Lesson Video: La derivada de la función inversa

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La derivada de la función inversa

En este vídeo vamos a aprender cómo hallar la derivada de las funciones inversas. Y veremos una serie de ejemplos en los que vamos a practicar cómo hacer esto. Vamos a empezar repasando las funciones inversas.

Sea 𝑓 la función con dominio 𝑈 y recorrido 𝑉, de modo que 𝑓 va de 𝑈 a 𝑉. Llamamos a una función 𝑔, que va de 𝑉 a 𝑈, la inversa de 𝑓, si para todo 𝑦 en 𝑉, 𝑓 de 𝑔 de 𝑦 es igual a 𝑦. Y para todo 𝑥 en 𝑈, 𝑔 de 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑥. Lo que nos dice esta definición es que, si una función 𝑓 tiene una inversa, y luego aplicamos 𝑓 y la inversa a un valor. Entonces obtendremos el valor con el que empezamos. Si una función 𝑔 que satisface esta definición existe, entonces diremos que 𝑓 es invertible y que 𝑔 es la inversa de 𝑓. También podemos expresar la función inversa así, como 𝑓 con un superíndice de menos uno.

Debemos, no obstante, tener cuidado de no confundir la función inversa con 𝑓 elevado a menos uno. Pues son funciones muy distintas a pesar de tener una notación similar. Si hay un superíndice menos uno a la derecha de una función, normalmente es la función inversa. Pero si está al lado de una variable o de una constante, se refiere a que está elevado a menos uno. Otra cosa que debemos tener en cuenta es que, si 𝑓 es la inversa de 𝑔, entonces 𝑔 es la inversa de 𝑓. Vamos a ver ahora la gráfica de una función 𝑓.

No es difícil demostrar que podemos hallar la gráfica de la inversa de esta función reflejándola en la recta 𝑦 igual a 𝑥, que es esta de aquí. Así que nuestra función inversa será algo así. Lo que queremos explorar en este vídeo es cómo hallar la derivada de una función inversa. Sabemos que el valor de la derivada en cada punto es la pendiente en ese punto. Y una forma de calcular la pendiente en un punto dado es hallar la tangente en ese punto y luego calcular la pendiente de la tangente. Vamos a calcular la tangente de 𝑓 en un valor 𝑥, que vamos a llamar 𝑎. Las coordenadas del punto en el que vamos a hallar la tangente son 𝑎, 𝑓 de 𝑎. Sin embargo, también podemos llamar a 𝑓 de 𝑎 𝑏, de modo que el punto en el que estamos hallando la tangente es 𝑎, 𝑏.

De este modo obtenemos que 𝑓 de 𝑎 es igual a 𝑏. Ahora, de algún modo, tenemos que relacionar esta igualdad con la función inversa de 𝑓. Si aplicamos la inversa de 𝑓 a ambos lados de esta igualdad, obtendremos que 𝑓 inversa de 𝑓 de 𝑎 es igual a 𝑓 inversa de 𝑏. Sin embargo, por la definición de función inversa, sabemos que 𝑓 inversa de 𝑓 de 𝑎 es igual a 𝑎. Esto nos lleva a que 𝑓 inversa de 𝑏 es igual a 𝑎. Vamos a hallar este punto en 𝑓 inversa de 𝑥. Y podemos hallar la tangente a 𝑓 inversa de 𝑥 en este punto. Parece que nuestras tangentes a 𝑓 de 𝑥 en 𝑎, 𝑏 y a 𝑓 inversa de 𝑥 en 𝑏, 𝑎 son rectas simétricas con respecto a la recta 𝑦 igual a 𝑥. Y esto tiene sentido, pues 𝑓 de 𝑥 es la simétrica de 𝑓 inversa de 𝑥 con respecto a la recta 𝑦 igual a 𝑥. Y el punto 𝑎, 𝑏 es el simétrico del punto 𝑏, 𝑎 con respecto a la recta 𝑦 igual a 𝑥.

Ahora lo que nos interesa aquí es la pendiente de 𝑓 inversa de 𝑥. Así que vamos a considerar la pendiente de estas dos tangentes. Vamos a llamar a la tangente 𝑓 de 𝑥 𝐿 uno y a la tangente de 𝑓 inversa de 𝑥 𝐿 dos. Sea la ecuación de 𝐿 uno 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑐. Una simetría axial con respecto a la recta 𝑦 igual a 𝑥 se corresponde con una transformación en la que 𝑥, 𝑦 se convierte en 𝑦, 𝑥. Por lo tanto, la ecuación de la recta 𝐿 dos será 𝑥 igual a 𝑚𝑦 más 𝑐. Y podemos reorganizar esta ecuación para hacer que 𝑦 sea el sujeto, obteniendo 𝑦 es igual a uno partido por 𝑚𝑥 menos 𝑐 sobre 𝑚.

Lo que nos interesa aquí son las pendientes de estas dos tangentes. Podemos ver que la pendiente de la tangente a 𝑓 de 𝑥 es 𝑚. Y la pendiente de la tangente a 𝑓 inversa de 𝑥 es uno sobre 𝑚. Como 𝑚 es la pendiente de la tangente en 𝑎, 𝑏, también puede definirse como la pendiente de 𝑓 en 𝑥 igual a 𝑎. Y, por lo tanto, tenemos que 𝑚 es igual a 𝑓 prima de 𝑎. Uno sobre 𝑚 representa la pendiente de la tangente a 𝑓 inversa de 𝑥 en 𝑏, 𝑎. Así que es la pendiente de 𝑓 inversa en 𝑥 igual a 𝑏. Por lo tanto, podemos decir que la derivada de 𝑓 inversa en 𝑏 es igual a uno sobre 𝑚. Sin embargo, acabamos de ver que 𝑚 es igual a 𝑓 prima de 𝑎. Así que podemos sustituir esto. Y esto nos da nuestro resultado. Y ese resultado es que, si 𝑓 de 𝑎 es igual a 𝑏, entonces la derivada de la inversa de 𝑓 en 𝑏 es igual a uno partido por la derivada de 𝑓 en 𝑎. Pero esto, por supuesto, solo se cumple si 𝑓 prima de 𝑎 no es igual a cero.

Ahora bien, no hemos demostrado este resultado rigurosamente. Pues simplemente nos hemos basado en la intuición de que las tangentes son simétricas con respecto a la recta diagonal. Sin embargo, podemos demostrar este resultado haciendo uso de la regla de la cadena. Si tenemos una función 𝑓 con una función inversa 𝑔, entonces, según la definición de función inversa, 𝑓 de 𝑔 de 𝑦 es igual a 𝑦. Hagamos uso de la regla de la cadena para derivar ambos lados de la ecuación con respecto a 𝑦. Obtenemos que 𝑓 prima de 𝑔 de 𝑦 por 𝑔 prima de 𝑦 es igual a uno. Si reorganizamos, obtenemos nuestro resultado. Que es que 𝑔 prima de 𝑦 es igual a uno partido por 𝑓 prima de 𝑔 de 𝑦. Esto se suele expresar en notación de Leibniz. En la que este resultado toma la forma d𝑦 sobre d𝑥 es igual a uno partido por d𝑥 sobre d𝑦. Vamos a aplicar ahora este resultado en algunos ejemplos.

Sabiendo que 𝑥 es igual a 𝑒 elevado a 𝑦, halla d𝑦 sobre d𝑥, y expresa la respuesta en términos de 𝑥.

Vamos a empezar derivando 𝑥 con respecto a 𝑦. Haciendo uso de la propiedad que dice que la derivada de la función exponencial es la función exponencial, obtenemos que d𝑥 sobre d𝑦 es igual a 𝑒 elevado a 𝑦. Ahora vamos a tratar de hallar la derivada de la función recíproca, que es 𝑦, con respecto a 𝑥. Así que queremos determinar d𝑦 sobre d𝑥. Y, para hacer esto, usamos la propiedad que dice que la derivada de la inversa de una función es igual al recíproco de la derivada de la función. O, como ya demostramos, d𝑦 sobre d𝑥 es igual a uno partido por d𝑥 sobre d𝑦. Para usar esto, debemos asegurarnos de que el denominador de nuestra fracción es distinto de cero. Y esto es d𝑥 sobre d𝑦.

Ya hemos hallado que d𝑥 sobre d𝑦 es igual a 𝑒 elevado a 𝑦. Como 𝑒 elevado a 𝑦 es una función exponencial, sabemos que 𝑒 elevado a 𝑦 va a ser mayor que cero para todos los valores de 𝑦. Por lo tanto, es distinta de cero. Así que podemos usar esta fórmula. Obtenemos que d𝑦 sobre d𝑥 es igual a uno partido por 𝑒 elevado a 𝑦. Sin embargo, la cuestión nos pide que expresemos la respuesta en términos de 𝑥. Para obtener nuestra respuesta en términos de 𝑥 podemos usar el hecho de que 𝑥 es igual a 𝑒 elevado a 𝑦, y poner 𝑥 en lugar de 𝑒 elevado a 𝑦. A partir de aquí, obtenemos la solución, que dice que d𝑦 sobre d𝑥 es igual a uno partido por 𝑥.

Vamos a pararnos un momento para examinar lo que tenemos aquí. Nuestra función original es 𝑥 igual a 𝑒 elevado a 𝑦. Reorganicemos la ecuación para despejar 𝑦. Para ello tomamos el logaritmo neperiano de ambos lados. De este modo, obtenemos que 𝑦 es igual al logaritmo neperiano de 𝑥. Y esta es la inversa de la función que se nos ha dado en el enunciado. Hemos hallado d𝑦 sobre d𝑥. Como 𝑦 es igual al logaritmo neperiano de 𝑥, d𝑦 sobre d𝑥 es la derivada del logaritmo neperiano de 𝑥 con respecto a 𝑥. Por lo tanto, lo que hemos demostrado aquí es que la derivada del logaritmo neperiano de 𝑥 con respecto a 𝑥 es uno partido por 𝑥.

Veamos ahora otro ejemplo.

Sabiendo que 𝑥 es igual a 𝑦 elevado a cinco más la raíz cuadrada de 𝑦 más la raíz cúbica de 𝑦 al cuadrado, halla d𝑦 sobre d𝑥.

Podemos calcular d𝑦 sobre d𝑥 usando la fórmula de la derivada de la función inversa. Que dice que d𝑦 sobre d𝑥 es igual a uno partido por d𝑥 sobre d𝑦. Vamos a empezar derivando 𝑥 con respecto a 𝑦. Y, para ello, comenzamos reescribiendo algunos de los términos en 𝑥. Podemos reescribir la raíz cuadrada de 𝑦 como 𝑦 elevado a un medio, y la raíz cúbica de 𝑦 al cuadrado como 𝑦 elevado a dos partido por tres. Ahora podemos usar la regla de la potencia para derivadas para derivar, término a término, 𝑥 con respecto a 𝑦.

Multiplicamos por el exponente y disminuimos el exponente en uno. Esto nos lleva a que d𝑥 sobre d𝑦 es igual a cinco 𝑦 elevado a cuatro más un medio 𝑦 de elevado a menos un medio más dos tercios de 𝑦 elevado a menos un tercio. Y ahora reescribimos las potencias fraccionarias de 𝑦 como radicales. Y luego combinamos estos tres términos en una fracción, usando para ello un denominador común de seis 𝑦. El primer término es 30𝑦 elevado a cinco sobre seis 𝑦. El segundo término es tres por la raíz cuadrada de 𝑦 sobre seis 𝑦. Y el tercer término es cuatro por la raíz cúbica de 𝑦 al cuadrado sobre seis 𝑦. Obtenemos que d𝑥 sobre d𝑦 es igual a 30 por 𝑦 elevado a cinco más tres por la raíz cuadrada de cinco más cuatro por la raíz cúbica de 𝑦 al cuadrado, todo partido por seis 𝑦.

Ahora podemos aplicar la fórmula de la derivada de la función inversa. Y, como sabemos, esta fórmula dice que d𝑦 sobre d𝑥 es la recíproca de d𝑥 sobre d𝑦.

Es posible que a veces se nos pida que hallemos la derivada de la función inversa en un punto dado. Debemos tener fijarnos bien en qué punto vamos a calcular la función, como veremos en el siguiente ejemplo.

Sea 𝑓 de 𝑥 igual a un medio de 𝑥 al cubo más un medio de 𝑥 al cuadrado más cinco 𝑥 menos cuatro y sea 𝑔 la inversa de 𝑓. Si 𝑓 de dos es 12, ¿cuánto es 𝑔 prima de 12?

Para ayudarnos a hallar 𝑔 prima de 12, podemos usar la fórmula de la derivada de la función inversa. Esta fórmula nos dice que, si 𝑔 es la función inversa de 𝑓, entonces 𝑔 prima de 𝑦 es igual a uno partido por 𝑓 prima de 𝑔 de 𝑦. Vamos a comenzar hallando 𝑓 prima de 𝑥, la derivada de 𝑓 con respecto a 𝑥. Podemos ver que 𝑓 es un polinomio. Por lo tanto, para hallar su derivada, podemos derivarlo término a término usando la regla de la potencia para las derivadas. Multiplicamos por el exponente y disminuimos el exponente en uno. Así, obtenemos que 𝑓 prima de 𝑥 es igual a tres sobre dos 𝑥 al cuadrado más 𝑥 más cinco.

Estamos tratando de hallar 𝑔 prima de 12. Y, por lo tanto, podemos sustituir 𝑦 igual a 12 en nuestra fórmula para 𝑔 prima de 𝑦. De este modo obtenemos que 𝑔 prima de 12 es igual a uno partido por 𝑓 prima de 𝑔 de 12. Pero no sabemos cuánto es 𝑔 de 12. Sin embargo, el enunciado nos ha dicho que 𝑓 de dos es igual a 12. Y como 𝑔 es la función inversa de 𝑓, podemos aplicar 𝑔 a ambos lados de esta igualdad. Y obtenemos que 𝑔 de 12 es igual a dos. Esto se debe a la forma en la que funcionan las funciones inversas. Pues si tomamos 𝑔 de 𝑓 de dos, habremos de obtener dos.

Ahora podemos sustituir este valor de 𝑔 de 12 en la ecuación de 𝑔 prima de 12. Y obtenemos que es igual a uno partido por 𝑓 prima de dos. Ya hemos hallado 𝑓 prima de 𝑥. Así que sustituimos 𝑥 es igual a dos para hallar 𝑓 prima de dos. Y obtenemos que 𝑓 prima de dos es igual a 13. Y si ahora sustituimos el valor de 𝑓 prima de dos en 𝑔 prima de 12, obtenemos que 𝑔 prima de 12 es igual a uno partido por 13.

Nuestra definición original de la derivada de la función inversa presume que la inversa existe. Vamos a ver ahora el teorema de la función inversa, que es mucho más sólido que nuestra definición original. Pues garantiza la existencia y continuidad de la inversa de una función cuando es continuamente derivable con una derivada distinta de cero.

El teorema de la función inversa

Sea 𝑓 una función continuamente derivable con una derivada distinta de cero en un punto 𝑎. El teorema de la función inversa nos dice que: Uno, 𝑓 es invertible en un entorno de 𝑎. Dos, 𝑓 tiene una inversa continuamente derivable en un entorno de 𝑎. Tres, la derivada de la inversa en 𝑏 igual a 𝑓 de 𝑎 es igual al recíproco de la derivada de 𝑓 en 𝑎. Es decir, la derivada de la inversa de 𝑓 en 𝑏 es igual a uno partido por la derivada de 𝑓 en 𝑎.

Lo que necesitamos para poder usar este teorema es que 𝑓 sea continuamente derivable en un punto 𝑎, y que tenga una derivada distinta de cero en ese punto. Ahora bien, la demostración de este teorema no entra dentro de los objetivos de este vídeo. Así que no la vamos a ver aquí.

Así que seguimos hacia delante con más ejemplos.

Sabiendo que 𝑓 de dos 𝜋 es menos uno, 𝑓 prima de dos 𝜋 es uno, y que 𝑎 es menos uno, halla la derivada de la inversa de 𝑓 en 𝑎.

Vamos a usar la propiedad de que la derivada de la inversa de 𝑓 en 𝑎 es igual a uno partido por 𝑓 prima de la inversa de 𝑓 en 𝑎. En nuestro caso, 𝑎 es menos uno. Tenemos que comenzar hallando el valor de la inversa de 𝑓 en menos uno. El enunciado nos dice que 𝑓 de dos 𝜋 es menos uno. Como sabemos que 𝑓 a la menos uno es la función inversa de 𝑓, esto nos dice que la inversa de 𝑓 en menos uno es igual a dos 𝜋. Así que podemos sustituir esto en nuestra ecuación. Y ahora tenemos que la derivada de la inversa de 𝑓 en menos uno es uno partido por 𝑓 prima en dos 𝜋. Y podemos ver que el enunciado nos ha dado 𝑓 prima en dos 𝜋. Y es igual a uno.

Así que podemos sustituir esto. Y así llegamos a nuestra solución, que es que la derivada de la función inversa de 𝑓 en menos uno es igual a uno.

Veamos ahora un último ejemplo.

Sea 𝑔 la inversa de 𝑓. Haciendo uso de la siguiente tabla, halla 𝑔 prima de cero.

Para hallar 𝑔 prima de cero vamos a usar la fórmula para hallar la derivada de la inversa de una función. Esta fórmula nos dice que 𝑔 prima de 𝑦 es igual a uno sobre 𝑓 prima de 𝑔 de 𝑦. Queremos hallar 𝑔 prima de cero. Así que sustituimos 𝑦 por cero. De este modo obtenemos que 𝑔 prima de cero es igual a uno partido por 𝑓 prima de 𝑔 de cero. En la tabla podemos ver que, cuando 𝑥 es igual a cero, 𝑔 es igual a menos uno. Y, por lo tanto, tenemos que 𝑔 de cero es igual a menos uno. Que podemos sustituir para obtener que 𝑔 prima de cero es igual a uno partido por 𝑓 prima de menos uno.

Ahora podemos leer 𝑓 prima de menos uno en la tabla. Y hallamos que, cuando 𝑥 es igual a menos uno, 𝑓 prima es igual a un tercio. O sea, 𝑓 prima de menos uno es igual a un tercio. De nuevo, podemos sustituir este valor. Y, por lo tanto, obtenemos que 𝑔 prima de cero es igual al recíproco de un tercio. Y así llegamos a nuestra solución, que es tres.

Hemos aprendido cómo hallar la derivada de las funciones inversas. Y hemos visto una serie de ejemplos de cómo esto se hace en la práctica. Repasemos ahora algunos puntos clave de este vídeo.

Puntos clave

Dada una función continuamente derivable 𝑓 con una derivada distinta de cero en un punto 𝑎. La derivada de la inversa de la función en 𝑏, que es igual a 𝑓 de 𝑎, es decir, la derivada de la inversa de 𝑓 en 𝑏, es igual a uno partido por la derivada de 𝑓 en 𝑎. Esto se escribe normalmente en notación de Leibniz como d𝑦 sobre d𝑥 es igual a uno partido por d𝑥 sobre d𝑦. Tenemos que tener cuidado con los puntos en los que calculamos las funciones y las derivadas.

Haciendo uso de esta fórmula, podemos hallar las derivadas de varias funciones inversas conocidas, como el logaritmo neperiano. El teorema de la función inversa garantiza la existencia de la inversa de una función continuamente derivable alrededor de los puntos con derivadas distintas de cero. Haciendo uso de este teorema, podemos hallar las derivadas de funciones inversas. Incluso en aquellos casos en los que no somos capaces de hallar una fórmula explícita para la inversa.