Vídeo: El área de los prismas

Aprende cómo calcular el área total de un prisma dibujando su desarrollo plano o calculando el área de cada cara por separado. Vamos a ver ejemplos que incluyen cubos, prismas rectangulares y prismas triangulares, y vamos a discutir el hecho de que las áreas se dan en unidades cuadradas.

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Transcripción del vídeo

En este video, vamos a ver cómo calcular el área de un prisma.

Debemos recordar que un prisma es un tipo particular de cuerpo geométrico. Tiene la propiedad especial de que si lo cortamos en cualquier punto de su longitud, la cara que obtenemos es siempre la misma. Esto es a lo que nos referimos como una sección transversal constante. Veamos los ejemplos que tenemos en pantalla, el primero es un cubo. Al cortar por un punto cualquiera en su longitud, siempre obtendremos un cuadrado. Continuamos con el ortoedro, al cortar por un punto cualquiera, siempre obtendremos un rectángulo. Y, finalmente, el prisma triangular, al cortar por un punto cualquiera, siempre obtendremos una cara triangular.

Ahora bien, lo que llamamos área de un prisma es el área total de las caras del prisma. Así que podemos pensar en esto de varias maneras. Tal vez lo primero que imaginamos es que si tuviésemos que envolver en papel uno de estos prismas, entonces el área sería la cantidad exacta de papel de regalo que necesitaríamos para cubrir todas sus caras sin superposiciones ni claros.

O también podemos analizarlo como si tuviésemos que desmontar uno de estos prismas para obtener una figura plana, entonces es el área exacta de la cartulina, por ejemplo, que necesitaríamos para crear lo que llamamos el desarrollo plano del prisma. El desarrollo plano es esa plantilla bidimensional que hacemos para luego doblarla y construir uno de estos prismas tridimensionales. Vamos a ver ahora cómo calcular el área de un prisma para un par de tipos diferentes de prismas.

La primera pregunta nos pide hallar el área de un cubo de ocho centímetros de arista.

Vamos a responder la pregunta pensando en el desarrollo plano del cubo. Necesitamos analizar cuáles son las diferentes caras que un cubo tiene. Un cubo tiene seis caras. Y todas son cuadrados cuyas aristas miden ocho centímetros. Existen muchas maneras diferentes en las que podemos disponer estos seis cuadrados cuando dibujamos el desarrollo plano de un cubo, pero la más común, probablemente, es disponerlos en una figura como esta. Si quieres, puedes dibujar un desarrollo plano como este en papel, cortarlo, doblarlo y así verificar si se puede doblar para formar la figura original.

Sabemos que el desarrollo plano del cubo se ve así. Solo necesitamos calcular el área de la cartulina. Tenemos seis caras. Y en el caso del cubo, todas son iguales. Por tanto podemos hallar al área de una y después multiplicarla por seis. Cada una de estas caras es un cuadrado de ocho centímetros de arista, así que para calcular el área del cuadrado vamos a multiplicar ocho por ocho y esto nos da 64 centímetros cuadrados. Así que esta es el área de cada una de las caras.

Para calcular el área, necesitamos multiplicar este 64 por seis. Lo que nos da 384 centímetros cuadrados. Partiendo de esto, podemos concluir que dibujar el desarrollo plano de cualquier prisma en el que estemos interesados es muy útil para visualizar cada una de las caras y asegurarnos de que estamos incluyendo en nuestros cálculos todas las caras. Solo una cosa más sobre las unidades, estamos trabajando con sólidos geométricos, pero estamos pensando en cómo construirlos usando figuras planas. Por lo tanto, las unidades son unidades de área, centímetros cuadrados, milímetros cuadrados y similares.

Nuestra siguiente pregunta es sobre el ortoedro, o prisma rectangular. Nos piden hallar el área de este ortoedro de dimensiones cinco, 12 y tres milímetros.

Podríamos contestarla tal y como hicimos con la pregunta del cubo. Podríamos dibujar la red de este ortoedro. Sin embargo, vamos a hacerlo de una manera un poco diferente. En lugar de dibujar todas sus caras, solo vamos a imaginar las diferentes caras según las vayamos necesitando. Un ortoedro tiene seis caras, pero a diferencia del cubo, sus medidas son diferentes. Sin embargo, están en pares. Y hay tres pares de caras en las que necesitamos pensar, la delantera y la posterior son iguales entre sí, la superior y la inferior, y la izquierda y la derecha.

Así que vamos a separar estos cálculos en tres partes, en las que encontraremos las áreas de esos tres pares. Vamos a comenzar por las caras delantera y posterior. La delantera y la posterior son rectángulos y miden cinco milímetros de anchura y tres milímetros de altura. Ya que son rectángulos, las áreas que buscamos pueden ser calculadas multiplicando tres por cinco. Y como hay dos de ellas, vamos a incluir además un factor de dos. Esto nos da 30 milímetros cuadrados para la cara delantera y la cara posterior.

A continuación, pensemos en la parte superior y la base del ortoedro, que son estas caras marcadas en verde. Son rectángulos. Y las medidas de la parte superior y la base son cinco milímetros y 12 milímetros, por lo tanto, las multiplicamos. Una vez más, la parte superior y la base. Tenemos dos de ellas, así que necesitamos multiplicar por dos. Lo que nos da 120 milímetros cuadrados para la parte superior y la base.

Por último, los lados del ortoedro, tenemos el derecho y el izquierdo. También son rectángulos, y sus medidas son 12 y tres milímetros. Así que vamos a multiplicar 12 por tres. Una vez más como en el caso de los otros pares, hay dos de ellos. Por eso calculamos el doble. Lo que nos da 72 milímetros cuadrados para ambos lados.

El último paso es hallar el área total. Para eso necesitamos sumar todas las áreas que hemos calculado, y hacemos, pues, 30 más 120 más 72. Y esto nos da un área total de 222 milímetros cuadrados para el ortoedro. Haciendo un resumen rápido de lo que hemos hecho, notamos los tres pares de caras diferentes que teníamos, la de delante y la de atrás, la parte superior y la base, y luego los dos lados. Después, calculamos esas áreas y las sumamos. De este modo incluimos las seis caras en el cálculo general.

Nuestra tarea final es hallar el área del prisma triangular que se muestra.

Si miramos el dibujo, vemos un prisma triangular. Y se trata de un triángulo rectángulo. Podemos ver esto por el cuadradito en el ángulo. Así que podríamos dibujar un desarrollo plano completo para el prisma triangular o podríamos analizar cuidadosamente las diferentes caras involucradas. Así que puedes tomarte un minuto, pausar el video y ver cuántas caras hay y qué forma tienen.

Hay, de hecho, cinco caras en un prisma triangular. Hay triángulos rectángulos delantero y posterior, los cuales son iguales entre sí. Hay un rectángulo en la base plana de este prisma. Hay otro rectángulo que es este tipo cara que no podemos ver en el costado del prisma. Y luego, está la cara inclinada, que también es otro rectángulo. Y tendremos que pensar cuidadosamente en las dimensiones de cada uno de estos.

Comencemos con la base. La base, como ya hemos dicho, es un rectángulo. Y las dimensiones de la base son tres metros y siete metros. Entonces, para hallar el área de esta base rectangular, nos basta con multiplicar tres por siete. Lo que nos da 21 metros cuadrados como la contribución de la base.

Ahora, pensemos en las caras triangulares en la parte delantera y posterior de este prisma. Para un triángulo, multiplicamos la base por la altura perpendicular y dividimos el resultado por dos. Por lo tanto, para estos triángulos, será tres por cuatro dividido por dos. Pero, como tenemos dos caras, delantera y posterior, necesitamos además multiplicar por dos. Así que la división y la multiplicación por dos se cancelan mutuamente. Y nos quedan 12 metros cuadrados como contribución de las caras delantera y posterior.

Pasemos a la cara vertical detrás de este prisma. Esa es la cara que no podemos ver realmente. Pero sabemos que es un rectángulo. Y tiene una altura de cuatro. Esta dimensión de aquí es de siete metros. Por tanto, para el área de esta cara vertical, que es un rectángulo, tenemos cuatro por siete, lo que nos da 28 metros cuadrados.

Hemos calculado cuatro de las cinco caras. Y la última que nos queda por calcular es esta cara inclinada, la que está marcada en morado. Y la cual es también un rectángulo. Podemos ver que una de sus dimensiones es siete metros. Pero necesitamos pensar cuidadosamente sobre cuál es su otra dimensión, la otra longitud aquí. Y para poder hacer esto, necesitamos observar el triángulo rectángulo del que forma parte esta longitud, el triángulo rectángulo en la parte delantera de este prisma triangular.

Ahora necesitamos recordar otros conceptos matemáticos. Recordemos el teorema de Pitágoras, que nos dice cómo las longitudes en un triángulo rectángulo están relacionadas entre sí. Y si recordamos, el teorema de Pitágoras nos dice que, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa, el lado más largo, es decir, este lado marcado con rojo aquí es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados más cortos. En este triángulo, esos son tres metros y cuatro metros.

Tenemos que hacer unos cuántos cálculos. Si le asignamos a esto una letra, tal vez la letra 𝑥, podemos escribir lo que el teorema de Pitágoras nos dice para este triángulo. Es decir, que 𝑥 al cuadrado es igual a tres al cuadrado más cuatro al cuadrado. Después, podemos hacer las operaciones necesarias para hallar a qué es igual 𝑥 al cuadrado. Tenemos, tres al cuadrado y cuatro al cuadrado son nueve y 16, y al sumarlos obtenemos 25. Si sacamos la raíz cuadrada, hallaremos que 𝑥 es igual a cinco.

Hubiéramos podido hallar esto sin necesidad de hacer ningún cálculo porque tres-cuatro-cinco es un ejemplo de un triplete pitagórico. Es decir, un triángulo rectángulo donde las longitudes de los tres lados son enteras. Si hubiésemos sabido esto podríamos haber tomado un atajo allí. De todos modos, hemos hallado que la longitud de este lado es de cinco metros. Así que solo necesitamos calcular el área de esta cara final.

Lo vamos a hacer aquí abajo. Por cierto, estos pequeños bocetos no están hechos a escala. Esta cara inclinada mide siete metros por cinco metros, por tanto su área será siete multiplicado por cinco, y obtenemos 35 metros cuadrados como el área de esa cara inclinada. El paso final en este cálculo es sumar las áreas de todas estas caras. El área total es, pues, 21 más 12 más 28 más 35, lo que nos da una respuesta final de 96 metros cuadrados.

Para resumir, diremos que el área de un prisma es el área total de todas sus caras. Debemos asegurarnos de que estamos incluyendo todas sus caras. Y podemos hacer esto dibujando todas las caras del desarrollo plano del prisma. O visualizando las diferentes caras y dimensiones. O también podemos dibujar bocetos separados como hemos hecho en este ejemplo.

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