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Vídeo de la lección: Conversión entre la forma paramétrica y la forma implícita de las ecuaciones de una curva Matemáticas • Duodécimo grado

En este vídeo vamos a aprender cómo convertir la representación de una curva en coordenadas cartesianas de una forma paramétrica a su forma implícita y viceversa.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo convertir la representación de una curva en coordenadas cartesianas de una forma paramétrica a su forma implícita y viceversa. Veremos cómo nos puede ayudar esto a trazar una curva dada como un par de ecuaciones paramétricas y aprenderemos cómo parametrizar una circunferencia centrada en el origen así como un segmento entre dos puntos.

Antes de comenzar, conviene recordar que una ecuación implícita en coordenadas cartesianas (también llamadas rectangulares) es aquella que viene dada en términos solo de las variables 𝑥 y 𝑦. Normalmente viene dada por 𝑦 igual a una función de 𝑥, pero no siempre es así. La misma curva puede también representarse mediante un par de ecuaciones paramétricas, las cuales están expresadas en términos de una tercera variable, normalmente 𝑡, de modo que 𝑥 es igual a una función de 𝑡 y 𝑦 es igual a otra función de 𝑡. El método que vamos a aplicar para obtener la ecuación en forma implícita a partir de las dos ecuaciones paramétricas es reorganizar las ecuaciones y combinarlas para así eliminar la variable 𝑡.

Veamos cómo sería esto.

Convierte las ecuaciones paramétricas 𝑥 igual a 𝑡 al cuadrado más dos y 𝑦 igual a tres 𝑡 menos uno a forma implícita.

Como ves, hay dos ecuaciones paramétricas. Tenemos 𝑥 igual a una función de 𝑡 y 𝑦 igual a una función de 𝑡. Para convertir las ecuaciones paramétricas a la forma implícita, tenemos que hallar la manera de eliminar el parámetro 𝑡. Si observamos las ecuaciones, vemos que podemos reorganizar la ecuación de 𝑦 para despejar 𝑡. Comenzamos sumando uno a ambos lados de la ecuación. A continuación dividimos por tres. Y obtenemos que 𝑡 es igual a 𝑦 más uno todo partido por tres.

Volvamos a nuestra ecuación para 𝑥. Y reemplazamos en ella 𝑡 por 𝑦 más uno sobre tres. Y hallamos que 𝑥 es igual a 𝑦 más uno partido por tres todo al cuadrado más dos. Habrá veces en las que tendremos que desarrollar los paréntesis y simplificar. En este caso no va a ser necesario. Así que hemos terminado. Hemos convertido las ecuaciones paramétricas 𝑥 igual a 𝑡 al cuadrado más dos y 𝑦 igual a tres 𝑡 menos uno en la forma cartesiana implícita. Es 𝑥 igual a 𝑦 más uno partido por tres todo al cuadrado más dos.

En el próximo ejemplo vamos a usar identidades trigonométricas para ayudarnos a eliminar el parámetro 𝑡.

Halla la ecuación cartesiana implícita de la curva definida por las ecuaciones paramétricas 𝑥 igual a dos más cos 𝑡 y 𝑦 igual a cuatro cos de dos 𝑡.

Recuerda que la ecuación implícita de una curva es aquella que solo contiene las variables 𝑥 y 𝑦. Así que vamos a tener que hallar una forma de eliminar la tercera variable 𝑡 de nuestras ecuaciones paramétricas. A primera vista no parece una tarea sencilla. No obstante, recurrir a algunas identidades trigonométricas puede ayudarnos. Tenemos cos de dos 𝑡 en la segunda ecuación paramétrica. Y ocurre que cos de dos 𝑡 es igual a dos por cos al cuadrado de 𝑡 menos uno. Esto significa que podemos reescribir nuestra ecuación para 𝑦 como cuatro por dos cos al cuadrado de 𝑡 menos uno.

Ahora vamos a tratar de reorganizar nuestra ecuación para 𝑥 y despejar cos de 𝑡. Una vez lo hayamos hecho podremos hallar una expresión para cos al cuadrado de 𝑡 en términos de 𝑥. Restamos dos de ambos lados. Y obtenemos que 𝑥 menos dos es igual a cos de 𝑡. Seguidamente, al elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación, hallamos que cos al cuadrado de 𝑡 es igual a 𝑥 menos dos todo al cuadrado. Ahora ya podemos sustituir cos al cuadrado de 𝑡 por 𝑥 menos dos al cuadrado. Y obtenemos que 𝑦 es igual a cuatro por dos por 𝑥 menos dos todo al cuadrado menos uno.

Desarrollamos estos dos paréntesis. Y obtenemos que 𝑥 menos dos todo al cuadrado es igual a 𝑥 al cuadrado menos cuatro 𝑥 más cuatro. Lo desarrollamos de nuevo multiplicando cada uno de estos términos por dos y luego simplificando: ocho menos uno es siete. Por último volvemos a desarrollar multiplicando cada término de dos 𝑥 al cuadrado menos ocho 𝑥 más siete por cuatro. Y hallamos que la ecuación implícita de la curva definida por las ecuaciones paramétricas 𝑥 igual a dos más cos 𝑡 y 𝑦 igual a cuatro cos de dos 𝑡 es 𝑦 igual a ocho 𝑥 al cuadrado menos 32𝑥 más 28.

Este procedimiento puede ayudarnos a trazar las curvas definidas paramétricamente. Por ejemplo, en este caso, se nos dio un par de ecuaciones paramétricas. Puede que sepas cuál es el aspecto de la curva definida por estas ecuaciones paramétricas. Pero si la escribimos en forma cartesiana, vemos que tenemos un polinomio de segundo grado con un coeficiente principal de 𝑥 positivo. Así que vemos inmediatamente que tendremos la típica forma de parábola. Así que podemos usar los métodos habituales para trazar curvas cuadráticas si queremos dibujar la curva definida por estas ecuaciones paramétricas.

Veamos con otro ejemplo cómo funcionaría todo este procedimiento.

Convierte las ecuaciones paramétricas 𝑥 igual a tres cos 𝑡 y 𝑦 igual a tres sin 𝑡 a la forma implícita.

Como hemos visto, la forma implícita de una ecuación es la que contiene solo las variables 𝑥 y 𝑦. Así que tendremos que hallar una forma de eliminar la tercera variable 𝑡 de nuestras ecuaciones paramétricas. De primeras no parece una tarea sencilla. Pero recordar algunas identidades trigonométricas puede ayudarnos a hacerlo. Sabemos que cos al cuadrado 𝜃 más sin al cuadrado 𝜃 es igual a uno. Así que vamos a elevar al cuadrado nuestra expresión para 𝑥 y nuestra expresión para 𝑦.

Con 𝑥, obtenemos 𝑥 al cuadrado igual a tres cos 𝑡 todo al cuadrado, que es igual a nueve cos al cuadrado 𝑡. De esta forma decimos que cos al cuadrado 𝑡 debe ser igual a 𝑥 al cuadrado sobre nueve. Análogamente, podemos decir que 𝑦 al cuadrado es igual a tres sin 𝑡 todo al cuadrado. Desarrollamos los paréntesis y hallamos que 𝑦 al cuadrado es nueve por sin al cuadrado 𝑡. Seguidamente dividimos por nueve. Y obtenemos que sin al cuadrado 𝑡 es igual a 𝑦 al cuadrado sobre nueve.

Seguidamente recordamos que, si en esta identidad, sustituimos 𝜃 por 𝑡, la identidad sigue siendo válida. Vemos que podemos sustituir cos al cuadrado 𝑡 por 𝑥 al cuadrado sobre nueve. Y podemos sustituir sin al cuadrado 𝑡 por 𝑦 al cuadrado sobre nueve. Y todo esto es igual a uno. Seguidamente lo multiplicamos por nueve. De esta forma hemos hallado que la forma implícita de nuestra ecuación es 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado igual a nueve.

Consecuentemente, dibuja la curva definida por este par de ecuaciones paramétricas.

Hemos hallado que este par de ecuaciones paramétricas 𝑥 igual a tres cos 𝑡 y 𝑦 igual a tres sin 𝑡 es 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado igual a nueve en forma implícita. Ahora debemos acordarnos de que la ecuación de una circunferencia con centro en 𝑎, 𝑏 y con radio 𝑟 es 𝑥 menos 𝑎 todo al cuadrado más 𝑦 menos 𝑏 todo al cuadrado igual a 𝑟 al cuadrado. Comparamos nuestra ecuación, que es 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado igual a nueve. Y al hacerlo, vemos que tanto 𝑎 como 𝑏 tienen que ser ambos cero. Además, hallamos que 𝑟 al cuadrado es nueve. Si hacemos la raíz cuadrada de esto, hallamos que 𝑟 es igual a tres. Por lo tanto, las ecuaciones paramétricas 𝑥 igual a tres cos 𝑡 y 𝑦 igual a tres sin 𝑡 representan una circunferencia con centro en cero, cero —o sea, el origen— y con un radio de tres. Esto tendría esta pinta.

Sin embargo, todavía tenemos que determinar el sentido en el que está trazada la curva. Así que vamos a calcular el valor de nuestras coordenadas 𝑥 y 𝑦 en 𝑡 igual a cero. Cuando 𝑡 es igual a cero, 𝑥 es igual a tres por cos de cero, que es tres. Y cuando 𝑡 es igual a cero, 𝑦 es igual a tres sin de cero, que es cero. Así que empezaríamos trazando el punto con las coordenadas cartesianas tres, cero. Seguidamente elegimos 𝑡 igual a 𝜋 medios.

Ahora podríamos, por supuesto, escoger 𝑡 igual a uno. Pero como estamos operando con expresiones trigonométricas, 𝜋 medios parece encajar mejor. Así que cuando 𝑡 es igual a 𝜋 medios, 𝑥 es igual a tres cos de 𝜋 sobre 𝑡, que es cero y 𝑦 es igual a tres por sin de 𝜋 sobre dos, que es tres. Así que el segundo punto que hallamos tiene coordenadas cartesianas cero, tres. De este modo vemos que nos estamos moviendo en sentido contrario a las agujas del reloj según trazamos la circunferencia.

En este siguiente problema vamos a ver cómo pasar de forma implícita a forma paramétrica.

Convierte la ecuación implícita 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado igual a 25 a una forma paramétrica.

Para resolver esta cuestión primero debemos pensar en lo que sabemos sobre esta ecuación. Sabemos que una circunferencia con centro en el origen y radio 𝑟 viene dada por la ecuación cartesiana 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado igual a 𝑟 al cuadrado. Por lo tanto, la ecuación en coordenadas cartesianas 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado igual a cinco al cuadrado, describe una circunferencia con centro en el origen y con un radio de cinco unidades. Y la hemos dibujado en el plano 𝑥𝑦, como puedes ver.

Queremos convertir esta ecuación a forma paramétrica. Y sabemos que un par de ecuaciones paramétricas describen las coordenadas 𝑥 y 𝑦 en términos de un tercer parámetro, 𝑡. Escojamos pues un punto general 𝑥, 𝑦. Vamos a optar por este en el primer cuadrante. Pongamos ahora aquí un triángulo rectángulo, cuya altura es 𝑦 unidades y cuya anchura es 𝑥 unidades. Seguidamente marcamos el ángulo incluido 𝑡. Como el radio de la circunferencia es cinco unidades, sabemos que la hipotenusa del triángulo es cinco. Ahora, usando las convenciones habituales, marcamos los lados del triángulo. Tenemos el cateto contiguo; que es 𝑥. Tenemos el cateto opuesto; que es 𝑦. Y tenemos la hipotenusa; que es cinco.

También sabemos que, en un triángulo rectángulo, sin 𝜃 es igual al cateto opuesto dividido por la hipotenusa y cos 𝜃 es igual al cateto contiguo partido por la hipotenusa. Así que podemos decir que sin 𝑡 es igual a 𝑦 sobre cinco y cos 𝑡 es igual a 𝑥 sobre cinco. Multiplicamos por cinco las dos ecuaciones. Y hallamos que 𝑦 es igual a cinco sin 𝑡 y que 𝑥 es igual a cinco cos 𝑡. Por lo tanto, para un punto cualquiera en la circunferencia, la coordenada 𝑦 viene dada por cinco sin de 𝑡 y la coordenada 𝑥 viene dada por cinco cos de 𝑡. Ahora, moviéndonos en sentido contrario a las agujas del reloj desde el semieje positivo horizontal, vemos que a medida que 𝑥 aumenta desde cero, genera las coordenadas correspondientes de 𝑥 y 𝑦. Así que nuestras ecuaciones son 𝑥 igual a cinco cos 𝑡 y 𝑦 igual a cinco sin 𝑡.

En estos dos ejemplos anteriores hemos visto que la ecuación de una circunferencia con centro en el origen y radio 𝑟 viene dada por la ecuación 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado igual a 𝑟 al cuadrado. Pero también hemos aprendido que podemos convertir esto en forma paramétrica. En este caso, la forma paramétrica era 𝑦 igual a cinco sin 𝑡 y 𝑥 igual a cinco cos 𝑡, siendo el radio cinco.

En general, podemos enunciar esto como resultado. Podemos decir, pues, que una circunferencia es el lugar de los puntos que satisfacen las ecuaciones 𝑥 igual a 𝑟 cos 𝑡 y 𝑦 igual a 𝑟 sin 𝑡, donde 𝑥 y 𝑦 son las coordenadas de un punto arbitrario en la circunferencia, 𝑟 es el radio y 𝑡 es el parámetro; el cual representa el ángulo definido por el punto en el centro de la circunferencia.

Otra aplicación importante en la que podemos hacer uso de lo que hemos aprendido hasta ahora es para parametrizar un segmento de recta. Veamos cómo sería esto.

Considera los puntos 𝐴 igual a menos uno, uno y 𝐵 igual a cuatro, dos. Parametriza el segmento 𝐴𝐵 usando un parámetro 𝑡, el cual es mayor o igual que cero y menor o igual que uno.

Comenzamos dibujando el diagrama para señalar los puntos y el segmento 𝐴𝐵. Tiene este aspecto. Sabemos que vamos a ir de izquierda a derecha. Así que hacemos 𝑡 igual a cero en el primer punto, en menos uno, uno. Y eso significa que tenemos que hacer 𝑡 igual a uno en el otro extremo de nuestro intervalo en el punto cuatro, dos. Ahora vamos a usar la forma vectorial para la ecuación de una recta. Es 𝑟 igual a 𝑥 cero, 𝑦 cero más 𝑡 por 𝑎𝑏.

Aunque esta es una ecuación de una recta en dos dimensiones, podríamos aplicar este mismo procedimiento para operar con una recta en tres dimensiones. Decimos que el vector 𝑟 es de la forma 𝑥, 𝑦. Seguidamente combinamos los vectores de la derecha en un único vector 𝑥 cero más 𝑡𝑎, 𝑦 cero más 𝑡𝑏. Y vemos que la única forma de que el vector de la izquierda sea igual al de la derecha es si sus coordenadas son iguales. Es decir, si 𝑥 es igual a 𝑥 cero más 𝑡𝑎 y 𝑦 es igual a 𝑦 cero más 𝑡𝑏. De hecho, estas dos ecuaciones son las ecuaciones paramétricas de una recta. Ahora podemos usarlas junto con la información que nos da la cuestión para parametrizar el segmento de 𝑎 a 𝑏.

Volvamos a lo que dijimos antes. Dijimos que 𝑡 es igual a cero en menos uno, uno. Cuando 𝑡 es igual a cero, esto nos da los valores de 𝑥 cero, 𝑦 cero. Así que 𝑥 cero debe ser igual a menos uno y 𝑦 cero debe ser igual a uno. Así que vemos que 𝑥 es igual a menos uno más 𝑡𝑎 y 𝑦 es igual a uno más 𝑡𝑏. Ahora usaremos el hecho de que cuando 𝑡 es igual a uno, 𝑥 es igual a cuatro y 𝑦 es igual a dos. Así que nuestra primera ecuación se convierte en cuatro igual a menos uno más uno 𝑎. Y nuestra segunda ecuación se convierte en dos igual a uno más uno 𝑏. Al sumar uno a ambos lados de la primera ecuación, hallamos que 𝑎 es igual a cinco. Y al restar uno en ambos lados de la segunda, hallamos que 𝑏 es igual a uno. Muy bien, ya tenemos nuestras ecuaciones paramétricas para describir el segmento de 𝐴 a 𝐵 para valores de 𝑡 entre cero y uno. Son 𝑥 igual a cinco 𝑡 menos uno y 𝑦 igual a 𝑡 más uno.

En este vídeo hemos aprendido que, si queremos convertir una ecuación paramétrica en una ecuación implícita, tenemos que hallar una forma de eliminar 𝑡. También hemos visto que una circunferencia con centro en el origen y radio 𝑟 está definida por las ecuaciones paramétricas 𝑥 igual a 𝑟 cos 𝑡 y 𝑦 igual a 𝑟 sin 𝑡. Por último, hemos visto que las ecuaciones paramétricas de un segmento o de una recta son 𝑥 igual a 𝑥 cero más 𝑡𝑎 y 𝑦 igual a 𝑦 cero más 𝑡𝑏.

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