Transcripción del vídeo
Sabemos que un vector es una cantidad que se puede representar como un par ordenado de números o como un segmento con una longitud, dirección y sentido específicos. También hemos visto que un segmento tiene un módulo, una dirección y un sentido, lo que básicamente significa que podemos describirlo diciendo qué tan largo es y en qué dirección apunta. En este video, vamos a hablar sobre las componentes horizontales y verticales de los vectores del plano, y vamos a introducir la notación de vectores unitarios 𝑖 y 𝑗.
Cualquier vector bidimensional tiene dos componentes (o coordenadas). La primera componente o coordenada representa el desplazamiento en la dirección 𝑥 y la segunda, el desplazamiento en la dirección 𝑦. Por supuesto, cuando decimos desplazamiento, nos referimos a diferencias en las coordenadas 𝑥 y 𝑦 en una representación gráfica del vector como un segmento orientado. El vector en sí puede representar algo completamente diferente, por ejemplo, fuerza, velocidad o aceleración, por ejemplo. En este caso, el desplazamiento en la dirección 𝑥 es esta distancia de aquí. Así que vamos de una coordenada 𝑥 de tres a una coordenada 𝑥 de seis, que es una diferencia de más tres. Por lo tanto, nuestra componente 𝑥 del vector es más tres. La componente 𝑦 es esto de aquí. La coordenada 𝑦 de 𝐴 es dos, la coordenada 𝑦 de 𝐵 es nueve, así que esa es una diferencia de más siete. Y podemos escribir eso como 𝐴𝐵, vector 𝐴𝐵, en este formato aquí: tres, siete. Así que el tres es la componente 𝑥 y el siete es la componente 𝑦.
Y si tuviéramos un sistema de coordenadas tridimensional con coordenadas 𝑥, 𝑦 y 𝑧, simplemente necesitaríamos insertar otro número aquí, al final de nuestro vector. Así que podemos extender este sistema a cualquier número de dimensiones.
Definamos ahora dos vectores especiales, 𝑖 y 𝑗, que son dos vectores unitarios, y el primero apunta en el sentido positivo de la dirección 𝑥 y el otro apunta en el sentido positivo de la dirección 𝑦. Este es 𝑖, que representa un desplazamiento de una unidad hacia la derecha de la dirección 𝑥. Y aquí está 𝑗, que representa un desplazamiento de una unidad hacia la arriba de la dirección 𝑦. Debemos recordar, no obstante, que los vectores 𝑖 y 𝑗 (que son uno, cero y cero, uno, respectivamente) se pueden colocar en cualquier lugar del sistema de coordenadas. No tienen que empezar en el origen. Y aquí los hemos puesto en otro lugar. Cada vector describe simplemente un desplazamiento. En este caso particular de aquí, para 𝑖, estamos sumando uno a la coordenada 𝑥 y dejamos la coordenada 𝑦 como está. Estamos haciendo este movimiento de aquí a aquí. En el caso 𝑗, no estamos agregando nada a la coordenada 𝑥, pero estamos agregando uno a la coordenada 𝑦. Describe, pues, este movimiento desde aquí hasta aquí.
Ahora recuerda, también podemos usar las reglas de la suma y la resta de vectores para acumular vectores 𝑖 y 𝑗, y así crear vectores más grandes. Por ejemplo, este vector aquí, 𝑖, representa un movimiento de una unidad en la dirección 𝑥 y ningún movimiento en la dirección 𝑦. Si aumentamos eso a este vector aquí, toda esta longitud, eso sería dos 𝑖, uno después del otro. O será una traslación de dos en la dirección 𝑥 y cero en la dirección 𝑦. Si sumamos a eso este vector, que comienza en el final y luego se mueve hacia arriba, no uno, ni dos, sino tres, serían tres vectores 𝑗 sumados, haciendo un vector de tres 𝑗 o cero, tres. Entonces, si sumamos dos 𝑖 más tres 𝑗, eso representa este trayecto verde desde el punto de inicio hasta el punto final aquí. Así que dos 𝑖, la componente 𝑥 sería dos. Tres 𝑗, la componente 𝑦 sería tres. Y el trayecto directo dos 𝑖 más tres 𝑗 es la línea verde. Esto significa que la componente 𝑥 era dos y la componente 𝑦 era tres. Así que ahora tenemos dos formas diferentes de representar este vector verde de aquí. Podemos usar la notación de pares ordenados con la que estamos familiarizados. Pero tenemos esta nueva notación aquí, en términos de los vectores 𝑖 y 𝑗. El número de pasos en la dirección 𝑥 es el coeficiente de la 𝑖 y el número de pasos en la dirección 𝑦 es el coeficiente de la 𝑗.
Resumamos esto en el caso general. Si comenzamos en el punto 𝐶 aquí con coordenadas 𝑥 uno, 𝑦 uno y terminamos en el punto 𝐷 aquí con coordenadas 𝑥 dos, 𝑦 dos, entonces en el vector 𝐶𝐷, la componente 𝑥 de aquí es la diferencia en las coordenadas 𝑥 y la componente 𝑦 de aquí es la diferencia en las coordenadas 𝑦. Así que esa es nuestra forma usual de escribirlo, que es como un par ordenado de números. O podemos decir que eso es 𝑥 dos menos 𝑥 uno veces el vector unitario 𝑖 más 𝑦 dos menos 𝑦 uno veces el vector unitario 𝑗. Eso parece que tiene algo de sentido. Todo lo que estamos diciendo es que la componente 𝑥 de un vector es el coeficiente del vector unitario 𝑖, en este formato, y la componente 𝑦 del vector es el coeficiente del vector unitario 𝑗, en este formato. Así que estamos familiarizándonos con esta nueva notación donde tenemos el vector 𝑖, que es un paso de uno en la dirección 𝑥, el vector 𝑗, que es un paso de uno en la dirección 𝑦, y simplemente hemos de indicar cuántos de cada uno necesitamos hacer para formar nuestro vector.
Perfecto. Así que ya conocemos este nuevo formato. Echemos un vistazo a un par de cuestiones rápidas que requieren el uso de 𝑖 y 𝑗. Vamos a hacer esta cuestión de aquí.
Tenemos 𝐴𝐵; es el vector tres 𝑖 más cuatro 𝑗. 𝑋𝑌 es el vector menos dos 𝑖 más tres 𝑗. Y solo tenemos que sumar esos dos vectores.
Así que la primera etapa es simplemente tomar el vector 𝐴𝐵 y sumar el vector 𝑋𝑌. Y todo lo que tenemos que hacer es sumar la parte con 𝑖 primero, y luego sumar la parte con 𝑗 en segundo lugar. Tres 𝑖 más menos dos 𝑖 es solo uno 𝑖, así que eso es 𝑖. Y cuatro 𝑗 más tres 𝑗 es siete 𝑗. Así que aquí está nuestra respuesta, 𝑖 más siete 𝑗. Así de simple, sumamos las componentes 𝑖, sumamos las componentes 𝑗, teniendo cuidado ¡eso sí! con los signos negativos cuando hacemos estos cálculos; pero por lo demás, es un proceso bastante sencillo.
Visualicemos ese ejemplo. Teníamos tres 𝑖 más cuatro 𝑗. Hacemos pues tres 𝑖 y luego cuatro 𝑗, y este es el vector. Y aquí estamos. Lo hemos puesto en el origen. Podríamos haberlo puesto en cualquier lugar del gráfico. Ahora para sumar vectores, los colocamos origen con extremo. Así que lo que estamos sumando, 𝑥𝑦, era menos dos 𝑖 más tres 𝑗. Así que efectivamente estamos comenzando desde 𝐵, por lo que está encima de 𝐵 y vamos a menos dos 𝑖. Así que vamos a dos en la dirección negativa 𝑥 y a tres 𝑗 positivos, hasta aquí.
Por lo tanto, sumar vectores es solo una cuestión de colocarlos de un extremo a otro en el gráfico. Así que colocamos 𝐴𝐵, que comenzaba aquí y terminaba aquí, y luego solo agregamos 𝑋𝑌 al final, lo colocamos al final. Esto comenzó donde acabamos de terminar y luego terminó aquí. Así que el vector resultante es este verde de aquí. Y para llegar desde el principio del vector verde hasta el final del vector verde, tenemos que ir uno positivo en la dirección 𝑥. Eso es uno 𝑖, o simplemente 𝑖. Y en la dirección 𝑦, tenemos que subir siete hasta aquí. Eso es más siete 𝑗.
Por lo tanto, para resolver estas cuestiones, solo tenemos que sumar las componentes 𝑥, sumar las componentes 𝑦 y luego simplificar si podemos. No es necesario hacer toda esta verificación gráfica. Pero esto fue solo para darte una idea adicional del proceso y de por qué funciona.
Perfecto. Echemos un vistazo a una última cuestión.
Tenemos el vector 𝐴𝐵, que es tres 𝑖 menos cuatro 𝑗. El vector 𝑋𝑌 es menos cuatro 𝑖 más siete 𝑗. Y tenemos que hallar el vector 𝐴𝐵 menos el vector 𝑋𝑌.
Escribiéndolo, 𝐴𝐵 es tres 𝑖 menos cuatro 𝑗. 𝑋𝑌 es menos cuatro 𝑖 más siete 𝑗, y eso es lo que restamos del vector 𝐴𝐵. Así que solo debemos tener mucho cuidado, cuando restamos, con los signos, porque tenemos un signo menos fuera del paréntesis, y tenemos signos más y menos dentro del paréntesis.
Comencemos con las componentes 𝑖. Tenemos tres 𝑖 y estamos restando menos cuatro 𝑖, lo que significa que estamos sumando cuatro 𝑖. Así que tres 𝑖 más cuatro 𝑖 es siete 𝑖. Y luego, para las componentes 𝑗, comenzamos con menos cuatro 𝑗 y restando el siete 𝑗, por lo que será menos cuatro menos otros siete, que es menos once 𝑗. Y he aquí nuestra respuesta, siete 𝑖 menos once 𝑗.
Y solo para resumir lo que hemos aprendido. 𝑖 es el vector unitario en el sentido positivo de la dirección 𝑥 y, y 𝑗 es el vector unitario en el sentido positivo de la dirección 𝑦. Y para cualquier vector, —como el vector 𝐴𝐵, que es cinco, tres—, esta es la componente 𝑥, y esta es la componente 𝑦. Y podemos reescribir esto como cinco 𝑖, porque esa es la componente 𝑥, más tres 𝑗, porque esa es la componente 𝑦. Y dados dos vectores, 𝐴𝐵 y 𝐶𝐷, con sus componentes 𝑖 y 𝑗 en este formato, podemos sumarlos o restarlos simplemente sumando o restando sus componentes 𝑖 y sus componentes 𝑗, por separado.
Así, por ejemplo, para sumar 𝐴𝐵 y 𝐶𝐷, podemos sumar dos y menos dos 𝑖 y podemos sumar menos tres y cuatro 𝑗. Bien, en este caso, dos más menos dos 𝑖, eso es cero 𝑖, así que no necesitamos molestarnos en escribir cero 𝑖. Y menos tres más cuatro es solo uno, así que terminamos con una respuesta de uno 𝑗, o sea, 𝑗. Y si queremos restar del vector 𝐴𝐵 el vector 𝐶𝐷, tenemos dos 𝑖 menos menos dos 𝑖, y menos tres menos cuatro 𝑗. Entonces dos menos menos dos son dos más dos, así que son cuatro 𝑖. Y menos tres menos cuatro es menos siete 𝑗. Estamos sumando menos siete 𝑗. Así que probablemente no escribimos más menos 𝑗, solo escribimos cuatro 𝑖 menos siete 𝑗.
Espero que este video te sirva para usar con confianza los vectores unitarios 𝑖 y 𝑗 simplemente para representar las componentes 𝑥 y 𝑦 de cualquier vector con el que te encuentres a partir de ahora.
