Vídeo: Calcular la longitud de una tangente a un círculo usando las propiedades de la tangente

En la siguiente figura, 𝐴𝑍 = 7.5 cm, 𝐵𝑍 = 14.5 cm y 𝐴𝐶 = 20 cm. Sabiendo que todos los lados del triángulo 𝐴𝐵𝐶 son tangentes al círculo que aparece en la figura, calcula la longitud de 𝐵𝐶.

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Transcripción del vídeo

En la siguiente figura, 𝐴𝑍 es igual a 7.5 centímetros, 𝐵𝑍 es igual a 14.5 centímetros y 𝐴𝐶 es igual a 20 centímetros. Sabiendo que todos los lados del triángulo 𝐴𝐵𝐶 son tangentes a la circunferencia que aparece en la figura, calcula la longitud de 𝐵𝐶.

Comencemos por añadir al diagrama las longitudes que se nos han dado en el problema. Tenemos las longitudes de dos de los lados de este triángulo y queremos calcular la longitud de 𝐵𝐶, que es el tercer lado. También se nos ha dado el dato clave de que los tres lados del triángulo 𝐴𝐵𝐶 son tangentes al círculo que aparece en la figura. Pensemos en lo que sabemos sobre las longitudes de las tangentes trazadas desde puntos exteriores a una circunferencia.

Recordemos ahora un resultado importante. Si dos segmentos del mismo punto exterior son tangentes a una circunferencia, entonces son congruentes. En la práctica, lo que esto quiere decir es que los dos segmentos de recta trazados desde el punto 𝐴 a la circunferencia tienen la misma longitud. Ocurre lo mismo con los segmentos trazados desde 𝐵 y aquellos trazados desde 𝐶. ¿Cómo puede esto ayudarnos a resolver el problema? Bueno, recordemos que queremos calcular la longitud de 𝐵𝐶. Así que en nuestro diagrama, necesitamos conocer la longitud del segmento rosa y la longitud del segmento verde.

Usando el resultado del que acabamos de hablar, en realidad ya conocemos la longitud del segmento rosa. Es igual a 𝐵𝑍, que es 14.5 centímetros. Así que tenemos que pensar en cómo vamos a calcular la longitud del segmento verde. Y, para hacerlo, vamos a añadir un par de etiquetas en los otros dos lados de este triángulo. Tenemos el punto 𝑍 en el lado 𝐴𝐵, ahora tenemos el punto 𝑋 en el lado 𝐴𝐶 y el punto 𝑌 en el lado 𝐵𝐶, que son los puntos donde esas tangentes tocan la circunferencia.

Conocemos la longitud total del lado 𝐴𝐶. Pero queremos saber qué parte pertenece a la parte naranja 𝐴𝑋 y qué parte pertenece a la parte verde 𝑋𝐶. Bien, si aplicamos el mismo resultado de nuevo, sabemos que el segmento de recta 𝐴𝑋 es congruente con 𝐴𝑍. Y, por lo tanto, es igual a 7.5 centímetros. El segmento de recta 𝐶𝑋 puede por lo tanto hallarse restando 𝐴𝑋 de la longitud de 𝐴𝐶: 20 menos 7.5. Así que sabemos que 𝐶𝑋 es 12.5 centímetros.

Si aplicamos nuestro resultado por tercera vez, sabemos que los dos segmentos trazados desde el punto 𝐶 son congruentes entre sí. Y, por lo tanto, 𝐶𝑌 es congruente con 𝐶𝑋. 𝐶𝑌 es 12.5 centímetros. Nuestro último paso en este problema es calcular la longitud de 𝐵𝐶 sumando los dos segmentos 𝐵𝑌 y 𝐶𝑌. Así que 𝐵𝐶 es igual a 14.5 más 12.5. Es 27 centímetros.

El resultado clave que hemos aplicado tres veces en este problema es que, si dos segmentos del mismo punto exterior son tangentes a una circunferencia, entonces son congruentes, es decir, tienen la misma longitud.

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