Vídeo: Límites en el infinito y límites infinitos

En este vídeo vamos a aprender a calcular los límites de una función cuando 𝑥 tiende a infinito y a analizar los límites que tienden a infinito cuando 𝑥 se acerca a un valor determinado.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender sobre límites en el infinito y límites infinitos. Ya conocemos el significado del límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a un número real 𝑐. Si el valor de este límite es 𝐿, esto significa que, si elegimos 𝑥 de modo que esté lo suficientemente cerca de 𝑐, entonces podemos hacer que 𝑓 de 𝑥 esté tan cerca de 𝐿 como queramos. Podemos hacer que el valor de 𝑓 de 𝑥 esté arbitrariamente cerca de 𝐿. En este vídeo vamos a discutir los límites de la forma límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a infinito. ¿Qué significa que uno de estos límites tenga el valor 𝐿?

Podemos ver lo que pasa si simplemente reemplazamos 𝑐 en la definición anterior por infinito. Por lo tanto, interpretamos que esto significa que, si elegimos 𝑥 de modo que esté lo suficientemente cerca de infinito, entonces podemos hacer que 𝑓 de 𝑥 esté tan cerca de 𝐿 como queramos. Pero ¿qué significa que 𝑥 esté lo suficientemente cerca de infinito cuando infinito está infinitamente lejos de cualquier valor de 𝑥 que podamos elegir? Resulta que, en vez de decir que 𝑥 está lo suficientemente cerca de infinito, debemos decir que 𝑥 es lo suficientemente grande. Por lo tanto, que el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a infinito es igual a 𝐿 significa que, si elegimos 𝑥 de modo que sea lo suficientemente grande, entonces podemos hacer que 𝑓 de 𝑥 esté tan cerca de 𝐿 como queramos.

Si nos fijamos en la gráfica de la función recíproca, podremos ver que, si elegimos 𝑥 de modo que sea lo suficientemente grande, entonces podemos hacer que la función recíproca, uno sobre 𝑥, esté tan cerca de cero como queramos. Y, por lo tanto, decimos que el límite de uno sobre 𝑥, cuando 𝑥 tiende a infinito, es cero. El valor de este límite, cero, es el valor al que la función uno sobre 𝑥 se acerca más y más cuando 𝑥 crece sin límite.

También podemos pensar en el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a menos infinito. Que este límite es 𝐿 significa que, si elegimos 𝑥 de modo que sea lo suficientemente grande y negativo, en otras palabras, 𝑥 es negativo pero lo suficientemente grande, entonces podremos hacer que 𝑓 de 𝑥 esté tan cerca de 𝐿 como queramos. En cuanto al límite cuando 𝑥 tiende a menos infinito, podemos pensar en este valor 𝐿 de otra manera. El valor 𝐿 es el valor al que 𝑓 de 𝑥 se acerca más y más cuando 𝑥 decrece sin límite.

Entonces, ¿cuál es el límite de uno sobre 𝑥 cuando 𝑥 tiende a menos infinito? Bueno, cuando 𝑥 decrece sin límite, uno sobre 𝑥 se acerca más y más a cero. Por lo tanto, el valor de este límite es, de nuevo, cero. Estos dos límites son límites que conviene conocer. Resulta, pues, que las definiciones de los límites que hemos aprendido para límites finitos, si las interpretamos adecuadamente, funcionan igual de bien para límites infinitos. Usando estas definiciones de los límites junto con los límites de la función recíproca que acabamos de hallar cuando 𝑥 tiende a infinito y a menos infinito, podemos hallar el valor de muchos otros límites. Veamos un ejemplo.

Halla el límite de menos cuatro sobre 𝑥 al cuadrado más cinco sobre 𝑥 más ocho cuando 𝑥 tiende a infinito.

Tenemos un límite cuando 𝑥 tiende a infinito aquí, pero se siguen aplicando las propiedades de los límites de siempre. Por ejemplo, el límite de una suma de funciones es igual a la suma de los límites. Y, por lo tanto, podemos descomponer nuestro límite en tres. Es igual al límite cuando 𝑥 tiende a infinito de menos cuatro sobre 𝑥 al cuadrado más el límite cuando 𝑥 tiende a infinito de cinco sobre 𝑥 más el límite cuando 𝑥 tiende a infinito de ocho.

¿Qué podemos decir de este límite? Bueno, sabemos que el límite de una constante 𝐾, cuando 𝑥 tiende a un número 𝑐, es 𝐾. Y esta propiedad de los límites también se aplica cuando 𝑐 no es un número real, sino que es infinito o menos infinito. El valor de este último límite es, pues, ocho.

¿Qué hay de los otros dos límites? Podemos usar el hecho de que el límite de una constante que multiplica una función es esa constante que multiplica el límite de la función. El primer límite es, por lo tanto, menos cuatro por el límite de uno sobre 𝑥 al cuadrado cuando 𝑥 tiende a infinito. Y el segundo límite es cinco por el límite de uno sobre 𝑥 cuando 𝑥 tiende a infinito. Y, por último, sumamos el ocho.

Ahora bien, ya conocemos el límite de la función recíproca uno sobre 𝑥 cuando 𝑥 tiende a infinito. Su valor es cero. Pero ¿qué hay del límite de uno sobre 𝑥 al cuadrado cuando 𝑥 tiende a infinito? Bueno, podemos usar el hecho de que el límite de una potencia de una función es esa potencia del límite de la función. Este límite es el límite de la función recíproca uno sobre 𝑥 al cuadrado, pues uno sobre 𝑥 al cuadrado es igual a uno sobre 𝑥 todo al cuadrado. Y, según las propiedades de los límites, esto es el límite de uno sobre 𝑥 cuando 𝑥 tiende a infinito, todo al cuadrado. Este límite es cero. Y, por lo tanto, nuestro límite, el límite de uno sobre 𝑥 al cuadrado cuando 𝑥 tiende a infinito, es también cero.

Podemos generalizar y formular otra propiedad de este límite, y es que el límite de uno sobre 𝑥 elevado a 𝑛 cuando 𝑥 tiende a infinito, es cero, al menos cuando 𝑛 es mayor que cero. Nuestro límite original es, por lo tanto, menos cuatro por cero más cinco por cero más ocho, que es, evidentemente, ocho.

Veamos otro ejemplo.

Halla el límite de menos dos 𝑥 elevado a menos cuatro más ocho 𝑥 elevado a menos tres menos 𝑥 elevado a menos dos más nueve 𝑥 elevado a menos uno menos cuatro todo partido por dos 𝑥 elevado a menos cuatro menos seis 𝑥 elevado a menos tres más siete 𝑥 elevado a menos dos más seis 𝑥 elevado a menos uno más tres cuando 𝑥 tiende a infinito.

Este es el límite de un cociente de funciones. Y sabemos que el límite de un cociente de funciones es el cociente de sus límites. Por lo tanto, podemos hallar los límites del numerador y del denominador por separado, si es que existen. Y, como el límite de la suma de funciones es la suma de sus límites, podemos hallar los límites término a término.

Ahora tenemos muchos límites que calcular, pero todos se componen de términos simples. Y podemos simplificarlos más sacando las constantes fuera de los límites. Pues el límite de una constante por una función es esa constante por el límite de la función. Y, ahora, la gran mayoría de nuestros límites están en la forma del límite de 𝑥 elevado a un número negativo cuando 𝑥 tiende a infinito.

¿Cuáles son los valores de estos límites? Bueno, podemos escribir 𝑥 elevado a menos 𝑛 como uno sobre 𝑥 elevado a 𝑛. Y para 𝑛 mayor que cero, el valor es cero. Todos estos límites, son, por lo tanto, cero. Y ahora solo nos quedan dos límites que calcular, que son los límites de las constantes cuatro y tres. El límite de una función constante es esa constante. Y, por lo tanto, incluyendo el signo menos con cuidado, llegamos a la respuesta, que es menos cuatro sobre tres.

Resolver este problema ha sido bastante sencillo, pues solo teníamos constantes y exponentes negativos en el numerador y en el denominador. Y ya sabemos que el valor del límite de una potencia de 𝑥 de exponente negativo cuando 𝑥 tiende a infinito es cero.

Veamos ahora un ejemplo en el que no hay solo exponentes negativos.

Halla el límite de 𝑥 al cuadrado más tres todo partido por ocho 𝑥 al cubo más nueve 𝑥 más uno cuando 𝑥 tiende a infinito.

Lo primero que se nos viene a la cabeza ahora mismo es usar el hecho de que el límite de un cociente es el cociente de los límites. Esto nos da el límite de 𝑥 al cuadrado más tres cuando 𝑥 tiende a infinito partido por el límite de ocho 𝑥 al cubo más nueve 𝑥 más uno cuando 𝑥 tiende a infinito. Pero nos encontramos con algún que otro problemilla, pues el caso es que ninguno de estos límites está definido. En el numerador, cuando 𝑥 tiende a infinito, 𝑥 al cuadrado más tres no se acerca a ningún valor real, tan solo crece y crece sin límite. Y lo mismo ocurre en el denominador. Cuando 𝑥 crece sin límite, la función cúbica ocho 𝑥 al cubo más nueve 𝑥 más uno también crece sin límite.

O puede que pienses que ambos límites deberían valer infinito. Y que, por lo tanto, el límite del lado izquierdo es infinito partido por infinito. Pero esto, al igual que cero partido por cero, es una forma indeterminada. Y no nos dice nada del valor del límite. Tenemos que usar un enfoque distinto.

El truco en este tipo de cuestiones es hallar la potencia de 𝑥 de mayor exponente que aparece en el numerador o en el denominador. Eso es 𝑥 al cubo aquí. Y, tras hallar esta potencia de mayor exponente, dividimos el numerador y el denominador por esta. ¿Qué obtenemos? 𝑥 al cuadrado dividido por 𝑥 al cubo es 𝑥 elevado a menos uno. Y tres dividido por 𝑥 al cubo es tres 𝑥 elevado a menos tres. Y en el denominador ocho 𝑥 al cubo entre 𝑥 al cubo es ocho. Nueve 𝑥 entre 𝑥 al cubo es nueve 𝑥 elevado a menos dos. Y uno dividido por 𝑥 al cubo es 𝑥 elevado a menos tres.

Ahora tan solo tenemos potencias de 𝑥 de exponente negativo y una constante en el denominador. Y, como resultado, cuando aplicamos las reglas de los límites, hallamos que los límites en el numerador y en el denominador ahora existen. Vamos a hallar sus valores. Podemos aplicar la propiedad que nos dice que el límite de la suma de funciones es la suma de sus límites. Esto nos permite hallar el límite de cada término por separado. También podemos sacar el coeficiente fuera de los límites.

Ahora bien, además de un límite, que es el límite de una función constante, y cuyo valor debe ser por tanto ocho, todos los demás límites tienen la forma de un límite cuando 𝑥 tiende a infinito de 𝑥 elevado a menos 𝑛. Siendo 𝑛, por supuesto, mayor que cero. Y conocemos el valor de esos límites. El valor de cada uno de ellos es cero.

Por lo tanto, este es cero, este es cero, este es cero y este es cero. Simplificando, obtenemos que nuestra respuesta es cero sobre ocho, que es cero.

Ahora, en el primer intento fallido al tratar de resolver este problema, dijimos que los límites del numerador y del denominador por separado eran ambos indefinidos, o infinitos. ¿A qué nos referimos cuando decimos que el valor de dichos límites puede ser infinito? Vamos a averiguarlo.

Si el límite de 𝑓 de 𝑥, cuando 𝑥 tiende a infinito, es infinito, esto significa que podemos hacer que el valor de 𝑓 de 𝑥 sea tan grande como queramos eligiendo 𝑥 de modo que sea lo suficientemente grande. Supongamos que queremos que 𝑓 de 𝑥 sea mayor que mil millones. Bueno, hay un número tal que, si elegimos 𝑥 de modo que sea mayor que ese número, entonces 𝑓 de 𝑥 será mayor que mil millones, tal como queremos. Otra manera de pensar en esto es que, a partir de cierto número, cuando 𝑥 crece sin límite, 𝑓 de 𝑥 también crece sin límite.

Del mismo modo, que el límite de 𝑓 de 𝑥, cuando 𝑥 tiende a infinito, sea menos infinito, significa que cuando 𝑥 crece sin límite, 𝑓 de 𝑥 decrece sin límite. Y, por completitud, escribimos los significados de los límites cuando 𝑥 tiende a menos infinito. Veamos un ejemplo.

Halla el límite de seis 𝑥 al cuadrado partido entre 𝑥 menos seis cuando 𝑥 tiende a infinito.

Hay varias formas de hallar este límite. Una de ellas es fijándonos en la gráfica de 𝑦 igual a seis 𝑥 al cuadrado sobre 𝑥 menos seis. Parece que, cuando 𝑥 crece sin límite, seis 𝑥 al cuadrado sobre 𝑥 menos seis también crece sin límite. En consecuencia, podemos decir que este límite es infinito. Pero puede que esto no nos convenza del todo. Tal vez la gráfica hace algo un tanto diferente más allá en el eje de las 𝑥.

También podemos efectuar una división polinómica para hallar que seis 𝑥 al cuadrado partido por 𝑥 menos seis es igual a seis 𝑥 más 36 más 216 partido de 𝑥 menos seis. Y resulta muy sencillo mover los límites al lado derecho. Podemos hacerlo término a término. El límite de seis 𝑥, cuando 𝑥 tiende a infinito, debe ser infinito. Cuando 𝑥 crece sin límite, seis 𝑥 también crece sin límite. El límite de 36, cuando 𝑥 tiende a infinito, es 36. Este es el límite de una constante.

El último límite es un poco más difícil de hallar. Dividimos el numerador y el denominador por la potencia de 𝑥 de mayor exponente que vemos, que es 𝑥. El límite de un cociente es el cociente de los límites. El límite en el numerador vale cero y en el denominador vale uno. Por lo tanto, el valor de este límite es cero. De este modo, nuestro límite es infinito más 36. Y cuando operamos con límites, es correcto decir que infinito más 36 es infinito, lo que nos da otro camino para llegar a esta respuesta.

Muy bien, ahora vamos a resolver un último problema.

Halla el límite de nueve menos ocho 𝑥 más seis 𝑥 al cuadrado menos dos 𝑥 al cubo cuando 𝑥 tiende a menos infinito.

Lo primero que se nos viene a la cabeza es escribir este límite de una suma como una suma de límites. Podemos calcular cada uno de estos límites uno por uno. El límite de la función constante nueve es nueve. ¿Qué podemos decir del límite de ocho 𝑥 cuando 𝑥 tiende a menos infinito? Bueno, con la gráfica de 𝑦 igual a ocho 𝑥 en mente, podemos ver que cuando 𝑥 decrece sin límite, 𝑦 también decrece sin límite. Y, por lo tanto, el límite de ocho 𝑥, cuando 𝑥 tiende a menos infinito, es menos infinito.

¿Qué hay del límite de seis 𝑥 al cuadrado cuando 𝑥 tiende a menos infinito? De nuevo, tenemos la gráfica en mente, y vemos que, cuando 𝑥 decrece sin límite, 𝑦 crece sin límite. Por lo tanto, este límite es infinito. Y, por último, el límite de dos 𝑥 al cubo cuando 𝑥 tiende a menos infinito, ya sabemos cómo es una curva cúbica. Y vemos que cuando 𝑥 tiende a menos infinito, 𝑦 también tiende a menos infinito. Este límite es menos infinito.

Por lo tanto, parece que nuestro límite es nueve menos menos infinito más infinito menos menos infinito. Y si consideramos infinito como un número, podemos escribir menos menos infinito como más infinito, obteniendo nueve más infinito más infinito más infinito. Y esta suma es igual a infinito. Ahora bien, debemos saber que hay que tener cuidado a la hora de manejar infinito de este modo. Pero resulta que todos estos pasos son correctos en este caso. Sin embargo, hemos tenido suerte de que no nos quedara ningún signo menos al final, pues infinito menos infinito es indefinido.

Por esta y otras razones, es conveniente ver cómo podemos resolver este problema de otra forma. Lo que vamos a hacer ahora es sacar factor común de la mayor potencia de 𝑥, que es 𝑥 al cubo, del límite. Esto nos da el límite de 𝑥 al cubo por nueve 𝑥 elevado a menos tres menos ocho 𝑥 elevado a menos dos más seis 𝑥 elevado a menos uno menos dos cuando 𝑥 tiende a menos infinito. El límite de un producto es el producto de los límites.

Ahora bien, ¿cuál es el límite de 𝑥 al cubo cuando 𝑥 tiende a menos infinito? Bueno, podemos modificar levemente nuestra gráfica y considerarla ahora la gráfica de 𝑦 igual a 𝑥 al cubo. Y vemos que este límite es menos infinito. ¿Y este límite? Bueno, estos términos con exponentes negativos de 𝑥 no aportan nada, así que nos quedamos solo con el límite de menos dos cuando 𝑥 tiende a menos infinito. Y es menos dos. La única manipulación de infinito que tenemos que hacer es multiplicar menos infinito por menos dos. Los signos menos se cancelan. Y nos quedamos solo con infinito.

De forma alternativa, podríamos haber sacado factor común a todo el término menos dos 𝑥 al cubo del límite. Entonces, el valor del segundo límite en nuestro producto sería uno. Podemos mostrar fácilmente que el primer límite en el producto es infinito. Y puede que te sea más fácil creer que infinito por uno es infinito que creer que menos infinito por menos dos es infinito.

Haciendo uso de este método hemos podido mostrar que el límite de una función polinómica, cuando 𝑥 tiende a más o menos infinito, es el límite cuando 𝑥 tiende a más o menos infinito del término con el mayor exponente de esa función polinómica. Por lo tanto, todo lo que tenemos que hacer es fijarnos en una gráfica de esta función monomial, o imaginárnosla.

Veamos los puntos claves que hemos analizado en este vídeo. Podemos trabajar con límites de la forma límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a más o menos infinito. Y, en estos casos, las propiedades de los límites se siguen aplicando. El límite de la función recíproca uno sobre 𝑥, cuando 𝑥 tiende a más o menos infinito, es cero. Y, por lo tanto, si combinamos esto con una de las propiedades de los límites, vemos que el límite de uno sobre 𝑥 elevado a 𝑛, cuando 𝑥 tiende a más o menos infinito, es también cero cuando 𝑛 es mayor que cero.

Podemos hallar los límites de funciones racionales dividiendo el numerador y el denominador por la potencia de 𝑥 de mayor exponente y haciendo uso del resultado anterior. Y, del mismo modo, podemos demostrar que el límite de una función polinómica, cuando 𝑥 tiende a más o menos infinito, es el límite de su término con el mayor exponente. Debemos tener cuidado al operar con infinito. Pero, salvo algunas excepciones, por ejemplo, las formas indeterminadas infinito sobre infinito e infinito menos infinito, podemos operar con infinito como si fuera un número real en el contexto de los límites.

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