Transcripción del vídeo
En este video, vamos a aprender cómo evaluar y graficar funciones de valor absoluto y cómo determinar su dominio y rango. Vamos a comenzar recordando la definición de función de valor absoluto. Una función de valor absoluto contiene una expresión algebraica dentro de símbolos de valor absoluto. El valor absoluto de un número es su distancia desde cero en la recta numérica.
Veamos en primer lugar la función 𝑓 de 𝑥 que es igual al valor absoluto, a veces llamado módulo, de 𝑥. Para graficar esta función, vamos a elegir algunos valores enteros de 𝑥 y vamos a hallar algunos pares ordenados. El valor absoluto de menos dos es igual a dos ya que está a dos lugares de cero en la recta numérica. El valor absoluto de menos uno es igual a uno porque está a uno de distancia de cero en la recta numérica. Esto nos lleva al hecho de que el valor absoluto de cualquier número no puede ser negativo. No estamos interesados en el signo sino en la distancia entre el número y cero. Los valores absolutos de cero, uno y dos son cero, uno y dos, respectivamente.
Podemos graficar esta función en el plano cartesiano sabiendo que 𝑦 es igual a 𝑓 de 𝑥. Nuestro primer par ordenado, o primer par de coordenadas, es menos dos, dos. Después tenemos menos uno, uno. Nuestros otros tres puntos son cero, cero; uno, uno; y dos, dos. Conectando estos puntos, obtenemos una gráfica en forma de V. Esto será cierto para el valor absoluto de cualquier función lineal de la forma 𝑚𝑥 más 𝑏. Analicemos ahora algunos datos clave o información de esta gráfica. El vértice tiene coordenadas cero, cero. Este es el punto mínimo de la función valor absoluto de 𝑥. El eje 𝑦 es un eje de simetría. Esto significa que la ecuación del eje de simetría es 𝑥 igual a cero.
Sabemos que el dominio de cualquier función son aquellos valores que pueden ser valores de entrada de la función. Como podemos sustituir cualquier valor de 𝑥 en nuestra función, el dominio es el conjunto de todos los números reales. Esto también se puede escribir como el intervalo abierto desde menos ∞ a más ∞. El rango son todos los valores de salida de la función. Son todos los valores de 𝑦 o 𝑓 de 𝑥. Todos estos valores se encuentran por encima del eje 𝑥 o en el mismo eje. Por lo tanto, 𝑓 de 𝑥 es mayor o igual que cero. Y esto se puede escribir como un intervalo, y es el intervalo cerrado desde cero hasta más ∞. Por último, vemos que el punto de intersección con el eje 𝑦 y el punto de intersección con el eje 𝑥 son ambos cero.
A continuación, vamos a ver un par de cuestiones en las que necesitamos hallar el dominio y el rango de una función de valor absoluto a partir de su gráfica.
Halla el rango de la función 𝑓 de 𝑥 igual al valor absoluto de menos dos 𝑥 menos dos.
El rango de una función 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 es el conjunto de valores que 𝑦 toma para todos los valores de 𝑥 en el dominio de 𝑓. Para cualquier gráfica dibujada en el plano cartesiano, el rango o recorrido es el conjunto de los valores que 𝑦 toma. Para la función 𝑓 de 𝑥 que es igual al valor absoluto de menos dos 𝑥 menos dos, todos nuestros valores de 𝑦 están por encima o en el eje 𝑥. Por lo tanto, podemos decir que 𝑦, o sea, 𝑓 de 𝑥, ha de ser mayor o igual que cero. Esto se puede escribir usando notación de intervalo como el intervalo cerrado por la izquierda y abierto por la derecha desde cero hasta ∞. Tenemos un intervalo cerrado en cero porque la función puede ser igual a cero. Esto está representado por el círculo lleno o punto en menos uno, cero. Como 𝑓 de 𝑥 nunca puede llegar a ∞, usamos un paréntesis para el extremo superior del intervalo.
Determina el dominio y el rango de la función 𝑓 de 𝑥 igual al valor absoluto de menos 𝑥 menos uno más uno.
El dominio de una función es el conjunto de todos los posibles valores de entrada. Cuando la gráfica se dibuja en el plano cartesiano, el dominio está representada por todos los valores de 𝑥 que pueden ser sustituidos en la función. Así que, como podemos sustituir cualquier valor de 𝑥 en nuestra función, el dominio es el conjunto de todos los números reales. Esto también se puede escribir como el conjunto de valores representado por el intervalo abierto de extremos menos ∞ y más ∞. El rango de una función es el conjunto de todos los resultados posibles. En el plano de coordenadas, son todos los valores de 𝑦 o 𝑓 de 𝑥. Podemos ver en nuestra gráfica que el vértice o punto mínimo está en menos uno, uno. El rango de la función 𝑓 es por lo tanto el intervalo, cerrado por la izquierda y abierto por la derecha, desde uno hasta ∞.
El círculo lleno o punto en menos uno significa que debemos usar el intervalo cerrado ya que el número uno está incluido en nuestro rango. La función 𝑓 de 𝑥, que es el valor absoluto de menos 𝑥 menos uno más uno, tiene como dominio el conjunto de todos los valores reales y un rango de uno a ∞.
En nuestras dos siguientes cuestiones, vamos a hallar el dominio y el rango sin tener una gráfica.
Si 𝑎 es una constante, ¿cuál es el dominio de la función 𝑓 de 𝑥 igual al valor absoluto de 𝑥 más 𝑎?
Comencemos recordando cómo se ve la gráfica de la función del valor absoluto de 𝑥. Esta es una gráfica en forma de V con puntos mínimos o vértice en cero, cero. Recordemos que el dominio es el conjunto de los valores de entrada, o sea, el conjunto de los valores de la variable independiente 𝑥. Esto significa que el dominio de 𝑔 de 𝑥, el valor absoluto de 𝑥, son todos los números reales. Si bien no se menciona en esta cuestión, el rango es el conjunto de los valores de la variable dependiente 𝑦, o sea, el conjunto de los valores de salida. Como los valores de 𝑦 de 𝑔 de 𝑥 son todos mayores o iguales que cero, el rango de 𝑔 de 𝑥 es el intervalo, cerrado por la izquierda y abierto por la derecha, desde cero hasta ∞.
Consideremos ahora nuestra función 𝑓 de 𝑥, que es igual al valor absoluto de 𝑥 más 𝑎. La función 𝑓 de 𝑥 es una traslación horizontal de 𝑔 de 𝑥 𝑎 unidades hacia la izquierda. Si 𝑎 es un número positivo, la gráfica se desplaza o traslada 𝑎 unidades hacia la izquierda. Si 𝑎 por el contrario es un número negativo, la gráfica se desplaza o se traslada hacia la derecha. Como la gráfica se ha desplazado horizontalmente, el rango y el dominio no se han alterado. El dominio de la función 𝑓 de 𝑥 igual al valor absoluto de 𝑥 más 𝑎 es el conjunto de todos los valores reales. Esto también puede escribirse como el conjunto de los valores entre menos ∞ y más ∞.
Halla el dominio y el rango de la función 𝑓 de 𝑥 igual a menos cuatro multiplicado por el valor absoluto de 𝑥 menos cinco menos uno.
Comencemos echando otro vistazo a la gráfica de la función valor absoluto de 𝑥. Esta es una gráfica en forma de V con un punto o vértice de mínimo en cero, cero. Analicemos ahora las transformaciones que se han de hacer para obtener la función 𝑓 de 𝑥. Comencemos considerando el valor absoluto de 𝑥 menos cinco. Esta es una traslación cinco unidades hacia la derecha. Por lo tanto, esta función tiene un punto o vértice mínimo en cinco, cero. Multiplicar el valor absoluto de 𝑥 menos cinco por menos cuatro da como resultado un alargamiento vertical de factor de escala menos cuatro. Esto significa que la gráfica será cuatro veces más inclinada y también estará volteada a través del eje de las 𝑥.
Finalmente, necesitamos restar uno de esta función. Esto da como resultado una traslación de una unidad hacia abajo en la dirección 𝑦. La gráfica de la función 𝑓 de 𝑥 igual a menos cuatro multiplicado por el valor absoluto de 𝑥 menos cinco menos uno se muestra en verde. A continuación, vamos a eliminar algunas de las otras gráficas del plano de coordenadas. El vértice o punto de máximo de 𝑓 de 𝑥 tiene coordenadas cinco, menos uno. Sabemos que el dominio de una función es el conjunto de todos los valores de la variable independiente 𝑥 o valores de entrada. Como podemos sustituir cualquier número en nuestra función 𝑓 de 𝑥, el dominio es el conjunto de todos los valores reales desde menos ∞ hasta ∞.
El rango es el conjunto de todos los valores de salida, o sea, todos los valores de la variable independiente 𝑦. En la gráfica, podemos ver que todos estos son valores menores o iguales que menos uno. El rango de 𝑓 de 𝑥 es, por lo tanto, igual al conjunto de valores en el intervalo, abierto por la izquierda y cerrado por la derecha, desde menos ∞ a menos uno.
En la última cuestión de este video, vamos a hallar valores de una función de valor absoluto por sustitución directa.
Un cuerpo se movía con una velocidad uniforme de cinco centímetros por segundo de magnitud desde el punto 𝐴 hasta el punto 𝐶 pasando por el punto 𝐵 sin detenerse. La distancia entre el cuerpo y el punto 𝐵 está dada por 𝑑 de 𝑡 es igual a cinco multiplicado por el valor absoluto de ocho menos 𝑡, donde 𝑡 es el tiempo en segundos y 𝑑 es la distancia en centímetros. Halla la distancia entre el cuerpo y el punto 𝐵 a los cinco segundos y a los 11 segundos.
Nos dan un diagrama que muestra el cuerpo que está moviéndose del punto 𝐴 al punto 𝐶 a través del punto 𝐵 con una velocidad de cinco centímetros por segundo. Si bien hay mucha información en esta cuestión, el dato clave es que la función 𝑑 de 𝑡 es igual a cinco multiplicado por ocho menos 𝑡. 𝑑 de 𝑡 es la distancia del cuerpo desde el punto 𝐵 después de un tiempo determinado. Necesitamos calcular esta distancia a los cinco segundos y también a los 11 segundos. Después de cinco segundos, 𝑡 es igual a cinco. Por lo tanto, necesitamos calcular 𝑑 de cinco.
Esto es igual a cinco multiplicado por el valor absoluto de ocho menos cinco. Ocho menos cinco es igual a tres, así que necesitamos multiplicar cinco por el valor absoluto de tres. Como el valor absoluto de un número es su distancia desde cero, el valor absoluto de tres es tres. Como cinco multiplicado por tres es igual a 15, la distancia entre el cuerpo y el punto 𝐵 después de cinco segundos es 15 centímetros.
Necesitamos repetir este proceso cuando 𝑡 es igual a 11. Esto significa que necesitamos calcular el valor de 𝑑 de 11. Esto es igual a cinco multiplicado por el valor absoluto de ocho menos 11. Ocho menos 11 es igual a menos tres. Como el valor absoluto de un número es su distancia desde cero, el valor absoluto de menos tres también es tres. De hecho, el valor absoluto de cualquier número siempre será positivo. Multiplicando cinco por tres una vez más, vemos que la distancia entre el cuerpo y el punto 𝐵 después de 11 segundos también es 15 centímetros.
En términos de nuestro diagrama, podemos ver que después de cinco segundos y 11 segundos, el cuerpo está a la misma distancia del punto 𝐵. A los cinco segundos, todavía se aproxima al punto 𝐵 desde el punto 𝐴. Y a los 11 segundos, ha pasado el punto 𝐵 y se dirige hacia el punto 𝐶.
A continuación, vamos a resumir los puntos principales de este video. En este video, hemos visto que el valor absoluto de un número es su distancia desde cero. Esto significa que el valor absoluto de un número nunca puede ser negativo. El dominio de una función es el conjunto de todos los valores posibles de 𝑥 o valores de entrada. Hemos visto que cuando se trata del valor absoluto de funciones lineales de la forma 𝑚𝑥 más 𝑏, el dominio es el conjunto de todos los números reales, o sea, es el intervalo abierto desde menos ∞ hasta más ∞. El rango de una función es el conjunto de los valores 𝑦 o valores de salida. Si 𝑓 de 𝑥 es igual al valor absoluto de 𝑚𝑥 más 𝑏, entonces el rango es el intervalo cerrado por la izquierda y abierto por la derecha, desde cero hasta ∞. El rango contiene todos los valores de 𝑦 mayores o iguales que cero.
También hemos visto en este video que las transformaciones de las funciones lineales de valor absoluto a veces alteran el rango pero nunca alteran el dominio. Hemos visto que la función 𝑔 de 𝑥 que es igual a 𝑓 de 𝑥 menos ℎ traslada la función 𝑓 de 𝑥 igual al valor absoluto de 𝑥 horizontalmente. Desplaza la gráfica ℎ unidades hacia la derecha. 𝑓 de 𝑥 más ℎ moverá la gráfica ℎ unidades hacia la izquierda. Del mismo modo, la función 𝑔 de 𝑥 que es igual a 𝑓 de 𝑥 más 𝑘 es una traslación vertical de la función 𝑓 de 𝑥 igual al valor absoluto de 𝑥. Esta traslación desplaza la gráfica 𝑘 unidades hacia arriba. Como en el ejemplo anterior, 𝑓 de 𝑥 menos 𝑘 es una traslación de la gráfica 𝑘 unidades hacia abajo.
Para concluir, hemos visto que la función 𝑔 de 𝑥 igual a 𝑎 multiplicado por 𝑓 de 𝑥 es un alargamiento de la función 𝑓 de 𝑥 igual al valor absoluto de 𝑥. El valor de 𝑎 es el factor de escala. Y si a es un número negativo de 𝑎, la gráfica es reflejada en el eje de las 𝑥. Esto significa que se abre hacia abajo en lugar de hacia arriba. La gráfica en forma de V ahora está al revés. Las dos últimas transformaciones tienen un impacto en el rango de la función de valor absoluto.
