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Vídeo de la lección: Ángulos en posición normal Matemáticas • Décimo grado

En este video, vamos a aprender cómo identificar ángulos en posición normal y cómo hallar ángulos equivalentes con medidas positivas o negativas.

13:08

Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender cómo identificar ángulos en posición normal (también llamada posición estándar) y cómo hallar ángulos equivalentes con medidas positivas o negativas. Vamos a referirnos a los cuatro cuadrantes a lo largo de esta lección, así que conviene repasar lo que queremos decir con esto. El plano de coordenadas se considera dividido en cuatro cuartos llamados cuadrantes. Los enumeramos en sentido antihorario y usamos números romanos para hacerlo, así que este cuadrante es el primero, este el segundo, este el tercero y este el cuarto.

También debemos estar acostumbrados a medir ángulos usando grados, y debemos saber que un giro completo equivale a 360 grados. Ahora bien, aunque no es un algo necesario para sacar provecho del video, vale la pena recordar que también podemos expresar medidas de ángulos usando radianes, y en este caso un giro completo, 360 grados, es igual a dos 𝜋 radianes. Este video trata de ángulos en posición normal o posición estándar. Pero ¿qué significa esto? Se dice que un ángulo está en posición estándar o normal si su vértice está en el origen de coordenadas y su lado inicial se halla en el semieje 𝑥 positivo. El lado inicial se halla en el eje 𝑥, y el otro lado del ángulo se llama lado final o lado terminal.

Y si el lado final de un ángulo en posición normal está en uno de los ejes —pues mide, por ejemplo, 90 grados o 180 grados—, el ángulo se llama ángulo cuadrantal. La medida de un ángulo es la cantidad de giro desde el lado inicial hasta el lado terminal. Si el giro es en sentido antihorario, la medida del ángulo es positiva. Pero si el sentido del giro es horario, entonces la medida del ángulo es negativa.

Nuestra definición final se refiere a dos ángulos que están en posición estándar y tienen el mismo lado terminal, y, si ese es el caso, los ángulos se llaman coterminales o equivalentes, por lo que podemos ver en el diagrama aquí que 60 grados y menos 300 grados corresponden a ángulos coterminales o equivalentes. Practiquemos, pues, cómo determinar si un ángulo está en posición normal.

¿Está el ángulo de la figura en posición normal?

Se dice que un ángulo está en posición normal si su vértice está situado en el origen de coordenadas y uno de sus lados, el que llamamos lado inicial, se encuentra en el semieje 𝑥 positivo. Nuestro ángulo está delimitado por las dos semirrectas resaltadas en amarillo. Y, efectivamente, vemos que uno de los lados está en el eje 𝑥 positivo y el vértice parece estar en el origen. También sabemos que es el lado inicial de nuestro ángulo el que se encuentra en el semieje 𝑥 positivo en lugar del lado terminal. Y esto se debe a que nos dan una flecha que nos dice el sentido de giro.

Si la flecha indicara el sentido opuesto, no podríamos decir que el ángulo está en posición normal porque el lado inicial no estaría en el semieje 𝑥 positivo. Y así, vemos que el ángulo dado satisface todos nuestros criterios para estar en la posición normal. Y la respuesta es sí.

¿Está el ángulo en la posición normal?

Recuerda, decimos que un ángulo está en posición normal si su vértice está ubicado en el origen y uno de sus lados, el lado inicial, está en el eje 𝑥 positivo. Nuestro ángulo es el ángulo recorrido en sentido antihorario entre las dos líneas resaltadas en amarillo. Y una de las semirrectas que lo delimitan está en el semieje 𝑥 positivo. Y podemos ver que es el lado inicial porque nos dan la dirección de giro del ángulo. También podemos ver que el vértice, el punto donde se encuentran el lado inicial y el lado terminal, está en el origen. Así que nuestro ángulo satisface todos los criterios requeridos para estar en posición normal. Y la respuesta es sí.

Veamos ahora un ejemplo definido por un par ordenado.

¿El par ordenado formado por la semirrecta 𝐶𝐴 y la semirrecta que empieza en 𝐶 y pasa por 𝐷 representa un ángulo en posición estándar?

Sabemos que para que un ángulo esté en posición estándar, su vértice debe estar en el origen y el lado inicial debe estar en el semieje 𝑥 positivo. Nuestro ángulo está definido por este par ordenado. Así que tenemos la semirrecta que empieza en 𝐶 y pasa por 𝐴 y la semirrecta que empieza en 𝐶 y pasa por 𝐷. La semirrecta que empieza en 𝐶 y pasa por 𝐴 es esta, y se halla en el semieje 𝑥 positivo. Sabemos que este es el lado inicial de nuestro ángulo porque está primero en el par. Luego, la semirrecta que empieza en 𝐶 y pasa por 𝐷 es esta de aquí, lo que significa que el ángulo en el que estamos interesados es este. ¿Pero está el vértice de este ángulo en el origen? No, el vértice está por aquí en alguna parte. Está en algún sitio del semieje 𝑥 positivo. Y, consecuentemente, el par ordenado formado por la semirrecta que empieza en 𝐶 y pasa por 𝐴 y la semirrecta que empieza en 𝐶 y pasa por 𝐷 no expresa un ángulo en la posición estándar. Y la respuesta es no.

Sin embargo, hay dos ángulos en esta figura que sí están en posición estándar. El primero está dado por el par ordenado formado por la semirrecta que empieza en 𝑂 y pasa por 𝐶 y la semirrecta que parte de 𝑂 y pasa por 𝐸. La semirrecta 𝑂𝐶 está en el semieje 𝑥 positivo, y el vértice está en el origen. Del mismo modo, podemos comenzar con el mismo lado inicial, o sea, la semirrecta que empieza en 𝑂 y pasa por 𝐶, y girar hasta alcanzar la semirrecta que empieza en 𝑂 y pasa por 𝐺. El vértice de este ángulo también se halla en el origen, por lo que este ángulo también está en posición estándar.

En nuestro siguiente ejemplo, vamos a ver cómo podemos hallar el valor de ángulos coterminales (equivalentes).

Indica el ángulo positivo en la primera vuelta que es coterminal con el ángulo que se muestra.

Recuerda, para ángulos en la posición estándar, la medida del ángulo es la cantidad de giro desde el lado inicial hasta el lado terminal. Si el ángulo es recorrido en sentido antihorario, entonces la medida es positiva. Y si el ángulo es recorrido en sentido horario, entonces la medida es negativa. También hemos visto que dos ángulos en la posición estándar que tienen el mismo lado terminal se llaman ángulos coterminales. Y aquí tenemos menos 340 grados. Y, por supuesto, como es negativo, quiere decir que el giro es en sentido horario.

Para hallar el tamaño del ángulo coterminal, necesitamos determinardónde está el lado terminal. El lado de la terminal es este. Y para hallar el ángulo positivo relacionado, necesitamos hallar la medida de este ángulo aquí, este ángulo agudo. Así que vamos usar uno de los hechos clave de los ángulos. Sabemos que una vuelta entera alrededor de un punto mide 360 grados. Tomamos, por lo tanto, la amplitud del ángulo cóncavo, que es 340 grados — pues el signo negativo solo nos dice el sentido del giro —, y vamos a restar este valor de 360. 360 menos 340 son 20 grados. Como este ángulo es medido en sentido antihorario desde su lado inicial, decimos que es positivo. Así que la medida del ángulo positivo en el primer giro que es coterminal con el ángulo que nos dieron es 20 grados.

Ahora que hemos visto cómo hallar la medida de ángulos coterminales, veamos cómo hallar múltiples ángulos coterminales.

Halla un ángulo coterminal positivo y uno negativo de 340 grados.

Recuerda que, cuando pensamos en ángulos en una posición estándar, el ángulo se mide por la cantidad de rotación desde el lado inicial hasta el lado terminal. Si la rotación es en sentido antihorario, entonces la medida es positiva. Y si la rotación es en sentido horario, la medida es negativa. También decimos que, si dos ángulos en posición estándar tienen el mismo lado terminal, se llaman ángulos coterminales. Dibujemos, primero, el ángulo de 340 grados.

El vértice de nuestro ángulo debe estar en el origen, y su lado inicial debe estar en el eje 𝑥 positivo. Esa es la línea amarilla que se muestra. Es 340 grados positivos, así que vamos a girar 340 grados en sentido antihorario. Un giro completo, por supuesto, son 360 grados. Así que es un poco menos de un giro completo. Y nuestro ángulo en la posición estándar es así. Necesitamos hallar otro ángulo coterminal positivo y un ángulo coterminal negativo. Vamos a comenzar con el ángulo coterminal negativo ya que es un poco más fácil de calcular.

Como estamos midiendo desde el lado inicial hasta el lado terminal, pero queremos que la medida sea negativa, vamos a ir en el sentido horario. Eso es simplemente de aquí a allá. Así que vamos a restar el ángulo que nos dieron, 340 grados, de la cantidad de grados en un giro completo, es decir 360. 360 menos 340 son 20 o 20 grados. Entonces el ángulo es de 20 grados. Pero debido a que lo estamos midiendo en el sentido horario, decimos que es menos 20 grados.

Así que ese es nuestro ángulo coterminal negativo. ¿Pero cómo hallamos el positivo? Bien, de hecho, lo que vamos a hacer es hacer un giro de 340 grados, y seguidamente vamos a dar una vuelta completa. Al hacerlo, llegamos de nuevo al mismo lado terminal. Y para hallar el valor de este ángulo coterminal positivo, vamos a añadir la medida del giro completo a la medida dell giro inicial. Es, pues, 340 más ese giro completo, 360 grados. 340 más 360 es 700. Y, por supuesto, estamos girando en sentido antihorario, por lo que es 700 grados positivos. Así que los ángulos coterminal positivo y coterminal negativo para 340 grados es 700 grados y menos 20 grados, respectivamente.

Y, por supuesto, podríamos continuar completando giros completos y aún así terminar en ese mismo lado terminal. Esto significa que hay un número infinito de medidas tanto para el ángulo coterminal positivo y para el ángulo coterminal negativo.

En nuestro ejemplo final, vamos a ver cómo identificar el cuadrante en el que se encuentra un ángulo en posición estándar.

¿En qué cuadrante se encuentra el ángulo de menos 242 grados?

Recuerda, el plano de coordenadas se considera dividido en cuatro cuartos llamados cuadrantes. Los etiquetamos en sentido antihorario, y usamos números romanos para hacerlo. Decimos que este cuadrante es el primer cuadrante. Tenemos el segundo cuadrante aquí. El tercer cuadrante está aquí. Y este es el cuarto cuadrante. Entonces, ¿en qué cuadrante se halla el ángulo de menos 242 grados?

Bien, para averiguarlo, vamos a comenzar poniendo el lado inicial de nuestro ángulo en el diagrama. El vértice de nuestro ángulo debe estar en el origen y su lado inicial debe estar en el semieje 𝑥 positivo según se muestra. Como el ángulo es negativo, necesitamos movernos en sentido horario. Vamos a hacer esto en intervalos de 90 grados. 90 grados nos llevan a esta línea de aquí. Luego, otros 90 grados completan media vuelta. Nos llevan a 180 grados. Y nuestro lado terminal estaría en el eje 𝑥 negativo. Si continuáramos otros 90 grados, eso nos llevaría hasta 270 grados.

Y, de hecho, como nos movemos en sentido horario, todos son negativos. Pero solo queríamos 242 grados. Así que no vamos a completar del todo ese último cuarto de vuelta. Por lo tanto, podemos decir que el ángulo menos 242 grados está en el segundo cuadrante.

Recapitulemos los puntos clave de este video. Se dice que un ángulo está en posición normal o estándar si su vértice está en el origen y su lado inicial está en el semieje 𝑥 positivo. El lado que está en el semieje 𝑥 se llama lado inicial. Y el otro lado que forma el ángulo se llama lado terminal. También hemos visto que un ángulo cuadrantal es el ángulo cuyo lado terminal está en uno de los ejes, pues mide, por ejemplo, 270 grados o 360 grados. Luego hemos visto que la medida de un ángulo es la cantidad de rotación desde el lado inicial hasta el lado terminal. Y si el giro es en sentido antihorario, esa medida es positiva. Y si el giro es en sentido horario, la medida es negativa.

Por último, hemos dicho que, si dos ángulos en posición estándar tienen el mismo lado terminal, son llamados ángulos coterminales.

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