al cuadrado de 𝑦. Luego, sustituimos coseno de 𝑦 por 𝑥 sobre 𝑎 y cambiamos 𝑥 sobre 𝑎 todo al cuadrado por 𝑥 al cuadrado sobre 𝑎 al cuadrado. Luego metemos 𝑎 dentro de la raíz cuadrada. Y vemos que d𝑦 sobre d𝑥 es igual a menos uno sobre la raíz cuadrada de 𝑎 al cuadrado menos 𝑥 al cuadrado. Así que d sobre d𝑥 de la función inversa del coseno de 𝑥 sobre 𝑎 es igual a menos uno partido por la raíz cuadrada de 𝑎 al cuadrado menos 𝑥 al cuadrado para los valores de 𝑥 entre menos 𝑎 y 𝑎.

En el siguiente ejemplo vamos a ver cómo aplicar el procedimiento que hemos utilizado hasta ahora para hallar la derivada de la función inversa de la tangente.

Halla una expresión para la derivada de 𝑦 igual a la inversa de la tangente de 𝑎𝑥 en términos de 𝑥.

Como 𝑦 es igual a la inversa de la tangente de 𝑎𝑥, podemos decir que 𝑎𝑥 es igual a la tangente de 𝑦. Vamos a usar derivación implícita para hallar la derivada en ambos lados de la ecuación. La derivada de 𝑎𝑥 con respecto a 𝑥 es 𝑎. Y la derivada de la tangente de 𝑦 con respecto a 𝑥 es igual a la derivada de la tangente de 𝑦 con respecto a 𝑦 por la derivada de 𝑦 con respecto a 𝑥. La derivada de la tangente de 𝑥 es sec al cuadrado de 𝑥. Y la derivada de 𝑦 con respecto a 𝑥 es d𝑦 sobre d𝑥.

Vemos que 𝑎 es igual a sec al cuadrado de 𝑦 por d𝑦 sobre d𝑥. Dividimos por sec al cuadrado de 𝑦, y vemos que d𝑦 sobre d𝑥 es igual a 𝑎 sobre sec al cuadrado de 𝑦. Tenemos que representar nuestra ecuación para la derivada en términos de 𝑥. Para ello, vamos a hacer uso de esta identidad trigonométrica. Uno más tangente al cuadrado 𝑥 es igual a secante al cuadrado 𝑥. Esto significa que podemos escribir d𝑦 sobre d𝑥 como 𝑎 sobre uno más tangente al cuadrado 𝑦. Y luego sustituimos tangente de 𝑦 por 𝑎𝑥. Así obtenemos que la derivada de 𝑦 igual a la inversa de la tangente de 𝑎𝑥 es 𝑎 partido por uno más 𝑎𝑥 al cuadrado.

Podemos aplicar reglas parecidas para ayudarnos a hallar la derivada de función inversa de la cotangente. Hallaríamos que la derivada de la inversa de la cotangente de 𝑎 de 𝑥 es menos 𝑎 partido por uno más 𝑎𝑥 al cuadrado. Las funciones inversas de la secante y de la cosecante son un poco menos frecuentes. Pero, de todas formas, vamos a ver cómo hallar la derivada de la función inversa de la cosecante.

Calcula d sobre d𝑥 de la inversa de la cosecante de 𝑥.

Vamos a comenzar diciendo que 𝑦 es igual a la inversa de la cosecante de 𝑥. Esto significa que podemos reescribirlo. Y decimos que 𝑥 es igual a la cosecante de 𝑦.

A continuación, usamos derivación implícita para hallar la derivada en ambos lados de la ecuación. La derivada de 𝑥 con respecto a 𝑥 es uno. Y la derivada de la cosecante de 𝑦 con respecto a 𝑥 es igual a la derivada de la cosecante de 𝑦 con respecto a 𝑦 por d𝑦 sobre d𝑥. Y la derivada de la cosecante de 𝑦 con respecto a 𝑦 es menos cosecante de 𝑦 cotangente de 𝑦. Así que obtenemos uno igual a menos cosecante de 𝑦 cotangente de 𝑦 por d𝑦 sobre d𝑥.

Sabemos que, para la función inversa de la cosecante, 𝑦 debe ser mayor que menos 𝜋 sobre dos, menor que 𝜋 sobre dos y distinta de cero. Con estas restricciones, cosecante de 𝑦 cotangente de 𝑦, no puede ser igual a cero. Así que podemos dividir por menos cosecante de 𝑦 cotangente de 𝑦. Y vemos que d𝑦 sobre d𝑥 es tal y como se muestra. Queremos representar la ecuación de la derivada en términos de 𝑥. Así que vamos a usar esta identidad trigonométrica cotangente al cuadrado de 𝑦 más uno igual a cosecante al cuadrado de 𝑦. Y podemos reescribir esto para decir que cotangente de 𝑦 es igual a las raíces cuadradas positiva y negativa de cosecante al cuadrado de 𝑦 menos uno.

Escribimos esto en la ecuación de la derivada, en el lugar de la cotangente de 𝑦. Luego usamos la definición 𝑥 igual a cosecante de 𝑦. Pero vamos a tener que decidir qué hacemos con el signo de la derivada. Puede ayudarnos echar un vistazo a la gráfica de la función inversa de la cosecante. Fíjate cómo, para todos los valores de 𝑥 en el recorrido de la función, la derivada de la pendiente es siempre negativa.

Y, por lo tanto, usamos el valor absoluto para asegurarnos de que nuestra derivada siempre es negativa. Decimos que d𝑦 sobre d𝑥 es igual a menos el valor absoluto de uno partido por 𝑥 por la raíz cuadrada de 𝑥 al cuadrado menos uno. Como uno y la raíz cuadrada de 𝑥 al cuadrado menos uno son siempre positivos, podemos reescribir esto así. Por lo tanto, la derivada de la función inversa de la cosecante 𝑥 con respecto a 𝑥 es menos uno partido por el módulo o el valor absoluto de 𝑥 por la raíz cuadrada de 𝑥 al cuadrado menos uno.

Podemos aplicar un proceso parecido para ayudarnos a hallar la derivada de la función inversa de la secante. Y estas son las derivadas de todas las funciones trigonométricas inversas que necesitamos. Es útil memorizar estos resultados, pero también conviene saber derivarlos en caso de ser necesario. Ahora vamos a ver algunas aplicaciones de estos resultados.

Calcula la derivada de la inversa de la cotangente de uno partido por 𝑥 con respecto a 𝑥.

Aquí tenemos la función de una función, o sea, una función compuesta. Por lo tanto, vamos a tener que usar la regla de la cadena para hallar la derivada. Esta regla dice que, si 𝑓 y 𝑔 son funciones derivables de modo que 𝑦 es 𝑓 de 𝑢 y 𝑢 es 𝑔 de 𝑥, entonces d𝑦 sobre d𝑥 es igual a d𝑦 sobre d𝑢 por d𝑢 sobre d𝑥. Vamos a hacer 𝑢 igual a uno sobre 𝑥. Por lo tanto, 𝑦 es igual a la inversa de la cotangente de 𝑢. Para aplicar la regla de la cadena tenemos que hallar la derivada de estas dos funciones. Y puede ser útil escribir 𝑢 como 𝑥 elevado a menos uno.

Por lo tanto, d𝑢 sobre d𝑥 es menos 𝑥 elevado a menos dos o menos uno sobre 𝑥 al cuadrado. Y ahora podemos usar la derivada general de la función inversa de la cotangente. Y vemos que d𝑦 sobre d𝑢 es igual a menos uno partido por uno más 𝑢 al cuadrado. d𝑦 sobre d𝑥 es el producto de estas dos expresiones. Es menos uno partido por 𝑥 al cuadrado por menos uno partido por uno más 𝑢 al cuadrado.

Podemos sustituir 𝑢 por uno sobre 𝑥 y luego multiplicar. Y vemos que la derivada de la inversa de la cotangente de uno sobre 𝑥 con respecto a 𝑥 es uno sobre 𝑥 al cuadrado más uno.

¿Te has dado cuenta de que la derivada de la inversa de la cotangente de uno sobre 𝑥 es igual a la derivada de la tangente de 𝑥? Esto no es casualidad. Pues podríamos haber usado la identidad de que la inversa de la cotangente de uno sobre 𝑥 es, de hecho, igual a la inversa de la tangente de 𝑥. Esto podría habernos ahorrado algo de tiempo en el ejemplo anterior.

Calcula la derivada de la inversa del seno de la raíz cuadrada de uno menos 𝑥 al cuadrado con respecto a 𝑥.

Aquí tenemos la función de una función, o sea, una función compuesta. Así que vamos a usar la regla de la cadena para hallar su derivada. Esta regla dice que, si 𝑦 es una función de 𝑢 y 𝑢 es una función de 𝑥, entonces d𝑦 sobre d𝑥 es igual a d𝑦 sobre d𝑢 por d𝑢 sobre d𝑥. Vamos a hacer 𝑢 igual a la raíz cuadrada de uno menos 𝑥 al cuadrado. Esto puede escribirse también como uno menos 𝑥 al cuadrado elevado a un medio. Por lo tanto, 𝑦 es igual a la inversa del seno de 𝑢. Para poder aplicar la regla de la cadena vamos a tener que hallar la derivada de estas dos funciones. La derivada de la inversa del seno de 𝑢 con respecto a 𝑢 es uno partido por la raíz cuadrada de uno menos 𝑢 al cuadrado.

Podemos usar la regla de la potencia para hallar la derivada de uno menos 𝑥 al cuadrado elevado a un medio. Es un medio de uno menos 𝑥 al cuadrado elevado a menos un medio por la derivada de lo que está dentro del paréntesis, que es menos dos 𝑥. Esto puede escribirse como menos 𝑥 por uno menos 𝑥 al cuadrado elevado a menos un medio.

Por lo tanto, d𝑦 sobre d𝑥 es menos 𝑥 partido por la raíz cuadrada de uno menos 𝑥 al cuadrado por uno sobre la raíz cuadrada de uno menos 𝑢 al cuadrado. Podemos sustituir 𝑢 por uno menos 𝑥 al cuadrado elevado a un medio. Y la segunda fracción se convierte en uno partido por la raíz cuadrada de uno menos uno menos 𝑥 al cuadrado. Esto se simplifica a uno sobre 𝑥. Y dividimos por 𝑥. Por lo tanto, podemos ver que la derivada de nuestra función es menos uno partido por la raíz cuadrada de uno menos 𝑥 al cuadrado.

De nuevo, nos encontramos con un resultado interesante. Este resultado dice que la derivada de la inversa del seno de la raíz cuadrada de uno menos 𝑥 al cuadrado es igual a la derivada de la inversa del coseno de 𝑥. Esto viene de la identidad que dice que la inversa del seno de la raíz cuadrada de uno menos 𝑥 al cuadrado es igual a la inversa del coseno de 𝑥 para los valores de 𝑥 entre cero y uno. Si hubiéramos sabido este resultado, la cantidad de tiempo empleado en resolver este ejemplo se habría reducido bastante.

En este vídeo hemos visto que podemos usar derivación implícita o el teorema de la función inversa para hallar la derivada de las funciones trigonométricas inversas. Hemos visto que las derivadas de las funciones trigonométricas inversas son estas. Y también hemos aprendido que estar familiarizados con algunas identidades trigonométricas puede simplificar significativamente el proceso de hallar estas derivadas.

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