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Integrales impropias: límites de integración infinitos
En este vídeo vamos a aprender cómo calcular integrales impropias, en las que uno de
los límites de integración, o ambos, tienden a infinito. Para ello vamos a ver una serie de ejemplos en los que practicaremos cómo resolver
integrales de esta forma.
Comencemos considerando la siguiente función 𝑓 de 𝑥 y, en concreto, una integral de
esta función 𝑓 de 𝑥 que tiene un límite de integración infinito, esto es, la
integral desde 𝑎 hasta infinito de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥. Hacemos 𝑎 igual a un punto en el eje de las 𝑥, aquí, por ejemplo. Así que esta integral representa el área entre 𝑓 de 𝑥 y el eje de las 𝑥 desde 𝑎
hasta infinito. Aunque, si lo piensas, esto no tiene mucho sentido. ¿Cómo puede ser infinito un límite de integración si no es un número? ¿Y cómo podemos calcular un área que continúa hasta el infinito? No te preocupes, aunque parezca que esto no tiene sentido, lo cierto es que podemos
calcular integrales de esta forma. Y para ello vamos a usar límites.
La fórmula que vamos a utilizar para determinar esta integral dice que esta integral
es igual al límite cuando 𝑡 tiende a infinito de la integral desde 𝑎 hasta 𝑡 de
𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥, para 𝑡 mayor que 𝑎. Conviene que sepas que esto solo nos va a servir en determinados casos. En primer lugar, es necesario que la integral desde 𝑎 hasta 𝑡 de 𝑓 de 𝑥 con
respecto a 𝑥 exista. Y esa es la integral que tenemos en la fórmula. También se requiere que el límite de esta integral cuando 𝑡 tiende a infinito
exista. Y ese es el límite en nuestra fórmula. Si la integral y el límite existen, entonces podemos decir que la integral con el
límite de integración infinito, que es la integral que vamos a hallar, converge. Y si la integral o el límite no existen, entonces la integral que tiene el límite de
integración infinito diverge. Recapitulando, decimos que nuestra integral desde 𝑎 hasta infinito de 𝑓 de 𝑥 con
respecto a 𝑥 converge si la integral existe y es igual a una constante real 𝑘. Y decimos que la integral desde 𝑎 hasta infinito de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥
diverge si la integral o el límite no existen.
Veamos un ejemplo de una integral de esta forma.
La integral desde uno hasta infinito de uno sobre 𝑥 al cuadrado con respecto a 𝑥 es
convergente. ¿A qué converge?
En esta cuestión se nos dice que la integral es convergente. Es decir, la integral sí tiene un valor numérico. Podemos hallar ese valor numérico usando la siguiente fórmula, que dice que la
integral desde 𝑎 hasta infinito de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual al límite
cuando 𝑡 tiende a infinito de la integral desde 𝑎 hasta 𝑡 de 𝑓 de 𝑥 con
respecto a 𝑥. Si nos fijamos en la integral, vemos que 𝑎 es igual a uno y que 𝑓 de 𝑥 es igual a
uno sobre 𝑥 al cuadrado. Sustituimos estos dos datos en la fórmula. Y obtenemos que la integral es igual al límite cuando 𝑡 tiende a infinito de la
integral desde uno hasta 𝑡 de uno sobre 𝑥 al cuadrado con respecto a 𝑥.
Comenzamos calculando esta integral. Reescribimos uno sobre 𝑥 al cuadrado como 𝑥 elevado a menos dos. Y aplicamos la regla de la potencia para integrales. Aumentamos el exponente en uno y dividimos por el nuevo valor. Una vez que hemos aumentado el exponente en uno obtenemos 𝑥 elevado a menos uno. Y tenemos que dividir por el nuevo exponente. Que es menos uno. No debemos olvidarnos de los límites 𝑡 y uno. Dividir por menos uno es lo mismo que multiplicar por menos uno. Y 𝑥 elevado a menos uno es uno sobre 𝑥. Así que reescribimos 𝑥 elevado a menos uno sobre menos uno como menos uno sobre
𝑥.
Ahora podemos sustituir nuestros límites de integración. Como 𝑡 es el límite superior, al sustituirlo, el signo no cambia. Obtenemos menos uno sobre 𝑡. Sin embargo, como uno es el límite inferior, debemos cambiar el signo al sustituirlo,
y obtenemos menos menos uno sobre uno. Simplificamos y obtenemos que nuestra integral es uno menos uno sobre 𝑡. Así que vamos a sustituir esto en nuestro límite. Y obtenemos que la integral desde uno hasta infinito de uno sobre 𝑥 al cuadrado con
respecto a 𝑥 es igual al límite cuando 𝑡 tiende a infinito de uno menos uno sobre
𝑡.
Vamos a descomponer este límite aplicando las reglas para el cálculo de límites. Tenemos que el límite de la diferencia de una función, 𝑓 de 𝑥 menos 𝑔 de 𝑥, es
igual a la diferencia de los límites de la función, esto es, el límite de 𝑓 de 𝑥
menos el límite de 𝑔 de 𝑥. Aplicamos esto a nuestro límite y decimos que es igual al límite cuando 𝑡 tiende a
infinito de uno menos el límite cuando 𝑡 tiende a infinito de uno sobre 𝑡. Ahora bien, como uno es independiente de 𝑡, el límite cuando 𝑡 tiende a infinito de
uno es uno. Y ahora pasamos al límite cuando 𝑡 tiende a infinito de uno sobre 𝑡. Cuando 𝑡 tiende a infinito, 𝑡 se hace cada vez más grande. Así que el recíproco de 𝑡, o sea, uno sobre 𝑡 está cada vez más cerca de cero. Así que podemos decir que el límite cuando 𝑡 tiende a infinito de uno sobre 𝑡 es
igual a cero. Muy bien, ya hemos llegado a la solución, que dice que la integral desde uno hasta
infinito de uno sobre 𝑥 al cuadrado con respecto a 𝑥 converge a uno y es, por lo
tanto, igual a uno.
Podemos llevar esta fórmula para calcular integrales con límites infinitos un poco
más allá. Vamos a modificarla un poco para poder calcular integrales que son un poco
diferentes. Supongamos que tenemos una función 𝑓 de 𝑥, que tiene más o menos esta pinta. Y se nos pide que hallemos la integral desde menos infinito hasta 𝑎 de 𝑓 de 𝑥. Donde 𝑎 puede ser cualquier punto del eje de las 𝑥. Digamos que está aquí. Esta integral nos da el área entre 𝑓 de 𝑥 y el eje de las 𝑥 desde 𝑎 hasta menos
infinito. Como ves, esto se parece bastante a las integrales con el límite de integración más
infinito. En ocasiones, el límite converge y en ocasiones diverge. Si converge, decimos que la integral es igual al límite cuando 𝑡 tiende a menos
infinito de la integral desde 𝑡 hasta 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 para valores
de 𝑡 menores que 𝑎.
Esta fórmula funciona de manera muy parecida a la que hemos visto antes. La principal diferencia es que, esta vez, es nuestro límite inferior el que es
infinito y es menos infinito. Por lo demás, el funcionamiento de las dos fórmulas es muy parecido.
Veamos un ejemplo de cómo funciona esto.
La integral de menos infinito a cero de dos elevado a 𝑟 con respecto a 𝑟 es
convergente. ¿A qué converge?
Ya conocemos una fórmula para calcular integrales de esta forma. Esta fórmula dice que la integral desde menos infinito hasta 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 con
respecto a 𝑥 es igual al límite cuando 𝑡 tiende a menos infinito de la integral
desde 𝑡 hasta 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥. En este caso 𝑎 es igual a cero. Además, estamos integrando con respecto a 𝑟 en vez de con respecto a 𝑥. Así que nuestra función 𝑓 de 𝑥, o en este caso, 𝑓 de 𝑟, es dos elevado a 𝑟. Vamos a sustituir estos valores en la fórmula. Tenemos, pues, que la integral desde menos infinito hasta cero de dos elevado a 𝑟
con respecto a 𝑟 es igual al límite cuando 𝑡 tiende a menos infinito de la
integral desde 𝑡 hasta cero de dos elevado a 𝑟 con respecto a 𝑟. Vamos a empezar calculando la integral.
Lo hacemos considerando la antiderivada. Si derivamos dos elevado a 𝑟 con respecto a 𝑟, obtenemos el logaritmo neperiano de
dos por dos elevado a 𝑟. Como el logaritmo neperiano de dos es una constante, dividimos por él en ambos lados
y lo metemos dentro de la derivada. De esta forma obtenemos que la derivada de dos elevado a 𝑟 partido por el logaritmo
neperiano de dos es igual a dos elevado a 𝑟. Y hemos hallado, pues, la antiderivada de dos elevado a 𝑟. Es dos elevado a 𝑟 sobre el logaritmo neperiano de dos.
Vamos a usar esto para decir que la integral desde 𝑡 hasta cero de dos elevado a 𝑟
con respecto a 𝑟 es igual a dos elevado a 𝑟 sobre el logaritmo neperiano de dos
desde 𝑡 hasta cero. Como cero es el límite superior, cuando lo sustituimos, el signo no cambia, así que
obtenemos dos elevado a cero sobre el logaritmo neperiano de dos. Y como 𝑡 es el límite inferior, cuando lo sustituimos, el signo cambia, así que
tenemos menos dos elevado a 𝑡 sobre el logaritmo neperiano de dos. Puesto que cualquier número elevado a cero es uno, reescribimos la potencia con
exponente cero como uno.
De esta forma hemos hallado que la integral es igual a uno sobre el logaritmo
neperiano de dos menos dos elevado a 𝑡 sobre el logaritmo neperiano de dos. Y sustituimos este valor de la integral en nuestro límite. Vamos a usar las propiedades de los límites para descomponer este límite. Tenemos que el límite de una diferencia de funciones es igual a la diferencia de los
límites de las funciones, obteniendo así que nuestro límite es igual al límite
cuando 𝑡 tiende a menos infinito de uno sobre el logaritmo neperiano de dos menos
el límite cuando 𝑡 tiende a menos infinito de dos elevado a 𝑡 sobre el logaritmo
neperiano de dos.
Para el primer límite tomamos el límite de uno sobre el logaritmo neperiano de dos,
que es independiente de 𝑡. Así que este límite es uno sobre el logaritmo neperiano de dos. Vamos a aplicar otra de las propiedades de los límites al segundo límite. Y esta dice que el límite de un cociente de funciones es igual al cociente del límite
de las funciones. En el denominador aquí estamos tomando el límite de una función constante. Por lo tanto, el denominador es igual al logaritmo neperiano de dos. En el numerador tenemos el límite cuando 𝑡 tiende a menos infinito de dos elevado a
𝑡. Aquí, el valor de 𝑡 se vuelve cada vez más negativo. De esta forma dos elevado a 𝑡 se acercará cada vez más a cero. Así que podemos decir que el límite cuando 𝑡 tiende a menos infinito de dos elevado
a 𝑡 debe ser cero. Y ya hemos obtenido la solución, que dice que la integral de menos infinito a cero de
dos elevado a 𝑟 con respecto a 𝑟 converge a — y es por lo tanto igual a — uno
sobre el logaritmo neperiano de dos.
Ahora vamos a combinar las dos fórmulas que hemos visto en este vídeo para formar una
tercera fórmula. Vamos a aplicar la propiedad de la integración que nos dice cómo integrar una función
sobre intervalos contiguos, la cual nos dice que la integral desde 𝑎 hasta 𝑏 de 𝑓
de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual a la integral desde 𝑎 hasta 𝑐 de 𝑓 de 𝑥 con
respecto a 𝑥 más la integral desde 𝑐 hasta 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥. Esta fórmula nos dice que, si queremos calcular el área entre una función 𝑓 de 𝑥 y
el eje de las 𝑥 entre dos puntos 𝑎 y 𝑏, entonces esta área será igual a la suma
de las áreas entre 𝑓 de 𝑥 y el eje de las 𝑥 entre 𝑎 y 𝑐 y entre 𝑐 y 𝑏.
Consideremos la integral desde menos infinito hasta más infinito de 𝑓 de 𝑥 con
respecto a 𝑥. Si tenemos una función 𝑓 de 𝑥, como vemos aquí, entonces esta integral representa
el área entre 𝑓 de 𝑥 y el eje de las 𝑥, desde menos infinito hasta más
infinito. Para aplicar las propiedades de las integrales sobre intervalos contiguos, podemos
elegir cualquier valor de 𝑐 en el eje de las 𝑥. Nuestra integral desde menos infinito hasta más infinito será igual a la suma de las
integrales desde menos infinito hasta 𝑐 y desde 𝑐 hasta más infinito, dándonos
esta fórmula, que dice que la integral desde menos infinito hasta más infinito de 𝑓
de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual a la integral desde menos infinito hasta 𝑐 de 𝑓
de 𝑥 con respecto a 𝑥 más la integral desde 𝑐 hasta más infinito de 𝑓 de 𝑥 con
respecto a 𝑥.
Conocemos las fórmulas que necesitamos para calcular estas dos integrales. Vamos a utilizarlas para decir que la integral desde menos infinito hasta más
infinito de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual al límite cuando 𝑠 tiende a menos
infinito de la integral desde 𝑠 hasta 𝑐 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 más el
límite cuando 𝑡 tiende a infinito de la integral desde 𝑐 hasta 𝑡 de 𝑓 de 𝑥 con
respecto a 𝑥. Aquí 𝑠 debe ser menor que 𝑐 y 𝑡 debe ser mayor que 𝑐. Hemos cambiado la 𝑡 del primer límite a una 𝑠 para no confundirnos, pues uno de los
límites tiende a menos infinito y el otro tiende a más infinito. Y aquí 𝑐 puede ser cualquier número real. Vamos a usar esta fórmula para ayudarnos a resolver el siguiente problema.
La integral entre menos infinito y más infinito de 𝑥 por 𝑒 elevado a menos 𝑥 al
cuadrado con respecto a 𝑥 es convergente. ¿A qué converge?
Tenemos una fórmula que puede ayudarnos a calcular integrales de esta forma. Esta fórmula dice que la integral desde menos infinito hasta más infinito de 𝑓 de 𝑥
con respecto a 𝑥 es igual al límite cuando 𝑠 tiende a menos infinito de la
integral desde 𝑠 hasta 𝑐 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 más el límite cuando 𝑡
tiende a más infinito de la integral desde 𝑐 hasta 𝑡 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a
𝑥, siendo 𝑐 cualquier número real. En este caso 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑥 por 𝑒 elevado a menos 𝑥 al cuadrado. Así que sustituimos esto en nuestra fórmula. Y, como sabes, 𝑐 puede ser cualquier número real. Vamos a hacer 𝑐 igual a cero. Aunque puedes elegir cualquier valor para 𝑐.
Vamos a tratar de hallar las integrales. Podemos hacerlo hallando la antiderivada de 𝑥 por 𝑒 elevado a menos 𝑥 al
cuadrado. Vemos que la derivada de 𝑒 elevado a menos 𝑥 al cuadrado es menos dos 𝑥𝑒 elevado
a menos 𝑥 al cuadrado. Vamos a dividir ambos lados de la ecuación por la constante menos dos. Y obtenemos esto. En el lado izquierdo tenemos una constante que está multiplicando a una derivada. Aplicamos la regla de la derivada del producto por un número, y metemos el término
menos un medio dentro de la derivada. De esta forma obtenemos la antiderivada de 𝑥 por 𝑒 elevado a menos 𝑥 al
cuadrado. Y es igual a menos un medio por 𝑒 elevado a menos 𝑥 al cuadrado.
Si utilizamos esta antiderivada podemos calcular las integrales que están dentro de
los límites. Y seguidamente podemos sustituir los límites superiores e inferiores. Y obtenemos el límite cuando 𝑠 tiende a menos infinito de menos un medio por 𝑒
elevado a menos cero al cuadrado menos menos un medio por 𝑒 elevado a menos 𝑠 al
cuadrado. Más el límite cuando 𝑡 tiende a más infinito de menos un medio por 𝑒 elevado a
menos 𝑡 al cuadrado menos menos un medio por 𝑒 elevado a menos cero al
cuadrado. Como 𝑒 elevado a menos cero al cuadrado es sencillamente 𝑒 elevado a cero, que es
uno, menos un medio por 𝑒 elevado a menos cero al cuadrado es menos un medio. Ahora vamos a combinar los signos negativos para obtener un signo positivo.
A continuación, utilizamos una de las propiedades de los límites, que nos dice que el
límite de una suma de funciones es igual a la suma de los límites de las
funciones. De esta forma podemos descomponer los límites así. Aquí tenemos dos límites de términos constantes. Así que estos límites son iguales a ese término constante. El primero es menos un medio y el segundo es un medio. Y si sumamos estos dos términos, se cancelarán entre sí. Ahora solo nos queda ocuparnos de estos dos límites que quedan. Veamos primero el de la derecha.
A medida que 𝑡 aumenta, menos 𝑡 al cuadrado se hará más grande, pero con un signo
negativo. Por lo tanto, 𝑒 elevado a menos 𝑡 al cuadrado estará cada vez más cerca de
cero. De esta forma podemos decir que el límite cuando 𝑡 tiende a infinito de menos un
medio por 𝑒 elevado a menos 𝑡 al cuadrado es igual a cero. Del mismo modo, a medida que 𝑠 aumenta en el sentido negativo, 𝑠 al cuadrado
aumenta en el sentido positivo. De esta forma, menos 𝑠 al cuadrado aumentará en el sentido negativo. Cuando esto ocurre, 𝑒 elevado a menos 𝑠 al cuadrado se acerca cada vez más a
cero. Así que este límite es también igual a cero.
Como menos un medio y más un medio se cancelan entre sí y estos dos límites son
iguales a cero, la integral de menos infinito a más infinito de 𝑥 por 𝑒 elevado a
menos 𝑥 al cuadrado con respecto a 𝑥 converge a — y es por lo tanto igual a —
cero.
Hemos visto varios ejemplos en los que hemos tenido que calcular integrales con
límites de integración infinitos. Repasemos algunos puntos clave del vídeo.
Puntos clave
La integral desde 𝑎 hasta infinito de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual al límite
cuando 𝑡 tiende a infinito de la integral desde 𝑎 hasta 𝑡 de 𝑓 de 𝑥 con
respecto a 𝑥, para 𝑡 mayor que 𝑎. La integral desde menos infinito hasta 𝑎 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual al
límite cuando 𝑡 tiende a menos infinito de la integral desde 𝑡 hasta 𝑎 de 𝑓 de
𝑥 con respecto a 𝑥, para 𝑡 menor que 𝑎. Y la integral desde menos infinito hasta más infinito de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥
es igual al límite cuando 𝑠 tiende a menos infinito de la integral desde 𝑠 hasta
𝑐 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 más el límite cuando 𝑡 tiende a más infinito de la
integral desde 𝑐 hasta 𝑡 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥, donde 𝑐 es cualquier
número real. Y una integral con un límite de integración infinito es convergente si el límite
existe, y es divergente, si el límite no existe.
