Lesson Video: Integración por fracciones parciales con factores lineales

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En este vídeo vamos a aprender a usar fracciones parciales para calcular integrales de funciones racionales con factores lineales. Ya debes estar familiarizado con las operaciones con fracciones algebraicas; multiplicándolas, dividiéndolas, sumándolas, restándolas y simplificándolas. Y, además, conoces de sobra el proceso para integrar funciones racionales simples, así como la integración por sustitución y por partes.

Vamos a poner en práctica estas ideas y vamos a aprender cómo descomponer una fracción en fracciones con denominadores lineales puede hacer que el proceso de integrar un cociente de polinomios sea mucho más sencillo. Una fracción con dos factores lineales distintos en el denominador puede descomponerse en una suma de dos fracciones con denominadores lineales. Esto se conoce como descomposición en fracciones parciales o fracciones simples. Y, a este nivel, las fracciones parciales se usan sobre todo para desarrollos binomiales e integración.

Para ilustrar el método, vamos a recordar cómo se halla la suma de dos fracciones con denominadores lineales. Multiplicamos el numerador y el denominador de cada fracción por el denominador de la otra fracción, obteniendo así un denominador común y fracciones equivalentes. Aquí esto es tres por 𝑥 más cinco más dos por 𝑥 más uno sobre 𝑥 más uno por 𝑥 más cinco. Si eliminamos nuestros paréntesis vemos que nos queda cinco 𝑥 más 17 sobre 𝑥 al cuadrado más seis 𝑥 más cinco.

Ahora podemos ver que, si se nos pide que integremos cinco 𝑥 más 17 sobre 𝑥 al cuadrado más seis 𝑥 más cinco con respecto a 𝑥, vamos a tener algunas dificultades. Pero ahora sabemos que podemos escribir esto como tres sobre 𝑥 más uno más dos sobre 𝑥 más cinco. Y sabemos cómo integrar funciones racionales simples. La integral de uno sobre 𝑥 más 𝑎 para una constante real 𝑎 es igual al logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑥 más 𝑎 más una constante de integración 𝑐.

Y ahora podemos ver que la integral de cinco 𝑥 más 17 sobre 𝑥 al cuadrado más seis 𝑥 más cinco es tres veces el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑥 más uno más dos veces el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑥 más cinco más 𝑐. Bueno, hasta ahora todo bien. Pero, ¿cómo hallamos cuáles son nuestras fracciones parciales?

Imaginemos que queremos calcular esta integral indefinida. Si miramos de nuevo el ejemplo que acabamos de ver, vemos que podemos dividir esto en fracciones simples cuyos respectivos denominadores son 𝑥 más seis y 𝑥 menos uno. Llamamos a los numeradores 𝐴 y 𝐵. Hay dos maneras de hallar las constantes 𝐴 y 𝐵. Mediante sustitución y por igualación de coeficientes. También es conveniente saber qué hacer en la situación en la que tenemos una fracción impropia. Pero comencemos con un ejemplo sencillo.

Usa fracciones parciales para calcular la integral indefinida de 𝑥 más cuatro sobre 𝑥 más seis por 𝑥 menos uno con respecto a 𝑥.

Recordemos que tenemos que reescribir este integrando usando fracciones parciales. Así que comenzamos invirtiendo el proceso que realizaríamos sumando fracciones algebraicas. Reescribimos la fracción como 𝐴 sobre 𝑥 más seis más 𝐵 sobre 𝑥 menos uno. Y hay dos maneras de calcular las constantes 𝐴 y 𝐵. Mediante sustitución o por igualación de coeficientes.

Comencemos por el método de sustitución. Supongamos que estamos sumando estas fracciones. Multiplicamos el numerador y el denominador de la primera fracción por 𝑥 menos uno y el numerador y el denominador de la segunda fracción por 𝑥 más seis. De este modo vemos que 𝑥 más cuatro sobre 𝑥 más seis por 𝑥 menos uno es igual a 𝐴 por 𝑥 menos uno más 𝐵 por 𝑥 más seis todo sobre 𝑥 más seis por 𝑥 menos uno.

Vemos que el denominador de las fracciones es el mismo en ambos lados de la ecuación. Esto quiere decir que, para que las fracciones sean iguales, sus numeradores también deben serlo. Y podemos decir que 𝑥 más cuatro es igual a 𝐴 por 𝑥 menos uno más 𝐵 por 𝑥 más seis. Vale, muy bien, hasta ahora todo correcto.

Ahora queremos hallar una forma de eliminar una de las constantes de esta ecuación. Bueno, vemos que, si hacemos que 𝑥 sea igual a uno, este término de aquí se convierte en 𝐴 por uno menos uno, que es 𝐴 por cero, que es cero. Así que hacemos que 𝑥 sea igual a uno. Al hacerlo, vemos que uno más cuatro es igual a 𝐴 por cero más 𝐵 por uno más seis, que, simplificado, nos da cinco igual a siete 𝐵. Ahora ya tenemos una ecuación en 𝐵.

Resolvemos esto dividiendo ambos lados por siete. Y vemos que 𝐵 es igual a cinco séptimos. Perfecto, vamos a repetir este proceso para ayudarnos a determinar el valor de 𝐴. Puede que te interese pausar este vídeo un momento para pensar en qué tipo de sustitución eliminaría 𝐵 de esta ecuación.

Si hacemos que 𝑥 sea igual a menos seis, entonces el segundo término de aquí se convierte en 𝐵 por cero. Así que la 𝐵 se va a eliminar. Así que si hacemos que 𝑥 sea igual a menos seis, toda nuestra ecuación se va a convertir en menos seis más cuatro igual a 𝐴 por menos seis menos uno más 𝐵 por cero, que se simplifica a menos dos igual a menos siete 𝐴. Ahora ya tenemos una ecuación en 𝐴. Y, cuando dividimos ambos lados de la ecuación por menos siete, obtenemos 𝐴 igual a dos séptimos. Ya hemos descompuesto con éxito en fracciones parciales.

Vemos que 𝑥 más cuatro sobre 𝑥 más seis por 𝑥 menos uno es igual a dos sobre siete por 𝑥 más seis más cinco sobre siete por 𝑥 menos uno. Y ahora ya podemos integrar nuestra expresión con respecto a 𝑥. Recordemos que la integral de la suma de las funciones es la misma que la suma de las integrales de esas respectivas funciones. Y, por supuesto, podemos extraer cualquier factor constante. Vemos que nuestra integral es igual a dos séptimos de la integral de uno sobre 𝑥 más seis d𝑥 más cinco séptimos de la integral de uno sobre 𝑥 menos uno d𝑥.

Bueno, la integral de uno sobre 𝑥 más seis es el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑥 más seis. Y la integral de uno sobre 𝑥 menos uno es el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑥 menos uno. Y, por lo tanto, dado que esta es una integral indefinida, debemos añadir la constante 𝑐. Ya está. La integral indefinida de 𝑥 más cuatro sobre 𝑥 más seis por 𝑥 menos uno con respecto a 𝑥 es dos séptimos por el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑥 más seis más cinco séptimos del logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑥 menos uno más la constante 𝑐.

Ahora vamos a pensar en cómo podríamos haber llegado aquí usando el método de igualación de coeficientes. El proceso inicial es el mismo. Tenemos que llegar a esta etapa de aquí. Queremos distribuir el paréntesis en el lado de la derecha. Y, al hacerlo, vemos que 𝑥 más cuatro es igual a 𝐴𝑥 menos 𝐴 más 𝐵𝑥 más seis 𝐵.

Este siguiente paso no es del todo necesario. Pero puede ayudarnos a saber qué debemos hacer a continuación. Agrupamos los términos semejantes. Y vemos que 𝑥 más cuatro es igual a 𝐴 más 𝐵 por 𝑥 más menos 𝐴 más seis 𝐵 o seis 𝐵 menos 𝐴. Ahora tenemos dos familias de términos. Tenemos 𝑥 elevado a uno, y luego tenemos estas constantes. Y podemos decir que esas son 𝑥 elevado a cero.

Queremos igualar coeficientes para estos términos. Vamos a comenzar igualando los coeficientes de 𝑥 elevado a cero, es decir, las constantes. En el lado izquierdo tenemos un cuatro. Y en el lado derecho tenemos seis 𝐵 menos 𝐴. A continuación, vamos a igualar los coeficientes de 𝑥 elevado a uno. El coeficiente de 𝑥 en el lado izquierdo es uno. Y en el lado derecho es 𝐴 más 𝐵. Ahora ya tenemos un par de ecuaciones simultáneas que podemos resolver sumando.

Menos 𝐴 más 𝐴 es cero. Vemos que cuando sumamos nuestro par de ecuaciones simultáneas, obtenemos cinco igual a siete 𝐵. Y cuando resolvemos esta ecuación para 𝐵, hallamos que 𝐵 es igual a cinco séptimos. Vamos a sustituir ahora este valor de 𝐵 en cualquiera de nuestras ecuaciones originales. Vamos a elegir esta de aquí. Así, uno es igual a 𝐴 más cinco séptimos. Luego, si restamos cinco séptimos a ambos lados de la ecuación, obtenemos que 𝐴 es igual a dos séptimos. Y el resto del proceso es exactamente el mismo.

Ya tenemos nuestras fracciones parciales, y podemos integrar cada una de ellas. Y obtenemos que la integral indefinida es igual a dos séptimos del logaritmo neperiano de 𝑥 más seis más cinco séptimos del logaritmo neperiano de 𝑥 menos uno más 𝑐.

Ambos métodos son igualmente válidos. Y puede que haya veces en las que necesitemos combinar los métodos, algo que también es válido. Ahora vamos a echar un vistazo a un ejemplo con tres términos lineales.

Usa fracciones simples para calcular la integral indefinida de uno sobre 𝑡 al cubo más 𝑡 al cuadrado menos dos 𝑡 con respecto a 𝑡.

Cuando reescribimos el integrando usando fracciones parciales, estamos buscando invertir el proceso que llevaríamos a cabo sumando fracciones algebraicas. Antes de hacer esto, sin embargo, tenemos que decidir cuál será el denominador de estas fracciones. Así que vamos a ver si podemos factorizar el denominador.

Es obviamente una función cúbica, pero hay un factor común de 𝑡. Así que vamos a sacar el factor común 𝑡 para obtener 𝑡 por 𝑡 al cuadrado más 𝑡 menos dos. Ahora ya podemos factorizar esta expresión cuadrática con el método habitual. 𝑡 al cuadrado más 𝑡 menos dos es igual a 𝑡 menos uno por 𝑡 más dos. Ahora podemos descomponer esto en fracciones simples. Estas son 𝐴 sobre 𝑡 más 𝐵 sobre 𝑡 menos uno más 𝐶 sobre 𝑡 más dos.

Ahora vamos a sumar estas tres fracciones. Vamos a multiplicar el numerador y el denominador de cada una de ellas por el denominador de las otras dos. De este modo, el numerador se convierte en 𝐴 por 𝑡 menos uno por 𝑡 más dos más 𝐵 por 𝑡 por 𝑡 más dos más 𝐶 por 𝑡 por 𝑡 menos uno. Y ahora vemos que el denominador de las fracciones es el mismo en ambos lados de la ecuación. Y, para que las fracciones sean iguales, sus numeradores también deben ser iguales. Así que podemos decir que uno es igual a 𝐴 por 𝑡 menos uno por 𝑡 más dos más 𝐵𝑡 por 𝑡 más dos más 𝐶𝑡 por 𝑡 menos uno. Vamos a usar el método de sustitución para ayudarnos a hallar los valores de 𝐴, 𝐵 y 𝐶.

Vemos que, si hacemos que 𝑡 sea igual a cero, podemos eliminar inmediatamente 𝐵 y 𝐶. Así que escribimos 𝑡 igual a cero en nuestra ecuación. Y hallamos que uno es igual a 𝐴 por cero menos uno por cero más dos, que se simplifica a uno igual a menos dos 𝐴. Si dividimos ambos lados de la ecuación por menos dos, obtenemos 𝐴 igual a menos un medio.

Ahora, vemos que, si hacemos que 𝑡 sea igual a uno, podremos eliminar 𝐴 y 𝐶. Cuando escribimos 𝑡 igual a uno en nuestra ecuación obtenemos que uno es igual a tres 𝐵. Y cuando dividimos por tres, vemos que 𝐵 es igual a un tercio. Por último, hacemos que 𝑡 sea igual a menos dos. Así podremos eliminar 𝐴 y 𝐵. Obtenemos que uno es igual a seis 𝐶. Y, si dividimos por seis, hallamos que 𝐶 es igual a un sexto.

Vamos a dejar algo de espacio para el siguiente paso. Vemos que uno sobre 𝑡 por 𝑡 menos uno por 𝑡 más dos es igual a menos uno sobre dos 𝑡 más uno sobre tres por 𝑡 menos uno más uno sobre seis por 𝑡 más dos. Ahora ya estamos listos para integrar con respecto a 𝑡. La integral de uno sobre 𝑡 es el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑡. Así que nuestro primer término se integra a menos un medio por el logaritmo neperiano de 𝑡. La integral de uno sobre tres por 𝑡 menos uno es un tercio por el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑡 menos uno. Y la integral de uno sobre seis por 𝑡 más dos es igual a un sexto por el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑡 más dos. No debemos olvidarnos, puesto que estamos efectuando una integral indefinida, de sumar la constante de integración, 𝐶.

Este método es una maravilla. Pero es importante saber que no podemos utilizarlo cuando hay un factor que se repite en el denominador. Veamos qué podemos hacer en este caso.

Usa fracciones parciales para hallar una expresión analítica para la integral de tres 𝑡 al cuadrado menos nueve 𝑡 más ocho sobre 𝑡 por 𝑡 menos dos al cuadrado, calculada con respecto a 𝑡 y entre los límites de uno y 𝑥.

Aquí nos damos cuenta de que tenemos un factor repetido en el denominador de nuestra fracción. Una fracción con un factor lineal repetido puede descomponerse en dos o más fracciones separadas. Pero hay un método especial para operar con este factor lineal. Hay que escribir el factor repetido varias veces usando potencias crecientes. Vamos a reescribir nuestro integrando como 𝐴 sobre 𝑡 más 𝐵 sobre 𝑡 menos dos más 𝐶 sobre 𝑡 menos dos todo al cuadrado.

Luego vamos a sumar estas fracciones, pero debemos recordar que el denominador va a ser 𝑡 por 𝑡 menos dos todo al cuadrado. Así que multiplicamos el numerador y el denominador de nuestra primera fracción por 𝑡 menos dos al cuadrado. Multiplicamos la segunda fracción por 𝑡 por 𝑡 menos dos. Y la tercera fracción la multiplicamos por 𝑡. Vemos que el numerador ahora es 𝐴 por 𝑡 menos dos todo elevado al cuadrado más 𝐵𝑡 por 𝑡 menos dos más 𝐶𝑡.

Podemos ver que, como estas expresiones son equivalentes, tres 𝑡 al cuadrado menos nueve 𝑡 más ocho debe ser igual a 𝐴 por 𝑡 menos dos al cuadrado más 𝐵𝑡 por 𝑡 menos dos más 𝐶𝑡. Y vamos a usar el método de sustitución para hallar los valores de 𝐴, 𝐵 y 𝐶. Vamos a empezar haciendo que 𝑡 sea igual a dos para así poder eliminar 𝐴 y 𝐵. En el lado izquierdo tenemos tres por dos al cuadrado menos nueve por dos más ocho, que es dos. Y en el lado derecho tenemos dos 𝐶. Si dividimos por dos, obtenemos que 𝐶 es igual a uno.

A continuación hacemos que 𝑡 sea igual a cero. Esta vez se eliminarán 𝐵 y 𝐶. Al escribir 𝑡 igual a cero en nuestra ecuación, obtenemos ocho igual a cuatro 𝐴. Y luego, cuando dividimos por cuatro, obtenemos 𝐴 igual a dos. El problema es que ya no nos quedan más sustituciones por hacer. Así que vamos a usar el método de igualación de coeficientes para hallar el valor de 𝐵. Por lo que distribuimos nuestros paréntesis. Vamos a igualar los coeficientes de 𝑡 al cuadrado.

Tenemos 𝐴 y 𝐵 en el lado derecho y tres en el lado izquierdo. Así que podemos decir que tres es igual a 𝐴 más 𝐵. Ya hemos dicho, sin embargo, que 𝐴 es igual a dos. Así que podemos sustituir 𝐴 por dos y decir que tres es igual a dos más 𝐵. Cuando restamos dos a ambos lados de la ecuación obtenemos que 𝐵 es igual a uno.

Vamos a dejar espacio para el siguiente paso. Ahora vemos que nuestro integrando es igual a dos sobre 𝑡 más uno sobre 𝑡 menos dos más uno sobre 𝑡 menos dos al cuadrado. Vamos a integrar esto entre los límites de uno y 𝑥. La integral de dos sobre 𝑡 es dos por el logaritmo neperiano de 𝑡. La integral de uno sobre 𝑡 menos dos es el logaritmo neperiano de 𝑡 menos dos. Y luego podemos aplicar la regla de la cadena inversa a 𝑡 menos dos elevado a menos dos. Y hallamos que la integral de eso es menos uno sobre 𝑡 menos dos.

Ahora vamos a sustituir estos límites. Al hacerlo, hallamos que esto es igual a dos por el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑥 más el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑥 menos dos menos uno sobre 𝑥 menos dos menos uno. Este es un buen ejemplo de cómo la combinación del método de sustitución y de igualación de coeficientes puede ayudarnos a dar con la solución.

En nuestro último ejemplo vamos a ver lo que pasa cuando estamos operando con una fracción impropia.

Expresa 𝑥 al cubo sobre 𝑥 al cuadrado más dos 𝑥 más uno en forma de fracciones parciales.

Vemos que el grado de nuestro numerador es mayor que el grado de nuestro denominador. En el numerador tenemos 𝑥 al cubo. Y en el denominador solo tenemos 𝑥 al cuadrado. Esto significa que sabemos que tenemos una fracción impropia. Así que vamos a realizar una división polinomial. Puede que quieras pausar el vídeo para dividir 𝑥 al cubo por 𝑥 al cuadrado más dos 𝑥 más uno por tu cuenta.

Al hacerlo, hallamos que 𝑥 al cubo dividido por 𝑥 al cuadrado más dos 𝑥 más uno es 𝑥 menos dos con un resto de tres 𝑥 más dos, lo que significa que podemos reescribirla de este modo. Ahora tenemos una fracción mixta. Si factorizamos el denominador del resto, vemos, además, que hay una raíz repetida. Por lo tanto, cuando expresamos esto en forma de fracciones parciales, lo escribimos como 𝐴 sobre 𝑥 más uno más 𝐵 sobre 𝑥 más uno al cuadrado.

Cuando sumamos las fracciones multiplicamos la primera por 𝑥 más uno. Así que tenemos 𝐴 por 𝑥 más uno. Y no tenemos que hacer nada con la segunda. Por lo tanto, hallamos que, en los numeradores, tenemos tres 𝑥 más dos igual a 𝐴 por 𝑥 más uno más 𝐵. Comenzamos igualando los coeficientes de 𝑥 elevado a uno. En el lado izquierdo tenemos tres. Y en el lado derecho tenemos 𝐴. Por lo tanto, 𝐴 es igual a tres.

Luego igualamos los coeficientes de 𝑥 elevado a cero o las constantes. Y hallamos que dos es igual a 𝐴 más 𝐵. Pero sabemos que 𝐴 es igual a tres. Así que dos es igual a tres más 𝐵. Luego restamos tres a ambos lados de la ecuación, y hallamos que 𝐵 es igual a menos uno. Ya hemos expresado nuestra fracción en forma de fracciones simples. Es 𝑥 menos dos más tres sobre 𝑥 más uno menos uno sobre 𝑥 más uno al cuadrado. Si se nos pidiera, podríamos integrar esto.

En este vídeo hemos aprendido que una fracción con dos factores lineales distintos en el denominador puede descomponerse en dos fracciones con denominadores lineales. Esto se llama descomposición en fracciones parciales o fracciones simples. Y hemos visto que esto puede facilitar mucho el proceso de integración. También hemos aprendido que este método puede aplicarse cuando hay más de dos factores lineales distintos. Hemos visto, además, que una fracción con un factor lineal repetido necesita una regla especial según la cual el factor repetido se escribe con potencias crecientes en varias fracciones.

Por último, hemos aprendido qué hacer si la fracción es impropia, es decir, si el numerador tiene un grado igual o mayor que el denominador. Y tenemos que convertirla en una fracción mixta usando la división polinómica antes de intentar expresarla en fracciones parciales.