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En este video, vamos a aprender a usar el teorema del valor medio para integrales
para hallar el valor promedio de una función. Para beneficiarte de este video debes ser capaz de hallar integrales definidas de una
variedad de funciones, particularmente de funciones polinómicas.
En este video, vamos a tomar estas ideas y a desarrollarlas para encontrar el valor
promedio de una función dada en un intervalo cerrado. Comenzamos por recordar el teorema del valor medio para integrales. Esto es que, si 𝑓 es una función continua en un intervalo cerrado 𝑎 a 𝑏, entonces
existe un número 𝑐 en este intervalo que es tal que la integral entre 𝑎 y 𝑏 de 𝑓
de 𝑥 con respecto a 𝑥 es igual a 𝑓 de 𝑐 por 𝑏 menos 𝑎. Y en este teorema, el valor de 𝑓 de 𝑐 es el valor promedio de nuestra función 𝑓 en
el intervalo cerrado 𝑎 a 𝑏. ¿Pero qué significa esto realmente?
Básicamente, esto nos dice que cualquier función continua tendrá al menos un punto,
en donde la función es igual al valor promedio de la función sobre el intervalo
cerrado. Podemos reorganizar esta ecuación para hacer 𝑓 de 𝑐 el sujeto. Y esto coincide con la fórmula para el valor promedio de nuestra función. Si 𝑓 es integrable en algún intervalo cerrado 𝑎 a 𝑏, entonces el valor promedio de
la función sobre este intervalo cerrado está dado por uno sobre 𝑏 menos 𝑎 por la
integral entre 𝑎 y 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥. Ahora, vamos a ver unos ejemplos del uso de esta fórmula.
Determina el valor promedio de 𝑓 de 𝑥 igual a tres 𝑥 al cuadrado menos dos 𝑥 en
el intervalo cerrado de menos tres a cinco.
Recordemos que la fórmula para el valor promedio de la función 𝑓 sobre un intervalo
cerrado 𝑎 a 𝑏 es uno sobre 𝑏 menos 𝑎 por la integral entre 𝑎 y 𝑏 de 𝑓 de 𝑥
con respecto a 𝑥. En este caso, vemos que nuestra 𝑓 de 𝑥 es igual a tres 𝑥 al cuadrado menos dos
𝑥. Nuestro intervalo cerrado es desde menos tres hasta cinco. Así hacemos 𝑎 igual a menos tres y 𝑏 igual a cinco. Uno sobre 𝑏 menos 𝑎 se convierte en uno sobre cinco menos menos tres. Y esto está multiplicado por la integral entre menos tres y cinco de tres 𝑥 al
cuadrado menos dos 𝑥 con respecto a 𝑥. Cinco menos menos tres es igual a ocho. Por lo tanto, necesitamos evaluar esta integral definida.
Aquí, recordamos que la integral indefinida de un término polinómico general 𝑎𝑥 a
la 𝑛 es 𝑎𝑥 a la 𝑛 más uno sobre 𝑛 más uno más 𝑐, en donde 𝑎 y 𝑐 son
constantes y 𝑛 no es igual a menos uno. También recordamos que podemos integrar la suma de términos polinómicos integrando
cada término por separado. Y vemos que la integral de tres 𝑥 al cuadrado es tres 𝑥 al cubo sobre tres. Y la integral de menos dos 𝑥 es menos dos 𝑥 al cuadrado sobre dos. Y vamos a evaluar esto entre menos tres y cinco.
Ahora esto se simplifica un poco a 𝑥 al cubo menos 𝑥 al cuadrado. Así que sustituyamos nuestros límites. Queremos hallar un octavo de cinco al cubo menos cinco al cuadrado menos menos tres
al cubo menos menos tres al cuadrado. Esto es un octavo de 100 menos menos 36, todo lo cual es igual a 17. De modo que el valor promedio de nuestra función tres 𝑥 al cuadrado menos dos 𝑥 en
el intervalo cerrado menos tres a cinco es 17.
Ahora que ya tenemos una idea de cómo funciona la fórmula del valor promedio de una
función, vamos a ver un ejemplo que requiere un poco más de trabajo en el área de
integración.
Halla el valor promedio de 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cuadrado sobre 𝑥 al cubo menos
cinco todo al cuadrado en el intervalo cerrado menos uno a uno.
Recordemos que la fórmula del valor promedio de una función sobre un intervalo
cerrado 𝑎 a 𝑏 está dada por uno sobre 𝑏 menos 𝑎 por la integral de 𝑓 de 𝑥 con
respecto a 𝑥 evaluada entre 𝑎 y 𝑏. En este caso, podemos ver que nuestra función es igual a 𝑥 al cuadrado sobre 𝑥 al
cubo menos cinco, todo al cuadrado. Y vemos que nuestro intervalo cerrado va desde menos uno a uno. Por lo tanto, hagamos 𝑎 igual a menos uno y 𝑏 igual a uno. Y esto significa que el valor promedio de nuestra función está dado como uno sobre
uno menos menos uno multiplicado por la integral de 𝑥 al cuadrado sobre 𝑥 al cubo
menos cinco todo al cuadrado con respecto a 𝑥 evaluado entre menos uno y uno.
Uno menos menos uno es igual a dos. Pero ¿cómo evaluamos esta integral definida? Bien, debemos notar que el numerador es un múltiplo numérico de la derivada de parte
del denominador. La derivada de 𝑥 al cubo menos cinco es tres 𝑥 al cuadrado. Y esto nos sugiere que usemos integración por sustitución. Hacemos 𝑢 igual a 𝑥 al cubo menos cinco, y d𝑢 por d𝑥 es por lo tanto igual a tres
𝑥 al cuadrado. Sabemos que d𝑢 por d𝑥 no es una fracción. Pero para los efectos de la integración por sustitución, lo podemos tratar como tal y
decir que un tercio d𝑢 es igual a 𝑥 al cuadrado d𝑥.
Ahora estamos en posición de reemplazar varias partes de nuestra integral. Reemplazamos 𝑥 al cuadrado d𝑥 con un tercio d𝑢. Y reemplazamos 𝑥 al cubo menos cinco por 𝑢. Y vemos que el valor promedio de nuestra función es igual a un medio de la integral
de un tercio por uno sobre 𝑢 al cuadrado con respecto a 𝑢. Pero ¿qué hacemos con estos límites?
Bien, usamos nuestra definición de 𝑢. Decimos que 𝑢 es igual a 𝑥 al cubo menos cinco. Entonces para nuestro límite superior, cuando 𝑥 es igual a uno, 𝑢 es igual a uno al
cubo menos cinco, lo cual es igual a menos cuatro. Y cuando 𝑥 es igual a menos uno, 𝑢 es igual a menos uno al cubo menos cinco, que es
igual a menos seis. Podemos tomar la constante un tercio fuera del signo integral y reescribir uno sobre
𝑢 al cuadrado como 𝑢 elevado a menos dos. Y sabemos que la integral de 𝑢 elevado a menos dos es 𝑢 a la menos uno dividido por
menos uno, o menos 𝑢 a la menos uno, lo que puede ser escrito como menos uno sobre
𝑢.
Reemplazamos menos cuatro y menos seis. Y obtenemos un sexto de menos uno partido por menos cuatro menos uno partido por
menos seis. Bien, menos uno sobre menos cuatro es solo un cuarto. Y menos uno sobre menos seis es un sexto. Restamos estas fracciones usando para ello un común denominador. Y vemos que el valor promedio de la función es un sexto por un doceavo, lo que es
igual a uno sobre 72.
En nuestro próximo ejemplo, vamos a ver cómo usar el inverso de la fórmula del valor
promedio de una función para ayudarnos a calcular valores faltantes.
El valor promedio (media) de 𝑓 de 𝑥 igual a menos seis 𝑥 al cuadrado más seis 𝑥
menos uno en el intervalo cerrado de cero a 𝑏 es cero. Halla los posibles valores de 𝑏.
Recordemos que la fórmula del valor promedio (media) de la función 𝑓 sobre un
intervalo cerrado 𝑎 a 𝑏 es uno sobre 𝑏 menos 𝑎 por la integral entre 𝑎 y 𝑏 de
𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥. Sabemos que 𝑓 de 𝑥 es igual a menos seis 𝑥 al cuadrado más seis 𝑥 menos uno. Y hallamos que 𝑎 es igual a cero, y que no conocemos el valor de 𝑏. Entonces comenzamos reemplazando lo que sabemos en la fórmula del valor medio de una
función.
Obtenemos uno sobre 𝑏 menos cero, lo cual es uno sobre 𝑏. Y multiplicamos esto por la integral definida de menos seis 𝑥 al cuadrado más seis
𝑥 menos uno evaluado entre cero y 𝑏. Sabemos, además, que el valor promedio de nuestra función es igual a cero. Entonces podemos establecerlo como igual a cero.
Evaluemos nuestra integral. La integral de menos seis 𝑥 al cuadrado es menos seis 𝑥 al cubo sobre tres. La integral de seis 𝑥 es seis 𝑥 al cuadrado sobre dos. Y la integral de menos uno es menos 𝑥. Sustituyamos 𝑏 y cero en esta expresión. Vemos que cero es igual a uno sobre 𝑏 por menos dos 𝑏 al cubo más tres 𝑏 al
cuadrado menos 𝑏. Y después dividimos por 𝑏. Obtenemos que menos dos 𝑏 al cuadrado más tres 𝑏 menos uno es igual a cero. Y esto es una ecuación de segundo grado.
Así que vamos a multiplicar por menos uno. Y ahora vamos a factorizar la expresión dos 𝑏 al cuadrado menos tres 𝑏 más uno. Al hacerlo, vemos que dos 𝑏 menos uno por 𝑏 menos uno debe ser igual a cero. Y para que esto sea cierto, dos 𝑏 menos uno debe ser igual a cero o 𝑏 menos uno
debe ser igual a cero. Y resolvemos para 𝑏. Y vemos que 𝑏 debe ser igual a un medio o a uno.
Halla 𝑐 tal que 𝑓 de 𝑐 sea igual al valor medio de 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 menos dos
todo al cuadrado en el intervalo cerrado de menos uno a cinco.
Empezamos por recordar la fórmula para el valor promedio (media) de una función en un
intervalo cerrado 𝑎 a 𝑏. Es uno sobre 𝑏 menos 𝑎 por la integral de 𝑓 de 𝑥 con respecto a 𝑥 entre 𝑎 y
𝑏. Vemos que 𝑓 de 𝑥 aquí es 𝑥 menos dos todo al cuadrado. Y nuestro intervalo es desde menos uno hasta cinco. Así que decimos que 𝑎 es igual a menos uno y 𝑏 es igual a cinco.
Entonces, el valor promedio de esta función sobre ese intervalo cerrado es uno sobre
cinco menos menos uno por la integral entre menos uno y cinco de 𝑥 menos dos todo
al cuadrado con respecto a 𝑥. Y, tenemos un par de maneras en las que podemos evaluar esta integral definida. Podemos desarrollar los paréntesis. Alternativamente, nos damos cuenta de que, si hacemos 𝑢 igual a 𝑥 menos dos,
obtendremos que d𝑢 por d𝑥 es igual a uno, lo que significa que podemos decir que
d𝑢 debe ser igual a d𝑥.
Y por lo tanto podemos usar la integración por sustitución. Reemplazamos 𝑥 menos dos por 𝑢 y d𝑥 por d𝑢. Pero todavía tenemos que trabajar con los límites. Así que usamos nuestra definición de 𝑢. Y notamos que cuando 𝑥 es igual a cinco, 𝑢 es igual a menos dos, lo que es igual a
tres. También notamos que cuando 𝑥 es igual a menos uno, 𝑢 es menos uno menos dos, que es
igual a menos tres. Así que el valor promedio de nuestra función es un sexto de la integral entre menos
tres y tres de 𝑢 al cuadrado con respecto a 𝑢. Y la integral de 𝑢 al cuadrado es 𝑢 al cubo partido entre tres. Y cuando reemplazamos nuestros límites en la expresión, obtenemos un sexto de tres al
cubo sobre tres menos menos tres al cubo sobre tres, lo que es simplemente tres.
Casi hemos terminado. Queremos hallar los valores de 𝑐 tal que 𝑓 de 𝑐 sea igual al valor promedio de 𝑓
de 𝑥 sobre este intervalo cerrado, en otras palabras, los valores en los que 𝑓 de
𝑐 es igual a tres. Bien, 𝑓 de 𝑐 es 𝑐 menos dos todo al cuadrado. Queremos hallar cuando 𝑐 menos dos todo al cuadrado es igual a tres. Así que resolvemos esta ecuación para 𝑐. Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación, recordando usar la raíz
cuadrada positiva y la raíz cuadrada negativa de tres. Y después agregamos dos a ambos lados. Y obtenemos que 𝑐 es igual a dos más la raíz de tres y dos menos la raíz de
tres.
En nuestro último ejemplo, consideraremos la interpretación geométrica de esta
fórmula en relación con las gráficas de las funciones.
¿Cuál es el valor promedio de esta función en el intervalo cerrado de menos cinco a
cuatro?
Comenzamos por recordar la fórmula del valor promedio (media) de una función en un
intervalo cerrado 𝑎 a 𝑏. Es uno sobre 𝑏 menos 𝑎 por la integral de 𝑓 de 𝑥 evaluado entre 𝑎 y 𝑏. En nuestro caso, los límites son cuatro y menos cinco. Así que es uno sobre cuatro menos menos cinco por la integral definida. Este gráfico, sin embargo, muestra una función por partes formada por diferentes
funciones.
En lugar de calcular la función en cada punto, vamos a recordar la definición más
básica de la integral de una función. La integral nos permite hallar el área neta entre la gráfica de una función y el eje
de las 𝑥. Por lo tanto, podemos hallar el área entre la gráfica de esta función y el eje de las
𝑥 dividiendo el intervalo en subintervalos y recordando que, cuando evaluamos el
área debajo del eje 𝑥, obtenemos un valor negativo.
Vamos a empezar hallando el área de este triángulo. La fórmula del área del triángulo es un medio de la base por la altura. Entonces, el área de este triángulo es un medio por uno por cuatro, que son dos
unidades cuadradas. Ya que este triángulo se encuentra debajo del eje de las 𝑥, le damos un valor de
menos dos en nuestra integral. Nuestro siguiente triángulo se encuentra sobre el eje de las 𝑥. Esta área es un medio por dos por uno, lo que es igual a una unidad cuadrada. Así que añadimos uno.
La siguiente figura con la que nos encontramos es un trapecio, a pesar de que lo
podíamos haber dividido en un triángulo y un cuadrado. Su área es un medio por cuatro por tres por tres, que es igual a 10.5 unidades
cuadradas. Así que agregamos 10.5. Seguidamente encontramos un segundo trapecio, el cual tiene un área de un medio por
tres más dos por uno, lo cual es igual a 2.5 unidades cuadradas. Y, por último, un trapecio, el cual tiene un área de un medio por cuatro más dos por
dos, lo que es igual a tres unidades cuadradas. Si hallamos la suma de estos valores, esto será igual a la integral entre menos cinco
y cuatro de 𝑓 de 𝑥 con respecto 𝑥. Y obtenemos que el valor promedio de nuestra función es por tanto un noveno por 15,
que es igual a cinco tercios.
En este video, hemos aprendido que podemos hallar el valor promedio (media) de una
función 𝑓 en un intervalo cerrado 𝑎 a 𝑏 si 𝑓 es integrable, mediante el uso de
la fórmula uno sobre 𝑏 menos 𝑎 por la integral entre 𝑎 y 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 con
respecto a 𝑥. Y hemos visto que este proceso puede ser aplicado a funciones más complicadas como
aquellas que requieren integración por sustitución. Y finalmente, hemos visto que cuando nos dan la gráfica de una función, a veces es
más fácil hallar el área entre la gráfica y el eje de las 𝑥 que intentar evaluar la
integral analíticamente.
