Transcripción del vídeo
En este vídeo vamos a aprender cómo utilizar las propiedades de la integral definida, como la del orden de los límites de integración, la de los intervalos de anchura nula, y las de la suma y resta. También veremos cómo pueden ayudarnos estas propiedades a resolver problemas de integrales definidas.
Cuando definimos la integral definida, esto es, la integral entre 𝑎 y 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥, supusimos implícitamente que 𝑎 es menor que 𝑏. Pero si consideramos la definición de la integral definida que dice que es el límite de las sumas de Reimann, vemos que esto sigue siendo válido si 𝑎 es mayor que 𝑏. Ocurre, no obstante, que, si intercambiamos 𝑎 y 𝑏, Δ𝑥 cambia a 𝑎 menos 𝑏 partido por 𝑛. De este modo, hallamos que la integral definida entre 𝑏 y 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual a menos la integral definida entre 𝑎 y 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥. Ocurre además que, si 𝑎 es igual a 𝑏, entonces Δ𝑥 vale cero. Y, por lo tanto, la integral definida entre 𝑎 y 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual a cero. Ahora vamos a ver otras propiedades básicas de la integral definida.
No vamos a demostrar estas propiedades de forma detallada, pues no forma parte del objetivo de este vídeo. Sin embargo, es útil conocer de dónde provienen. Supongamos que tenemos dos funciones, 𝑓 y 𝑔, que son continuas. La propiedad que vamos a ver ahora es la que dice que la integral definida entre 𝑎 y 𝑐 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual a la integral definida entre 𝑎 y 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 más la integral definida entre 𝑏 y 𝑐 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥. Geométricamente, esta propiedad significa lo siguiente. Estamos considerando la integral definida como el área entre la curva y el eje de las 𝑥. Así que el área total entre la curva y el eje de las 𝑥 que está delimitada por las rectas 𝑥 igual a 𝑎 y 𝑥 igual a 𝑐, debe ser igual al área entre las rectas 𝑥 igual a 𝑎 y 𝑥 igual a 𝑏 más el área entre las rectas 𝑥 igual a 𝑏 y 𝑥 igual a 𝑐.
Para un valor constante 𝑐, la integral definida entre 𝑎 y 𝑏 de 𝑐 con respecto a 𝑥 es 𝑐 por 𝑏 menos 𝑎. En otras palabras, la integral de una función constante 𝑐 es esa constante multiplicada por la longitud del intervalo de integración. Si decimos que 𝑐 es mayor que cero y 𝑎 es menor que 𝑏, esto es lo que obtenemos. Pues 𝑐 por 𝑏 menos 𝑎 es el área del rectángulo que se muestra. La siguiente propiedad dice que la integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones. Por lo tanto, para las funciones positivas, el área que se encuentra bajo 𝑓 más 𝑔 es igual al área bajo 𝑓 más el área bajo 𝑔.
Análogamente, la integral de una constante por una función es igual a esa constante multiplicada por la integral de la función. A continuación, si combinamos las dos propiedades anteriores, hallamos que la integral de la resta de dos funciones es igual a la integral de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 más menos uno por la integral de 𝑔 de 𝑥 con respecto a 𝑥. Y eso debe ser igual a la resta de las integrales de estas dos funciones. Veamos ahora un ejemplo en el que debemos aplicar alguna de estas propiedades.
La función 𝑓 es continua en el intervalo cerrado de menos cuatro a cuatro, y es tal que la integral definida entre cero y cuatro de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual a nueve. Determina la integral definida entre cero y cuatro de 𝑓 de 𝑥 menos seis con respecto a 𝑥.
Para resolver este problema debemos repasar primero las propiedades básicas de la integral definida. En primer lugar, sabemos que la integral de la suma de dos funciones es igual a la suma de las integrales de cada función. Del mismo modo, la integral de la resta de dos funciones es igual a la resta de las integrales de esas funciones. Esto quiere decir que podemos reescribir la integral como la integral entre cero y cuatro de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 menos la integral entre cero y cuatro de seis con respecto a 𝑥. Sabemos, además, que para una función constante 𝑐, la integral definida entre 𝑎 y 𝑏 de 𝑐 con respecto a 𝑥 es igual a 𝑐 por 𝑏 menos 𝑎.
La constante 𝑐 vale seis, 𝑎 es igual a cero y 𝑏 es igual a cuatro. Así que la integral definida entre cero y cuatro de seis con respecto a 𝑥 es seis por cuatro menos cero, que es 24. Para resolver este ejercicio, sustituimos la integral entre cero y cuatro de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 por nueve. Y obtenemos que la integral de 𝑓 de 𝑥 menos seis entre los límites de cero y cuatro con respecto a 𝑥 es nueve menos 24. Eso es menos 15. De esta forma, a pesar de no conocer la función 𝑓, hemos hallado que la integral definida entre cero y cuatro de 𝑓 de 𝑥 menos seis con respecto a 𝑥 es menos 15.
Veamos ahora otro ejemplo en el que debemos aplicar propiedades simples de la integral definida.
Sabiendo que la integral definida entre menos siete y ocho de 𝑔 de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual a 10, determina el valor de la integral definida entre ocho y menos siete de siete 𝑔 de 𝑥 con respecto a 𝑥.
Para resolver este problema tenemos que recordar dos propiedades concretas de la integral definida. La primera dice que la integral definida entre 𝑏 y 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual a menos la integral definida entre 𝑎 y 𝑏 de esa misma función con respecto a 𝑥. También sabemos que la integral definida entre 𝑎 y 𝑏 de una constante 𝑐 por 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual a 𝑐 por la integral definida de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥. Esta segunda propiedad nos viene de perlas, pues significa que podemos sacar la constante fuera de la integral para centrarnos en integrar la función.
Sacamos el factor constante de siete fuera de la integral. Al hacerlo, vemos que la integral definida que queremos calcular es igual a siete por la integral definida entre ocho y menos siete de 𝑔 de 𝑥 con respecto a 𝑥. En el enunciado se nos ha dicho que la integral definida entre menos siete y ocho de nuestra función es igual a 10. Así que usamos la primera propiedad que hemos escrito para reescribir la integral definida entre ocho y menos siete de 𝑔 de 𝑥 con respecto a 𝑥 como menos la integral definida entre menos siete y ocho de 𝑔 de 𝑥 con respecto a 𝑥.
Esto puede simplificarse. De modo que nuestra integral es igual a menos siete por la integral definida entre menos siete y ocho de 𝑔 de 𝑥 con respecto a 𝑥. Sabemos que esa integral definida es igual a 10. Así que nuestra integral definida es menos siete por 10, que es menos 70.
Una de las ventajas de las propiedades que hemos visto hasta ahora es que se cumplen para valores de 𝑎 menores que 𝑏, valores de 𝑎 mayores que 𝑏 y valores de 𝑎 iguales a 𝑏. No obstante, hay algunas propiedades que pueden aplicarse solo cuando 𝑎 es menor o igual a 𝑏. Estas propiedades se conocen como propiedades de comparación de la integral. Esto se debe a que nos permiten comparar el valor de las integrales definidas.
La primera propiedad dice que, si 𝑓 de 𝑥 es mayor o igual a cero, donde 𝑥 está en el intervalo cerrado 𝑎, 𝑏, entonces la integral definida entre 𝑎 y 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 también será mayor que cero. Esto tiene sentido si pensamos en la integral definida como el área entre la gráfica de 𝑓 y el eje de las 𝑥. La interpretación geométrica es que el área aquí es positiva. Pues se encuentra por encima del eje de las 𝑥. La segunda propiedad dice que una función mayor tiene una integral mayor. Esto tiene sentido geométricamente, y también puede deducirse de la primera propiedad, pues 𝑓 menos 𝑔 debe ser mayor o igual a cero.
Con la tercera propiedad debemos esforzarnos un poquito más. Si 𝑓 es continua, y 𝑚 minúscula y 𝑀 mayúscula son los valores mínimo y máximo absolutos, respectivamente, de 𝑓 en el intervalo cerrado 𝑎, 𝑏. Entonces, esta propiedad nos dice que el área bajo la gráfica de 𝑓 es mayor que el área del rectángulo con una altura 𝑚 minúscula pero menor que el área de un rectángulo con una altura 𝑀 mayúscula.
Veamos ahora un ejemplo en el que debemos aplicar estas propiedades.
Supongamos que en el intervalo cerrado de menos dos a cinco, los valores de 𝑓 se encuentran en el intervalo cerrado 𝑚 minúscula, 𝑀 mayúscula. ¿Entre qué cotas se encuentra la integral definida entre menos dos y cinco de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥?
Para resolver este ejercicio es necesario recordar una de las propiedades de comparación de las integrales. Esta dice que, si 𝑓 de 𝑥 es mayor o igual a 𝑚 minúscula y menor o igual a 𝑀 mayúscula para valores de 𝑥 en el intervalo cerrado entre 𝑎 y 𝑏. Entonces, 𝑀 por 𝑏 menos 𝑎 es menor o igual a la integral definida entre 𝑎 y 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥, que a su vez es menor o igual a 𝑀 mayúscula por 𝑏 menos 𝑎. En otras palabras, como 𝑚 minúscula es el mínimo absoluto de 𝑓 y 𝑀 mayúscula es el máximo absoluto de 𝑓, el área bajo la gráfica de 𝑓 es mayor que el área del rectángulo de altura 𝑚 minúscula. Pero es menor que el área del rectángulo con altura 𝑀 mayúscula.
En este problema hacemos 𝑎 igual a menos dos y 𝑏 igual a cinco. Y vemos que 𝑀 por cinco menos menos dos es menor o igual a la integral definida entre menos dos y cinco de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 que, a su vez, es menor o igual a 𝑀 mayúscula por cinco menos menos dos. Cinco menos menos dos es siete. De esta forma hemos obtenido que nuestra integral definida debe ser mayor o igual a siete 𝑚 y menor o igual a siete 𝑀 mayúscula.
Las últimas propiedades que vamos a ver se refieren a la integración de funciones pares e impares. Como ya hemos visto en vídeos anteriores, si una función es impar, 𝑓 de menos 𝑥 es igual a menos 𝑓 de 𝑥. Y decimos que una función es par si 𝑓 de menos 𝑥 es igual a 𝑓 de 𝑥. Geométricamente, la gráfica de una función impar tiene simetría central con respecto al origen de coordenadas. Por ejemplo, 𝑦 igual a seno de 𝑥. Y la gráfica de una función par tiene simetría axial con respecto al eje 𝑦, la gráfica de 𝑦 igual a coseno de 𝑥, por ejemplo. Para el intervalo cerrado menos 𝑎, 𝑎, para una función impar, la integral definida entre menos 𝑎 y 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual a cero. Y para una función par, la integral es igual al doble de la integral definida entre cero y 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥.
Una vez más, esto es bien fácil de entender geométricamente. Hemos visto que una función par tiene simetría axial con respecto al eje 𝑦. Por lo tanto, si integramos entre menos 𝑎 y 𝑎 obtendremos un área del doble de tamaño que la que hay entre cero y 𝑎. Para una función impar, las áreas serán iguales en tamaño, pero estarán en lados opuestos del eje 𝑥, por lo que tendrán signos opuestos y se cancelarán entre sí.
Veamos un par de ejemplos sobre esto.
La función 𝑓 es impar, continua en el intervalo cerrado de menos uno a siete, y satisface que la integral definida entre uno y siete de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual a menos 17. Determina la integral definida entre menos uno y siete de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥.
El problema nos dice, en primer lugar, que la función 𝑓 es impar. Así que recordamos la siguiente propiedad de la integral definida de una función impar. La integral definida entre menos 𝑎 y 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual a cero. También se nos dice que la integral definida entre uno y siete de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual a menos 17. Así que vamos a descomponer la integral. Y escribimos que la integral que buscamos entre menos uno y siete de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual a la integral definida entre menos uno y uno de 𝑓 de 𝑥 más la integral definida entre uno y siete de 𝑓 de 𝑥.
Ahora bien, la función 𝑓 es impar. Así que por la primera propiedad, vemos que la integral definida entre menos uno y uno de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 debe ser igual a cero. Entonces, simplemente nos queda la integral definida entre uno y siete de 𝑓 de 𝑥 de la cuestión. Que vale menos 17. Esto significa que la integral definida que buscamos es igual a cero más menos 17, que es menos 17.
Veamos ahora un ejemplo con una función par.
La función 𝑓 es par, continua en el intervalo cerrado de menos ocho a ocho, y satisface que la integral definida entre menos ocho y ocho de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual a 19 y que la integral definida entre cero y cuatro de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual a 13. Determina la integral definida entre menos ocho y menos cuatro de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥.
Comenzamos recordando la propiedad de la integral de una función par, que dice que la integral definida entre menos 𝑎 y 𝑎 de una función par es igual al doble de la integral definida entre cero y 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥. Queremos hallar la integral definida entre menos ocho y menos cuatro de la función par. Y vamos a hacerlo en dos partes. La descomponemos y decimos que la integral definida debe ser igual a la integral entre menos ocho y cero menos la integral entre menos cuatro y cero. Ahora, vamos a plantear una ecuación usando la primera parte de la integral y el hecho de que la función es par.
La integral definida entre menos ocho y ocho de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 debe ser el doble de la integral definida entre cero y ocho de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥. También se deduce que esto debe ser igual al doble de la integral definida entre menos ocho y cero de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥. En el enunciado se nos dijo que la integral definida entre menos ocho y ocho de 𝑓 de 𝑥 es 19. Así que hacemos 19 igual al doble de la integral definida que estamos buscando. Seguidamente dividimos ambos lados de la ecuación por dos. Y obtenemos que esto es igual a 19 medios. Por lo tanto, la integral que buscamos es igual a 19 medios menos la integral definida entre menos cuatro y cero de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥.
Ahora usamos otra vez que la función es par. Así que esto debe, a su vez, ser igual a 19 medios menos la integral definida entre cero y cuatro de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥. Recuerda que esto se debe a que las funciones pares son simétricas con respecto al eje 𝑦. El problema nos dice que esta integral definida es igual a 13. Por lo tanto, hemos de calcular 19 medios menos 13, así que escribimos 13 como 26 medios. Así que tenemos 19 medios menos 26 medios, que es menos siete medios. De esta forma hemos hallado la integral definida entre menos ocho y menos cuatro de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥. Y vale menos siete medios.
En este vídeo hemos visto algunas propiedades básicas de las integrales que nos han ayudado a calcular fácilmente algunas integrales. Para una función continua 𝑓, la integral definida entre 𝑏 y 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual a menos la integral definida entre 𝑎 y 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥. Hemos aprendido que la integral de una función constante 𝑐 es la constante multiplicada por la longitud del intervalo. Y que la integral de la suma o resta de dos funciones continuas es igual a la suma o resta de las integrales de cada una de esas funciones. Además, hemos visto que podemos sacar un factor constante fuera de la integral para centrarnos en integrar el resto de la función.
Hemos aprendido que las propiedades de comparación de la integral se pueden aplicar solo cuando 𝑏 es mayor o igual que 𝑎. La primera de ellas dice que, si 𝑓 de 𝑥 es mayor o igual a cero, entonces la integral definida entre 𝑎 y 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 también es mayor o igual a cero. Una función mayor tiene una integral mayor. Y si 𝑚 minúscula y 𝑀 mayúscula son los valores mínimo y máximo absolutos de 𝑓 en el intervalo cerrado entre 𝑎 y 𝑏, entonces el área bajo la gráfica de 𝑓 debe ser mayor que el área del rectángulo con altura 𝑚 minúscula y menor que el área del rectángulo con altura 𝑀 mayúscula.
Por último hemos visto que, si una función es par o impar en un intervalo cerrado de menos 𝑎 a 𝑎, entonces podemos aplicar las siguientes propiedades. Si la función es impar, la integral definida entre menos 𝑎 y 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 es cero. Y si la función es par, la integral vale el doble de la integral definida entre cero y 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥.
