Vídeo: Integrales que producen funciones logarítmicas

En este vídeo vamos a aprender cómo integrar por sustitución (cambio de variable) funciones de la forma 𝑓′(𝑥)/𝑓(𝑥).

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Transcripción del vídeo

Integración de funciones que producen logaritmos. En este vídeo vamos a aprender cómo aplicar el método de integración por sustitución (cambio de variable) a funciones de la forma 𝑓 prima de 𝑥 sobre 𝑓 de 𝑥. Vamos a ver algunos ejemplos para explorar en qué tipo de integrales podemos emplear este método. Comencemos considerando la siguiente integral. Y es la integral indefinida de 𝑓 prima de 𝑥 sobre 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥. Vamos a tratar de resolverla. Podemos hacerlo mediante cambio de variable. Hacemos 𝑢 igual a 𝑓 de 𝑥. Y derivamos 𝑢 con respecto a 𝑥. Así, obtenemos que d𝑢 sobre d𝑥 es igual a 𝑓 prima de 𝑥. Aquí, «prima» denota una derivación con respecto a 𝑥. Y esto nos dice que d𝑢 es igual a 𝑓 prima de 𝑥 d𝑥.

Ahora podemos reescribir nuestra integral como la integral de uno sobre 𝑓 de 𝑥 por 𝑓 prima de 𝑥 d𝑥. Muy bien, ya estamos listos para hacer el cambio de variable. Vamos a poner 𝑢 en lugar 𝑓 de 𝑥 y d𝑢 en lugar de 𝑓 prima de 𝑥 d𝑥. De esta forma obtenemos que nuestra integral es igual a la integral de uno sobre 𝑢 con respecto a 𝑢. Y esta es una integral que sabemos hacer. Sabemos que la integral de uno sobre 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual al logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑥 más 𝑐. Por lo tanto, nuestra integral es igual al logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑢 más la constante de integración 𝑐. Y sustituimos el valor de 𝑢 en la ecuación. De esta forma llegamos a la solución, que es que la integral indefinida de 𝑓 prima de 𝑥 sobre 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual al logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑓 de 𝑥 más 𝑐.

Veamos un ejemplo de cómo funciona este procedimiento.

Determina la integral indefinida de dos 𝑥 más uno sobre 𝑥 al cuadrado más 𝑥 menos siete con respecto a 𝑥.

Si nos fijamos en el integrando de esta integral nos damos cuenta de que el numerador se parece mucho a la derivada del denominador. Vamos a asegurarnos de que es así. Llamamos al denominador 𝑓 de 𝑥. Así que 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑥 al cuadrado más 𝑥 menos siete. Y derivamos. Aplicamos la regla de la potencia a cada término, y obtenemos que 𝑓 prima de 𝑥 es igual a dos 𝑥 más uno. Y esto es igual al numerador de nuestra fracción. Por lo tanto, nuestro integrando es de la forma 𝑓 prima de 𝑥 sobre 𝑓 de 𝑥. Y acabamos de ver que contamos con una fórmula para integrar funciones de esta forma. Esta regla nos dice que la integral de 𝑓 prima de 𝑥 sobre 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual al logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑓 de 𝑥 más 𝑐. Aplicamos esta regla y obtenemos que la integral de dos 𝑥 más uno sobre 𝑥 al cuadrado más 𝑥 menos siete con respecto a 𝑥 es igual al logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑥 al cuadrado más 𝑥 menos siete más la constante de integración 𝑐.

En el siguiente ejemplo vamos a ver cómo este método puede ayudarnos a integrar algunas funciones trigonométricas.

Determina la integral indefinida de la cotangente de 𝑥 con respecto a 𝑥.

Sabemos que la cotangente de 𝑥 puede escribirse como el coseno de 𝑥 sobre el seno de 𝑥. Por lo tanto, podemos reescribir nuestra integral como la integral del coseno de 𝑥 sobre el seno de 𝑥 con respecto a 𝑥. A continuación, aplicamos la regla que dice que la derivada del seno de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual al coseno de 𝑥. Y, por lo tanto, si hacemos que nuestro denominador seno de 𝑥 sea igual a 𝑓 de 𝑥, nuestro numerador, coseno de 𝑥, será igual a 𝑓 prima de 𝑥. Y podemos ver que nuestra integral es de la forma integral de 𝑓 prima de 𝑥 sobre 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥.

Y conocemos la fórmula para resolver integrales de esta forma. Esta fórmula dice que la integral indefinida de 𝑓 prima de 𝑥 sobre 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual al logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑓 de 𝑥 más 𝑐. Si aplicamos esta fórmula a esta integral haciendo 𝑓 de 𝑥 igual a seno de 𝑥, obtendremos la solución. Que es que la integral indefinida de la cotangente de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual al logaritmo neperiano del valor absoluto del seno de 𝑥 más 𝑐.

Vamos a llevar este método un paso más allá. Y ver qué pasa si nuestro numerador difiere de la derivada del denominador en un factor constante. Consideremos, pues, un integrando de la forma 𝑎 por 𝑓 prima de 𝑥 sobre 𝑓 de 𝑥, donde 𝑎 es un número real. Y esto ahora parece bastante sencillo. Pues podemos hacer uso del hecho de que podemos sacar un factor constante fuera de la integral. Y obtenemos que nuestra integral es igual a 𝑎 por el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑓 de 𝑥 más 𝑐. Como ya hemos dicho, ahora este método parece muy sencillo. Pues se trata solo de un pequeño cambio con respecto a lo que estábamos haciendo antes. Pero hay dos cuestiones bastante difíciles a la hora de efectuar este tipo de integrales. Antes de llegar a aplicar esta fórmula.

La primera de las cuestiones es darnos cuenta de que nuestra integral puede estar en esta forma. Pues no es siempre evidente que nuestro numerador es una constante multiplicada por la derivada del denominador. Puede que a veces tengamos que multiplicar nuestro integrando por una función sobre sí misma, como ℎ de 𝑥 sobre ℎ de 𝑥. De esta forma haremos que esté en la forma que necesitamos para utilizar este método. La segunda cuestión, que suele ser menos complicada, es hallar el valor de la constante 𝑎, pues no siempre es fácil de determinar.

Veamos un ejemplo más de cómo usar este método.

Determina la integral indefinida de 𝑥 al cuadrado más siete sobre 𝑥 al cubo más 21𝑥 menos cinco con respecto a 𝑥.

Lo primero que notamos es que el numerador del integrando se parece mucho a la derivada del denominador. Vamos a comprobarlo. Hacemos de 𝑓 de 𝑥 nuestro denominador. Así que 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑥 al cubo más 21𝑥 menos cinco. Ahora derivamos. Y obtenemos que 𝑓 prima de 𝑥 es igual a tres 𝑥 al cuadrado más 21, que no es igual al numerador. Pero vemos que tiene un divisor de tres. Dividimos 𝑓 prima de 𝑥 por tres y obtenemos que un tercio de 𝑓 prima de 𝑥 es igual a 𝑥 al cuadrado más siete. Como ves, ahora es igual al numerador de nuestro integrando. Podemos expresar la integral en términos de 𝑓 de 𝑥. Y obtenemos que es igual a la integral de un tercio de 𝑓 prima de 𝑥 sobre 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥.

Ahora vamos a aplicar la fórmula que conocemos para integrar funciones de esta forma. Esta regla dice que la integral de 𝑎 por 𝑓 prima de 𝑥 sobre 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual a 𝑎 por el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑓 de 𝑥 más 𝑐. Así que podemos aplicar esta fórmula. Y, en este caso, 𝑎 es un tercio. Y 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑥 al cubo más 21𝑥 menos cinco. Aplicamos la regla y obtenemos que la integral indefinida de 𝑥 al cuadrado más siete sobre 𝑥 al cubo más 21𝑥 menos cinco con respecto a 𝑥 es igual a un tercio por el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑥 al cubo más 21𝑥 menos cinco más 𝑐.

En este último ejemplo hemos visto cómo hallar la constante 𝑎 por inspección. Sin embargo, no siempre es evidente. Otra forma de hallar la constante es mediante sustitución, como veremos en el siguiente ejemplo.

Determina la integral indefinida de 27 por el seno de 𝑥 más 21 por el coseno de 𝑥 sobre siete por el seno de 𝑥 menos nueve por el coseno de 𝑥 con respecto a 𝑥.

Si observamos con detenimiento esta integral, veremos que el numerador del integrando parece ser la derivada del denominador. Pues la derivada del seno de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual al coseno de 𝑥 y la derivada de menos el coseno de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual al seno de 𝑥. Ahora bien, parece que el numerador difiere de la derivada del denominador en un factor constante. Pero no conocemos este factor. Vamos a tratar de hallarlo haciendo un cambio de variable. Hacemos 𝑢 igual al denominador del integrando, así que tenemos siete por el seno de 𝑥 menos nueve por el coseno de 𝑥. Ahora derivamos 𝑢 con respecto a 𝑥. Y usamos el hecho de que la derivada del seno es el coseno de 𝑥 y que la derivada de menos el coseno de 𝑥 es el seno de 𝑥. Obtenemos que d𝑢 sobre d𝑥 es igual a siete por el coseno de 𝑥 más nueve por el seno de 𝑥. Por lo que d𝑢 es igual a nueve por el seno de 𝑥 más siete por el coseno de 𝑥 d𝑥.

Vamos a reorganizar la integral para poder sustituir. Enseguida nos damos cuenta de que podemos factorizar un factor de tres del numerador. Y esto nos permite escribir nuestra integral como la integral de tres sobre siete por el seno de 𝑥 menos nueve por el coseno de 𝑥 multiplicado por nueve por el seno de 𝑥 más siete por el coseno de 𝑥 d𝑥. Así que podemos sustituir 𝑢 en el denominador de la fracción. Y d𝑢 por nueve seno de 𝑥 más siete coseno de 𝑥 d𝑥. Y obtenemos que esto es igual a la integral de tres sobre 𝑢 d𝑢, que puede integrarse a tres por el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑢 más 𝑐. Por último, escribimos siete seno de 𝑥 menos nueve coseno de 𝑥 en lugar de 𝑢. Y obtenemos la solución, que es tres por el logaritmo neperiano del valor absoluto de siete seno de 𝑥 menos nueve coseno de 𝑥 más 𝑐.

Este método de integración puede utilizarse para integrar muchos tipos de funciones. En el siguiente ejemplo vamos a ver cómo integrar una función que contiene un logaritmo neperiano.

Determina la integral indefinida de menos tres sobre 𝑥 por el logaritmo neperiano de ocho 𝑥 con respecto a 𝑥.

Puede que, de primeras, esta integral parezca un poco difícil de efectuar, pero lo cierto es que no es difícil de expresar en una forma que sabemos integrar. Si hacemos 𝑓 de 𝑥 igual al logaritmo neperiano de ocho 𝑥, podemos derivar 𝑓 de 𝑥 haciendo uso del hecho de que la derivada del logaritmo neperiano de 𝑥 es uno sobre 𝑥 para hallar que 𝑓 prima de 𝑥 es igual a uno sobre ocho 𝑥. Y es una función compuesta, pues ocho 𝑥 se halla dentro de la función del logaritmo neperiano. Ojo, no debemos olvidarnos de multiplicar por la derivada de ocho 𝑥, que es ocho. Esto es por la regla de la cadena. Simplificamos y obtenemos que 𝑓 prima de 𝑥 es igual a uno sobre 𝑥.

Vamos a reescribir la integral. Si multiplicamos el numerador y el denominador de la fracción por uno sobre 𝑥, podemos reescribir nuestra integral como la integral de menos tres sobre 𝑥 sobre el logaritmo neperiano de ocho 𝑥 con respecto a 𝑥. Y ahora factorizamos el menos tres en el numerador. Una vez hecho esto vemos que la integral está en una forma que sabemos cómo integrar. Pues es de la forma integral de 𝑎 por 𝑓 prima de 𝑥 sobre 𝑓 de 𝑥 d𝑥. Siendo 𝑓 de 𝑥 el logaritmo neperiano de ocho 𝑥. Y 𝑓 prima de 𝑥 es uno sobre 𝑥. Por lo tanto, el valor de 𝑎 es menos tres. Y sabemos que esta integral es 𝑎 por el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑓 de 𝑥 más 𝑐. Vamos a sustituir los valores de 𝑎 y 𝑓 de 𝑥 para hallar la solución. Que es menos tres por el logaritmo neperiano del valor absoluto del logaritmo neperiano de ocho 𝑥 más 𝑐.

En este último ejemplo vamos a integrar una función trigonométrica en la que habremos de multiplicar el integrando por la fracción de una función sobre sí misma.

Determina la integral indefinida de dos por la cosecante de siete 𝑥 con respecto a 𝑥.

Bien, como puedes ver, esta función parece bastante difícil de integrar. Pues debemos conocer muy bien la derivada de las funciones trigonométricas. Como queremos determinar la integral indefinida de dos por la cosecante de siete 𝑥, vamos a hallar la derivada de la cosecante de siete 𝑥. Es menos siete por la cosecante de siete 𝑥 por la cotangente de siete 𝑥. Lo que pretendemos hacer ahora es conseguir que nuestro integrando esté en la forma de 𝑎 por 𝑓 prima de 𝑥 sobre 𝑓 de 𝑥. Pues ya sabemos cómo integrar funciones de esta forma, por lo que queremos conseguir que nuestra integral esté expresada en esta forma. Vamos a multiplicar el integrando por una fracción que es una función sobre sí misma, lo que es igual a uno. Lo más difícil aquí es hallar la función 𝑔 de 𝑥. Para que nuestra integral tenga la forma que sabemos integrar.

Veamos lo que pasa si hacemos 𝑔 de 𝑥 igual a cosecante de siete 𝑥. Multiplicamos el integrando por la cosecante de siete 𝑥 sobre la cosecante de siete 𝑥. Y obtenemos la integral de dos por la cosecante al cuadrado de siete 𝑥 sobre la cosecante de siete 𝑥 con respecto a 𝑥. Sin embargo, esto no está en la forma que queremos. Pero tenemos una pista, pues tenemos cosecante al cuadrado de siete 𝑥 en el numerador. Y conocemos otra función trigonométrica que, al derivarse, nos da un múltiplo de la cosecante al cuadrado de siete 𝑥. Y es la cotangente de siete 𝑥. La derivada de la cotangente de siete 𝑥 es menos siete por la cosecante al cuadrado de siete 𝑥.

Ahora es cuando debemos darnos cuenta de cuál es nuestra 𝑔 de 𝑥. Cuando multiplicamos por 𝑔 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 en nuestro integrando, siempre vamos a tener ese factor de la cosecante de siete 𝑥, que se encuentra originalmente en el integrando. Factorizamos un factor de la cosecante de siete 𝑥 en las dos derivadas y obtenemos cotangente de siete 𝑥 por una constante y cosecante de siete 𝑥 multiplicado por la misma constante. Esto es muy importante, pues las funciones que estamos derivando son la cosecante de siete 𝑥 y la cotangente de siete 𝑥.

Para obtener nuestro 𝑔 de 𝑥 vamos a tratar de sumar estas dos funciones. Pero primero vamos a ver cuál es la derivada de la suma de estas dos funciones. Usamos el hecho de que la derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas de las funciones. Y mantenemos el término de la cosecante de siete 𝑥 factorizado. De esta forma obtenemos que la derivada de la cosecante de siete 𝑥 más la cotangente de siete 𝑥 es igual a la cosecante de siete 𝑥 por menos siete cotangente de siete 𝑥 menos siete cosecante de siete 𝑥.

Hagamos 𝑔 de 𝑥 igual a cosecante de siete 𝑥 más cotangente de siete 𝑥. Obtenemos integral de dos por la cosecante de siete 𝑥 por la cosecante de siete 𝑥 más la cotangente de siete 𝑥 sobre la cosecante de siete 𝑥 más la cotangente de siete 𝑥 con respecto a 𝑥. Y, por supuesto, dos por la cosecante de siete 𝑥 está en el numerador. Muy bien, ahora nuestra integral está expresada en una forma muy cercana a la que nos interesa. Hacemos 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑔 de 𝑥, y vemos que el denominador del integrando es 𝑔 de 𝑥. Y, si comparamos el numerador con la derivada de 𝑔 de 𝑥, podemos ver que se parecen mucho. Lo único que varía es que hay un factor constante de dos en el numerador del integrando y un factor de menos siete en la derivada. Por lo que llegamos a la conclusión de que el numerador de nuestro integrando es igual a dos partido entre menos siete por 𝑔 prima de 𝑥.

Estupendo, ahora vemos que nuestra integral se encuentra en la forma que queremos. En este caso, 𝑎 es igual a menos dos sobre siete. Y 𝑓 de 𝑥 es igual a la cosecante de siete 𝑥 más la cotangente de siete 𝑥. Así que podemos aplicar la fórmula. Y obtenemos la solución, que es que la integral indefinida de dos por la cosecante de siete 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual a menos dos séptimos por el logaritmo neperiano del valor absoluto de la cosecante de siete 𝑥 más la cotangente de siete 𝑥 más 𝑐.

En este último ejemplo hemos visto cómo podemos hallar la integral de una función complicada usando este método y multiplicando por 𝑔 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 con una cierta función 𝑔 de 𝑥. La parte más difícil de este método consiste en hallar 𝑔 de 𝑥. Conocer las derivadas de distintas funciones puede ayudarnos a hacerlo.

En este vídeo hemos visto una amplia variedad de ejemplos. Así que vamos a resumir algunos puntos clave. Puntos clave. La integral indefinida de 𝑎 por 𝑓 prima de 𝑥 sobre 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual a 𝑎 por el logaritmo neperiano del valor absoluto de 𝑓 de 𝑥 más 𝑐, si 𝑎 es un número real. Este método puede aplicarse para hallar la integral de distintas funciones, incluyendo funciones trigonométricas como la cotangente de 𝑥, la tangente de 𝑥, la cosecante de 𝑥, etcétera. A veces no nos damos cuenta enseguida de que podemos usar este método para integrar. Pero, a veces, multiplicar por 𝑔 de 𝑥 sobre 𝑔 de 𝑥 por una función 𝑔 de 𝑥 nos permite hacerlo.

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