Transcripción del vídeo
En este vídeo vamos a aprender cómo resolver sistemas de ecuaciones cuadrático-lineales. Antes de comenzar vamos a ver qué queremos decir exactamente con sistema de ecuaciones cuadrático-lineal. No es tan complicado como suena. Es simplemente un sistema de dos ecuaciones en el que una de ellas es una ecuación lineal y la otra es una ecuación cuadrática.
Como ya sabemos, una ecuación lineal, o de primer grado, es aquella en la que el exponente más alto de las incógnitas en la ecuación es uno y en la que las incógnitas no están multiplicadas entre sí. Por ejemplo, la ecuación 𝑦 igual a dos 𝑥 es una ecuación lineal. Y si la representáramos gráficamente, obtendríamos una recta. Una ecuación cuadrática, o de segundo grado, por su parte, es aquella en la que una de las variables, al menos, está elevada al cuadrado. Por ejemplo, la ecuación 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado igual a cinco es una ecuación cuadrática. También reciben este nombre aquellas ecuaciones en las que las incógnitas están multiplicadas entre sí, por ejemplo, la ecuación 𝑥 más dos 𝑥𝑦 igual a tres.
Si dibujamos la gráfica de una ecuación cuadrática, no obtenemos una línea recta, sino una línea curva, que puede ser de distintos tipos. En el caso de 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado igual a cinco, esta curva es una circunferencia. Desde un punto de vista gráfico, resolver un sistema de ecuaciones cuadrático-lineal consiste en hallar las coordenadas de los puntos de intersección entre las dos gráficas.
El mejor método para resolver ecuaciones simultáneas es el método de sustitución, y este es el método que vamos a usar en este vídeo. Así que conviene que ya estés familiarizado con este método. También debes saber resolver ecuaciones de segundo grado con una incógnita mediante descomposición en factores. Vamos a ver algunas aplicaciones de estas técnicas en la resolución de problemas, incluidos problemas sobre puntos de intersección de rectas y curvas. Veamos un primer ejemplo.
Resuelve las ecuaciones simultáneas 𝑦 igual a 𝑥 menos dos, 𝑥 menos dos al cuadrado más 𝑦 menos tres al cuadrado igual a nueve.
En lo primero en lo que nos fijamos es en que este es un sistema de ecuaciones cuadrático-lineal. La primera ecuación, 𝑦 igual a 𝑥 menos dos es una ecuación lineal, pues el exponente más alto de 𝑥 y de 𝑦 es uno. Y la segunda ecuación, 𝑥 menos dos al cuadrado más 𝑦 menos tres al cuadrado igual a nueve es una ecuación cuadrática porque, una vez que desarrollemos los paréntesis, obtendremos los términos 𝑥 al cuadrado y 𝑦 al cuadrado.
Para resolver este problema vamos a usar el método de sustitución. La primera ecuación es 𝑦 igual a 𝑥 menos dos. Y vemos que la expresión 𝑥 menos dos aparece también en la segunda ecuación. Así que lo que vamos a hacer es sustituir 𝑥 menos dos por 𝑦 en la segunda ecuación. Al hacerlo, obtenemos que 𝑦 al cuadrado más 𝑦 menos tres al cuadrado es igual a nueve. Por lo que ahora tenemos una ecuación solo en términos de 𝑦. Se trata de una ecuación de segundo grado que debemos saber cómo resolver.
Comenzamos desarrollando el paréntesis de 𝑦 menos tres al cuadrado. Sabemos que 𝑦 menos tres, todo al cuadrado, significa 𝑦 menos tres multiplicado por 𝑦 menos tres. Así que cuando desarrollamos el paréntesis, tenemos cuatro términos. Y estos cuatro términos se simplifican a 𝑦 al cuadrado menos seis 𝑦 más nueve. Agrupamos los términos semejantes en el lado izquierdo, y obtenemos la ecuación de segundo grado dos 𝑦 al cuadrado menos seis 𝑦 más nueve igual a nueve.
Y podemos ver que, como tenemos más nueve en ambos lados, estos dos términos se cancelarán entre sí, lo que equivale a restar nueve de ambos miembros de la ecuación. De esta forma obtenemos la ecuación simplificada dos 𝑦 al cuadrado menos seis 𝑦 igual a cero, que podemos resolver mediante descomposición en factores. El máximo común divisor de dos 𝑦 al cuadrado y de menos seis 𝑦 es dos 𝑦. Para obtener dos 𝑦 al cuadrado, tenemos que multiplicar dos 𝑦 por 𝑦. Y para obtener menos seis 𝑦, tenemos que multiplicar dos 𝑦 por menos tres. Así que la ecuación cuadrática en forma factorizada es dos 𝑦 multiplicado por 𝑦 menos tres es igual a cero.
Para resolver la ecuación tomamos cada factor, lo igualamos a cero, y luego resolvemos la ecuación lineal resultante. La primera ecuación es dos 𝑦 igual a cero, que podemos resolver dividiendo ambos miembros por dos para hallar que 𝑦 es igual a cero. La segunda ecuación es 𝑦 menos tres igual a cero. Resolvemos sumando tres a ambos miembros, y obtenemos que 𝑦 es igual a tres. De esta forma hemos hallado que la solución a estas ecuaciones simultáneas incluye dos valores de 𝑦, 𝑦 igual a cero y 𝑦 igual a tres.
Ahora tenemos que hallar los valores correspondientes de 𝑥. Para hacerlo sustituimos cada valor de 𝑦 en la ecuación lineal. Debemos hacer la sustitución en la ecuación lineal porque es posible que, en la curva cuadrática, haya más de un punto en el que 𝑦 sea igual a cero o 𝑦 sea igual a tres. Pero en la gráfica lineal, en la recta, solo hay un punto donde 𝑦 es igual a cero y un punto donde 𝑦 es igual a tres. Así que tenemos que sustituir en la ecuación lineal.
Si 𝑦 es igual a cero, entonces cero es igual a 𝑥 menos dos. Sumamos dos a ambos lados, y hallamos que 𝑥 es igual a dos. Si 𝑦 es igual a tres, tenemos que tres es igual a 𝑥 menos dos. Y al sumar dos a cada lado, hallamos que 𝑥 es igual a cinco. Así que la solución de este par de ecuaciones simultáneas son dos pares de valores de 𝑥𝑦. 𝑥 igual a dos y 𝑦 igual a cero, y 𝑥 igual a cinco y 𝑦 igual a tres.
No debemos olvidarnos de que las soluciones son pares de números. Y no podemos mezclar y combinar los valores de 𝑥 y de 𝑦. Por ejemplo, 𝑥 igual a dos y 𝑦 igual a tres no es una solución válida para este par de ecuaciones simultáneas, cosa que puede confirmarse sustituyendo los valores en la ecuación lineal o en la cuadrática.
Para resolver este problema hemos usado el método de sustitución, y hemos sustituido 𝑥 menos dos por 𝑦. También habríamos podido sustituir 𝑦 en el segundo paréntesis por 𝑥 menos dos para obtener una ecuación solo en términos de 𝑥. En este caso, habríamos hallado las soluciones para 𝑥 primero y luego, sustituyendo en la ecuación lineal, habríamos hallado las soluciones para 𝑦. De un modo u otro, nuestra respuesta final es 𝑥 igual a dos y 𝑦 igual a cero, y 𝑥 igual a cinco y 𝑦 igual a tres.
En el próximo ejemplo vamos a ver cómo resolver un problema aplicando estos métodos.
La suma de dos números es 11 y la suma de sus cuadrados es 65. ¿Cuáles son estos números?
Lo primero que debemos tener presente es que no debemos resolver este problema usando el método de ensayo y mejora. Debemos usar un método algebraico. Vamos a usar álgebra para resolver el problema. Así que vamos a representar los números que buscamos con las letras 𝑥 e 𝑦. Ahora vamos a expresar la información que nos ha dado el enunciado como ecuaciones con las incógnitas 𝑥 e 𝑦. En primer lugar, se nos dice que la suma de dos números es 11. De forma que obtenemos la ecuación 𝑥 más 𝑦 igual a 11.
En segundo lugar, se nos dice que la suma de sus cuadrados es 65. Así que esto nos da la ecuación 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado igual a 65. Ahora tenemos un sistema de ecuaciones cuadrático-lineal. La primera ecuación es lineal y la segunda es cuadrática. Vamos a utilizar el método de sustitución para resolver estas dos ecuaciones simultáneamente. Empezamos reorganizando la ecuación lineal para tener una variable en términos de la otra. Y en este problema no importa qué incógnita escojamos porque su dificultad no va a verse alterada por la elección que hayamos hecho. Hemos escogido reescribir la primera ecuación como 𝑦 igual a 11 menos 𝑥.
Ahora tomamos esta expresión para 𝑦 en términos de 𝑥 y la sustituimos en la segunda ecuación, es decir, en la ecuación cuadrática. Y obtenemos 𝑥 al cuadrado más 11 menos 𝑥, todo al cuadrado, igual a 65. Ahora tenemos una ecuación de segundo grado en términos de una sola incógnita, 𝑥. Desarrollamos el paréntesis con cuidado, acordándonos de que 11 menos 𝑥 todo al cuadrado es lo mismo que 11 menos 𝑥 multiplicado por 11 menos 𝑥, lo que da 121 menos 22𝑥 más 𝑥 al cuadrado. Agrupamos los términos semejantes en el lado izquierdo —es decir, 𝑥 al cuadrado más 𝑥 al cuadrado— y obtenemos dos 𝑥 al cuadrado. Y al mismo tiempo restamos 65 de ambos lados para obtener la ecuación cuadrática dos 𝑥 al cuadrado menos 22𝑥 más 56 igual a cero.
En este punto podemos ver que los coeficientes en nuestra ecuación son todos números pares. Así que podemos simplificar dividiendo toda la ecuación por dos. Lo hacemos, y obtenemos la ecuación cuadrática simplificada 𝑥 al cuadrado menos 11𝑥 más 28 igual a cero. Ahora queremos despejar la 𝑥. Así que lo primero que podemos hacer es comprobar si es posible descomponer la ecuación en factores. Como el coeficiente de 𝑥 al cuadrado en la ecuación es uno, el primer término en cada paréntesis será simplemente 𝑥 porque 𝑥 multiplicado por 𝑥 es 𝑥 al cuadrado. Y para completar los paréntesis, buscamos dos números cuya suma sea el coeficiente de 𝑥 —o sea, menos 11— y cuyo producto sea el término constante, o sea, 28.
Al considerar los factores de 28, vemos que si elegimos los dos números menos siete y menos cuatro, entonces su producto es efectivamente 28 porque un número negativo multiplicado por otro número negativo da un número positivo. Y su suma es menos 11. Así que estos son los dos números que necesitamos para completar los paréntesis. De este modo hemos obtenido nuestra ecuación cuadrática en su forma factorizada. 𝑥 menos siete multiplicado por 𝑥 menos cuatro igual a cero.
Para resolverla, tomamos cada factor, lo igualamos a cero, y resolvemos la ecuación resultante. Tenemos 𝑥 menos siete igual a cero, que se puede resolver sumando siete a ambos lados para obtener 𝑥 igual a siete, y luego 𝑥 menos cuatro igual a cero, que resolvemos sumando cuatro a ambos lados para obtener 𝑥 igual a cuatro. Así que hemos hallado la solución para 𝑥. Hay dos valores posibles. 𝑥 es igual a cuatro o 𝑥 es igual a siete.
Ahora nos queda hallar los valores correspondientes de 𝑦, que podemos hacer sustituyendo cada valor de 𝑥 en la ecuación lineal que, recuerda, es 𝑦 igual a 11 menos 𝑥. Si 𝑥 es igual a siete, hallamos que 𝑦 es igual a 11 menos siete, que es cuatro. Y si 𝑥 es igual a cuatro, hallamos que 𝑦 es igual a 11 menos cuatro, que es siete. Así que tenemos exactamente los mismos valores para 𝑦 que para 𝑥.
Esto se debe a que, al principio del problema, representamos los dos números con las letras 𝑥 e 𝑦. No especificamos si 𝑥 o 𝑦 era el número mayor. Así que hallamos la misma solución dos veces. Los dos números son siete y cuatro. Y cualquiera de ellos puede ser 𝑥 o 𝑦. Para comprobar si nuestra respuesta es correcta, confirmamos, en primer lugar, que la suma de nuestros dos números es 11, que sí lo es, y, en segundo lugar, comprobamos que la suma de sus cuadrados —siete al cuadrado más cuatro al cuadrado, que es 49 más 16— es efectivamente igual a 65.
Por lo tanto, formulando primero la información que nos dio el enunciado como un sistema de ecuaciones cuadrático-lineales y resolviendo seguidamente este par de ecuaciones simultáneas por el método de sustitución, hemos hallado que los dos números que estábamos buscando son siete y cuatro.
Una aplicación muy útil de estos métodos es hallar los puntos de intersección de una recta y una curva, como vimos al principio del vídeo. Veamos pues un ejemplo de este tipo.
Halla el conjunto de puntos de intersección de las gráficas de 𝑥 menos 𝑦 igual a cero y seis 𝑥 al cuadrado menos 𝑦 al cuadrado igual a 45.
Se nos pide que hallemos los puntos de intersección de 𝑥 menos 𝑦 igual a cero, que es una recta, y de seis 𝑥 al cuadrado menos 𝑦 al cuadrado igual a 45, que es una curva. Esto equivale a resolver el sistema de ecuaciones cuadrático-lineal 𝑥 menos 𝑦 igual a cero, seis 𝑥 al cuadrado menos 𝑦 al cuadrado igual a 45. Vamos a hacer esto usando el método de sustitución. Empezamos reordenando la ecuación lineal para obtener una incógnita en términos de la otra. Hallamos que 𝑥 es igual a 𝑦.
Ahora vamos a sustituir nuestra expresión para 𝑥 en la segunda ecuación. Lo hacemos, y obtenemos seis 𝑦 al cuadrado menos 𝑦 al cuadrado igual a 45. También podríamos haber sustituido 𝑦 igual a 𝑥 en nuestra segunda ecuación, con lo que habríamos obtenido seis 𝑥 al cuadrado menos 𝑥 al cuadrado igual a 45. No importa, pues de ambas formas obtendríamos la misma solución. Ahora podemos resolver esta ecuación de segundo grado en 𝑦.
Simplificamos el miembro izquierdo, seis 𝑦 al cuadrado menos 𝑦 al cuadrado, y obtenemos cinco 𝑦 al cuadrado. Seguidamente dividimos por cinco, obteniendo 𝑦 al cuadrado igual a nueve, y resolvemos calculando la raíz cuadrada. Pero hemos de acordarnos de tomar más o menos la raíz cuadrada. Así que tenemos que 𝑦 es igual a más o menos la raíz cuadrada de nueve, que es más o menos tres.
Ya hemos hallado los valores de 𝑦, por lo que ahora nos queda hallar los valores correspondientes de 𝑥 sustituyéndolos en la ecuación lineal. Y es muy sencillo. Como nuestra ecuación lineal puede expresarse como 𝑥 igual a 𝑦, entonces cada valor de 𝑥 es exactamente igual al valor correspondiente de 𝑦. De esta forma hallamos que hay dos puntos de intersección entre estas gráficas, el punto tres, tres y el punto menos tres, menos tres, que podemos expresar como el conjunto que contiene estas dos coordenadas.
Ahora bien, puede que no sepas en este momento cómo es la gráfica de seis 𝑥 al cuadrado menos 𝑦 al cuadrado igual a 45. Pero si tienes una calculadora gráfica o algún programa de representación gráfica, entonces podrás trazar estas dos gráficas. 𝑥 menos 𝑦 igual a cero es una recta, y seis 𝑥 al cuadrado menos 𝑦 al cuadrado igual a 45 es lo que se conoce como hipérbola. Y si dibujamos estas dos gráficas, podemos ver que los dos puntos de intersección son los puntos que hemos obtenido aquí.
En el último ejemplo vamos a ver una cuestión en la que las dos incógnitas están multiplicadas entre sí en una de las dos ecuaciones.
Sabiendo que 𝑥 al cuadrado más 𝑥𝑦 es igual a 18 y que 𝑥 más 𝑦 es igual a seis, halla el valor de 𝑥.
Lo que tenemos aquí es un sistema de ecuaciones cuadrático-lineal. La primera ecuación, 𝑥 más 𝑦 igual a seis es lineal. Y la segunda ecuación, 𝑥 al cuadrado más 𝑥𝑦 igual a 18 es cuadrática porque contiene un término 𝑥 al cuadrado y un término 𝑥𝑦, en el que las dos incógnitas están multiplicadas entre sí. El enunciado no nos pide que resolvamos completamente el sistema de ecuaciones, sino que hallemos el valor de 𝑥. Y para hacerlo vamos a usar el método de sustitución.
Comenzamos reordenando la primera ecuación para obtener 𝑦 igual a seis menos 𝑥, pues de esta forma obtenemos una expresión para 𝑦 en términos de 𝑥, que podemos sustituir en la segunda ecuación, y así obtener una ecuación que estará solo en términos de 𝑥. Al hacerlo obtenemos la ecuación 𝑥 al cuadrado más 𝑥 por seis menos 𝑥 igual a 18. Y ahora tenemos una ecuación de segundo grado en 𝑥, la cual sabemos cómo resolver.
Desarrollamos el paréntesis en el lado izquierdo, y obtenemos 𝑥 al cuadrado más seis 𝑥 menos 𝑥 al cuadrado igual a 18. Ahora vemos que los términos 𝑥 al cuadrado y menos 𝑥 al cuadrado se cancelan. Así que nuestra ecuación se ha convertido en una ecuación lineal. Tenemos seis 𝑥 igual a 18. Para resolver esta ecuación dividimos ambos miembros por seis, y obtenemos 𝑥 igual a tres. Así que al sustituir 𝑦 igual a seis menos 𝑥 en la segunda ecuación, hemos obtenido una ecuación solo en términos de 𝑥, la cual hemos podido resolver para hallar el valor de 𝑥.
En este problema no nos han pedido hallar el valor de 𝑦. Pero si tuviéramos que hacerlo, podríamos sustituir el valor de 𝑥 que acabamos de hallar en la ecuación lineal, 𝑦 igual a seis menos 𝑥, para así hallar el valor correspondiente de 𝑦. Nuestra solución al problema es que el valor de 𝑥 es tres.
Resumamos lo que hemos aprendido en este vídeo. En primer lugar, hemos visto que un sistema de ecuaciones cuadrático-lineal es un sistema de dos ecuaciones en las que una de las ecuaciones es lineal y la otra es cuadrática. Además, también hemos visto que, para resolver estos sistemas de ecuaciones hemos de usar el método de sustitución. Reorganizamos la ecuación de primer grado para obtener una expresión de una de las incógnitas en términos de la otra, y luego sustituimos nuestra expresión para esta incógnita en la ecuación de segundo grado. Seguidamente resolvemos esta ecuación de segundo grado, mediante descomposición en factores si es posible. Y, por último, sustituimos el valor o valores que hemos hallado de la primera incógnita en la ecuación lineal para hallar los valores correspondientes de la segunda incógnita.
Asimismo, conviene recordar que las soluciones son pares de números. Así que debemos dar la solución como pares correspondientes a las dos incógnitas. No podemos mezclar y combinar valores de pares distintos. Hemos visto, además, que este método sirve para resolver distintos tipos de problemas. Y que una aplicación especialmente útil es hallar las coordenadas de los puntos de intersección de una recta y una curva.
