Transcripción del vídeo
En este video, vamos a aprender cómo multiplicar monomios con una sola variable o con múltiples variables. Vamos a comenzar recordando lo que queremos decir con la palabra «monomio».
El prefijo «mono» proviene de la Grecia clásica. «Monos» significaba solo, solamente, solitario o soltero. Por eso llamamos «monomio» al polinomio con un solo término, en otras palabras, un monomio es un solo término que está compuesto por números y variables. Un monomio puede tener múltiples variables —es decir, puede tener varias letras—, pero los exponentes de estas letras solo pueden ser números enteros positivos. Por ejemplo, tres 𝑥 a la cuarta 𝑦 es un monomio. Pero dos 𝑥 elevado a menos cinco no lo es, ya que el exponente de la variable es negativo. Del mismo modo, no se considera un monomio si hay una variable dentro de una raíz. Y esto es porque podemos representar un radical como una potencia de exponente fraccionario. Y, por supuesto, una fracción no es un número entero. Vamos a ver cómo multiplicar dos o más monomios. Y vamos a comenzar resolviendo un ejercicio en el que no hay variables, o sea, no hay letras.
Halla el valor de tres por tres al cubo por tres al cuadrado.
Nos piden que calculemos este producto. Lo que podemos hacer es comenzar calculando tres al cubo y tres al cuadrado. Tres al cuadrado, es lo mismo que tres por tres, que es igual a nueve. Y luego, tres al cubo es tres por tres por tres, que es igual a 27. Por lo tanto, para evaluar tres por tres al cubo por tres al cuadrado, tenemos que hacer tres por 27 por nueve. Como sabemos, la multiplicación es conmutativa. Se puede realizar en cualquier orden. Así que podemos comenzar con tres por nueve. Tres multiplicado por nueve es 27. Entonces, tres por 27 por nueve es lo mismo que 27 por 27. Y, por supuesto, podemos usar cualquier método para calcular esto.
Recordemos cómo usar el método en vertical. Siete por siete es 49. Ponemos un nueve aquí, y nos llevamos el cuatro. Dos por siete es 14, y luego, cuando sumamos este cuatro, obtenemos 18. Así que 27 por siete es 189. Después multiplicamos los dígitos dos y siete por este dos. El dos está en la columna de las decenas, por lo que equivale a multiplicar por 20. Y, podemos agregar un cero aquí para tener esto en cuenta. Siete por dos es 14. Ponemos un cuatro aquí y llevamos el uno. Dos por dos son cuatro, y cuando sumamos el uno que nos llevamos, obtenemos cinco. 27 por 20 es 540. Sumamos estos dos números. Nueve más cero es nueve, ocho más cuatro son 12. Y llevamos el uno. Uno más cinco más el uno que llevábamos es siete. 27 por 27 es 729. Y ese es el valor de nuestro producto.
Pero ¿hay otra forma de resolver esto? Sí, tenemos una regla para trabajar con potencias, es decir, con números que tienen exponentes. Siempre que la base sea la misma, para multiplicar este tipo de números, simplemente sumamos sus exponentes. Supongamos que la base común es 𝑥. Entonces la regla dice que 𝑥 elevado a 𝑎 por 𝑥 elevado a 𝑏 es igual a 𝑥 elevado a 𝑎 más 𝑏. Y podemos extender esta regla para multiplicar tres términos. Si pensamos en tres como tres elevado a la unidad, podemos decir que tres elevado a la unidad multiplicado por tres al cubo por tres al cuadrado es lo mismo que tres elevado a uno más tres más dos, que es tres a la sexta. De esta forma hemos simplificado nuestro producto. Pero aún necesitamos evaluarlo para obtener 729. De cualquier manera, hemos hallado que tres por tres al cubo por tres al cuadrado es igual a 729.
Hemos visto cómo podemos simplificar y evaluar productos de monomios compuestos de términos puramente numéricos. ¿Qué hacemos cuando trabajamos con productos de números y variables, es decir, cuando hay números y letras?
Recuerda que este punto se usa indistintamente con el símbolo de multiplicación. Y, para simplificar la expresión dada, vamos a hacer uso de algunas de las propiedades de la multiplicación. En primer lugar, la propiedad asociativa de la multiplicación. Esta dice que cuando se multiplican tres o más números, el producto es el mismo, sin importar cómo se agrupen esos números. Realmente no necesitamos los paréntesis aquí. Es lo mismo que decir seis por 𝑥 por ocho. La propiedad conmutativa dice que el producto será el mismo incluso si cambiamos la posición de los números. Por ejemplo, tres por cuatro es lo mismo que cuatro por tres. De modo que vamos a intercambiar 𝑥 y ocho y a reescribir nuestra expresión como seis por ocho por 𝑥. Y como la agrupación realmente no importa, podemos calcular seis por ocho. Seis por ocho son 48, por lo que esto se convierte en 48 por 𝑥. Y, podemos escribirlo como 48𝑥. Por lo tanto, cuando simplificamos la expresión seis por ocho por 𝑥, obtenemos 48𝑥.
Así que hemos visto cómo multiplicar monomios bastante simples usando algunas de las propiedades de la multiplicación, junto con las leyes para trabajar con potencias. A continuación, vamos a combinar todo esto y vamos a ver algunos problemas más complicados.
Simplifica siete 𝑥 a la cuarta por ocho 𝑥 a la séptima.
Hay dos cosas que sabemos sobre la multiplicación. Es asociativa y conmutativa. La propiedad asociativa nos dice que el producto es el mismo sin importar cómo se agrupen los números. Y la propiedad conmutativa nos dice que el orden en el que realizamos el cálculo realmente no importa. Por tanto, vamos a empezar descomponiendo un poco los factores en nuestra multiplicación. Cuando lo hacemos, obtenemos siete por 𝑥 a la cuarta por ocho por 𝑥 a la séptima. Ahora vamos a intercambiar 𝑥 a la cuarta y ocho. Y vemos que nuestra expresión se convierte en siete por ocho por 𝑥 a la cuarta por 𝑥 a la séptima. Y, de hecho, podemos hacer la parte numérica. Sabemos que siete por ocho es 56, lo que significa que esto se convierte en 56 por 𝑥 a la cuarta por 𝑥 a la séptima.
Pero ¿qué hacemos con estas partes algebraicas? Pues bien, tenemos una regla para multiplicar potencias. Siempre que la base sea la misma, solo tenemos que sumar los exponentes. Ya sabes: 𝑥 elevado a 𝑎 por 𝑥 elevado a 𝑏 es 𝑥 elevado a 𝑎 más 𝑏. Esto significa que 𝑥 a la cuarta por 𝑥 a la séptima es 𝑥 elevado a cuatro más siete. Y como cuatro más siete es 11, esto se convierte en 𝑥 a la undécima potencia. Pero, realmente, no queremos incluir el símbolo de multiplicación. Así que, simplificamos esto aún más para obtener 56𝑥 a la undécima potencia. Cuando simplificamos siete 𝑥 a la cuarta por ocho 𝑥 a la séptima, obtenemos 56𝑥 a la undécima potencia.
En realidad, hacer todo esto de descomponer en factores y luego mover los factores de un sitio para otro es un proceso largo y tedioso, así que es conveniente generalizar. Así que decimos que, para multiplicar dos o más monomios, primero podemos multiplicar los coeficientes —esos son los números que multiplican a las partes algebraicas— y después multiplicar por separado las variables, es decir, las letras —por supuesto, usando las leyes de las potencias cuando sea necesario—. Continuemos, pues, aplicando esto a una cuestión con contexto.
Halla una expresión para el volumen del prisma rectangular que se muestra.
Aquí tenemos un ortoedro, o prisma rectangular, y nos han dado sus dimensiones. Llamemos a esta dimensión de aquí longitud, que representamos con 𝑙. Esta dimensión de aquí, 𝑤, será la anchura, y esta otra dimensión es la altura ℎ. Sabemos que el volumen de un prisma rectangular es simplemente el producto de estas tres dimensiones. Es largo por ancho por alto, lo que significa que el volumen de nuestro prisma rectangular en unidades cúbicas es tres 𝑥 por 10𝑥 por 15𝑥. Y, por lo tanto, estamos hallando el producto de tres monomios. Y, para hacer esto, primero multiplicamos los coeficientes; esas son las partes numéricas. Vamos a comenzar, pues, calculando tres por 10 por 15. Y luego, multiplicamos las variables por separado. Así que aquí vamos a hallar 𝑥 por 𝑥 por 𝑥.
También sabemos que la multiplicación es conmutativa, por lo que se puede hacer en cualquier orden. Vamos a comenzar multiplicando tres por 15 para obtener 45. Y 45 multiplicado por este 10 de aquí es 450. Al multiplicar los coeficientes de nuestros monomios, hemos obtenido 450. Y ahora, multiplicamos las partes algebraicas. Y, por supuesto, 𝑥 por 𝑥 por 𝑥 es 𝑥 al cubo. Por lo tanto, podemos decir que, en unidades cúbicas, el volumen del prisma rectangular mostrado es 450𝑥 al cubo.
Veamos ahora lo que sucede cuando nuestros monomios contienen más de una variable.
Simplifica tres 𝑥 por cuatro 𝑦.
Aquí, queremos hallar el producto de dos monomios. El primero es tres 𝑥 y el segundo es cuatro 𝑦. Recordemos que cuando multiplicamos monomios, comenzamos multiplicando los coeficientes. Esos son los números que multiplican a las partes algebraicas. Y después, podemos multiplicar las variables —usando nuestras leyes para potencias, si es necesario—. Los coeficientes de nuestros dos monomios son tres y cuatro. Así que primero calculamos tres por cuatro, que es igual a 12. Las variables son 𝑥 y 𝑦. Hallamos 𝑥 por 𝑦, que podemos escribir simplemente como 𝑥𝑦. Tres 𝑥 por cuatro 𝑦 es simplemente el producto de estos términos. Es 12 por 𝑥𝑦, que podemos escribir como 12𝑥𝑦. Hemos simplificado tres 𝑥 por cuatro 𝑦, y hemos obtenido 12𝑥𝑦.
Combinemos, pues, todo lo que hemos hecho para hacer un ejemplo definitivamente más complicado.
Simplifica seis 𝑥 al cuadrado 𝑦 al cuadrado por menos nueve 𝑥 al cuadrado 𝑦 a la quinta.
Aquí, queremos simplificar el producto de dos monomios. Así que vamos a recordar cómo multiplicamos dos o más monomios. Lo primero que hacemos es multiplicar los coeficientes, es decir, los números. Y luego, por separado, multiplicamos las variables, es decir, las letras. Tal vez tengamos que aplicar las leyes de las potencias para hacer esto. La ley específica que vamos a usar es la que dice que cuando las bases son las mismas, para multiplicar potencias simplemente tenemos que sumar los exponentes. Es decir, 𝑥 elevado a 𝑎 por 𝑥 elevado a 𝑏 es 𝑥 elevado a 𝑎 más 𝑏. Identifiquemos, pues, los coeficientes de nuestro producto. Tenemos seis aquí y menos nueve aquí, por lo que tenemos que multiplicar seis por menos nueve. Seis por nueve es 54. Y un número positivo multiplicado por un número negativo es un número negativo, por lo que seis por menos nueve es menos 54.
A continuación, multiplicamos las variables. Vamos a multiplicar 𝑥 al cuadrado por 𝑥 al cuadrado. Y por supuesto, para hacerlo, simplemente sumamos los exponentes. Obtenemos 𝑥 elevado a dos más dos, que es, por supuesto, lo mismo que 𝑥 a la cuarta. Sin embargo, aquí tenemos otra variable, y esa es 𝑦. Hacemos lo mismo con esta variable. 𝑦 al cuadrado por 𝑦 a la quinta es lo mismo que 𝑦 elevado a dos más cinco. Y, dado que dos más cinco son siete, 𝑦 al cuadrado por 𝑦 a la quinta es 𝑦 a la séptima. Cuando combinamos todo esto, obtenemos el resultado de multiplicar seis 𝑥 al cuadrado 𝑦 al cuadrado por menos nueve 𝑥 al cuadrado 𝑦 a la quinta. Y es menos 54𝑥 a la cuarta 𝑦 a la séptima.
Ahora vamos a resumir los puntos clave de este video. En este video, hemos aprendido que un monomio es un polinomio con un solo término. Sabemos que ese único término puede estar formado por números, variables, o números y variables, y que puede contener más de una variable; y es necesario además que cualquier todos los exponentes de las variables sean números enteros positivos. No debe haber exponentes fraccionarios ni negativos. También hemos visto que, para multiplicar dos o más monomios, multiplicamos primero los coeficientes y luego, por separado, multiplicamos las variables —es decir, las letras— aplicando las leyes de las potencias si es necesario. Y la ley de las potencias que hemos usado dice que 𝑥 elevado a 𝑎 por 𝑥 elevado a la 𝑏 es igual a 𝑥 elevado a 𝑎 más 𝑏. En otras palabras, siempre que la base sea la misma, simplemente sumamos los exponentes.
