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Vídeo de la lección: Pendientes de rectas paralelas y de rectas perpendiculares

En este vídeo vamos a aprender cómo usar el concepto de pendiente para determinar si dos rectas son paralelas o perpendiculares y cómo usar estas relaciones geométricas para resolver problemas.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a hablar de rectas paralelas y perpendiculares y a trabajar con ellas. Antes de comenzar conviene repasar las definiciones de los términos paralelo y perpendicular, seguidamente veremos sus ecuaciones y a continuación resolveremos cuestiones. Dos rectas son paralelas si están en el mismo plano, y siempre se encuentran a la misma distancia. Otra popular característica de las rectas paralelas es que nunca se cortan. Y, por tanto, si tenemos dos rectas que son la misma recta, es decir, una es igual a la otra, entonces no son rectas paralelas porque se intersecan en un número infinito de puntos distintos. Por lo tanto, aunque siempre están a la misma distancia, cero, no las consideramos rectas paralelas porque se cortan.

Veamos ahora una cuestión en la que tenemos dos rectas distintas. Ambas se encuentran en el plano de coordenadas 𝑥𝑦 y son paralelas. No importa desde dónde midamos la distancia entre ellas, siempre obtendremos la misma respuesta. Dos rectas son perpendiculares si forman un ángulo recto en su punto de intersección, como aquí. Estas dos rectas de aquí están en el plano de coordenadas 𝑥𝑦 y se intersecan en el punto dos, cero. Y el ángulo entre ellas es de 90 grados. En el resto de este vídeo, solo vamos a trabajar con rectas que están en el plano de coordenadas 𝑥𝑦. Y consideraremos, además, las ecuaciones de estas rectas para saber si son paralelas o perpendiculares.

La ecuación de una recta es una parte muy importante en este vídeo, así que vamos a ver rápidamente a qué nos referimos con 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑏. La ecuación explícita de una recta es 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑏, la cual también se escribe a veces 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑐. El valor de 𝑚, el coeficiente de 𝑥, el número que multiplica a la 𝑥, nos da la pendiente de la recta. Y el valor de 𝑏 nos dice dónde corta la recta el eje de las 𝑦. La pendiente, o el gradiente, de la recta se define como la cantidad en la que cambia la coordenada 𝑦, es decir, cuando aumentamos la coordenada 𝑥 en una unidad.

Como ves, hemos señalado dos puntos A y B en la recta y hemos aumentado la coordenada 𝑥 en una unidad para pasar de A a B. Así que la diferencia en sus coordenadas 𝑥 es más uno. Al hacer esto, vemos que la diferencia en las coordenadas 𝑦 de A a B será un aumento de 𝑚. Así que cualquiera que sea este valor, es la cantidad en la que aumenta la coordenada 𝑦 cada vez que aumentamos la coordenada 𝑥 en una unidad, moviéndonos a lo largo de la recta. Por lo tanto, si esa recta hubiera sido, por ejemplo, 𝑦 igual a 0.5 𝑥 más tres, el coeficiente de 𝑥, o sea, la pendiente, el valor de 𝑚, sería 0.5. Esto significa que cada vez que aumentamos la coordenada 𝑥 en uno, la coordenada 𝑦 aumentará en 0.5.

Por lo tanto, si escribimos la ecuación de la recta en la forma 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑏, resulta muy fácil identificar la pendiente de la recta. Basta con fijarse en el coeficiente de 𝑥, el número que multiplica a 𝑥; esa es la pendiente. Veamos una segunda cuestión.

¿Cuál de las siguientes rectas tiene la misma pendiente o gradiente? Se nos dan cinco rectas. A es 𝑦 igual a tres 𝑥 menos siete. B es 𝑦 igual a menos un medio de 𝑥 más tres. C es 𝑦 igual a menos tres 𝑥 más siete. D es 𝑦 igual a menos un medio de 𝑥 más cinco. Y E es 𝑦 igual a tres 𝑥 más nueve. Como ves, todas estas ecuaciones ya están en la forma 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑏, así que lo que tenemos que hacer es fijarnos en los coeficientes de 𝑥. Y si son el mismo número (con el mismo signo), entonces tendrán la misma pendiente o gradiente.

B y D tienen la misma pendiente, o gradiente, de menos un medio. Y A y E tienen la misma pendiente de tres. C tiene una pendiente de menos tres, por lo que es un signo diferente a A y E. Así que no tiene la misma pendiente o gradiente. Cuando dos rectas tienen la misma pendiente o gradiente, decimos que son rectas paralelas. Por lo tanto, aquí A es paralela a E y B es paralela a D.

Como ves, podemos identificar rectas paralelas fijándonos en sus ecuaciones, siempre y cuando estén en la forma 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑏. Entonces, si consideramos la pendiente de las rectas perpendiculares, si dos rectas son perpendiculares, entonces el producto de sus pendientes, o gradientes, es menos uno.

¿Por qué ocurre esto? Veamos. Aquí se nos dan dos rectas, 𝐿 uno, que tiene como ecuación 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑎, y 𝐿 dos, que tiene como ecuación 𝑦 igual a 𝑛𝑥 más 𝑏. Vamos a tomar el punto de intersección y luego un punto en cada una de esas rectas que tenga una coordenada 𝑥 que es una unidad mayor que la coordenada 𝑥 en el punto de intersección. En la recta uno, la diferencia en las coordenadas 𝑦 entre esos dos puntos, este y este, será 𝑚. Y para la recta dos, la diferencia en esas coordenadas será 𝑛. Bueno, de hecho, va a ser menos 𝑛. La recta dos es descendente, lo que significa que tendrá una pendiente negativa.

Veamos cuál es la distancia aquí. Es una distancia positiva. Así que necesitamos tomar el signo negativo de la pendiente negativa para calcular cuál será la distancia real. Si definimos estos tres puntos como A, B y C, sabemos que el triángulo ABC es un triángulo rectángulo porque las dos rectas son perpendiculares. Así que el ángulo ABC es un ángulo recto. Y en triángulos rectángulos, podemos usar el teorema de Pitágoras para decir que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Por lo tanto, la longitud AC al cuadrado es igual a la longitud AB al cuadrado más la longitud BC al cuadrado. Y sabemos que la longitud AC es 𝑚 más menos 𝑛. Así que AC al cuadrado es 𝑚 más menos 𝑛, todo al cuadrado. Si observamos de nuevo el diagrama, podemos ver que tenemos dos triángulos rectángulos más. Tenemos este de aquí y este de aquí.

Y, de nuevo, podemos usar el teorema de Pitágoras para calcular la longitud de la hipotenusa de cada triángulo. Sabemos que el triángulo superior tiene una altura de ℎ y una anchura de —perdón— una altura de 𝑚 y una anchura de uno. Y el triángulo inferior tiene una altura de menos 𝑛 y una anchura de uno. Así que las longitudes AB y BC son la raíz cuadrada de 𝑚 al cuadrado más uno al cuadrado y la raíz cuadrada de menos 𝑛, todo al cuadrado más uno al cuadrado. Y ahora podemos empezar a simplificar esto. 𝑚 más menos 𝑛 es 𝑚 menos 𝑛. Así que el lado izquierdo se convierte en 𝑚 menos 𝑛, todo al cuadrado. La raíz cuadrada de 𝑚 al cuadrado más uno al cuadrado es 𝑚 al cuadrado más uno. Y menos 𝑛, todo al cuadrado es 𝑛 al cuadrado. Así que la raíz cuadrada de menos 𝑛 todo al cuadrado más uno todo al cuadrado es 𝑛 al cuadrado más uno.

Ahora, 𝑚 menos 𝑛, todo al cuadrado significa 𝑚 menos 𝑛 por 𝑚 menos 𝑛 y, si reorganizamos el lado derecho, obtenemos 𝑚 al cuadrado más 𝑛 al cuadrado más dos. Ahora, multiplicando cada término en el primer paréntesis por cada término en el segundo paréntesis en el lado izquierdo, obtenemos 𝑚 al cuadrado menos dos 𝑚𝑛 más 𝑛 al cuadrado. Así que restamos 𝑚 al cuadrado de ambos lados y 𝑛 al cuadrado de ambos lados para eliminar 𝑚 al cuadrado de ambos lados y 𝑛 al cuadrado de ambos lados. De esta forma obtenemos menos dos 𝑚𝑛 igual a dos. Ahora bien, si dividimos ambos lados por menos dos, obtenemos 𝑚 por 𝑛 igual a dos partido por menos dos, que es menos uno. Recordemos que 𝑚 es la pendiente de la primera recta y que 𝑛 es la pendiente de la segunda recta. Así que 𝑚𝑛 es el producto de las pendientes de las dos rectas. Hemos demostrado, pues, que, si dos rectas son perpendiculares, no importa cuáles sean sus pendientes, cuando las multiplicamos, siempre obtenemos este resultado de menos uno.

Si te has perdido durante los cálculos, no te preocupes. No es necesario que te acuerdes de la demostración. Esto es lo que debes recordar. Si dos rectas son perpendiculares, entonces el producto de sus pendientes, o gradientes, es menos uno. Por lo tanto, si 𝑚 es la pendiente de la primera recta y 𝑛 es la pendiente de la segunda recta, entonces 𝑚 por 𝑛 es igual a menos uno. Si dividimos ambos lados por 𝑛, obtendremos 𝑚 igual a menos uno partido por 𝑛. Si dividimos ambos lados por 𝑚, obtendremos 𝑛 igual a menos uno partido por 𝑚. En otras palabras, cada pendiente es el recíproco opuesto de la otra. Esto significa que, si conocemos una de las pendientes, podremos hallar la pendiente perpendicular cambiando el signo y dándole la vuelta al número.

Por ejemplo, si 𝑚 es cinco, 𝑛 es menos uno partido por cinco, el recíproco del número con el signo cambiado. Si 𝑚 es menos tres, y tomamos el signo opuesto para hacerlo positivo y le damos la vuelta al número, menos tres partido por uno se convierte en un tercio. Y si 𝑚 es igual a dos tercios, 𝑛 será menos tres medios. Por lo tanto, conocer esta regla significa que, si conocemos el gradiente, o la pendiente, de una recta determinada, es muy fácil calcular el gradiente, o la pendiente, de una recta perpendicular a esa.

Resumiendo, decimos que dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente pero distinta ordenada 𝑦 en el origen. Por ejemplo, 𝑦 igual a siete 𝑥 menos cinco y 𝑦 igual a siete 𝑥 más dos. Ambas rectas tienen una pendiente de siete y distinta ordenada 𝑦 en el origen, menos cinco y más dos, por lo que son paralelas. Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a menos uno. Por ejemplo, 𝑦 igual a tres 𝑥 menos uno y 𝑦 igual a menos un tercio 𝑥 más nueve. La pendiente de la primera recta es tres y la pendiente de la segunda recta es menos un tercio. Así que el producto de estas pendientes es tres por menos un tercio. Pero tres es igual a tres partido por uno, así que para tener un producto de fracciones, hacemos tres partido por uno multiplicado por menos uno partido por tres. Eso es menos tres tercios, que es menos uno. Como ves, se cumple el criterio, por lo que las rectas son perpendiculares.

Veamos otro ejemplo, 𝑦 igual a menos dos séptimos de 𝑥 más ocho y 𝑦 igual a siete medios de 𝑥 más ocho. Las pendientes son menos dos séptimos y siete medios. Son el recíproco opuesto la una de la otra. Si multiplicamos las pendientes, menos dos séptimos por siete medios, obtenemos menos catorce sobre catorce, que es igual a menos uno. Así que estas dos rectas son perpendiculares. Y con las rectas perpendiculares, no importa que el punto de intersección sea más ocho en ambos casos. Las pendientes son distintas, por lo que son rectas distintas. Son claramente perpendiculares. Veamos ahora algunos problemas de rectas típicos.

Dos rectas, A y B, tienen pendientes tres cuartos y menos cuatro tercios, respectivamente. ¿Son paralelas, perpendiculares o ni paralelas ni perpendiculares?

Bueno, las pendientes no son iguales, así que no son paralelas. Ahora bien, si multiplicamos estas pendientes, obtendremos tres cuartos por menos cuatro tercios, que es menos doce partido por doce, que es menos uno. Así que estas rectas son perpendiculares.

¿Cuáles de las siguientes rectas son paralelas entre sí? Se nos dan cinco ecuaciones. A) 𝑦 igual a ocho 𝑥 menos cinco. B) Dos 𝑦 igual a ocho 𝑥 más tres. C) Ocho 𝑥 menos 𝑦 más dos igual a cero. D) Un medio de 𝑦 menos cuatro 𝑥 igual a doce. Y E) 𝑦 igual a menos un octavo 𝑥 más siete.

Las ecuaciones A y E están en la forma 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑏, por lo que resulta sencillo identificar la pendiente. En cuanto a las rectas B, C y D, tendremos que reorganizar sus ecuaciones para llevarlas a la forma explícita y poder identificar sus pendientes. En la ecuación B vamos a dividir ambos lados de la ecuación por dos. En el lado izquierdo obtenemos un medio de dos 𝑦, que es 𝑦. Seguidamente dividimos cada término del lado derecho por dos, un medio de ocho 𝑥 es cuatro 𝑥 y un medio de tres es tres medios. En la ecuación C sumamos 𝑦 en ambos lados, eliminando la variable del lado izquierdo, y obteniendo 𝑦 en el lado derecho. De esta forma obtenemos ocho 𝑥 más dos igual a 𝑦. Ahora tenemos que escribir esto al revés, 𝑦 igual a ocho 𝑥 más dos, porque esa es la forma con la que estamos familiarizados.

En cuanto a la ecuación D, necesitamos hacer alguna manipulación más. Los términos 𝑦 y 𝑥 están en el lado izquierdo, y en el lado derecho hay un número solo. Primero, sumamos cuatro 𝑥 en ambos lados, y obtenemos un medio de 𝑦 igual a, bueno, doce más cuatro 𝑥 o cuatro 𝑥 más doce. Seguidamente multiplicamos por dos ambos miembros de la ecuación para despejar 𝑦. Dos veces un medio de 𝑦 es 𝑦, dos veces cuatro 𝑥 es ocho 𝑥 y dos veces doce es veinticuatro. Ahora tenemos nuestras ecuaciones en la forma correcta. Así que hallar las pendientes es bastante sencillo, por lo que podemos ver qué rectas son paralelas entre sí. En A, la pendiente es ocho. En B, la pendiente es cuatro. En C, la pendiente es ocho. En D, la pendiente también es ocho. Y en E, la pendiente es menos un octavo. Por lo tanto, A, C y D tienen una pendiente de ocho. Así que la respuesta es que A, C y D son rectas paralelas.

Ahora tenemos que escribir la ecuación de una recta que es paralela a 𝑦 igual a ocho 𝑥 menos cuatro.

Como tiene que ser paralela, tiene que tener la misma pendiente de ocho. Así que tiene que empezar con 𝑦 igual a ocho 𝑥. Y luego podemos añadir lo que queramos porque no importa cuál sea el punto de intersección con el eje de las 𝑦. Seguirá siendo paralela a esta recta. Lo único que no debemos usar es ocho 𝑥 menos cuatro. No debemos usar la misma recta porque puede dar lugar a confusión porque en realidad no hay dos rectas sino solo una recta. Así que podemos escribir lo que queramos aquí, ocho 𝑥 más mil, por ejemplo. Veamos, esa es una recta paralela a 𝑦 igual a ocho 𝑥 menos cuatro.

Seguidamente tenemos que escribir la ecuación de una recta perpendicular a 𝑦 igual a tres 𝑥 menos dos.

Bueno, la pendiente es tres, por lo que la pendiente de esa recta perpendicular debe ser el recíproco negativo, por lo que es menos un tercio. Así que nuestra ecuación comenzará con 𝑦 igual a menos un tercio de 𝑥. Y podemos añadir lo que queramos. Podemos dejarlo como menos un tercio de 𝑥, o podemos sumar cualquier número para formar una recta perpendicular.

Ahora tenemos que escribir una ecuación para la recta que es paralela a 𝑦 igual un medio de 𝑥 más cinco y pasa por el punto seis, 10. Bueno, sabemos que la pendiente de la recta 𝑦 igual a un medio de 𝑥 más cinco tiene una pendiente de un medio. Entonces, si nuestra recta va a ser paralela a esta, también debe tener una pendiente de un medio. Y, como ya sabes, esa recta puede cortar el eje de las 𝑦 en cualquier punto, por lo que podríamos moverla hacia arriba o hacia abajo. Se nos dice que debe pasar por el punto seis, 10. Y eso significa que, cuando 𝑥 es seis, 𝑦 debe ser 10.

Y, si usamos la ecuación explícita 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑏, sabemos que la pendiente 𝑚 es igual a un medio. Ahora tenemos que hallar el valor de 𝑏. Pero conocemos las coordenadas de un punto que se halla en la recta: cuando 𝑥 es igual a seis, 𝑦 es igual a 10. Por lo tanto, si sustituimos 𝑥 y 𝑦 por seis y 10, obtendremos que 10 es igual a un medio por seis más 𝑏. Así que 10 es igual a tres más 𝑏. Y luego, restando tres de ambos lados, obtenemos que siete es igual a 𝑏. Ahora, como ya conocemos el valor de 𝑏; podemos terminar de resolver nuestra ecuación. 𝑦 es igual a un medio de 𝑥 más siete.

Por último, nos piden escribir una ecuación para la recta que es perpendicular a 𝑦 igual a tres cuartos de 𝑥 menos cuatro y pasa por el punto cuatro, 11.

Tenemos que hallar un gradiente, o pendiente, que sea perpendicular a tres cuartos. Así que la pendiente de nuestra recta perpendicular será menos cuatro tercios, el recíproco opuesto, recuerda. Tres cuartos por menos cuatro tercios es igual a menos uno. Eso significa que es una recta perpendicular. Así que tenemos la pendiente de la recta y también sabemos que pasa por el punto cuatro, 11. Por lo tanto, cuando 𝑥 es igual a cuatro, 𝑦 es igual a 11. Por lo tanto, usando la ecuación explícita 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑏, sabemos que 𝑚 es menos cuatro tercios. Y sabemos que, cuando 𝑥 es cuatro, 𝑦 vale 11. Así que vamos a usar esta información para hallar el valor de 𝑏.

11 es igual a menos cuatro tercios por cuatro más 𝑏. Bueno, cuatro es lo mismo que cuatro partido por uno. Así que tenemos un producto de fracciones, menos cuatro tercios multiplicado por cuatro partido entre uno. Así que 11 es igual a menos dieciséis tercios más 𝑏. Entonces, si sumamos dieciséis tercios a ambos lados, obtendremos que 11 más dieciséis tercios es igual a 𝑏. Y eso es 49 tercios. Sustituimos en nuestra ecuación original para obtener la respuesta, 𝑦 es igual a menos cuatro tercios de 𝑥 más 49 tercios.

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