Vídeo: Calcular los límites laterales de una función definida a trozos

Calcula lim_(𝑥 → −9⁻) 𝑓(𝑥) y lim_(𝑥 → −9⁺) 𝑓(𝑥), siendo 𝑓(𝑥) = 78 si 𝑥 < −9 y 𝑓(𝑥) = −9𝑥 − 7 si 𝑥 ≥ −9.

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Transcripción del vídeo

Calcula el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a menos nueve por la izquierda y el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a menos nueve por la derecha, sabiendo que 𝑓 de 𝑥 es igual a 78 si 𝑥 es menor que menos nueve, y menos nueve 𝑥 menos siete si 𝑥 es mayor o igual que menos nueve.

𝑓 es una función definida a trozos. Y queremos hallar los límites laterales por la izquierda y por la derecha de 𝑓 de 𝑥 en el valor de 𝑥 en el que la fórmula de la función cambia. Comencemos con el límite por la izquierda, el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a menos nueve por la izquierda.

Es este signo menos como superíndice del menos nueve el que nos dice que nos estamos acercando por la izquierda. Es decir, solo estamos considerando valores de 𝑥 que son menores que menos nueve. Y podemos ver que, para cualquier valor de 𝑥 menor que menos nueve, 𝑓 de 𝑥 es siempre igual a 78.

Puesto que para este límite no nos importa lo que 𝑓 de 𝑥 hace cuando 𝑥 es mayor o igual a menos nueve, nos estamos acercando desde la izquierda. Y así, para este límite 𝑥 es siempre menor que menos nueve. Podemos, pues, sustituir 𝑓 de 𝑥 por 78, que es como la función se define si 𝑥 es menor que menos nueve.

Y el límite de una función constante como 78 es esa constante. El límite es pues 78. Este es el límite lateral por la izquierda. ¿Qué pasa con el límite lateral por la derecha? Ahora tenemos aquí este signo más como superíndice, que nos dice que 𝑥 se acerca a menos nueve por la derecha. Ahora 𝑥 es mayor que menos nueve, pero cada vez está más cerca de menos nueve.

Así, para este límite, solo nos importa lo que la función hace cuando 𝑥 es mayor que menos nueve. Cuando 𝑥 es mayor que menos nueve, 𝑥 es ciertamente mayor o igual que menos nueve. Y 𝑓 de 𝑥 es, pues, igual a menos nueve 𝑥 menos siete en esta región.

Este es ahora el límite de una función polinómica, de hecho, una función lineal. Y, por lo tanto, podemos sustituir directamente para hallar el valor de este límite. Sustituimos, pues, menos nueve, y operamos y el resultado es 74.

Poniéndolo todo junto ahora, vemos que el límite por la izquierda, el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a menos nueve desde la izquierda, es 78. Y el límite por la derecha, el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a menos nueve desde la derecha, es 74.

Vale la pena añadir, para terminar, que los límites por la izquierda y por la derecha tienen valores diferentes, siendo el del límite por la izquierda 78 y el del límite por la derecha 74. Esto quiere decir que el límite de 𝑓 de 𝑥 cuando 𝑥 tiende a menos nueve no existe.

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