Vídeo: Raíces reales y raíces complejas de polinomios

En este video, vamos a aprender acerca de las relaciones entre el grado de un polinomio, sus coeficientes y sus raíces, y cómo aplicar este conocimiento para resolver problemas.

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Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender sobre las raíces reales y las raíces complejas de los polinomios. Vamos a ver que podemos deducir fácilmente cuántas raíces tiene un polinomio. Y vamos a ver que, en el caso de polinomios con coeficientes reales, si tenemos una raíz compleja del polinomio, podemos hallar otra fácilmente. Vamos a comenzar presentando el teorema fundamental del álgebra. Pero antes de enunciar este teorema, hagamos un poco de preparación.

Recordemos que el polinomio 𝑝 de 𝑥 igual a 𝑥 al cuadrado más uno no tiene raíces reales. Pero el número 𝑖 está definido como una raíz no real de este polinomio. 𝑝 de 𝑖 es 𝑖 al cuadrado más uno e 𝑖 al cuadrado es menos uno. Así que 𝑝 de 𝑖 es cero. También podemos ver que menos 𝑖 es una raíz. 𝑝 de menos 𝑖 es menos 𝑖 al cuadrado más uno. Y escribiendo menos 𝑖 como menos uno por 𝑖, podemos ordenar los factores para obtener menos uno al cuadrado por 𝑖 al cuadrado más uno. Menos uno al cuadrado es uno e 𝑖 al cuadrado es menos uno y su producto es menos uno. De modo que 𝑖 es también una raíz.

Y habiendo hallado las dos raíces de la expresión cuadrática 𝑥 al cuadrado más uno, podemos factorizar esta cuadrática. Es una constante 𝐴 por 𝑥 menos 𝑖 por 𝑥 menos menos 𝑖. 𝑥 menos menos 𝑖 es simplemente 𝑥 más 𝑖. Y como el coeficiente de 𝑥 al cuadrado en la definición de 𝑝 de 𝑥 es uno, el valor de 𝐴 es también uno. Por lo tanto, no necesitamos escribirlo explícitamente. Con 𝑝 de 𝑥 igual a 𝑥 al cuadrado más uno hemos visto que, usando números complejos, podemos factorizar completamente un polinomio cuadrático en 𝑥, es decir, expresarlo como un producto de factores lineales. No podíamos hacer esto trabajando solo con números reales.

Seguramente sabes que, completando el cuadrado, podemos hallar las raíces de cualquier expresión cuadrática con coeficientes reales. Es decir, que podemos factorizar cualquier polinomio de segundo grado escribiéndolo como el producto de factores, con quizás un factor constante también. El teorema fundamental del álgebra generaliza ampliamente este hecho. Dice que todo polinomio de grado 𝑛 — así que no estamos tratando únicamente con polinomios de segundo grado — con coeficientes complejos — por tanto, los coeficientes no necesitan ser reales; pueden serlo, pero no es necesario para que el teorema aplique — puede ser factorizado mediante factores lineales.

Puede ser útil introducir un poco de notación aquí. Un polinomio de grado 𝑛 es de la forma 𝑎 𝑛 por 𝑥 elevado a 𝑛 más 𝑎 𝑛 menos uno por 𝑥 elevado a 𝑛 menos uno y así sucesivamente hasta 𝑎 uno 𝑥 más 𝑎 cero, en donde necesitamos que el coeficiente de 𝑥 a la 𝑛, esto es, 𝑎 𝑛, no sea igual a cero; de lo contario, el polinomio no sería de grado 𝑛. Por lo tanto 𝑎 cero, 𝑎 uno, etcétera, hasta 𝑎 𝑛, todos pueden ser complejos. Podrían ser números reales. Pues cualquier número real es también un número complejo. Pero no es necesario que lo sean. El teorema establece que todo polinomio de este tipo puede factorizarse en factores lineales.

Generalmente sacamos el factor 𝑎 𝑛 primero. Así que solo tenemos que considerar el caso en el que el coeficiente de 𝑥 a la 𝑛 es uno. Y así, el coeficiente de 𝑥 en cada uno de estos factores lineales puede ser uno. ¿Cuántos de estos factores lineales hay? Supongamos que este número es 𝑚. Pero cuando multiplicamos todas las 𝑥s de los paréntesis, esperamos obtener un término 𝑥 a la 𝑛. De modo que debe haber 𝑛 factores lineales. El número de factores lineales que obtenemos es el grado del polinomio 𝑛. Una expresión cuadrática tiene grado dos. Por tanto, esperamos dos factores lineales, que es lo que obtuvimos. Una expresión cúbica tendrá tres, una expresión cuártica cuatro, y así sucesivamente.

Ahora comprendemos mejor el teorema. Y realmente no deberíamos esperar un resultado diferente. No deberíamos esperar más factores ni menos. ¿Este teorema significa que 𝑝 de 𝑥 tiene 𝑛 raíces? Bueno, no necesariamente. El teorema no dice que los factores sean todos diferentes. Así que 𝑥 menos 𝑟 uno puede ser igual a 𝑥 menos 𝑟 dos. En otras palabras, 𝑟 uno puede ser igual a 𝑟 dos.

Por ejemplo, considera el polinomio cuártico 𝑥 menos dos por 𝑥 menos dos por 𝑥 menos dos por 𝑥 más tres. Este factor de 𝑥 menos dos aparece tres veces. Así que 𝑝 de 𝑥 no tiene cuatro raíces distintas como cabría esperar, sino solo dos. La raíz dos corresponde af factor 𝑥 menos dos y la raíz menos tres corresponde al factor 𝑥 más tres. Sin embargo, sucede que la raíz dos tiene multiplicidad tres porque el factor 𝑥 menos dos ocurre tres veces en la factorización de 𝑝 de 𝑥. Cuando contamos la multiplicidad de las raíces, contamos dos tres veces, una vez por cada uno de esos factores. Y podemos decir que 𝑝 de 𝑥 tiene cuatro raíces si estas raíces son contadas con multiplicidad. Tres de estas raíces son iguales a dos y la otra raíz es igual a menos tres.

Esto nos lleva a otra forma de enunciar el teorema fundamental del álgebra. Un polinomio 𝑝 de 𝑥 de grado 𝑛 con coeficientes complejos tiene, contando las multiplicidades, exactamente 𝑛 raíces. Estas 𝑛 raíces corresponden a los 𝑛 factores de 𝑝 de 𝑥. Y si contamos las multiplicidades, no importa si las raíces son distintas o no. Hay 𝑛 de ellas en total, si se tienen en cuenta las repeticiones. La prueba de este teorema es bastante difícil y no está incluida en este video. Así que tendremos que hacer como que nos creemos a pies juntillas este teorema cada vez que lo apliquemos a un ejemplo.

¿Cuántas raíces tiene el polinomio tres 𝑥 al cuadrado menos uno por 𝑥 al cubo más cuatro 𝑥 menos dos?

No tenemos que hallar las raíces para contarlas. Podemos usar el teorema fundamental del álgebra en su lugar. Este teorema dice que un polinomio 𝑝 de 𝑥 de grado 𝑛 con coeficientes complejos tiene, cuando se cuentan con multiplicidad, exactamente 𝑛 raíces. Asumiendo que estamos contando las raíces con multiplicidad, ya que no nos preguntan cuántas raíces distintas tiene el polinomio, solo necesitamos hallar el grado de nuestro polinomio. ¿Cuál es este grado? Si multiplicamos, hallamos que la potencia más alta de 𝑥 es 𝑥 a la quinta. Por tanto, el grado de este polinomio es cinco.

Podríamos habernos evitado un poco de trabajo dándonos cuenta de que la potencia más alta de 𝑥 habrá de salir del producto de la potencia más alta de 𝑥 en el primer par de paréntesis y la potencia más alta de 𝑥 en el segundo par de paréntesis ya que solo necesitábamos un término para hallar el grado del polinomio. Y el teorema fundamental del algebra nos dice que hay cinco raíces contadas con multiplicidad. El número de raíces es el mismo que el grado del polinomio. Aprendamos ahora sobre el teorema de la raíz compleja conjugada.

Para este teorema, necesitamos que 𝑝 sea un polinomio con coeficientes reales. Y dice que si el número complejo 𝑧 igual a 𝑎 más 𝑏𝑖, en donde 𝑎 y 𝑏 son reales, es una raíz de 𝑝, entonces su conjugado 𝑧 asterisco igual a 𝑎 menos 𝑏𝑖 es también una raíz. Así que si tenemos un polinomio con coeficientes reales y una raíz compleja de ese polinomio, podemos hallar inmediatamente otra raíz. Es el complejo conjugado de la raíz dada. Otra forma de decir esto es que si 𝑝 de 𝑧 es cero, siendo 𝑝 un polinomio con coeficientes reales, entonces 𝑝 de 𝑧 asterisco es también cero. Demostremos esto.

Primero vamos a demostrar un resultado más general. Vamos a probar que el valor de 𝑝 en el conjugado de 𝑧 es igual al conjugado de 𝑝 de 𝑧. Tomemos un polinomio arbitrario con coeficientes reales y llamémoslo 𝑝. Sea 𝑛 el grado de 𝑝 y sean 𝑎 cero hasta a 𝑛 sus coeficientes, todos reales. Evaluemos este polinomio en 𝑧 asterisco, el conjugado complejo de un número complejo 𝑧 arbitrario. Y lo siguiente será reorganizar esto de alguna manera para obtener el conjugado complejo de 𝑝 de 𝑧. Seamos optimistas y escribamos esto al final de nuestras operaciones confiados en que podremos probarlo. Usando la definición del polinomio 𝑝, podemos evaluarlo en 𝑧 y después tomar el conjugado complejo. Escribimos esto en la línea de arriba y esperamos encontrarnos en el medio.

El conjugado de una suma es la suma de los conjugados y el conjugado de un producto es el producto de los conjugados. Ambos hechos pueden ser probados. Queremos comparar lo que hemos obtenido trabajando hacia arriba con lo que hemos obtenido trabajando hacia abajo. Una diferencia es que tenemos 𝑎 cero en lugar de 𝑎 asterisco cero y 𝑎 uno en lugar de 𝑎 uno asterisco y así sucesivamente. Pero estos coeficientes son todos números reales. Y el conjugado complejo de cualquier número real es él mismo. Por lo tanto, podemos reemplazar cada coeficiente real con su conjugado sin cambiar nada.

¿Terminamos? ¿Nos hemos encontrado en el medio? Bueno, casi, tenemos el cuadrado del conjugado de 𝑧 aquí y el conjugado del cuadrado de 𝑧 aquí y, de manera similar, la 𝑛-ésima potencia del conjugado de 𝑧 aquí y el conjugado de la 𝑛-ésima potencia de 𝑧 aquí. Queremos intercambiar el orden en el que tomamos la potencia y el conjugado. Y de hecho podemos hacerlo, aunque esto sea un poco más difícil de probar que el otro hecho que hemos usado. Podemos, por ejemplo, probar este hecho utilizando la fórmula de De Moivre. Aplicando este hecho, obtenemos exactamente la misma expresión en el lado derecho que la que obtuvimos trabajando hacia arriba. Y así, hemos demostrado lo que queríamos.

Pero ¿cómo nos ayuda esto a probar el teorema de la raíz conjugada? Bueno, en el caso especial de que 𝑧 sea una raíz de 𝑝, podemos aplicar el conjugado a ambos lados para demostrar que el conjugado de 𝑝 de 𝑧 es el conjugado de cero. Y el conjugado de cero es simplemente cero. Y acabamos de demostrar que el conjugado de 𝑝 de 𝑧 es 𝑝 del conjugado de 𝑧. Así que, el conjugado de 𝑧 también es una raíz. Esto prueba el teorema de la raíz conjugada. Veamos ahora algunas aplicaciones de este teorema.

¿Es posible que un polinomio con coeficientes reales tenga exactamente tres raíces no reales?

Sea 𝑧 una de las raíces no reales de 𝑝. El teorema de la raíz conjugada nos dice que el conjugado de 𝑧, 𝑧 asterisco, también será una raíz de 𝑝. Y como 𝑧 no es real, 𝑧 asterisco tampoco es real. Así que tenemos dos raíces no reales de 𝑝. ¿Qué hay de la tercera? Llamemos 𝑤 a esta raíz. Entonces 𝑤 asterisco también debe ser una raíz no real. Es decir que, si 𝑤 es distinto de 𝑧 y de 𝑧 asterisco, habrá entonces cuatro raíces no reales. Si un polinomio con coeficientes reales tiene tres raíces no reales distintas, también debe haber una cuarta. No puede tener exactamente tres raíces distintas no reales.

Pero ¿qué sucede si 𝑤 es 𝑧 o 𝑧 asterisco? Si 𝑤 es 𝑧 o 𝑧 asterisco, no hay problema. Lo que podemos hacer es escribir nuestro polinomio 𝑝 de 𝑥 como el producto de sus factores 𝑥 menos 𝑧 y 𝑥 menos 𝑧 asterisco y un polinomio 𝑞 de 𝑧. Al desarrollar, obtenemos un factor cuadrático con coeficientes reales, ya que los coeficientes de menos 𝑧 más 𝑧 asterisco y de 𝑧 por 𝑧 asterisco son ambos números reales. Esto significa que 𝑞 de 𝑥 también debe tener coeficientes reales, ya que es un cociente de dos polinomios con coeficientes reales. Si 𝑝 de 𝑥 tiene exactamente tres raíces no reales, entonces 𝑞 de 𝑥 tiene exactamente una raíz no real. Y esto es imposible debido al teorema de la raíz conjugada. La respuesta a nuestra pregunta es, por lo tanto, no.

Recordemos que el discriminante de 𝑎𝑥 al cuadrado más 𝑏𝑥 más 𝑐 es 𝑏 al cuadrado menos cuatro 𝑎𝑐, y es a menudo denotado por Δ mayúscula. Cuando trabajamos solo con números reales, encontramos que una ecuación cuadrática con discriminante mayor que cero tiene dos raíces reales distintas, una ecuación cuadrática con discriminante cero tiene una raíz real repetida y una ecuación cuadrática con discriminante menor que cero no tiene raíces reales. Pero si trabajamos con números complejos, el teorema fundamental del álgebra nos dice que siempre hemos de esperar dos raíces.

Tenemos que contar con multiplicidad para hacer que este sea el caso cuando el discriminante es cero. Y cuando el discriminante es menor que cero, ya que no hay raíces reales, debe haber dos raíces complejas. Y el teorema de la raíz conjugada nos dice que estas dos raíces complejas son conjugadas la una de la otra. Ten cuidado aquí. El teorema de la raíz conjugada solo es cierto para polinomios con coeficientes reales. Esta clasificación solo es válida para las ecuaciones de segundo grado con coeficientes reales.

¿Qué podemos decir sobre las raíces de las ecuaciones cúbicas con coeficientes reales? El teorema fundamental del álgebra nos dice que, contando la multiplicidad, debe haber tres raíces. Podría ser el caso de que estas tres raíces sean reales, podrían ser distintas, una podría repetirse o, de hecho, las tres raíces podrían ser iguales. Si tenemos una raíz compleja, debemos tener una segunda, el complejo conjugado de esa raíz. No podemos tener exactamente una raíz no real y la otra raíz debe ser real. No podemos tener exactamente tres raíces no reales de un polinomio con coeficientes reales.

Aquí hay un par de polinomios cúbicos factorizados. Podemos verificar que después de distribuir, tienen coeficientes reales. Estas son las dos únicas posibilidades de que haya tres raíces reales o un par de raíces complejas conjugadas y una raíz real. A partir de esto, podemos ver que una ecuación cúbica con coeficientes reales tiene al menos una raíz real. Y podemos mostrar de la misma manera que cualquier polinomio con un grado impar tiene al menos una raíz real. El concepto de discriminante puede generalizarse de cuadráticos a cúbicos y otros polinomios de grado superior. Pero las expresiones son bastante complicadas y están más allá del alcance de este video. Veamos ahora cómo podemos usar esta clasificación para resolver ecuaciones cúbicas.

Sabiendo que 𝑖 es una de las raíces de la ecuación 𝑥 al cubo menos cinco 𝑥 al cuadrado más 𝑥 menos cinco igual a cero, halla las otras dos raíces.

El teorema del factor nos dice que 𝑥 menos 𝑖 es uno de los factores de este polinomio. Y por eso, podemos dividir el lado izquierdo por este factor para obtener el polinomio de segundo grado 𝑎𝑥 al cuadrado más 𝑏𝑥 más 𝑐, que luego podríamos resolver. Pero podemos facilitarnos las cosas usando el teorema de la raíz conjugada que nos dice que el conjugado de 𝑖 también debe ser una raíz, ya que estamos tratando con un polinomio con coeficientes reales. Y así, aplicando nuevamente el teorema del factor, obtenemos que 𝑥 más 𝑖 debe ser un factor de este polinomio.

Multiplicando los dos factores conocidos, obtenemos 𝑥 al cuadrado más uno. Y podemos distribuir nuevamente. Y comparando coeficientes, podemos ver que 𝑚 es uno y 𝑛 es menos cinco. Podemos sustituir estos valores, factorizando nuestro polinomio cúbico como 𝑥 menos uno por 𝑥 más uno por 𝑥 menos cinco. Recordemos que estamos buscando las raíces de esta ecuación. Y podemos leerlas en la forma factorizada. Hallamos que son cinco, menos 𝑖 e 𝑖. Para este problema, el teorema de la raíz conjugada nos ahorró algo de trabajo, pero que no era esencial.

Pasemos ahora a las ecuaciones cuarticas, en donde el teorema de la raíz conjugada puede ser esencial.

Clasifiquemos las raíces de los cuárticos con coeficientes reales. Una ecuación cuártica tiene la forma 𝑎𝑥 a la cuarta más 𝑏𝑥 al cubo más 𝑐𝑥 al cuadrado más 𝑑𝑥 más 𝑒 igual a cero. Y como tiene coeficientes reales, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 y 𝑒 deben ser números reales. Según el teorema fundamental del álgebra, un polinomio cuártico tiene cuatro raíces contadas con multiplicidad. Las cuatro podrían ser reales. Si hay una raíz no real, el teorema de la raíz conjugada debe ser un par conjugado de ellas. Las otras dos raíces pueden ser reales o pueden formar también un par conjugado, no necesariamente distinto del primer par.

Tengamos en cuenta que, si bien un polinomio cúbico con coeficientes reales debe tener al menos una raíz real, no ocurre lo mismo con los cuárticos. Un polinomio con coeficientes reales solo tiene garantizada una raíz real como mínimo si su grado es impar. Veamos ahora un ejemplo de resolución de una ecuación cuártica dada una de sus raíces.

Sabiendo que dos más 𝑖 raíz de tres es una raíz de 𝑥 a la cuarta menos 12𝑥 al cubo más 55𝑥 al cuadrado menos 120𝑥 más 112 igual a cero, halla todas las raíces.

Tenemos una raíz compleja de un polinomio con coeficientes reales. Y así, según el teorema de la raíz conjugada, su conjugado complejo dos menos 𝑖 raíz de tres también es una raíz de esta ecuación. Hemos hallado dos raíces. Pero ¿cómo hallamos las otras dos? El teorema del factor nos da dos factores lineales de nuestro cuártico correspondientes a estas dos raíces. ¿Qué podemos decir sobre el factor restante? Bueno, debe ser cuadrático para que el polinomio en el lado derecho sea igual al de la izquierda. Y las raíces de este factor cuadrático desconocido son las raíces restantes de nuestra ecuación cuártica. Empecemos por hallar este factor cuadrático.

Multiplicamos los dos factores lineales para obtener un factor cuadrático conocido. Hay un par de identidades que reducen la cantidad de cálculo requerida. Ahora, podemos dividir nuestro cuártico por este factor cuadrático conocido para hallar el factor cuadrático desconocido. Alternativamente, podemos desarrollar el lado derecho multiplicando cada término en el primer conjunto de paréntesis por cada término en el segundo conjunto y después agrupando términos similares. Y podemos comparar los coeficientes.

Por ejemplo, el coeficiente de 𝑥 a la cuarta nos dice que 𝑎 es uno. Hacemos la sustitución y luego comparamos los coeficientes de 𝑥 al cubo, hallando que 𝑏 menos cuatro es menos 12. Así que 𝑏 es menos ocho. Nuevamente, haciendo la sustitución, comparamos los coeficientes de 𝑥 al cuadrado, hallamos que 𝑐 es 16. Esta sustitución hace que el lado derecho sea igual al izquierdo. Hemos hallado el factor cuadrático desconocido. Es uno 𝑥 al cuadrado menos ocho 𝑥 más 16. Y podemos factorizar esto como 𝑥 menos cuatro al cuadrado. La raíz igual a cuatro está repetida. Por lo tanto, también lo estará en el polinomio cuártico original.

Habiendo factorizado nuestro polinomio cuártico, leemos las raíces. Las raíces son cuatro, raíz repetida con multiplicidad dos; dos más 𝑖 raíz de tres, la raíz compleja que nos dieron; y su complejo conjugado dos menos 𝑖 raíz de tres.

Esto es lo que hemos aprendido en este video. El teorema fundamental del álgebra nos dice que un polinomio de grado 𝑛 tendrá, si se tiene en cuenta la multiplicidad, 𝑛 raíces. El teorema de la raíz conjugada nos dice que las raíces no reales de polinomios con coeficientes reales aparecen en pares conjugados. Como resultado de estos dos teoremas, podemos determinar la naturaleza de las raíces de los polinomios. Podemos usar el teorema de la raíz conjugada para ayudarnos a resolver ecuaciones cuadráticas y cúbicas con coeficientes reales. Y todos los polinomios de grado impar con coeficientes reales tienen al menos una raíz real.

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