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En esta lección vamos a aprender cómo resolver ecuaciones que tienen logaritmos con bases distintas. Una vez que hayas completado esta lección deberás ser capaz de hallar el conjunto de soluciones de una ecuación que tiene logaritmos con bases distintas.
Aquí podemos ver lo que es la base de un logaritmo. Como ves, la base y el argumento están señalados. Pero antes de comenzar a resolver ecuaciones logarítmicas vamos a repasar un punto que debemos conocer. Se trata de cómo cambiar la base de un logaritmo. Veamos, pues, lo que tenemos aquí, o sea, vamos a ver cómo cambiar la base de un logaritmo.
Tenemos el logaritmo en base 𝑎 de 𝑏. Y aquí se nos presenta el método o la fórmula que nos sirve para pasar este logaritmo a uno que tiene la base que queremos. Esta fórmula dice que el logaritmo en base 𝑎 de 𝑏 es igual al logaritmo en base 𝑥 de 𝑏 partido entre el logaritmo en base 𝑥 de 𝑎, y aquí podemos escoger la base que queramos. Enseguida vamos a ver cómo podemos aplicar esta fórmula. Consideremos este ejemplo para ver cómo hacerlo.
Si tenemos logaritmo en base nueve de 27, podemos reescribirlo usando la fórmula que tenemos a la izquierda. De esta forma, esto se convierte en logaritmo en alguna base de 27 partido por logaritmo en alguna base de nueve. Decimos «alguna base» porque depende de nosotros decidir qué base vamos a utilizar. Si consideramos 27 y nueve, vemos que, de hecho, ambos números se pueden escribir como tres elevado a un número entero. Así que tenemos tres al cubo y tres al cuadrado. Por tanto, vamos a escoger el tres como nuestra base porque puede facilitarnos los cálculos cuando apliquemos una de las propiedades de los logaritmos para simplificar lo que tenemos aquí.
Así, obtenemos logaritmo en base tres de tres al cubo partido entre logaritmo en base tres de tres al cuadrado. Como ves, hemos cambiado la base del logaritmo. La razón de esto es para mostrar cómo podemos simplificar esto. Lo hacemos usando las propiedades de los logaritmos. Las propiedades que vamos a usar son: logaritmo en base 𝑎 de 𝑚 elevado a 𝑛 es igual a 𝑛 por logaritmo en base 𝑎 de 𝑚. También vamos a aplicar la propiedad que dice que logaritmo en base 𝑎 de 𝑎 es igual a uno. Aplicamos la primera propiedad, y obtenemos tres logaritmo en base tres de tres partido por dos logaritmo en base tres de tres.
Aplicamos ahora la segunda propiedad, de forma que el logaritmo en base tres de tres se convierte en uno. Por tanto, tenemos tres multiplicado por uno partido de dos multiplicado por uno, que es tres medios. Lo que hemos hecho aquí es mostrar la manera en que hacer un cambio de base en un logaritmo puede ayudarnos a simplificar, y hemos obtenido que el logaritmo en base nueve de 27 es igual a tres medios.
Vale, muy bien. Ya hemos repasado las técnicas que vamos a necesitar para resolver las ecuaciones. Veamos ahora algunos ejemplos de cómo resolver ecuaciones aplicando la fórmula del cambio de base de un logaritmo.
Halla el conjunto solución de logaritmo en base tres de 𝑥 igual a logaritmo en base nueve de cuatro en el conjunto de los números reales.
Para resolver este problema vamos a cambiar la base del logaritmo. Y lo hacemos usando esta fórmula de aquí, que dice que el logaritmo en base 𝑎 de 𝑏 es igual al logaritmo en base 𝑥 de 𝑏 partido por el logaritmo en base 𝑥 de 𝑎. En este ejemplo solo vamos a cambiar la base del logaritmo que está en el lado derecho de la ecuación. Pues el logaritmo del lado izquierdo vamos a mantenerlo como logaritmo en base tres porque esa es la base a la que vamos a cambiar el logaritmo del lado derecho.
Lo hacemos y obtenemos logaritmo en base tres de 𝑥 igual a logaritmo en base tres de cuatro partido por logaritmo en base tres de tres al cuadrado. Lo que hemos hecho aquí es cambiar el nueve por tres al cuadrado, y esta es la razón por la que queríamos tener una base de tres. De esta forma podemos aplicar una o dos de las propiedades de los logaritmos para ayudarnos a simplificar.
La siguiente propiedad que vamos a usar dice que el logaritmo en base 𝑎 de 𝑚 elevado a 𝑛 es igual a 𝑛 logaritmo en base 𝑎 de 𝑚. Así que hacemos logaritmo en base tres de 𝑥 igual a logaritmo en base tres de cuatro partido por dos logaritmo en base tres de tres. Ahora aplicamos la otra propiedad de los logaritmos que nos dice que el logaritmo en base 𝑎 de 𝑎 es igual a uno.
Lo hacemos y obtenemos logaritmo en base tres de 𝑥 igual a logaritmo en base tres de cuatro partido por dos. Eso es porque teníamos dos multiplicado por uno, pues logaritmo en base tres de tres era uno. Así que ahora lo que vamos a hacer es multiplicar ambos lados por dos. Y al hacerlo, obtenemos dos logaritmo en base tres de 𝑥 igual a logaritmo en base tres de cuatro.
Si aplicamos la primera propiedad, pero al revés, podemos reordenar el lado izquierdo para que sea logaritmo en base tres de 𝑥 al cuadrado igual a logaritmo en base tres de cuatro. Y la razón por la que queremos hacer esto es porque ahora podemos igualar los argumentos porque vemos que tenemos logaritmo en base tres de 𝑥 al cuadrado y luego logaritmo en base tres de cuatro. De esta forma, al hacerlo obtenemos que 𝑥 al cuadrado es igual a cuatro. Calculamos la raíz cuadrada de esto y obtenemos que 𝑥 es igual a dos.
Pero es posible que te preguntes, «¿dónde está el valor negativo, pues no deberíamos tener menos dos o dos?». Lo cierto es que el valor negativo no nos sirve. Pues sabemos que el argumento de un logaritmo debe ser positivo. Y como queremos hallar 𝑥, que es, de hecho, el argumento del logaritmo del lado izquierdo de la ecuación, no podemos tener un valor negativo. Así que el conjunto de soluciones de nuestra ecuación es dos.
Vale, perfecto. Ya hemos resuelto la primera ecuación. Pero fíjate en que aquí hemos resaltado algo. Hemos dicho que el argumento de un logaritmo debe ser positivo. Pero, ¿por qué es así? Echemos un vistazo rápido. Como dijimos, si tenemos logaritmo en base 𝑎 de 𝑏, entonces 𝑏 debe ser positivo. ¿Por qué? En este caso, si aplicamos algo de lógica, podemos decir: «Bueno, espera. Si el logaritmo en base 𝑎 de 𝑏 es igual a 𝑥, entonces 𝑎 elevado a 𝑥 será igual a 𝑏».
Bueno, 𝑏 puede ser claramente negativo. Aquí mismamente tenemos un ejemplo que lo demuestra. Si tenemos menos tres al cubo, obtendremos como resultado menos 27. Entonces, ¿por qué 𝑏 no puede tomar un valor negativo? Bueno, en realidad no es el argumento en el que tenemos que fijarnos. Es la base, porque este es nuestro factor limitante y nos da el dominio para los posibles valores del argumento. Sabemos que una base no puede ser negativa. Así que vamos a usar este ejemplo para resaltar el porqué.
Entonces, si tenemos logaritmo en base menos dos de 𝑥 igual a un medio, lo que tendremos si lo expresamos en forma exponencial es menos dos elevado a un medio igual a 𝑥. Y para despejar la 𝑥 hemos de calcular la raíz cuadrada de menos dos. Esto es porque el exponente de un medio significa raíz cuadrada. Así que tendremos que la raíz cuadrada de menos dos es igual a 𝑥, y sabemos que esto no está definido en los números reales.
Esto demuestra por qué no podemos tener una base negativa. Si partimos de aquí, si no podemos tener una base negativa, entonces no podemos tener un argumento negativo. Por esta razón no podemos tener un valor negativo. Veamos, además, por qué la base no puede tomar el valor uno. Pensemos, por ejemplo, si tenemos logaritmo en base uno de dos igual a 𝑎, entonces si reorganizamos la expresión tendremos uno elevado a 𝑎 igual a dos. Y esto no es posible, pues uno elevado a cualquier número es uno. Y podemos ver lo mismo con el ejemplo de abajo.
Vale, muy bien. Ahora ya sabemos por qué el argumento de un logaritmo debe ser positivo. Continuemos, pues, y resolvamos algunos problemas más.
Determina el conjunto solución de la ecuación logaritmo en base tres de 𝑥 más logaritmo en base 243 de 𝑥 elevado a cinco más tres igual a cero en el conjunto de los números reales.
Para resolver este problema, lo que vamos a hacer es usar la fórmula del cambio de base, la cual ya hemos visto, y que dice que logaritmo en base 𝑎 de 𝑏 es igual a logaritmo en base 𝑥 de 𝑏 partido por logaritmo en base 𝑥 de 𝑎. Así que si echamos un vistazo al problema, o a la ecuación, vemos que nos conviene aplicar la fórmula del cambio de base a la expresión logaritmo en base 243 de 𝑥 a la quinta. Y nos conviene usarla aquí porque de hecho lo que queremos hacer es cambiar esta base a logaritmo en base tres para que los logaritmos tengan la misma base.
Al hacerlo obtenemos logaritmo en base tres de 𝑥 más logaritmo en base tres de 𝑥 a la quinta partido por logaritmo en base tres de 243 más tres igual a cero. Y esto es porque podemos escoger la nueva base cuando estamos cambiando la base. La otra razón por la que hacemos esto es porque sabemos que 243 es tres a la quinta. Ahora vamos a seguir resolviendo esto aplicando dos de las propiedades de los logaritmos para ayudarnos a simplificar la ecuación.
Las propiedades que vamos a aplicar son logaritmo en base 𝑎 de 𝑚 elevado a 𝑛 igual a 𝑛 logaritmo en base 𝑎 de 𝑚 y logaritmo en base 𝑎 de 𝑎 igual a uno. Aplicamos estas propiedades y obtenemos logaritmo en base tres de 𝑥 más cinco logaritmo en base tres de 𝑥, y eso es porque hemos usado la primera propiedad, y luego dividido por cinco logaritmo en base tres de tres. Y eso es porque, como dijimos, 243 es lo mismo que tres a la quinta. Así que ponemos el cinco delante de logaritmo en base tres.
Así que tenemos cinco logaritmo en base tres de tres más tres igual a cero. Sabemos que logaritmo en base tres de tres es uno. Así que tenemos cinco por uno en el denominador. Seguidamente dividimos por cinco, y obtenemos dos logaritmo en base tres de 𝑥 más tres igual a cero. Y eso es porque teníamos logaritmo en base tres de 𝑥 y luego más logaritmo en base tres de 𝑥. Así que eso nos da dos de esos logaritmos. A continuación restamos tres de ambos lados de la ecuación, y obtenemos dos logaritmo en base tres de 𝑥 igual a menos tres.
Ahora podemos usar un pequeño truco para ayudarnos. Podemos convertir el lado derecho en una expresión logarítmica en base tres. Podemos hacerlo porque menos tres es lo mismo que menos tres multiplicado por logaritmo en base tres de tres. Por tanto, tenemos dos logaritmo en base tres de 𝑥 igual a menos tres logaritmo en base tres de tres. Ahora lo que haremos es aplicar la primera propiedad en sentido opuesto. De esta forma tenemos logaritmo en base tres de 𝑥 al cuadrado igual a logaritmo en base tres de tres elevado a menos tres.
Como la base es la misma, podemos igualar los argumentos. Así que tenemos 𝑥 al cuadrado igual a tres elevado a menos tres. Por lo tanto, 𝑥 al cuadrado es igual a uno partido por 27. Seguidamente, si hacemos la raíz cuadrada de ambos lados, obtendremos 𝑥 igual a uno partido por raíz de 27. El valor negativo no nos sirve porque el enunciado nos dice «en el conjunto de los números reales». Y esto es porque 𝑥 es, de hecho, el argumento en dos de nuestros logaritmos, y un argumento tiene que ser positivo.
Lo que vamos a hacer ahora es simplificar la raíz de 27 utilizando una de las propiedades de las raíces. Esta dice que la raíz de 27 es igual a la raíz de nueve multiplicada por la raíz de tres, lo que nos da tres raíz de tres. Por lo tanto, el conjunto solución de nuestra ecuación es uno partido por tres raíz de tres.
Estupendo, ya hemos resuelto este problema. Veamos ahora un problema en el que aparece una ecuación de segundo grado.
Halla el conjunto solución de logaritmo en base dos de 𝑥 igual a logaritmo en base cuatro de tres 𝑥 más 28 en el conjunto de los números reales.
Para resolver este problema vamos a usar la fórmula del cambio de base. O sea, logaritmo en base 𝑎 de 𝑏 es igual a logaritmo en base 𝑥 de 𝑏 partido por logaritmo en base 𝑥 de 𝑎. Vamos a usar esta fórmula para que el logaritmo del lado derecho tenga la misma base que el logaritmo del lado izquierdo. Al hacerlo, obtenemos logaritmo en base dos de 𝑥 igual a logaritmo en base dos de tres 𝑥 más 28 partido por logaritmo en base dos de cuatro.
Siempre que resolvemos un problema de este tipo, lo que buscamos es llegar a una expresión como, por ejemplo, logaritmo en base dos de dos. Y esto es porque es de la forma logaritmo en base 𝑎 de 𝑎. Y podemos escribirlo aquí, pues cuatro es dos al cuadrado. Así que lo ponemos en el denominador, y obtenemos logaritmo en base dos de dos al cuadrado.
Ahora, para simplificar aún más, vamos a aplicar dos de las propiedades de los logaritmos. La primera dice que el logaritmo en base 𝑎 de 𝑚 elevado a 𝑛 es igual a 𝑛 por logaritmo en base 𝑎 de 𝑚. Y la segunda dice que el logaritmo en base 𝑎 de 𝑎 es igual a uno. Aplicamos la primera propiedad y obtenemos que el logaritmo en base dos de 𝑥 es igual a logaritmo en base dos de tres 𝑥 más 28 partido por dos logaritmo en base dos de dos. Aplicamos la segunda propiedad y el denominador se convierte en dos porque es dos multiplicado por uno, ya que logaritmo en base dos de dos es uno.
Si ahora multiplicamos ambos lados por dos, obtenemos dos logaritmo en base dos de 𝑥 igual a logaritmo en base dos de tres 𝑥 más 28. Consideremos ahora el lado izquierdo para aplicar en sentido opuesto la primera propiedad de los logaritmos que hemos usado. Al hacerlo, obtenemos logaritmo en base dos de 𝑥 al cuadrado igual a logaritmo en base dos de tres 𝑥 más 28. Ahora ya podemos igualar los argumentos, pues tenemos logaritmos con la misma base en ambos lados de la ecuación.
Lo hacemos y obtenemos que 𝑥 al cuadrado es igual a tres 𝑥 más 28. Ahora vamos a reorganizar para convertir esta ecuación en una expresión cuadrática igualada a cero. Así que restamos tres 𝑥 y 28 de ambos lados. Lo hacemos, y obtenemos la ecuación de segundo grado 𝑥 al cuadrado menos tres 𝑥 menos 28 igual a cero. Ahora solo nos queda despejar la 𝑥. Y para resolver 𝑥 al cuadrado menos tres 𝑥 menos 28 igual a cero, descomponemos en factores. Expresamos el miembro izquierdo de la ecuación como un producto de factores, y obtenemos 𝑥 menos siete multiplicado por 𝑥 más cuatro igual a cero. De esta forma obtenemos que 𝑥 es igual a siete o menos cuatro.
Así que el conjunto de soluciones está formado por siete y menos cuatro, ¿no? No, porque 𝑥 no puede tomar uno de estos valores. El valor que no puede tomar es menos cuatro. Pues, si nos fijamos en nuestra ecuación, vemos que 𝑥 es el argumento del logaritmo en el lado izquierdo. Y sabemos que el argumento debe ser positivo. Por lo tanto, el conjunto de soluciones de la ecuación es siete.
Muy bien, ya hemos resuelto un problema con una ecuación cuadrática. Ahora vamos a aprender cómo resolver un problema donde tendremos un conjunto solución con más de un elemento.
Resuelve logaritmo en base dos de logaritmo en base tres de 𝑥 al cuadrado menos ocho 𝑥 igual a uno, donde 𝑥 está en el conjunto de los números reales.
Lo primero que vamos a hacer es reorganizar para tener un logaritmo con la misma base en ambos miembros de la ecuación. Vamos a hacerlo aplicando una de las propiedades de los logaritmos. Esta dice que el logaritmo en base 𝑎 de 𝑎 es igual a uno. De esta forma podemos decir que logaritmo en base dos de logaritmo en base tres de 𝑥 al cuadrado menos ocho 𝑥 es igual a logaritmo en base dos de dos porque, como hemos dicho, uno es igual a logaritmo en base dos de dos.
La razón por la que hemos hecho esto es para tener el logaritmo con la misma base en ambos lados de la ecuación. De forma que ya podemos igualar los argumentos. Así, logaritmo en base tres de 𝑥 al cuadrado menos ocho 𝑥 es igual a dos. Ahora, para despejar 𝑥, lo que vamos a hacer es pasar de forma logarítmica a exponencial. Si tenemos que logaritmo en base 𝑎 de 𝑏 es igual a 𝑥, entonces 𝑎 elevado a 𝑥 es igual a 𝑏.
Por lo tanto, si identificamos 𝑎, 𝑏 y 𝑥, podemos reescribir la ecuación como tres al cuadrado igual a 𝑥 al cuadrado menos ocho 𝑥, lo que nos da nueve igual a 𝑥 al cuadrado menos ocho 𝑥. Seguidamente restamos nueve de ambos lados de la ecuación. Y obtenemos cero igual a 𝑥 al cuadrado menos ocho 𝑥 menos nueve. Ahora solo nos queda resolver esta ecuación de segundo grado.
Podemos resolver esta ecuación cuadrática descomponiendo en factores. Al hacerlo obtenemos cero igual a 𝑥 menos nueve multiplicado por 𝑥 más uno. Así, 𝑥 es igual a nueve o menos uno. Estos dos valores pertenecen al conjunto de soluciones. Pero puede que pienses: «Esto no puede ser, pues sabemos que el argumento debe ser positivo». Así que no puede haber valor negativo. No obstante, este no es el caso en este problema en concreto, pues si nos fijamos en el argumento, vemos que el argumento no es 𝑥. El argumento es 𝑥 al cuadrado menos ocho 𝑥, bueno, el argumento de uno de los logaritmos.
Así que vamos a sustituir 𝑥 igual a menos uno en este argumento. Al hacerlo obtenemos menos uno al cuadrado menos ocho multiplicado por menos uno, que es uno más ocho porque menos uno al cuadrado es uno. Y restar un número negativo es lo mismo que sumar un número positivo. Y obtenemos un valor de nueve, que es un número positivo. Por lo tanto, satisface las condiciones que han de cumplirse para el argumento. Así, podemos decir que el conjunto solución de nuestra ecuación es nueve y menos uno.
Muy bien. Ya hemos resuelto unos cuantos ejercicios. Resumamos ahora los puntos clave que hemos visto en este vídeo. Considerando los puntos clave, vemos que el primero es que, si queremos cambiar la base de uno de los logaritmos, entonces podemos aplicar la propiedad que dice que logaritmo en base 𝑎 de 𝑏 es igual a logaritmo en base 𝑥 de 𝑏 partido por logaritmo en base 𝑥 de 𝑎. Y podemos poner como base cualquier número positivo y distinto de uno. Lo recomendable es escoger una base que nos ayude a resolver más fácilmente una ecuación o simplificar una expresión.
También hemos visto que, cuando tenemos un logaritmo en base 𝑎 de 𝑏, entonces 𝑏 es el argumento y 𝑎 es la base. Y el argumento debe ser positivo. Y esto es porque la base debe ser un valor positivo y distinto de uno. Es importante saber esto, pues hemos de aplicarlo cuando consideramos el dominio de 𝑥 cuando 𝑥 está en el argumento de un logaritmo en una ecuación que debemos resolver.
