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Series alternadas: el criterio de Leibniz
En este vídeo vamos a aprender cómo determinar el carácter de una serie alternada aplicando el criterio de Leibniz. Para ello vamos a ver varios ejemplos en los que practicaremos la aplicación del criterio de Leibniz. Veamos primero qué es una serie alternada.
Una serie alternada es una serie de la forma sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de menos uno elevado a 𝑛 por 𝑎 𝑛. Esto se conoce como serie alternada, pues sus términos son alternativamente negativos y positivos. Esto ocurre porque tenemos menos uno elevado a 𝑛. Por lo tanto, cuando 𝑛 es impar, menos uno elevado a 𝑛 es menos uno. Y cuando 𝑛 es par, menos uno elevado a 𝑛 es uno. Ahora bien, una serie alternada puede estar en una forma un poco distinta. Podemos, por ejemplo, tener el sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de menos uno elevado a 𝑛 más uno por 𝑎 𝑛. Y esta sigue siendo una serie alternada, pues aún tenemos menos uno elevado a 𝑛 más uno. Sin embargo, en este caso, cuando 𝑛 es impar, menos uno elevado a 𝑛 más uno es uno. Y cuando 𝑛 es par, menos uno elevado a 𝑛 más uno es menos uno.
Existen otro tipo de series que pueden ser series alternadas que debemos tener en cuenta. Son, por ejemplo, estas dos series de aquí. Si observamos la serie de la izquierda, veremos que tenemos coseno de 𝑛 𝜋. Consideremos los primeros valores de coseno de 𝑛 𝜋. Para 𝑛 igual a uno, tenemos coseno de 𝜋, que es igual a menos uno. Para 𝑛 igual a dos, tenemos coseno de dos 𝜋, que es igual a uno. Para coseno de tres 𝜋, tenemos menos uno. Y para coseno de cuatro 𝜋, tenemos uno. Si seguimos haciendo esto repetidamente, veremos que el signo del número uno cambia cada vez que aumentamos 𝑛 en uno.
Cuando 𝑛 es un número impar, tenemos menos uno. Y cuando 𝑛 es un número par, tenemos más uno. Por lo tanto, podemos decir que coseno de 𝑛 𝜋 es igual a menos uno elevado a 𝑛. De esta forma deducimos que esta primera serie es alternada. Análogamente, consideramos seno de dos 𝑛 más uno sobre dos 𝜋. Tenemos que seno de tres 𝜋 sobre dos es igual a menos uno, seno de cinco 𝜋 sobre dos es igual a uno y seno de siete 𝜋 sobre dos es igual a menos uno. Por lo tanto, vemos que aquí seno de dos 𝑛 más uno sobre dos 𝜋 es igual a menos uno elevado a 𝑛. Así que estas dos series son también series alternadas. Debemos ser muy cuidadosos a la hora de identificar una serie alternada, pues algunas de ellas no tienen el aspecto de serie alternada en un primer momento.
Hay una condición más que debe cumplirse para que una serie sea alternada. Y esta es que 𝑎 𝑛 debe ser mayor que cero para todos los valores de 𝑛. Esto es porque, si el signo de 𝑎 𝑛 cambia, entonces nuestra serie ya no tendrá términos alternativamente positivos y negativos. Y si todos los términos de 𝑎 𝑛 son menores que cero, esto es, son negativos, entonces podemos sacar el factor común de menos uno, de manera que la serie cumplirá las condiciones exigidas para ser una serie alternada.
Ahora que hemos visto lo que es una serie alternada, veamos cómo funciona el criterio para determinar el carácter de una serie alternada, más conocido como criterio de Leibniz. Este criterio nos dice que, para una serie alternada, como esta que tenemos aquí, donde 𝑎 𝑛 es mayor que cero para todo 𝑛, si el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑎 𝑛 es igual a cero y la sucesión 𝑎 𝑛 es una sucesión decreciente. Entonces, la serie es convergente. Es importante tener en cuenta que este criterio solo nos dice que la serie converge. Y aunque el criterio no se cumpla, esto no significa necesariamente que la serie sea divergente.
Veamos un ejemplo de aplicación de este criterio.
Determina si la serie de la forma sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de menos uno elevado a 𝑛 más uno por cinco sobre 𝑛 más uno menos cinco sobre 𝑛 más dos converge o diverge.
Si observamos esta serie, enseguida vemos que tiene el aspecto de una serie alternada. Esto es porque tenemos el término menos uno elevado a 𝑛 más uno. Una serie alternada puede ser de esta forma. No obstante, se nos exige que 𝑎 𝑛 sea mayor que cero. En este caso 𝑎 𝑛 es igual a cinco sobre 𝑛 más uno menos cinco sobre 𝑛 más dos. Vamos a comprobar si esto es mayor que cero combinando las dos fracciones. Multiplicamos la fracción de la izquierda por 𝑛 más dos sobre 𝑛 más dos y la fracción de la derecha por 𝑛 más uno sobre 𝑛 más uno. Una vez hecho esto, obtenemos un denominador común de 𝑛 más uno por 𝑛 más dos. Así que ya podemos combinar las dos fracciones. Y obtenemos cinco veces 𝑛 más dos menos cinco veces 𝑛 más uno sobre 𝑛 más uno por 𝑛 más dos.
Ahora desarrollamos los paréntesis en el numerador. Y seguidamente simplificamos el resultado. De esta forma obtenemos que 𝑎 𝑛 es igual a cinco sobre 𝑛 más uno por 𝑛 más dos. 𝑛 puede ser cualquier número entero entre uno y ∞. Por lo tanto, 𝑛 siempre es positivo. Y si 𝑛 siempre es positivo, entonces 𝑎 𝑛 también debe ser siempre positivo. Así que hemos comprobado que nuestra serie es una serie alternada. Vamos a aplicar el criterio de Leibniz para determinar el carácter de la serie alternada, que nos dice que una serie alternada converge si el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑎 𝑛 es igual a cero y 𝑎 𝑛 es una sucesión decreciente.
Vamos a empezar hallando el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑎 𝑛. Tenemos que el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑎 𝑛 es igual al límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de cinco sobre 𝑛 más uno por 𝑛 más dos. Todas las variables 𝑛 en nuestro límite se encuentran en el denominador de la fracción. Y todas estas variables 𝑛 tienen un valor positivo. Por lo tanto, a medida que 𝑛 aumenta, el denominador de esta fracción también aumenta. Esto significa que la fracción entera tenderá a cero. Así que diremos que este límite debe ser igual a cero. Muy bien, ya hemos comprobado la primera condición del criterio de Leibniz.
Ahora tenemos que comprobar si la sucesión 𝑎 𝑛 es decreciente. Si la sucesión es decreciente, entonces 𝑎 𝑛 debe ser mayor que 𝑎 𝑛 más uno, pues cada término será más pequeño que el anterior. Vamos a reorganizar esta desigualdad. Tenemos que comprobar si 𝑎 𝑛 menos 𝑎 𝑛 más uno es mayor que cero. Para 𝑎 𝑛 tenemos cinco sobre 𝑛 más uno por 𝑛 más dos. Y para 𝑎 𝑛 más uno tenemos cinco sobre 𝑛 más dos por 𝑛 más tres. Hallamos la diferencia multiplicando la fracción de la izquierda por 𝑛 más tres sobre 𝑛 más tres y la fracción de la derecha por 𝑛 más uno sobre 𝑛 más uno.
Una vez hemos combinado las dos fracciones resultantes, obtenemos cinco veces 𝑛 más tres menos cinco veces 𝑛 más uno sobre 𝑛 más uno por 𝑛 más dos por 𝑛 más tres. Simplificamos esta fracción y obtenemos 10 sobre 𝑛 más uno por 𝑛 más dos por 𝑛 más tres. Como 𝑛 se encuentra entre uno y ∞, 𝑛 debe ser mayor o igual que uno. Para cualquier valor de 𝑛 que sea mayor o igual que uno, esta fracción de aquí, que es 𝑎 𝑛 menos 𝑎 𝑛 más uno, debe ser mayor que cero. Esto es porque todos los términos de esta fracción serán positivos. Así que hemos comprobado la condición exigida de que 𝑎 𝑛 sea una sucesión decreciente. O sea, también hemos verificado la segunda condición del criterio de Leibniz.
A partir de esto, llegamos a la conclusión de que la serie de la forma sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de menos uno elevado a 𝑛 más uno por cinco sobre 𝑛 más uno menos cinco sobre 𝑛 más dos converge.
Ahora veamos lo que sucede si las condiciones del criterio de Leibniz no son satisfechas.
Supongamos que tenemos la serie alternada de la forma sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de menos uno elevado a 𝑛 de 𝑎 𝑛. Y digamos que la primera condición del criterio de Leibniz no se satisface. Así que el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑎 𝑛 es distinto de cero. No podemos decir directamente que esta serie es divergente, pues esto no se establece en el criterio de Leibniz. Pero conocer esta información sobre 𝑎 𝑛 puede sernos bastante útil, sobre todo si tenemos en cuenta la prueba de la divergencia.
Recordamos que la prueba de la divergencia dice que, para una serie de la forma sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑏 𝑛, si el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑏 𝑛 es distinto de cero, entonces la serie diverge. En el caso de nuestra serie alternada, 𝑏 𝑛 es igual a menos uno elevado a 𝑛 por 𝑎 𝑛. Para comprobar si esta serie alternada es divergente, debemos hallar el límite de 𝑏 𝑛 cuando 𝑛 tiende a ∞. Esto es igual al límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de menos uno elevado a 𝑛 por 𝑎 𝑛.
Si aplicamos las propiedades de los límites, tenemos que el límite de un producto es igual al producto de los límites. Por lo tanto, nuestro límite aquí es igual al límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de menos uno elevado a 𝑛 por el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑎 𝑛. Y como hemos dicho, el segundo límite, que es el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑎 𝑛, es distinto de cero.
Hay dos problemas que pueden presentarse aquí. En primer lugar, puede que este límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑎 𝑛 no exista. Si este es el caso, nuestro límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de menos uno elevado a 𝑛 de 𝑎 𝑛 tampoco existe. Esto implica que el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑏 𝑛 no existe. Por lo tanto, se satisface la condición de la prueba de la divergencia, pues es distinto de cero. Así que deducimos que nuestra serie es divergente. En segundo lugar, puede que nuestro límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑎 𝑛 exista y sea igual a alguna constante, a la que llamaremos 𝑐, siendo 𝑐 distinto de cero. Si este es el caso, entonces el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de menos uno elevado a 𝑛 por 𝑎 𝑛, que es también el límite de 𝑏 𝑛 será igual a 𝑐 por el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de menos uno elevado a 𝑛.
A medida que 𝑛 aumenta, menos uno elevado a 𝑛 seguirá alternando entre menos uno y más uno. Así que no se acercará a ningún valor en particular. Por lo tanto, diremos que este límite no existe. Así que el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑏 𝑛 tampoco existe. De esta forma hemos satisfecho la condición de la prueba de la divergencia de nuevo. Y concluimos que nuestra serie alternada es divergente. Este puede ser un método bastante útil para determinar la divergencia de una serie alternada en el caso en el que la serie alternada no cumpla la primera condición del criterio de Leibniz.
Veamos otro ejemplo.
Determina si la serie de la forma sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de menos uno elevado a 𝑛 por 𝑛 al cuadrado más tres sobre cinco 𝑛 al cuadrado menos uno converge o diverge.
Como ves, esta serie tiene pinta de ser una serie alternada. Una serie alternada es una serie de la forma que vemos aquí, donde 𝑎 𝑛 es mayor que cero para todos los valores de 𝑛. En nuestro caso, 𝑎 𝑛 es igual a 𝑛 al cuadrado más tres sobre cinco 𝑛 al cuadrado menos uno. Y es fácil de ver que tanto el numerador como el denominador de la fracción son positivos para todo 𝑛 mayor o igual que uno. Por lo tanto, es cierto que 𝑎 𝑛 es mayor que cero para todos los valores de 𝑛. Así que estamos ante una serie alternada. Por consiguiente, podemos aplicar el criterio de Leibniz.
Este criterio dice que una serie de la forma sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de menos uno elevado a 𝑛 de 𝑎 𝑛, donde 𝑎 𝑛 es mayor que cero para todos los valores 𝑛 converge. Si, en primer lugar, el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑎 𝑛 es igual a cero. Y si, en segundo lugar, 𝑎 𝑛 es una sucesión decreciente. Vamos a comenzar hallando el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑛 al cuadrado más tres sobre cinco por 𝑛 al cuadrado menos uno. Dividimos el numerador y el denominador por la potencia de 𝑛 de mayor exponente. Eso es 𝑛 al cuadrado. Y obtenemos el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de uno más tres sobre 𝑛 al cuadrado sobre cinco menos uno sobre 𝑛 al cuadrado.
Cuando 𝑛 tiende a ∞, es decir, cualquier término con 𝑛 en el denominador. Y eso es tres sobre 𝑛 al cuadrado y menos uno sobre 𝑛 al cuadrado, tenderán a cero. Y obtenemos que este límite es igual a un quinto. Un quinto no es igual a cero. Así que no se cumple la primera condición del criterio de Leibniz. Por consiguiente, según el criterio de Leibniz no podemos decir que esta serie converja. No obstante, vamos a tratar de aplicar la prueba de la divergencia a esta serie.
La prueba de la divergencia nos dice que, si para la sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de 𝑏 𝑛, el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑏 𝑛 es distinto de cero, la serie diverge. En nuestro caso, 𝑏 𝑛 es igual a menos uno elevado a 𝑛 por 𝑛 al cuadrado más tres sobre cinco 𝑛 al cuadrado menos uno. Y esto también es igual a menos uno elevado a 𝑛 de 𝑎 𝑛. De este modo, el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑏 𝑛 es igual al límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de menos uno elevado a 𝑛 por 𝑎 𝑛. Y podemos descomponer esto usando la propiedad de los límites que establece que el límite del producto es igual al producto de los límites. Y obtenemos que el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de menos uno elevado a 𝑛 por el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑎 𝑛.
Ya hemos hallado que el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑎 𝑛 es igual a un quinto. Ahora vamos a considerar el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de menos uno elevado a 𝑛. A medida que 𝑛 aumenta, menos uno elevado a 𝑛 estará alternando entre menos uno y uno. Así que no podemos decir que este límite tiende a un valor particular. Por consiguiente, este límite no existe. Y como este límite no existe, esto quiere decir que el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑏 𝑛 tampoco existe. Y como no existe, este límite no es igual a cero. Y se cumple, pues, la condición de la prueba de la divergencia. Así que concluimos que la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de menos uno elevado a 𝑛 por 𝑛 al cuadrado más tres sobre cinco 𝑛 al cuadrado menos uno es divergente.
Veamos lo que ocurre cuando nuestra sucesión 𝑎 𝑛 no es decreciente para todos los términos. Si tenemos una serie alternada, que es la suma desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de menos uno elevado a 𝑛 de 𝑎 𝑛 y vemos que la sucesión 𝑎 𝑛 no es decreciente para todos los valores de 𝑛. La verdad es que, en la mayoría de los casos, no hay mucho que podamos hacer aquí. Esta serie probablemente no cumpla el criterio de Leibniz y no podamos hacer nada. No obstante, hay algunos casos en los que hay algo que sí podemos hacer.
Supongamos que 𝑎 𝑛 no es decreciente para todos los valores de 𝑛, pero sí es decreciente para 𝑛 mayor o igual que 𝑁 mayúscula, donde 𝑁 mayúscula es un número mayor que uno. Si este es el caso, podemos reescribir la serie alternada. Podemos reescribirla como el sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta 𝑁 mayúscula de menos uno elevado a 𝑛 por 𝑎 𝑛 más el sumatorio desde 𝑛 igual a 𝑁 mayúscula hasta ∞ de menos uno elevado a 𝑛 por 𝑎 𝑛. Podemos decir que esta serie de la izquierda es finita siempre y cuando cada uno de los términos – esto es menos uno elevado a 𝑛 por 𝑎 𝑛 - sea finito.
Si observamos la serie de la derecha, vemos que se trata de una serie alternada para la que nuestra sucesión 𝑎 𝑛 es decreciente. Por lo tanto, siempre y cuando el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑎 𝑛 sea igual a cero, esta serie alternada satisface el criterio de Leibniz. Así que es convergente. Como la suma de estas dos series es igual a la serie alternada original. Si la serie de la izquierda es finita y la serie de la derecha converge, entonces la serie desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de menos uno elevado a 𝑛 de 𝑎 𝑛 también converge. Esto puede ser algo a tener en cuenta cuando aplicamos el criterio de Leibniz, sobre todo cuando la serie alternada no satisface la segunda condición del criterio.
Ahora que hemos visto algunos ejemplos de aplicación del criterio de Leibniz y una variedad de métodos que podemos utilizar cuando aplicamos este criterio, vamos a resumir algunos puntos clave del vídeo.
Puntos clave
Una serie alternada es una serie de la forma sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de menos uno elevado a 𝑛 de 𝑎 𝑛 o sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de menos uno elevado a 𝑛 más uno por 𝑎 𝑛, donde 𝑎 𝑛 es mayor que cero para todos los valores de 𝑛. Hemos de tener cuidado, porque a veces menos uno elevado a 𝑛 puede aparecer de una forma distinta, por ejemplo, como coseno de 𝑛 𝜋.
El criterio de Leibniz: para una serie alternada de la forma sumatorio desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de menos uno elevado a 𝑛 de 𝑎 𝑛. Si, en primer lugar, el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑎 𝑛 es igual a cero y si, en segundo lugar, la sucesión 𝑎 𝑛 es una sucesión decreciente, entonces la serie converge. El criterio de Leibniz solo nos sirve para identificar series convergentes, no series divergentes. Sin embargo, la prueba de la divergencia puede ser un buen método que podemos aplicar si la primera condición del criterio de Leibniz no se cumple. Esto es, si el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑎 𝑛 es distinto de cero.
Es posible que en ocasiones tengamos que descomponer la serie si la sucesión 𝑎 𝑛 es solo decreciente para 𝑛 mayor o igual que 𝑁 mayúscula. Si este es el caso, podemos reescribir nuestra serie como la suma desde 𝑛 igual a uno hasta 𝑁 mayúscula menos uno de menos uno elevado a 𝑛 por 𝑎 𝑛 más la suma desde 𝑛 igual a 𝑁 mayúscula hasta ∞ de menos uno elevado a 𝑛 por 𝑎 𝑛. El caso en el que debemos hacer esto es cuando no se cumpla la segunda condición del criterio de Leibniz y nuestra sucesión 𝑎 𝑛 solo sea decreciente para 𝑛 mayor o igual que 𝑁 mayúscula. En este caso, descompondremos nuestra serie de esta forma y obtendremos una serie finita más una serie infinita convergente, obteniendo así que nuestra serie alternada original es convergente.
