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En este video, vamos a aprender cómo hallar polinomios de Taylor y cómo usarlos para aproximar una función. Vamos a ver algunos ejemplos de polinomios de Taylor de algunas funciones. Esta es la forma general del polinomio de Taylor de grado 𝑛 para una función 𝑓 en un entorno del punto 𝑎.
Pero para entender de dónde vienen y por qué utilizamos polinomios de Taylor, vamos a considerar una serie de potencias general centrada en 𝑎. Sabemos que, si podemos escribir una función como una serie de potencias, es más fácil de integrar y derivar. O sea, que, escribir una función como una serie de potencias es una herramienta muy útil.
Los polinomios de Taylor nos dan un método general para escribir series de potencias en un entorno de un punto. Vamos a intentar reescribir estos coeficientes en términos de 𝑓 y sus derivadas. Primero suponemos que 𝑓 tiene una representación en serie de potencias alrededor del punto 𝑥 igual a 𝑎 y que 𝑓 tiene derivadas de todos los órdenes. Y que el valor absoluto de 𝑥 menos 𝑎 es menor que 𝑅, siendo 𝑅 el radio de convergencia.
Centrando nuestra aproximación en 𝑎, si sustituimos 𝑥 igual a 𝑎, hallamos que, para 𝑓 de 𝑎, todos los términos son nulos excepto 𝑐 cero. Así que 𝑓 de 𝑎 es igual a 𝑐 cero. Derivemos 𝑓 de 𝑥 para hallar 𝑓 prima de 𝑥. 𝑐 cero es una constante. Esto se deriva a cero. 𝑐 uno multiplicado por 𝑥 menos 𝑎 se deriva a 𝑐 uno. 𝑐 dos 𝑥 menos 𝑎 al cuadrado se deriva a dos 𝑐 por dos 𝑥 menos 𝑎. Y continuamos del mismo modo. Podemos evaluar esta primera derivada en 𝑥 igual a 𝑎. Y obtenemos que todos los términos, excepto 𝑐 uno, desaparecen.
Hallemos ahora la segunda derivada de 𝑓. Y hacemos esto derivando la primera derivada de 𝑓. Después, hacemos la sustitución 𝑥 igual a 𝑎. Y hallamos que todos los términos excepto dos 𝑐 dos desaparecen. No olvidemos que nuestro objetivo es reescribir todos estos coeficientes en términos de 𝑓 y sus derivadas. Por tanto, reordenamos esto para despejar 𝑐 dos. Y hallamos que 𝑐 dos es igual a 𝑓 doble prima de 𝑎 sobre dos.
Continuamos y hallamos la tercera derivada de 𝑓. La evaluamos en el punto 𝑎 y obtenemos seis 𝑐 tres, resultado que, reordenado, nos da 𝑐 tres igual a 𝑓 triple prima de 𝑎 sobre seis. Si nos fijamos bien en el resultado que hemos encontrado para 𝑐 cero, 𝑐 uno, 𝑐 dos y 𝑐 tres, podemos inferir una regla más general. Cada 𝑐 𝑛 es igual a la 𝑛-ésima derivada de 𝑓 en 𝑎 sobre 𝑛 factorial. Recuerda que 𝑛 factorial es el producto de 𝑛 y todos los números enteros positivos menores hasta, e incluyendo, uno. Por ejemplo, tres factorial es tres multiplicado por dos por uno, que es seis. Esto nos lleva a la siguiente definición.
El polinomio de Taylor de 𝑓, en un entorno de 𝑎, de grado 𝑛 está dado por 𝑓 de 𝑎 más 𝑓 prima de 𝑎 multiplicado por 𝑥 menos 𝑎 más 𝑓 doble prima de 𝑎 sobre dos factorial. Multiplicado por 𝑥 menos 𝑎 al cuadrado más 𝑓 triple prima de 𝑎 partido por tres factorial multiplicado por 𝑥 menos 𝑎 al cubo. Y esto continúa de este modo hasta la 𝑛-ésima derivada de 𝑓 en 𝑎 sobre 𝑛 factorial multiplicado por 𝑥 menos 𝑎 a la 𝑛.
Quizás, algunas veces veas esto escrito como la sumatoria desde 𝑛 igual a cero hasta 𝑛 de la 𝑛-ésima derivada de 𝑛 en 𝑎 sobre 𝑛 factorial multiplicado por 𝑥 menos 𝑎 a la 𝑛. Hay un par de cosas que debemos notar en esta fórmula. A veces vemos 𝑓 prima de 𝑎 escrita como 𝑓 prima de 𝑎 sobre uno factorial. Pero, como uno factorial es simplemente uno, esto es exactamente lo mismo.
Debes notar también, que a pesar de que este primer término se ve un poco diferente, sigue esta regla general. Si aplicamos la fórmula haciendo 𝑛 igual a cero, esto será 𝑓 de 𝑎. Además, 𝑥 menos 𝑎 elevado a cero será uno porque todo lo elevado a cero da uno como resultado. Y, finalmente, cero factorial está definido como uno. Así que podemos decir que esto simplemente nos dará 𝑓 de 𝑎.
Veamos ahora gráficamente la manera como los polinomios de Taylor nos ayudan a aproximar una función.
Consideremos la gráfica de 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑒 a la 𝑥 y hallemos los polinomios de Taylor para esta función centrándonos en 𝑥 igual a dos. Podemos ver aquí la gráfica de 𝑒 a la 𝑥. Y recordamos la fórmula de los polinomios de Taylor. Si tratamos de aproximar esto con 𝑛 igual a cero, nuestro polinomio de Taylor es 𝑒 al cuadrado. Y esto nos da simplemente una recta horizontal, lo cual no es una buena aproximación de nuestra función.
Si ahora continuamos nuestro polinomio de Taylor hasta el primer grado, aunque esto todavía no sea una gran aproximación, podemos ver que es un poco mejor. Y si hallamos el polinomio de Taylor hasta el segundo grado, obtenemos una aproximación aún más cercana. Y aquí están las gráficas para 𝑛 igual a tres y 𝑛 igual a cuatro, o sea, el polinomio de Taylor hasta el tercer grado y el polinomio de Taylor hasta el cuarto grado. Podemos ver que cada vez la aproximación mejora un poco. Por tanto, cuanto mayor sea el valor de 𝑛, mejor será la aproximación.
Veamos algunos ejemplos de cómo usar los polinomios de Taylor para aproximar una función.
Halla el polinomio de Taylor de segundo grado para aproximar la función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cubo más dos 𝑥 menos tres en el punto 𝑎 igual a dos.
Comencemos por escribir la forma general de un polinomio de Taylor de grado 𝑛 para una función 𝑓. Y para esta cuestión, vamos a centrar nuestra aproximación en el punto 𝑎 igual a dos. Hacemos la sustitución 𝑎 igual a dos. También ten en cuenta que solo hemos llegado hasta el segundo grado, ya que eso es lo que se nos ha pedido que hagamos en la cuestión.
Así que ahora necesitamos evaluar 𝑓 de dos, 𝑓 prima de dos, y 𝑓 doble prima de dos. Bien, sabemos que 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑥 al cubo más dos 𝑥 menos tres. Así que 𝑓 de dos es igual a dos al cubo más dos multiplicado por dos menos tres. De modo que 𝑓 de dos es igual a nueve.
Para encontrar 𝑓 prima de dos, necesitamos hallar 𝑓 prima de 𝑥. Para esto, derivamos 𝑓 de 𝑥, lo que hacemos término a término usando la regla de las potencias, para obtener 𝑓 prima de 𝑥 igual a tres 𝑥 al cuadrado más dos. Nota que menos tres deriva a cero porque es una constante. Así que 𝑓 prima de dos es igual a tres multiplicado por dos al cuadrado más dos, que es 14.
Para hallar 𝑓 doble prima de dos, tenemos que obtener primero 𝑓 doble prima de 𝑥, lo cual conseguimos derivando la primera derivada, y obtenemos seis 𝑥. Así que 𝑓 doble prima de dos es igual a seis multiplicado por dos, que es 12.
Seguidamente, reemplazamos estos valores en nuestros cálculos. A partir de aquí, podemos evaluar estos factoriales. Sabemos que el factorial de un número es el producto de ese número y todos los enteros positivos menores hasta uno. Por lo tanto, uno factorial es uno multiplicado por uno, que es uno. Y dos factorial es dos multiplicado por uno, que es dos. A partir de aquí, solo necesitamos hacer simplificar un poco. 14 sobre uno es simplemente 14, y 12 sobre dos es simplemente seis. Y eso nos da nuestra respuesta final: nueve más 14 multiplicado por 𝑥 menos dos más seis multiplicado por 𝑥 menos dos al cuadrado.
Halla el polinomio de Taylor de tercer grado de la función 𝑓 de 𝑥 igual a la raíz cuadrada de 𝑥, en el punto 𝑎 igual a nueve.
Empecemos esta cuestión escribiendo la forma general de los polinomios de Taylor hasta el grado 𝑛. Comencemos sustituyendo en el punto donde estamos centrando nuestra aproximación, es decir, en 𝑎 igual a nueve. Y nos han pedido hallar el polinomio de Taylor hasta el tercer grado. Y desde aquí podemos ver que vamos a necesitar hallar 𝑓 de nueve, 𝑓 prima de nueve, 𝑓 doble prima de nueve y 𝑓 triple prima de nueve. Para hacer esto, tenemos que hallar 𝑓 prima de 𝑥, 𝑓 doble prima de 𝑥 y 𝑓 triple prima de 𝑥.
Sabemos por la cuestión que 𝑓 de 𝑥 es igual a la raíz cuadrada de 𝑥, que es lo mismo que 𝑥 elevado a un medio. Escribirla de esta manera nos ayudará a derivarla para hallar la primera derivada. Usando la regla de las potencias, la cual nos dice que multipliquemos por el exponente y luego restemos uno del mismo, obtenemos la primera derivada. 𝑓 prima de 𝑥 es igual a uno sobre dos por 𝑥 elevado a menos un medio.
Después derivamos esto para obtener la segunda derivada de 𝑓. Con la aplicación de la regla de potencias hallamos que la segunda derivada de 𝑓 es menos uno sobre dos multiplicado por uno sobre dos 𝑥 elevado a menos tres sobre dos. Pero podemos simplificar esto a menos uno sobre cuatro por 𝑥 elevado a menos tres sobre dos.
Y derivamos una vez más para obtener la tercera derivada de 𝑓. Esto nos da como resultado menos tres sobre dos multiplicado por menos uno sobre cuatro por 𝑥 elevado a menos cinco sobre dos. Sin embargo, podemos simplificar esto nuevamente, obteniendo tres sobre ocho por 𝑥 elevado a menos cinco sobre dos.
Pero lo que queremos en realidad es 𝑓 de nueve, 𝑓 prima de nueve, 𝑓 doble prima de nueve, y 𝑓 triple prima de nueve. Así que sustituimos el nueve en cada una de estas funciones. Y tenemos que reemplazar en nuestros cálculos los valores que hemos encontrado. Y hecho esto, solo nos queda simplificar para obtener nuestra repuesta final.
Así que comencemos aquí con uno sobre seis sobre uno factorial y recordamos que 𝑛 factorial es el producto de 𝑛 y todos los enteros hacia abajo hasta uno. Así que uno factorial es uno. Y uno sobre seis sobre uno factorial es simplemente uno sobre seis sobre uno, que es uno sobre seis.
Ahora simplifiquemos 108 dividido por dos factorial. Bien, dos factorial es simplemente dos multiplicado por uno, que es dos. Y esto es menos uno sobre 108 partido por dos. Y según las propiedades de las fracciones, es menos uno sobre 108 multiplicado por dos, que es menos uno sobre 216. Y, finalmente, necesitamos simplificar uno sobre 648 dividido por tres factorial. Bien, tres factorial es tres multiplicado por dos multiplicado por uno, que es seis. Y esto es uno sobre 648 multiplicado por seis, que es uno sobre 3888. Esto nos da nuestra respuesta final. Este es, pues, el polinomio de Taylor de tercer grado de la función 𝑓 de 𝑥 igual a la raíz cuadrada de 𝑥 en un entorno del punto 𝑎 igual a nueve.
Halla el polinomio de cuarto grado de la función 𝑓 de 𝑥 igual a sen de 𝑥 en el punto 𝑎 igual a 𝜋 sobre dos.
Comencemos escribiendo la forma general de un polinomio de Taylor para la función 𝑓 de 𝑥 en un entorno del punto 𝑥 igual a 𝑎. Nos piden hallar el polinomio de Taylor de cuarto grado de esta función en un entorno del punto 𝑎 igual a 𝜋 sobre dos. Así que vamos a escribir nuestra forma general para un polinomio de Taylor hasta el cuarto grado y sustituir 𝑎 por 𝜋 partido por dos.
Aquí, vemos que vamos a necesitar hallar los valores de 𝑓 en 𝜋 sobre dos, de la primera derivada de 𝑓 en 𝜋 sobre dos, de la segunda derivada de 𝑓 en 𝜋 sobre dos, de la tercera derivada de 𝑓 en 𝜋 sobre dos, y de la cuarta derivada de 𝑓 en 𝜋 sobre dos.
Comencemos, pues, encontrando las derivadas que necesitamos. 𝑓 de 𝑥 es la función sen de 𝑥. En este punto, podemos hacer uso de este ciclo que vale la pena aprenderse de memoria, el cual nos muestra cómo se deriva cada una de estas funciones. Sen de 𝑥 se deriva a cos de 𝑥. Por tanto, 𝑓 prima de 𝑥 es igual a cos de 𝑥. Después, derivamos la primera derivada para obtener la segunda derivada. Y obtenemos menos sen de 𝑥. Luego derivamos nuevamente para obtener la tercera derivada, que es menos cos de 𝑥. Y derivamos una vez más para obtener la cuarta derivada de 𝑓. Y obtenemos sen de 𝑥.
Pero lo que realmente necesitamos hacer es evaluar cada una de estas funciones en 𝜋 sobre dos. Así que sustituimos 𝜋 sobre dos en cada una de estas funciones. Podemos calcularlas usando una calculadora o las gráficas. sen de 𝜋 sobre dos nos da uno. Menos sen de 𝜋 sobre dos será menos uno. Y cos de 𝜋 sobre dos es cero. Por tanto, menos cos de 𝜋 sobre dos también será cero.
Hecho esto, podemos sustituir estos valores en nuestros cálculos. Al hacer esto, hallamos que dos de nuestros términos son cero. Y hecho esto solo nos queda simplificar nuestra respuesta. Recordemos que el factorial de un número es el producto de ese número y los enteros positivos hacia abajo hasta uno. Es decir que dos factorial es dos multiplicado por uno, que es dos. Y cuatro factorial es cuatro multiplicado por tres multiplicado por dos multiplicado por uno, que es 24. Sustituir esos valores nos da nuestra respuesta final.
En conclusión, los polinomios de Taylor nos permiten aproximar funciones. Y aquí está la forma general del polinomio de Taylor que aproxima la función 𝑓 en un entorno del punto 𝑎. Un buen lugar para comenzar con estas cuestiones es hallar las derivadas necesarias y luego evaluarlas en el punto 𝑎.
