Transcripción del vídeo
En este video, vamos a aprender cómo usar las propiedades de las variaciones para simplificar expresiones y para resolver ecuaciones que incluyen variaciones. Primero, consideremos lo que sabemos sobre variaciones. Una variación es un arreglo de una colección de elementos donde el orden importa y la repetición no está permitida. Por lo tanto, decimos que las variaciones representan extracciones sin reemplazo en las que el orden importa.
Calculamos el número de variaciones posibles para un conjunto de elementos con la fórmula 𝑛P𝑟 igual a 𝑛 factorial sobre 𝑛 menos 𝑟 factorial. Este es el número de formas posibles en que podemos extraer elementos de una colección de 𝑛 elementos. Por ejemplo, si tenemos cuatro P dos, tenemos una colección de cuatro objetos y queremos saber de cuántas formas diferentes podemos seleccionar solo dos de los objetos. Si en nuestra caja tenemos cuatro letras y vamos a elegir dos al azar, habrá 12 pares ordenados diferentes, 12 variaciones diferentes.
Nótese que aquí estamos tratando con variaciones y el orden sí importa, 𝐴𝐵 no es lo mismo que 𝐵𝐴, lo que significa que obtenemos 12 formas diferentes de elegir dos de entre cuatro. Si queremos ver esto con nuestra fórmula, sería cuatro factorial partido por cuatro menos dos factorial, cuatro factorial sobre dos factorial, y lo desarrollamos y obtenemos cuatro por tres por dos por uno sobre dos por uno. El dos por uno en el numerador y el denominador se cancelan, y obtenemos cuatro por tres, que es 12.
Antes de continuar, debemos decir que existen muchas notaciones diferentes para las variaciones. La que usaremos principalmente es 𝑛P𝑟. Pero también puedes verla escrita así, donde 𝑛 es un superíndice y 𝑟 es un subíndice. Y también puedes encontrar P𝑛𝑟, donde 𝑛 y 𝑟 están en el mismo lado o P𝑛, 𝑟; o incluso P, abre paréntesis, 𝑛, 𝑟, cierra paréntesis.
Continuemos y veamos las propiedades que comparten todas las variaciones. Usamos estas propiedades para resolver diferentes tipos de ecuaciones. La primera propiedad que vamos a considerar es la siguiente. Toda variación 𝑛P𝑟, es igual a 𝑛 por la variación de 𝑛 menos uno 𝑟 menos uno. Consideremos esto para seis P tres. Según esta propiedad, seis P tres será igual a seis veces cinco variación dos. Seis P tres será igual a seis factorial partido por seis menos tres factorial. Y el otro lado de la ecuación será seis por cinco factorial partido por cinco menos dos factorial.
Si simplificamos un poco y luego desarrollamos los factoriales en ambos lados de la ecuación, tres factorial en el numerador y el denominador se cancelan, dejándonos con seis por cinco por cuatro a la izquierda y seis por cinco por cuatro a la derecha, que son iguales, lo que nos muestra que 𝑛P𝑟 es igual a 𝑛 por 𝑛 menos uno P𝑟 menos uno.
Otra propiedad que queremos considerar tiene que ver con 𝑛 factorial. 𝑛 factorial juega un papel importante en las variaciones, y 𝑛 factorial es igual a 𝑛 por 𝑛 menos uno factorial. Usamos esta propiedad muy a menudo para simplificar expresiones que tienen factoriales en el numerador y en el denominador. Por ejemplo, cuatro factorial es igual a cuatro por cuatro menos uno factorial, que es cuatro por tres factorial. Al desarrollar ambos lados de la ecuación, obtenemos cuatro por tres por dos por uno es igual a cuatro veces tres por dos por uno.
Y puede haber ocasiones en las que queramos extender aún más esta propiedad. 𝑛 factorial es igual a 𝑛 por 𝑛 menos uno por 𝑛 menos dos factorial. Usando nuestro ejemplo de cuatro, obtenemos que cuatro factorial es igual a cuatro por tres por dos factorial. Usando esta propiedad de los factoriales, podemos demostrar que cero factorial es igual a uno. Como sabemos que 𝑛 factorial es igual a 𝑛 por 𝑛 menos uno factorial, uno factorial será igual a uno por uno menos uno factorial. Uno factorial es igual a uno por cero factorial. Cero factorial debe ser igual a uno, lo que significa que debemos recordar que tanto cero factorial como uno factorial son iguales a uno.
Queremos desarrollar la fluidez y usando la definición de variación y sus propiedades junto con estas factoriales, usando todo eso podemos resolver ecuaciones con variaciones. Veamos, pues, algunos ejemplos.
Resuelve la siguiente ecuación para 𝑟: cinco P𝑟 es igual a 120.
Sabemos que 𝑛P𝑟 es igual a 𝑛 factorial partido por 𝑛 menos 𝑟 factorial. En este caso, no conocemos el valor de 𝑟. Sabemos que nuestro conjunto tiene cinco elementos, pero no sabemos cuántos estamos extrayendo. Para hallar 𝑟, necesitamos hallar cuántos enteros consecutivos decrecientes, comenzando con cinco, debemos multiplicar para obtener 120. Sabemos que 𝑛 factorial es igual a 𝑛 por 𝑛 menos uno factorial. Cinco P𝑟 es entonces igual a cinco factorial sobre cinco menos 𝑟 factorial. Si desarrollamos el factorial en el numerador, obtenemos cinco por cuatro por tres por dos por uno. Y sabemos que cinco P𝑟 debe ser igual a 120, pero cinco factorial es igual a 120. Obtenemos la ecuación 120 igual a 120 sobre cinco menos 𝑟 factorial.
Si multiplicamos ambos lados de la ecuación por cinco menos 𝑟 factorial, obtenemos 120 por cinco menos 𝑟 factorial igual a 120. Y luego, si dividimos ambos lados por 120, a la izquierda tenemos cinco menos 𝑟 factorial, y a la derecha, 120 dividido por 120 es igual a uno. Esto significa que necesitamos un valor de 𝑟 que haga cinco menos 𝑟 factorial igual a uno. Según las propiedades de los factoriales, sabemos que hay dos números cuyo factorial es igual a uno, cero factorial y uno factorial, lo que significa que cinco menos 𝑟 es cero o cinco menos 𝑟 es uno. Si cinco menos 𝑟 es cero, 𝑟 es igual a cinco. Y si cinco menos 𝑟 es uno, entonces 𝑟 es igual a cuatro.
Recuerda que al principio dijimos que 𝑟 sería igual al número de enteros consecutivos decrecientes comenzando con cinco que necesitamos multiplicar para obtener 120. Así que hay otra estrategia que podemos usar cuando conocemos el valor de 𝑛 de una variación, pero no conocemos el valor de 𝑟. Sabemos que el número de variaciones que podemos tener es 120. Y sabemos que comenzamos con un conjunto de cinco. Si comenzamos por dividir 120 por cinco, obtenemos 24. Ahora tomamos 24 y dividimos por el número entero consecutivo por debajo de cinco. 24 dividido por cuatro es igual a seis.
Nuevamente, tomamos ese valor y lo dividimos por el número entero que está por debajo de cuatro. Así que seis dividido por tres es igual a dos. Dos dividido por el número entero por debajo de tres, que es dos, es igual a uno, lo que nos muestra que 𝑟 podría ser igual a cuatro, que cuatro enteros decrecientes consecutivos comenzando con cinco se multiplican para obtener 120. Dos por tres por cuatro por cinco es igual a 120. Sin embargo, podríamos seguir la pauta una última vez porque uno dividido por uno es igual a uno y uno por dos por tres por cuatro por cinco también es igual a 120, lo que nos da 𝑟 igual a cuatro o 𝑟 igual a cinco.
En nuestro siguiente ejemplo, vamos a ver un caso en el que no se nos da la cantidad de elementos con los que comenzamos.
Halla el valor de 𝑛 sabiendo que 𝑛P cuatro es igual a 24.
Sabemos que 𝑛P𝑟 es igual a 𝑛 factorial sobre 𝑛 menos 𝑟 factorial y que 𝑛P cuatro es igual a 24, lo que significa que no sabemos cuántos elementos contiene nuestro conjunto original, pero sabemos que estamos extrayendo cuatro de ellos. Como no se nos da el valor de 𝑛, no está nada claro dónde debemos comenzar, así que vamos a comenzar reemplazando lo que sabemos en nuestra fórmula, lo que nos da 𝑛P cuatro igual a 𝑛 factorial sobre 𝑛 menos cuatro factorial. Sabemos que 𝑛 factorial es igual a 𝑛 por 𝑛 menos uno factorial. Podemos usar esta propiedad para reescribir nuestro numerador 𝑛 factorial como 𝑛 por 𝑛 menos uno factorial.
Pero eso no nos acerca a la simplificación de la fracción. Pero podemos desarrollar 𝑛 menos uno factorial, que será 𝑛 menos uno por 𝑛 menos uno menos uno factorial, que es 𝑛 menos dos factorial. Y podemos desarrollar 𝑛 menos dos factorial para obtener 𝑛 menos dos por 𝑛 menos tres factorial. Y 𝑛 menos tres factorial es igual a 𝑛 menos tres por 𝑛 menos cuatro factorial. Esto nos permite cancelar 𝑛 menos cuatro factorial en el numerador y en el denominador. Y como sabemos que 𝑛P cuatro es igual a 24, podemos decir que 24 será igual a 𝑛 por 𝑛 menos uno por 𝑛 menos dos por 𝑛 menos tres. Esta expresión nos dice que necesitamos cuatro números enteros consecutivos que se multipliquen para sumar 24. Y el valor 𝑛 será el punto de partida, el mayor de esos cuatro valores.
Para números pequeños como 24, podemos intentar resolver esto usando un árbol de factores. 24 es igual a dos por 12, 12 es igual a dos por seis y seis es igual a dos por tres. Así que podemos decir que 24 es igual a dos por tres por cuatro. Pero recuerda, para este problema, necesitamos cuatro números enteros consecutivos, y no tres, que se multipliquen para dar 24. Uno, dos, tres y cuatro son cuatro números enteros consecutivos que, multiplicados, dan 24. Recuerda que nuestro valor 𝑛 es el valor más grande. Si hacemos 𝑛 igual a cuatro, 24 es igual a cuatro por tres por dos por uno y confirma que 𝑛 es igual a cuatro.
Esta estrategia funcionó cuando se trataba de un conjunto pequeño. En nuestro siguiente ejemplo, vamos a ver nuevamente un caso en el que no conocemos el tamaño de nuestro conjunto, el valor 𝑛, pero estamos tratando con un conjunto mucho más grande de variaciones.
Halla el valor de 𝑛 tal que 𝑛P tres es igual a 32 736.
Sabemos que 𝑛P𝑟 es igual a 𝑛 factorial sobre 𝑛 menos 𝑟 factorial. Y nos han dicho que 𝑛P tres es igual a 32 736. No sabemos cuántos elementos hay en nuestro conjunto original, pero sabemos que elegimos tres de ellos. Así que podemos establecer una ecuación que diga 𝑛 factorial sobre 𝑛 menos tres factorial. Y como conocemos la propiedad de que 𝑛 factorial es igual a 𝑛 por 𝑛 menos uno factorial, podemos desarrollar y simplificar un poco. Podemos desarrollar 𝑛 factorial para obtener 𝑛 por 𝑛 menos uno factorial, que se expande aún más a 𝑛 por 𝑛 menos uno por 𝑛 menos dos factorial, y finalmente a 𝑛 menos tres factorial. A partir de ahí, podemos cancelar los términos 𝑛 menos tres factorial en el numerador y en el denominador.
Sabemos que 𝑛P tres es igual a 32 736. Esta expresión, 𝑛 por 𝑛 menos uno por 𝑛 menos dos, nos dice que necesitamos hallar tres enteros consecutivos que se multipliquen para sumar 32 736. A veces, cuando buscamos este valor de 𝑛, podemos usar un árbol de factores. Sin embargo, con un número tan grande, esto sería bastante difícil. Pero hay otra estrategia que podemos usar. Como sabemos que estamos buscando tres enteros consecutivos, podemos intentar estimar uno de ellos sacando la raíz cúbica de 32 736. Cuando hacemos eso, obtenemos 31.9895 y así sucesivamente.
Así que podemos intentar dividir 32.736 por los enteros a ambos lados de este valor, 31 o 32. Si comenzamos con 32, 32 736 dividido por 32 es igual a 1023. Y ahora tomamos ese 1023 y lo dividimos por el número entero inmediatamente por debajo de 32. 1023 dividido por 31, cuando hacemos eso, obtenemos 33. Y así, si miramos cuidadosamente, vemos que hemos obtenidos los factores 31, 32 y 33 de 32 736. Estamos diciendo que 32 736 es igual a 33 por 32 por 31. Y estos son tres números enteros consecutivos cuyo producto es 32 736] Y 𝑛 será el mayor de estos tres valores. Estamos diciendo que, si empezamos con un conjunto de tamaño 33 y elegimos tres de sus elementos tenemos 32 736 variaciones.
En nuestro ejemplo final, vamos a ver cómo simplificar un cociente de dos variaciones.
Evalúa 123P10 dividido por 122P nueve.
Sabemos que para calcular 𝑛P𝑟, hacemos 𝑛 factorial sobre 𝑛 menos 𝑟 factorial, lo que significa que el numerador es 123 factorial sobre 123 menos 10 factorial. Y nuestro denominador es 122 factorial sobre 122 menos nueve factorial, de modo que simplificamos todo a 123 factorial sobre 113 factorial todo sobre 122 factorial sobre 113 factorial. Si reescribimos esto como una división, se verá así. Y sabemos que dividir por una fracción es multiplicar por el recíproco, de modo que obtenemos 123 factorial sobre 113 factorial por 113 factorial sobre 122 factorial. Y luego tenemos 113 factorial en el numerador y en el denominador. Así que tenemos 123 factorial sobre 122 factorial. Y sabemos que 𝑛 factorial es igual a 𝑛 por 𝑛 menos uno factorial, lo que significa que podemos reescribir el numerador como 123 por 122 factorial. El factorial de 122 en el numerador y el denominador se cancelan, y esta razón se simplifica a 123.
Sin embargo, podríamos habernos ahorrado algo de trabajo recordando una propiedad adicional de las permutaciones. Y es que 𝑛P𝑟 es igual a 𝑛 por 𝑛 menos uno P𝑟 menos uno. Si usamos que 122 es igual a 123 menos uno y nueve es igual a 10 menos uno, podemos reescribir nuestro numerador como 123 por 122P nueve, lo que significa que tendremos la variación de 122P nueve en el numerador y en el denominador. Y así la fracción se reduce a 123. Cuando se trata de evaluar y simplificar variaciones siempre buscamos reglas que nos lleven de regreso a propiedades que nos ayuden a simplificar.
Antes de terminar, vamos a repasar nuestros puntos principales. El número de variaciones de tamaño 𝑟 tomado de un conjunto de tamaño 𝑛 está dado por 𝑛P𝑟 igual a 𝑛 factorial sobre 𝑛 menos 𝑟 factorial. Algunas propiedades que hemos usado para resolver problemas de variaciones son las siguientes: 𝑛 factorial es igual a 𝑛 por 𝑛 menos uno factorial y 𝑛P𝑟 es igual a 𝑛 por 𝑛 menos uno P𝑟 menos uno.
