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Vídeo de la lección: Ecuaciones racionales Matemáticas • Décimo grado

En este vídeo vamos a aprender cómo resolver ecuaciones racionales.

16:07

Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo resolver ecuaciones racionales. Una ecuación racional es aquella que contiene quebrados, o sea, fracciones. Antes de comenzar vamos a recordar cómo calcular el común denominador de dos fracciones algebraicas, y veremos cómo estas técnicas pueden ayudarnos a reorganizar y resolver este tipo de ecuaciones. Como sabemos, las fracciones algebraicas siguen las mismas reglas aritméticas que las fracciones numéricas. Cuando multiplicamos fracciones algebraicas, multiplicamos el numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda. Y luego hacemos lo mismo con los denominadores.

¿Y qué sabemos sobre la división de fracciones algebraicas? Bueno, para dividir una fracción algebraica o una fracción cualquiera, multiplicamos por la recíproca de dicha fracción. Por tanto, aquí hemos de multiplicar por uno partido entre 𝑥 más uno partido por cuatro, y esto es cuatro partido por 𝑥 más uno. Y seguidamente multiplicamos como lo hacemos habitualmente. A continuación, veremos ejemplos de suma y resta de fracciones algebraicas.

Considera uno partido por tres 𝑥 más dos partido por 𝑥 al cuadrado. Para sumar estas fracciones, tenemos que hallar un denominador común. En este caso, vemos que la potencia de 𝑥 de mayor exponente es dos. Y también debemos tener en cuenta este coeficiente de tres. Por tanto, el denominador común es tres 𝑥 al cuadrado. Multiplicamos el numerador y el denominador de la primera fracción por 𝑥. Y obtenemos 𝑥 partido por tres 𝑥 al cuadrado. Multiplicamos el numerador y el denominador de la segunda fracción por tres, y obtenemos seis partido por tres 𝑥 al cuadrado. Una vez que tenemos un denominador común, ya estamos listos para sumar los numeradores. De esta forma, esta fracción se convierte en 𝑥 más seis partido por tres 𝑥 al cuadrado. Como has podido observar, a veces basta con pensar un poco para hallar el denominador común.

Y, ¿qué ocurre con 𝑥 partido por 𝑥 más uno menos cuatro partido por 𝑥 más tres? En este caso no podemos ver directamente cuál es el denominador común. Así que tenemos que expresarlo como un producto de factores. Y lo hacemos multiplicando un denominador por el otro, de forma que obtenemos un denominador común de 𝑥 más uno por 𝑥 más tres. Multiplicamos el numerador y el denominador de la primera fracción por 𝑥 más tres. Así, el numerador se convierte en 𝑥 por 𝑥 más tres, que es 𝑥 al cuadrado más tres 𝑥. Seguidamente multiplicamos el numerador y el denominador de la segunda fracción por 𝑥 más uno, y obtenemos cuatro 𝑥 más cuatro.

Ahora estamos listos para restar los numeradores, pero tenemos que andarnos con mucho ojo y tener en cuenta el signo menos, pues estamos restando. Restamos cuatro 𝑥 y cuatro. Esto nos da 𝑥 al cuadrado menos 𝑥 menos cuatro, todo partido entre 𝑥 más uno por 𝑥 más tres. Veamos cómo aplicar estos métodos para resolver ecuaciones algebraicas.

Resuelve la ecuación un medio igual a dos partido por tres 𝑥 menos uno.

Como el enunciado nos pide que resolvamos la ecuación, vamos a reorganizarla para despejar la 𝑥. ¿Cómo vamos a hacerlo? Hay dos métodos, y vamos a considerar ambos. Como ves, aquí tenemos un pequeño problemilla. Y es que 𝑥 está en el denominador de la fracción. Así que podemos pensar en multiplicar todo por tres 𝑥 para solucionar esto. Para hacer eso, tendríamos que multiplicar cada término de la ecuación por tres 𝑥. Por tanto, en vez de hacer eso, vamos a pensar en qué podemos hacer con el término menos uno, en primer lugar. Comenzamos sumando uno a ambos lados de la ecuación. Y obtenemos un medio más uno igual a dos partido por tres 𝑥. Podemos escribir uno como uno partido por uno. Y para sumarlo a un medio, creamos un denominador común de dos multiplicando el numerador y el denominador de esta fracción por dos.

Al hacerlo obtenemos un medio más dos medios igual a dos partido por tres 𝑥. Un medio más dos medios es tres medios. Así que nuestra ecuación es tres medios igual a dos partido por tres 𝑥. Veamos ahora qué hacer con este engorroso tres 𝑥 en el denominador de la fracción. Vamos a solucionar esto multiplicando ambos lados de la ecuación por tres 𝑥. En el primer miembro, tenemos tres medios por tres 𝑥, que podemos escribir como tres medios por tres 𝑥 partido por uno. Seguidamente multiplicamos los numeradores y los denominadores, y obtenemos nueve 𝑥 partido por dos. En el segundo miembro, nos queda dos. Un error muy común aquí es pensar que nos queda seis 𝑥. Pero recuerda que multiplicar por tres 𝑥 es lo contrario de dividir por tres 𝑥. Por lo que estos tres 𝑥 se cancelan.

A continuación multiplicamos por dos para deshacernos de la fracción que está en el lado izquierdo. Nueve 𝑥 entre dos multiplicado por dos es nueve 𝑥. Y dos por dos es cuatro. Recuerda que queremos despejar la 𝑥. Así que ahora tenemos que dividir por nueve. Y obtenemos que 𝑥 es igual a cuatro novenos. Ahora podríamos comprobar la solución de 𝑥 sustituyendo este valor en la ecuación original. Pero, en vez de eso, vamos a considerar otro método para resolver este problema. Este método implica escribir el número menos uno como menos uno partido por uno. Y crear luego un denominador común en el lado derecho.

El mínimo común múltiplo de tres 𝑥 y uno es tres 𝑥. Así que vamos a multiplicar el numerador y el denominador de la segunda fracción por tres 𝑥. Lo hacemos, y obtenemos dos partido por tres 𝑥 menos tres 𝑥 partido por tres 𝑥. Y como ahora los denominadores de las fracciones son iguales, podemos restar los numeradores. De forma que la ecuación se convierte en un medio igual a dos menos tres 𝑥, todo partido por tres 𝑥. Como hicimos con el anterior método, vamos a multiplicar por tres 𝑥 para deshacernos de este denominador. En el lado izquierdo obtenemos tres 𝑥 por un medio, que es tres 𝑥 partido por dos. En el lado derecho, el denominador desaparece. Así que nos queda dos menos tres 𝑥.

Seguidamente multiplicamos por dos para deshacernos del denominador en el primer miembro. Nos aseguramos de multiplicar todos los términos de la derecha por dos. Por tanto, nuestra ecuación ahora es tres 𝑥 igual a cuatro menos seis 𝑥. Así, siempre que resolvemos una ecuación con la variable 𝑥 en ambos miembros, tenemos que eliminar el término con el coeficiente de 𝑥 menor. Aquí, ese término que tenemos que eliminar es menos seis 𝑥, pues el coeficiente es negativo. Y la operación inversa es sumar seis 𝑥 a ambos lados. Eso nos da nueve 𝑥 igual a cuatro. El último paso es dividir por nueve. Y hemos hallado otra vez que 𝑥 es igual a cuatro novenos.

En el siguiente ejemplo vamos a aprender cómo resolver una ecuación racional cuando la fracción es igual a cero.

Halla 𝑥 sabiendo que 𝑥 menos 20 partido por 𝑥 más 10 es igual a cero.

Veamos qué sucede en esta ecuación. Tenemos una fracción, y es igual a cero. Pero esto no nos dice nada sobre el denominador de nuestra fracción. De hecho, lo cierto es que no nos interesa el denominador. Para que nuestra fracción sea igual a cero, el numerador ha de ser igual a cero, ya que cero dividido por cualquier número es cero. Así que para resolver esta ecuación, tenemos que resolver 𝑥 menos 20 igual a cero. Y para hacerlo, sumamos 20 a ambos lados, y obtenemos 𝑥 igual a 20. Vamos a comprobar nuestra solución sustituyendo este valor en la expresión original. Cuando 𝑥 es igual a 20, 𝑥 menos 20 partido por 𝑥 más 10 es 20 menos 20 partido por 20 más 10. Eso es cero dividido por 30, que es cero. De esta forma estamos seguros de que nuestra solución 𝑥 igual a 20 es correcta.

Veamos ahora cómo resolver una ecuación racional que contiene dos fracciones algebraicas.

Sabiendo que siete 𝑥 partido por 𝑥 menos tres es igual a 16𝑥 partido por 𝑥 más tres menos nueve, halla el valor de 𝑥.

Para resolver esta ecuación, vamos a empezar considerando el miembro derecho. Tenemos la suma de una expresión racional, que es 16𝑥 partido por 𝑥 más tres, y un número entero. Que es menos nueve. Así que vamos a empezar restando nueve de nuestra fracción creando un denominador común. El denominador de nueve es uno. Tenemos nueve unos. Y vamos a multiplicar el numerador y el denominador de esta fracción por 𝑥 más tres. De forma que tendremos un denominador de 𝑥 más tres. Y obtenemos 16𝑥 partido por 𝑥 más tres menos nueve por 𝑥 más tres partido por 𝑥 más tres.

Una vez que los denominadores son iguales, podemos restar sus numeradores. Así que el numerador se convierte en 16𝑥 menos nueve por 𝑥 más tres. Distribuimos el paréntesis, siempre teniendo en cuenta que estamos multiplicando todo lo que hay dentro de él por menos nueve. Lo hacemos, y obtenemos 16𝑥 menos nueve 𝑥 menos 27, todo partido por 𝑥 más tres, que se simplifica a siete 𝑥 menos 27, todo partido por 𝑥 más tres. Ahora bajamos el miembro izquierdo de la ecuación. Y vemos que siete 𝑥 partido por 𝑥 menos tres es igual a siete 𝑥 menos 27, todo partido por 𝑥 más tres. Tenemos dos opciones aquí. Podemos restar una de las fracciones para obtener una expresión igual a cero. Y crear un denominador común de 𝑥 más tres por 𝑥 menos tres.

Pero en este caso no vamos a hacer eso. Vamos a tratar de eliminar los denominadores de las fracciones. Para deshacernos del denominador del lado izquierdo, vamos a multiplicar por 𝑥 menos tres. Al hacerlo nos queda siete 𝑥 en el lado izquierdo. Y a la derecha, en realidad estamos multiplicando por 𝑥 menos tres partido por uno. Así que tenemos siete 𝑥 menos 27 partido por 𝑥 más tres multiplicado por 𝑥 menos tres partido entre uno. Multiplicamos como siempre, multiplicando los numeradores y luego multiplicando los denominadores. De esta forma, el miembro derecho se convierte en siete 𝑥 menos 27 por 𝑥 menos tres, todo partido por 𝑥 más tres.

Ahora vamos a multiplicar por 𝑥 más tres para eliminar el denominador del lado derecho. Y obtenemos siete 𝑥 por 𝑥 más tres igual a siete 𝑥 menos 27 por 𝑥 menos tres. Fíjate en que, en vez de multiplicar por 𝑥 menos tres primero y luego por 𝑥 más tres, podríamos haber multiplicado en cruz inicialmente por 𝑥 menos tres y 𝑥 más tres, y habríamos llegado a la misma ecuación. Ahora vamos a desarrollar los paréntesis. En el primer miembro, lo hacemos multiplicando todo lo que está dentro por siete 𝑥, y obtenemos siete 𝑥 al cuadrado más 21𝑥. Y en el segundo miembro, multiplicamos todo lo que está dentro del segundo paréntesis por siete 𝑥 y luego por menos 27. Y eso nos da siete 𝑥 al cuadrado menos 21𝑥 menos 27𝑥 más 81. Y el segundo miembro se simplifica a siete 𝑥 al cuadrado menos 48𝑥 más 81.

Nuestro objetivo es despejar 𝑥. Para hacerlo vamos a restar siete 𝑥 al cuadrado de ambos miembros de nuestra ecuación. Al hacerlo se eliminan todos los términos con 𝑥 al cuadrado. Y nos queda 21𝑥 igual a menos 48𝑥 más 81. A continuación sumamos 48𝑥, y obtenemos que 69𝑥 es igual a 81. Y por último, dividimos entre 69. Al hacerlo, hallamos que 𝑥 es igual a 81 partido por 69, que se simplifica dividiendo por tres a 27 partido entre 23. Por lo tanto, el valor de 𝑥 que satisface nuestra ecuación es 27 partido por 23.

Veamos ahora cómo podemos resolver una ecuación racional que contiene tres fracciones algebraicas.

Resuelve tres partido por 𝑛 al cuadrado menos cuatro más uno partido por 𝑛 más dos igual a dos partido por 𝑛 menos dos.

Tenemos tres fracciones algebraicas. Y hay varias formas de resolver esta ecuación. Aunque los tres métodos tienen algo en común: es necesario detectar que 𝑛 al cuadrado menos cuatro puede expresarse como un producto de factores. Podemos hacerlo usando la diferencia de cuadrados. Lo escribimos como 𝑛 menos dos por 𝑛 más dos. Y notamos que este es el producto de los otros dos denominadores. Así que podemos crear un denominador común de 𝑛 menos dos por 𝑛 más dos y pasar todos los términos al lado izquierdo de la ecuación. Pero en lugar de eso, vamos a restar uno partido por 𝑛 más dos de ambos lados de la ecuación. Veamos lo que pasa.

La ecuación se convierte en tres partido por 𝑛 al cuadrado menos cuatro igual a dos partido entre 𝑛 menos dos menos uno partido por 𝑛 más dos. A continuación, multiplicamos el numerador y el denominador de la primera fracción por 𝑛 más dos y la segunda por 𝑛 menos dos, creando un denominador común de 𝑛 menos dos por 𝑛 más dos. Los numeradores en el segundo miembro se convierten, respectivamente, en dos por 𝑛 más dos y uno por 𝑛 menos dos. Y sabemos que podemos expresar el denominador en el primer miembro como 𝑛 menos dos por 𝑛 más dos.

Ahora tenemos que los denominadores son iguales en el lado derecho. Así que vamos a restar uno por 𝑛 menos dos de dos por 𝑛 más dos. Así, la expresión del lado derecho se convierte en dos por 𝑛 más dos menos uno por 𝑛 menos dos, todo partido por 𝑛 menos dos por 𝑛 más dos. Fíjate en que ahora los denominadores de las dos fracciones son iguales. Y el enunciado nos dice que las fracciones son iguales. Así que esto significa que los numeradores también son iguales. Por tanto, tres ha de ser igual a dos por 𝑛 más dos menos uno por 𝑛 menos dos.

Vamos a desarrollar los paréntesis teniendo en cuenta que en el segundo paréntesis estamos multiplicando todo por menos uno, de forma que la ecuación se convierte en tres igual a dos 𝑛 más cuatro menos 𝑛 más dos. Simplificamos el lado derecho para obtener 𝑛 más seis. Y ahora tenemos una ecuación para 𝑛 bastante sencilla de resolver. Restamos seis de ambos lados, y obtenemos que 𝑛 es igual a menos tres. Así que la solución de nuestra ecuación es 𝑛 igual a menos tres.

Como sabes, podemos comprobar la solución sustituyendo el valor de la incógnita en la ecuación original para verificar que ambos miembros son iguales.

En el último ejemplo vamos a aprender cómo resolver una ecuación en la que hay división de fracciones algebraicas.

Resuelve 𝑥 más uno partido por 𝑥 menos uno dividido entre dos 𝑥 más 10 partido por 𝑥 más uno igual a un medio.

Tenemos bastantes cosas aquí. Observa que en el miembro izquierdo las dos fracciones algebraicas se están dividiendo. Así que vamos a abordar esto primero. Como ya sabemos, para dividir una fracción, la multiplicamos por la recíproca de esa fracción. La recíproca de dos 𝑥 más 10 y 𝑥 más uno es 𝑥 más uno partido por dos 𝑥 más 10. Así que vamos a calcular el producto de 𝑥 más uno partido por 𝑥 menos uno y 𝑥 más uno partido por dos 𝑥 más 10. Otra forma de dividir fracciones algebraicas es crear un denominador común y luego dividir los numeradores. Pero eso podría llevarnos algo más de tiempo.

Una vez que tenemos la fracción en esta forma, o sea, cuando estamos multiplicando las dos fracciones, lo que tenemos que hacer es multiplicar sus numeradores y luego sus denominadores. La fracción ahora es 𝑥 más uno por 𝑥 más uno partido por 𝑥 menos uno por dos 𝑥 más 10. Vamos a desarrollar los paréntesis. Lo hacemos, y obtenemos 𝑥 al cuadrado más dos 𝑥 más uno partido por dos 𝑥 al cuadrado más ocho 𝑥 menos 10. Bajamos el lado derecho de la ecuación y vemos que la expresión racional completa es igual a un medio.

Ahora queremos eliminar el denominador de las fracciones. Para hacerlo vamos a multiplicar ambos lados por dos 𝑥 al cuadrado más ocho 𝑥 menos 10. Si quisiéramos, podríamos multiplicar ambos lados por dos al mismo tiempo. Pero no necesitamos hacer eso aquí. Pues el lado derecho de la ecuación se convierte en un medio por dos 𝑥 al cuadrado más ocho 𝑥 menos 10. Fíjate en que cada término de este polinomio de segundo grado es un múltiplo de dos. Así que vamos a multiplicar cada término por separado por un medio. Así, el lado derecho se convierte en 𝑥 al cuadrado más cuatro 𝑥 menos cinco. Y ahora restamos 𝑥 al cuadrado de ambos miembros de nuestra ecuación.

Y como estamos resolviendo, tenemos que despejar la 𝑥. Tenemos que eliminar el término con el menor coeficiente de 𝑥. Así que restamos dos 𝑥 de ambos lados. Y obtenemos que uno es igual a dos 𝑥 menos cinco. Seguidamente, sumamos cinco a ambos lados, y obtenemos que seis es igual a dos 𝑥. Por último, dividimos por dos, y llegamos a la solución 𝑥 igual a tres.

En este vídeo hemos insistido en el hecho de que las fracciones algebraicas siguen las mismas reglas aritméticas que las fracciones numéricas. Hemos visto, además, cómo podemos usar estas reglas para resolver ecuaciones que involucran fracciones algebraicas despejando la 𝑥. Hemos aprendido también que, si la ecuación consiste en una fracción algebraica igualada a cero, podemos igualar a cero el numerador de la fracción y resolver para 𝑥.

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