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Problemas de valor inicial
En este vídeo vamos a aprender cómo hacer uso de un valor inicial dado para hallar
una solución particular de una ecuación diferencial de variables separables.
Vamos a empezar recordando qué es una ecuación diferencial separable. Es cualquier ecuación diferencial que puede expresarse en la forma d𝑦 sobre d𝑥
igual a 𝑔 de 𝑥 por 𝑓 de 𝑦. Por lo tanto, si en nuestra ecuación diferencial no podemos expresar su lado derecho
como una función solo de 𝑥 por una función solo de 𝑦, entonces no se trata de una
ecuación diferencial separable. Para hallar soluciones a las ecuaciones que sí son separables, vamos a hacer uso del
siguiente método.
En primer lugar, dividimos ambos lados por la función 𝑓 de 𝑦. Para que nuestra notación sea más fácil de entender, definimos una nueva función ℎ de
𝑦, que es igual a uno sobre 𝑓 de 𝑦. Un inciso rápido: es importante saber que, cuando 𝑓 de 𝑦 es igual a cero, tenemos
que dividir por cero. Por lo tanto, la solución no existirá. Pero no te preocupes, no vamos a tratar este asunto en este vídeo.
El segundo paso consiste en integrar ambos lados de la ecuación con respecto a
𝑥. Como ves, el lado izquierdo de la ecuación puede parecer un tanto complicado. Pero nos damos cuenta de que podemos aplicar la regla de la cadena para obtener que
d𝑦 sobre d𝑥, d𝑥 es igual a d𝑦. Usamos esto y obtenemos que la integral de ℎ de 𝑦 con respecto a 𝑦 es igual a la
integral de 𝑔 de 𝑥 con respecto a 𝑥. Antes de continuar, vamos a rebobinar un poco. Es probable que estés acostumbrado a ver este método aplicado de la siguiente
manera. En el paso donde teníamos ℎ de 𝑦 d𝑦 sobre d𝑥 igual a 𝑔 de 𝑥, a menudo d𝑦 sobre
d𝑥 es tratado como si fuera una fracción, obteniendo así la igualdad ℎ de 𝑦 d𝑦
igual a 𝑔 de 𝑥 d𝑥.
Ahora integramos ambos lados. Y, como por arte de magia, vemos que hemos llegado al mismo sitio. Es importante que tengas en cuenta que estos pasos que mostramos aquí a la derecha
deben considerarse como un atajo del método más riguroso que hemos mostrado
anteriormente. Habrás visto esto muchas veces, pues se emplea más a menudo porque requiere menos
trabajo. No obstante, es imprescindible conocer los pasos más rigurosos que fundamentan el
método. Por ejemplo, en nuestro atajo, hemos integrado con cierta ambigüedad ambos lados de
la ecuación. Mientras que, cuando lo hacemos más rigurosamente, vemos que estamos integrando ambos
lados con respecto a 𝑥. Pero el resultado en el lado izquierdo es una integral con respecto a 𝑦.
Muy bien, hagamos un poco de espacio para continuar aplicando nuestro método. Integramos ℎ de 𝑦 con respecto a 𝑦 y 𝑔 de 𝑥 con respecto a 𝑥, y obtenemos que 𝐻
mayúscula de 𝑦 más una constante, que denotamos 𝑐 uno, es igual a 𝐺 mayúscula de
𝑥 más una constante, que denotamos 𝑐 dos. Esto es así cuando 𝐻 mayúscula y 𝐺 mayúscula son las antiderivadas de ℎ minúscula y
𝑔 minúscula, respectivamente. ¡Ojo!: es importante prestar atención a estos dos términos 𝑐, que son constantes de
integración. Como son constantes, podemos simplificar restando primero 𝑐 uno en ambos lados y
redefiniendo seguidamente 𝑐 dos menos 𝑐 uno como una nueva constante, que
denotaremos 𝑐 tres.
Ya hemos hallado la solución general de nuestra ecuación diferencial. Es probable que sea una solución implícita. Recuerda que una solución explícita es aquella en la que la variable 𝑦 está
despejada a un lado de la igualdad y todo lo que tiene variable 𝑥 está en el otro
lado. Una solución implícita no es de esta forma. Ambas soluciones son válidas. Pero estamos acostumbrados a expresar la respuesta en términos de una solución
explícita. Hemos dicho que hemos hallado la solución general porque la constante 𝑐 tres puede
tomar cualquier valor. Y todas estas funciones serán soluciones de nuestra ecuación diferencial.
Consideremos el caso en el que 𝐻 de 𝑦 es simplemente 𝑦 y 𝐺 de 𝑥 es simplemente
𝑥. De esta forma nuestra ecuación pasa a ser 𝑦 igual a 𝑥 más la constante 𝑐 tres. Como sabes, esta es la ecuación de una recta. Como 𝑐 tres puede tomar cualquier valor, si hacemos que su valor sea cero,
tendríamos la recta 𝑦 igual a 𝑥. Cuando 𝑐 tres es igual a menos uno, tendríamos la recta 𝑦 igual a 𝑥 menos uno. Incluso podríamos tomar algo como 𝑐 tres igual a 𝜋, lo que nos daría 𝑦 igual a 𝑥
más 𝜋. Todas estas rectas y sus ecuaciones correspondientes son soluciones específicas de la
misma ecuación diferencial. Y las hemos obtenido a partir de la solución general de esa ecuación diferencial. Muy bien, ahora ya conoces el método que debes emplear para hallar la solución
general de una ecuación diferencial.
Ahora bien, ¿cómo pasamos de la solución general a la solución particular sin escoger
valores para nuestra constante de forma arbitraria? El título de este vídeo nos da una pista: vamos a usar un valor inicial, a veces
llamado condición inicial. Veamos un ejemplo de esto usando nuestra solución general 𝑦 igual a 𝑥 más una
constante. Un ejemplo de un valor inicial que nos pueden dar es 𝑦 de dos igual a uno. Esto implica que, cuando 𝑥 es igual a dos, 𝑦 es igual a uno. Por lo tanto, se deduce que el punto dos, uno se encuentra en la recta de la solución
particular que estamos buscando.
Algebraicamente, podemos hallar la ecuación de la solución particular correcta
sustituyendo los valores que tenemos en la solución general. Cuando 𝑥 es igual a dos, 𝑦 es igual a uno. Si reorganizamos, obtenemos que la constante 𝑐 tres es igual a menos uno. Sustituimos esto en nuestra solución general, y obtenemos la ecuación 𝑦 igual a 𝑥
menos uno. Una representación visual de lo que hemos hecho aquí es que nos hemos fijado en el
punto dos, uno. Y hemos hallado la ecuación de la recta en la que este punto está. Esta recta es la solución particular que corresponde al valor inicial que se nos ha
dado.
Ahora que entendemos un poco mejor este método, pasemos a ver un ejemplo
concreto.
Halla la ecuación de la curva que pasa por el punto menos ocho, uno sabiendo que la
pendiente de la tangente en un punto cualquiera es dos veces el cuadrado de la
coordenada 𝑦.
En primer lugar conviene que nos detengamos a pensar en la información que se nos ha
dado en esta cuestión. En el enunciado se nos habla de la pendiente de la tangente de una curva en un punto
cualquiera. Esta pendiente está dada por d𝑦 sobre d𝑥. Se nos dice que es igual al doble del cuadrado de la coordenada 𝑦. Es decir, es igual a dos 𝑦 al cuadrado. Nos damos cuenta de que esta es una ecuación diferencial. Y más concretamente de que es una ecuación diferencial separable. Es decir, es una ecuación que puede expresarse en la forma d𝑦 sobre d𝑥 igual a 𝑔
de 𝑥 por 𝑓 de 𝑦. En este caso igualamos 𝑔 de 𝑥 a la constante dos y 𝑓 de 𝑦 a 𝑦 al cuadrado.
Dada una ecuación de esta forma, podemos hallar la solución general de la siguiente
manera. Primero dividimos ambos lados de la ecuación por 𝑓 de 𝑦. En nuestro caso, es 𝑦 al cuadrado. Y obtenemos que uno sobre 𝑦 al cuadrado d𝑦 sobre d𝑥 es igual a dos. Seguidamente integramos ambos lados de la ecuación con respecto a 𝑥. La regla de la cadena nos dice que d𝑦 sobre d𝑥, d𝑥 es igual a d𝑦. Y obtenemos que la integral de uno sobre 𝑦 al cuadrado con respecto a 𝑦 es igual a
la integral de dos con respecto a 𝑥. Es posible que en ocasiones veas métodos en los que, antes de integrar, d𝑦 sobre d𝑥
es tratada como si fuera una fracción. Ambos lados se multiplican por d𝑥.
De esta forma obtenemos la siguiente igualdad: uno sobre 𝑦 al cuadrado d𝑦 es igual
a dos d𝑥. Seguidamente integramos ambos lados de la ecuación. Y llegamos al mismo sitio que antes, pero con menos trabajo. Ten en cuenta que esto es solo un atajo de los pasos más rigurosos que hemos mostrado
antes. Volviendo a nuestro método, uno sobre 𝑦 al cuadrado puede expresarse como 𝑦 elevado
a menos dos. Seguramente te sientas más cómodo haciendo la integración de esta forma, para obtener
así menos uno sobre 𝑦 más la constante de integración 𝑐 uno igual a dos 𝑥 más
otra constante de integración, 𝑐 dos.
Habitualmente no ponemos constantes de integración en ambos lados de la ecuación,
pues sabemos que basta con definir una nueva constante, que en este caso sería 𝑐
dos menos 𝑐 uno. Y esta constante va solo en un lado de la ecuación. Así que ya tenemos la solución general de nuestra ecuación diferencial. Pero está en forma implícita, lo que significa que no está en la forma 𝑦 igual a una
función de 𝑥. Hemos hallado la ecuación general de todas las curvas en las que la pendiente de la
tangente en un punto cualquiera es igual al doble del cuadrado de la coordenada
𝑦.
Ahora podríamos tratar de convertir nuestra solución implícita en una solución
explícita. Pero resulta que no es necesario. Pues la solución general no es nuestra respuesta final. Lo que estamos buscando es una solución particular. Nos interesa la curva que pasa por el punto menos ocho, uno. Este dato es un valor inicial. Y vamos a hallar la solución particular correspondiente de la siguiente manera. Si el punto menos ocho, uno se encuentra en la curva, esto quiere decir que, cuando
𝑥 es igual a menos ocho, 𝑦 es igual a uno. Vamos a sustituir estos valores en la ecuación de nuestra solución general. Y seguidamente simplificamos. Así hallamos que nuestra constante 𝑐 tres es igual a 15.
Ahora sustituimos este valor en nuestra solución general, la cual se convierte así en
una solución particular. Menos uno sobre 𝑦 es igual a dos 𝑥 más 15. Ahora podemos convertir esto en una solución explícita multiplicando primero por
menos uno y luego elevando ambos lados a menos uno. Resumiendo, lo que hemos hecho aquí ha sido usar la información que se nos ha dado en
el enunciado de la cuestión para formar una ecuación diferencial separable. La solución particular de esta ecuación que pasa por el punto menos ocho, uno es 𝑦
igual a menos uno sobre dos 𝑥 más 15. Y esta es la respuesta de la cuestión.
Practiquemos ahora este tipo de cuestiones con otro ejemplo.
Halla la ecuación de la curva que pasa por el punto cero, menos uno sabiendo que d𝑦
sobre d𝑥 es igual a menos seis 𝑥 menos cuatro dividido por cuatro 𝑦 más 13.
En esta cuestión enseguida nos damos cuenta de que tenemos una ecuación diferencial
separable. Esta es una ecuación que puede claramente expresarse en la forma d𝑦 sobre d𝑥 igual
a 𝑔 de 𝑥 por 𝑓 de 𝑦. Al resolver esta ecuación diferencial separable obtendremos una solución general, que
incluirá una constante 𝑐. Ahora bien, en el enunciado también se nos ha dado un valor inicial, que es el dato
de que la curva debe pasar por el punto cero, menos uno. Podremos usar esta información para reducir la solución general que hallemos a una
solución particular. Por ahora vamos a centrarnos en la solución general.
De momento vamos a dejar de lado el valor inicial para centrarnos en la solución
general. Para hallarla, expresamos primero nuestra ecuación diferencial de la siguiente
manera, donde tenemos una función de 𝑦 por d𝑦 sobre d𝑥 igual a 𝑔 de 𝑥. En nuestra ecuación lo hacemos multiplicando ambos lados por cuatro 𝑦 más 13. Y obtenemos que cuatro 𝑦 más 13 d𝑦 sobre d𝑥 es igual a menos seis 𝑥 menos
cuatro. Lo siguiente que vamos a hacer es tratar d𝑦 sobre d𝑥 como si fuera una
fracción. Hacemos como que estamos multiplicando ambos lados por d𝑥, y obtenemos una igualdad
equivalente, cuatro 𝑦 más 13 d𝑦 igual a menos seis 𝑥 menos cuatro d𝑥.
A continuación integramos ambos lados de la ecuación y obtenemos una integral con
respecto a 𝑦 en el lado izquierdo y una integral con respecto a 𝑥 en el lado
derecho. Ten en cuenta que lo que hemos hecho aquí es solo un truco. d𝑦 sobre d𝑥 no es en
realidad una fracción y no siempre podemos tratarlo como tal. Pero aquí sí lo hemos considerado como tal para ahorrarnos trabajo, pues de esta
forma obtenemos una respuesta equivalente. Volviendo a nuestro método, ahora nos toca integrar. Y al hacerlo obtenemos lo siguiente.
Es importante saber que cada una de nuestras dos integrales nos habrían dado una
constante. Pero podemos combinar simplemente estas dos constantes en una sola. En vez de 𝑐 uno y 𝑐 dos, tenemos 𝑐, que es igual a 𝑐 uno menos 𝑐 dos. Al igual que antes, con esto nos ahorramos pasos innecesarios. Después de hacer algunas simplificaciones, hemos llegado a la solución general de
nuestra ecuación diferencial. Esto significa que hemos hallado todas las curvas que obedecen la ecuación d𝑦 sobre
d𝑥 igual a menos seis 𝑥 menos cuatro dividido por cuatro 𝑦 más 13.
Necesitamos hallar cuál de estas curvas pasa por el punto que se nos ha dado: cero,
menos uno. Este valor inicial que se nos ha dado nos permitirá hallar esa solución
particular. Sabemos que si la curva pasa por el punto cero, menos uno, entonces, cuando 𝑥 es
igual a cero, 𝑦 debe ser igual a menos uno. Así que podemos tomar nuestra solución general, sustituir 𝑦 igual a menos uno y 𝑥
igual a cero, y resolver esto para hallar el valor de nuestra constante 𝑐. Con un poco de cálculo, hallamos que el valor de 𝑐 aquí es menos 11. Ahora podemos sustituir este valor de 𝑐 en nuestra solución general para hallar la
solución específica. Esta es la solución particular de la ecuación diferencial que pasa por el punto cero,
menos uno, que es nuestro valor inicial.
Como ves, la solución que hemos hallado es implícita, lo que significa que no está en
la forma 𝑦 igual a una función de 𝑥. Habitualmente nos interesa tratar de expresar la solución en forma explícita. Pero en este caso no nos vamos a molestar en hacerlo. Pues no es posible dar la respuesta a este problema en forma de una única ecuación
explícita, pues tenemos un polinomio de segundo grado en 𝑦 en el lado
izquierdo. Pero no te preocupes, pues una solución en forma implícita es perfectamente
válida. Y ya hemos resuelto nuestro problema.
Veamos un último problema de valor inicial.
Halla la solución de la ecuación diferencial d𝑦 sobre d𝑥 más nueve 𝑦 igual a 63
sabiendo que 𝑦 cero es igual a ocho.
En este tipo de problemas, lo primero que debemos hacer es comprobar si se nos ha
dado una ecuación diferencial separable. Esta es una ecuación diferencial que puede expresarse en la forma d𝑦 sobre d𝑥 igual
a 𝑔 de 𝑥 por 𝑓 de 𝑦. Una igualdad equivalente a esta es uno sobre 𝑓 de 𝑦 d𝑦 sobre d𝑥 igual a 𝑔 de
𝑥. Vale la pena definir otra función ℎ de 𝑦 para hacer que la notación sea algo más
sencilla, donde ℎ de 𝑦 es igual a uno sobre 𝑓 de 𝑦.
Aquí debemos tener un poco de cuidado. No te dejes engañar porque la ecuación tenga todas las variables 𝑦 en el lado
izquierdo, pues esto no significa que ya esté expresada en esta forma. El problema es que aquí hay una suma. Vale la pena discutir ahora, aquí a un lado, el ejemplo de la ecuación diferencial
d𝑦 sobre d𝑥 más 𝑦 igual a dos 𝑥. Aunque podría parecer que esta es una ecuación diferencial separable porque tenemos
todas las letras 𝑦 a la izquierda y todas las letras 𝑥 a la derecha. En realidad, por mucho que lo intentemos, no podemos expresarla de la forma
correcta. Este ejemplo muestra que algunas ecuaciones que parecen separables en realidad no lo
son. Por suerte para nosotros, este no es uno de estos casos. Pero, aun así, nuestra ecuación requiere algunas modificaciones antes de
continuar.
Tomamos nuestra ecuación y restamos nueve 𝑦 en ambos lados. Seguidamente sacamos factor común en el lado derecho, pues ambos términos tienen un
factor común de nueve. Luego dividimos ambos lados por siete menos 𝑦. Y obtenemos la siguiente ecuación, que coincide con la forma que habíamos mostrado
antes. Bien, ahora vamos a hacer una pequeña trampa. Vamos a tratar d𝑦 sobre d𝑥 como si fuera una fracción. Al hacerlo podemos obtener una ecuación en una forma distinta: uno sobre siete menos
𝑦 d𝑦 igual a nueve d𝑥. A partir de esta forma, podemos integrar ambos lados de la ecuación. Y obtenemos menos logaritmo neperiano del valor absoluto de siete menos 𝑦 igual a
nueve 𝑥 más 𝑐, donde 𝑐 es una constante. Como sabes, nuestras dos integrales nos habrían dado una constante de
integración. No obstante, hemos preferido combinar estas dos en el lado derecho en una constante,
que llamamos 𝑐.
Muy bien, ya hemos hallado la solución general de nuestra ecuación diferencial. Pero como ves, esta solución está en forma implícita. Una solución explícita sería una de la forma 𝑦 igual a una función de 𝑥. Hemos elegido usar 𝑢 aquí para evitar confundirnos con esta 𝑓 en nuestra
definición. Para facilitar las cosas, vamos a convertir nuestra solución general implícita en una
solución general explícita. Lo primero que vamos a hacer es multiplicar ambos lados por menos uno. Como aún no hemos definido nuestra constante, no importa si tenemos más 𝑐 o menos
𝑐. Así que vamos a dejarlo como más 𝑐, por ejemplo. Hagamos algo de espacio para poder continuar.
Lo siguiente que hacemos es tomar la exponencial de ambos lados, lo que significa
hacer ambos lados de la ecuación exponentes de una potencia de base 𝑒. Como esto es lo contrario del logaritmo natural, en el lado izquierdo de la ecuación
simplemente nos quedamos con siete menos 𝑦. Ahora simplificamos restando siete de ambos lados y luego multiplicando por menos
uno. De esta forma obtenemos que 𝑦 es igual a menos 𝑒 elevado a menos nueve 𝑥 más 𝑐
más siete. Sabemos, por supuesto, que 𝑒 elevado a menos nueve 𝑥 más 𝑐 es igual a 𝑒 elevado a
menos nueve 𝑥 por 𝑒 elevado a 𝑐. Esto es otra forma de simplificar.
Aquí tenemos menos 𝑒 elevado a 𝑐. Pero como 𝑐 es una constante indefinida, podemos redefinir una nueva constante. Digamos 𝐶 mayúscula, que es igual a menos 𝑒 elevado a nuestra 𝑐 minúscula
anterior. Al hacer esto podemos decir que 𝑦 es igual a 𝐶 mayúscula por 𝑒 elevado a menos
nueve 𝑥 más siete. Ya hemos hallado la solución general implícita de nuestra ecuación diferencial. Ahora ya estamos listos para usar el resto de la información que nos ha dado el
problema. El enunciado nos ha dicho que 𝑦 cero es igual a ocho, esta información es nuestro
valor inicial y tenemos que hallar la solución particular de la ecuación diferencial
para la cual esto se cumple.
A partir de esta afirmación, sabemos que cuando 𝑥 es igual a cero, 𝑦 debe ser igual
a ocho. Otra forma de decir esto es que la curva que representa nuestra solución particular
pasa por el punto cero, ocho. Muy bien, vamos a sustituir nuestros valores en la solución general para hallar el
valor de 𝐶 mayúscula para nuestra solución particular. Como 𝑒 elevado a cero es igual a uno, tenemos que ocho es igual a 𝐶 por uno más
siete. Por lo tanto, nuestra constante 𝐶 mayúscula es igual a uno. Sustituimos este valor de 𝐶 en nuestra solución general y obtenemos la solución
particular de la ecuación diferencial que corresponde con el valor inicial que se
nos ha dado en la cuestión. La ecuación que representa nuestra solución particular es 𝑦 igual a 𝑒 elevado a
menos nueve 𝑥 más siete.
Una vez hemos terminado el último ejemplo, vamos a repasar algunos de los puntos
clave que hemos visto en el vídeo. Una ecuación diferencial separable puede expresarse en la forma d𝑦 sobre d𝑥 igual a
𝑔 de 𝑥 por 𝑓 de 𝑦. Existen otras formas de expresar este tipo de ecuación, que pueden resultar más
útiles en función del problema que se nos presente. La solución general de una ecuación diferencial separable puede hallarse mediante
integración. En este método es habitual tratar a d𝑦 sobre d𝑥 como si fuese una fracción. Pero recuerda que esto es un pequeño truco que usamos para ahorrarnos trabajo. La solución general de una ecuación diferencial incluirá una constante 𝑐.
Un valor inicial, por ejemplo, 𝑦 de 𝑎 igual a 𝑏, puede utilizarse para hallar una
solución particular de la ecuación diferencial. Esto puede hacerse sustituyendo 𝑥 igual a 𝑎 y 𝑦 igual a 𝑏 en la solución general
y luego resolviendo para hallar la constante 𝑐. Si pones este valor de 𝑐 de nuevo en tu solución general obtendrás una solución
particular, concretamente una que verifique la condición inicial que utilizaste.
Para terminar, conviene subrayar que las soluciones pueden ser explícitas o
implícitas. Las soluciones explícitas son de la forma 𝑦 igual a una función de 𝑥. Las soluciones implícitas no son de esta forma. Lo más recomendable es obtener una solución explícita a un problema. Pero a veces no es posible. Así que no te preocupes demasiado si no puedes hacerlo.
