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Vídeo de la lección: Identidades del ángulo doble y del ángulo mitad Matemáticas • Décimo grado

En este vídeo vamos a aprender cómo usar la identidad pitagórica y las identidades de adición y sustracción de ángulos para hallar las identidades del ángulo doble y las identidades del ángulo mitad.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo usar la identidad pitagórica y las identidades de adición y sustracción de ángulos para hallar las identidades del ángulo doble y las identidades del ángulo mitad. Lo que vamos a hacer en este vídeo es básicamente derivar las identidades del ángulo doble y del ángulo mitad para las funciones seno, coseno y tangente basándonos en resultados que ya conocemos.

Cuando operamos con relaciones trigonométricas con las que ya estamos familiarizados, recordamos que, dado un ángulo 𝑥, donde 𝑥 puede estar en grados o radianes, el seno al cuadrado de ese ángulo más el coseno al cuadrado de ese ángulo es igual a uno. Esto se conoce como identidad pitagórica. Debemos recordar, además, un conjunto de ecuaciones llamadas identidades trigonométricas de adición y sustracción de ángulos. Estas identidades describen las relaciones entre las funciones seno, coseno y tangente de dos ángulos —que hemos llamado 𝛼 y 𝛽— que se suman o se restan.

Vamos a ver en este video cómo, a partir de estos resultados, es posible derivar las identidades del ángulo doble y del ángulo mitad. Veamos primero las identidades del ángulo doble, y esto de aquí es lo que tenemos que hallar. Dado un ángulo que llamaremos 𝜃, tenemos que derivar ecuaciones para el seno de dos 𝜃, el coseno de dos 𝜃 y la tangente de dos 𝜃. Vamos a comenzar hallando una expresión para el seno de dos 𝜃. Una forma de escribir dos 𝜃 es 𝜃 más 𝜃. Y lo escribimos de esta manera para poder usar la identidad de la suma para la función seno. Esta identidad nos indica cómo hallar el seno de la suma de dos ángulos, los cuales aquí ambos son 𝜃. El seno de 𝜃 más 𝜃 es igual al seno de 𝜃 por el coseno de 𝜃 más el seno de 𝜃 por el coseno de 𝜃, o sea, dos veces el seno de 𝜃 por el coseno de 𝜃. Ahora tenemos una expresión para el seno de dos 𝜃 completamente en términos del ángulo 𝜃. Vamos a escribir esto como nuestra primera identidad del ángulo doble.

A continuación, vamos a buscar una relación similar para el coseno de dos por 𝜃. Escribimos otra vez dos 𝜃 como 𝜃 más 𝜃, y usamos la fórmula de la suma para obtener coseno de 𝜃 por coseno de 𝜃 menos seno de 𝜃 por seno de 𝜃, esto es, coseno al cuadrado 𝜃 menos seno al cuadrado 𝜃. Esta es una forma de escribir la identidad del ángulo doble para la función coseno. Pero fijémonos en que, en esta relación, tenemos un término de coseno al cuadrado y un término de seno al cuadrado. Y cada vez que vemos coseno al cuadrado o seno al cuadrado, nos acordamos de la identidad pitagórica. Esta identidad dice que seno al cuadrado podemos escribirlo así y que coseno al cuadrado lo podemos escribir de esta manera.

En nuestra identidad del coseno de dos 𝜃, vamos a hacer ambas sustituciones por separado. En primer lugar, sustituimos coseno al cuadrado de 𝜃 por uno menos seno al cuadrado de 𝜃. Y obtenemos esta expresión —que hemos hallado usando la identidad pitagórica— que se simplifica a uno menos dos por seno al cuadrado de 𝜃. Podemos considerar esta fórmula como una forma alternativa de la identidad del ángulo doble para la función coseno.

Pero aún nos queda otra forma más porque, si volvemos a esta versión de nuestra identidad del coseno de dos 𝜃, vemos que podemos sustituir el término seno al cuadrado de 𝜃 por uno menos coseno al cuadrado de 𝜃. Haciendo esto obtenemos esta expresión, que se simplifica a dos por coseno al cuadrado de 𝜃 menos uno. Esta es, pues, la tercera y última forma de la identidad del ángulo doble para la función coseno.

Por último, vamos a hallar una expresión similar para la tangente de dos 𝜃. La tangente de dos 𝜃 es igual a la tangente de 𝜃 más 𝜃. Reescribimos esta expresión usando la fórmula de la adición de ángulos, como hicimos antes. Y obtenemos dos por la tangente de 𝜃 partido por uno menos la tangente al cuadrado de 𝜃.

Ahora escribimos simplemente este resultado, y ya hemos conseguido lo que queríamos. Hemos hallado fórmulas para el seno, el coseno y la tangente del ángulo dos 𝜃 en términos del seno, el coseno y la tangente del ángulo 𝜃 dado. Con esta información, ya estamos listos para derivar las identidades del ángulo mitad para estas funciones. Nuestro objetivo ahora es el siguiente. Dado un ángulo 𝜃, ahora queremos derivar formular para el seno de 𝜃 medios, el coseno de 𝜃 medios y la tangente de ese ángulo mitad. Para ello, vamos a usar como punto de partida un resultado que acabamos de derivar, la fórmula del ángulo doble para la función coseno. Para hallar una fórmula para el seno de 𝜃 medios conviene utilizar esta versión de la identidad del ángulo doble para la función coseno. Podemos escribirla así.

Esta forma de la identidad es un poco diferente, pues estamos usando el coseno de 𝜃 y el seno al cuadrado de 𝜃 medios. Pero ten en cuenta que este ángulo, que hemos denotado como dos 𝜃, puede ser cualquier ángulo siempre que sea el doble de grande que el ángulo que hemos denominado 𝜃. Por lo tanto, para esta forma particular de la identidad del ángulo doble, siempre que el ángulo en nuestro seno al cuadrado sea la mitad del ángulo en el coseno, la identidad es válida. Así que escribimos coseno de 𝜃 igual a uno menos dos por seno al cuadrado de 𝜃 medios. Ahora, para obtener lo que queremos, solo tenemos que despejar en esta ecuación el seno de 𝜃 medios.

Restamos uno de ambos lados, y obtenemos este resultado. Seguidamente dividimos ambos lados por menos dos, y cancelamos el factor de la derecha. Reorganizamos el lado izquierdo de esta expresión y obtenemos uno menos coseno de 𝜃, todo partido por dos. Y luego, si tomamos la raíz cuadrada de ambos lados, obtenemos seno de 𝜃 medios igual a la raíz cuadrada de uno menos coseno de 𝜃, todo partido por dos.

Pero antes de escribir esta fórmula como nuestra respuesta, vamos a dibujar una circunferencia unitaria. Si dividimos este círculo en cuatro cuadrantes, sabemos que las tres funciones con las que hemos estado operando —seno, coseno y tangente— tienen signos distintos según el cuadrante en el que se encuentre nuestro ángulo. Eso es relevante para nuestra expresión para el seno de 𝜃 medios.

Si nos fijamos en el lado derecho de esta ecuación, vemos que, como coseno de 𝜃 nunca es menor que menos uno y nunca es mayor que más uno, este numerador, uno menos coseno de 𝜃, nunca será negativo. Eso significa que el lado derecho de esta ecuación siempre será positivo o cero, nunca negativo.

Sin embargo, el lado izquierdo sí que puede tener un valor negativo. Supongamos, por ejemplo, que este ángulo de aquí en nuestro círculo unitario es 𝜃 medios. Este ángulo se encuentra en el tercer cuadrante, donde el signo es negativo. Así que, si aplicamos esta ecuación que acabamos de derivar, obtendríamos un lado izquierdo negativo pero un lado derecho positivo. Para abarcar este caso de un lado izquierdo negativo, en el lado derecho vamos a poner un signo más y un signo menos. Esta ambigüedad permitirá que, si bien la raíz cuadrada nunca sea negativa, el miembro de la izquierda pueda serlo. Ya tenemos una identidad para el ángulo mitad de la función seno.

Ahora vamos a hallar una identidad para el coseno de 𝜃 medios. Y para ello vamos a seguir un procedimiento muy parecido al anterior. Vamos a hacer uso de la identidad del ángulo doble para la función coseno. Pero ahora vamos a utilizar esta forma. Elegimos esta forma porque si sustituimos dos 𝜃 por 𝜃 y, por lo tanto, 𝜃 por 𝜃 medios, eso significa que, dentro de esta expresión, tenemos la función que queremos hallar, el coseno de 𝜃 medios.

Sumamos uno a ambos lados de la ecuación, y obtenemos este resultado. Dividimos ambos lados por dos, cancelando el factor de la derecha, y tomamos la raíz cuadrada de ambos lados. Y hallamos que el coseno de 𝜃 medios es igual a la raíz cuadrada de coseno de 𝜃 más uno, todo partido por dos. Al igual que con la identidad del seno de 𝜃 medios, este es un caso en el que el lado derecho nunca será negativo, pero el lado izquierdo puede serlo. Así que ponemos también estos signos más y menos delante de la raíz cuadrada.

Y ya tenemos una identidad del ángulo mitad para la función coseno. Lo que nos queda por hacer ahora es hallar algo similar para la función tangente. Para ello, vamos a hacer uso de las identidades del ángulo mitad que hemos obtenido hasta ahora. Si recordamos que la tangente de un ángulo es igual al seno de ese ángulo partido por el coseno del mismo ángulo, podemos escribir que la tangente de 𝜃 medios es igual al seno de 𝜃 medios partido por el coseno de 𝜃 medios. Y eso es igual a esta expresión de la derecha.

En esta fracción compuesta, podemos ver que tenemos un uno partido por la raíz cuadrada de dos tanto en el numerador como en el denominador. Podemos simplificar esta expresión escribiendo más o menos raíz cuadrada de uno menos coseno de 𝜃 partido por coseno de 𝜃 más uno.

Para simplificar aún más esta expresión, podemos hacerlo de dos maneras distintas. Dependiendo de cuál elijamos, obtendremos una forma diferente para la identidad del ángulo mitad para la función tangente. La primera forma consiste en multiplicar el numerador y el denominador del lado derecho por la raíz cuadrada de uno menos el coseno de 𝜃. Podemos ver que esto es idéntico al numerador de nuestra fracción original. Lo que obtenemos es esta fracción. Esto nos da en nuestro numerador uno menos coseno de 𝜃. Y si multiplicamos todos los términos en el denominador, obtenemos cos 𝜃 menos cos al cuadrado 𝜃 más uno menos coseno de 𝜃. coseno de 𝜃 menos coseno de 𝜃 es igual a cero. Así que nuestro denominador se simplifica a la raíz cuadrada de uno menos coseno al cuadrado de 𝜃.

Podemos simplificar un poco más. Para hacerlo vamos a hacer uso de la identidad pitagórica. Uno menos el coseno al cuadrado de un ángulo es igual al seno al cuadrado de ese mismo ángulo. Y eso significa que podemos sustituir uno menos el coseno al cuadrado de 𝜃 por seno al cuadrado de 𝜃. Y la raíz cuadrada de seno al cuadrado de 𝜃 es simplemente seno de 𝜃.

Ya no tenemos el signo más y menos delante de esta fracción. Lo hemos hecho a propósito, pues, como hemos visto, uno menos el coseno de cualquier ángulo nunca es negativo. Y, para cualquier ángulo 𝜃, el seno de ese ángulo siempre tendrá el mismo signo que la tangente del ángulo mitad 𝜃 medios. Así que podemos escribir esta expresión para la tangente de nuestro ángulo mitad 𝜃 medios.

Antes dijimos que esta es solo una de las dos formas de escribir esta identidad del ángulo mitad. Eso es porque, en este paso de aquí, podríamos haber multiplicado y dividido por el denominador de nuestra fracción original en lugar de por el numerador. De haberlo hecho así, habríamos obtenido esta otra fracción. Y si ahora multiplicamos los términos entre paréntesis, obtenemos más coseno de 𝜃 más menos coseno de 𝜃 más cero. Y usando ahora otra vez la identidad pitagórica, podemos sustituir uno menos coseno al cuadrado de 𝜃 por seno al cuadrado de 𝜃. Y la raíz cuadrada de seno al cuadrado de 𝜃 es igual a seno de 𝜃. Por la misma razón que antes, también podemos eliminar los signos más o menos delante de esta fracción. Siempre tendrá el mismo signo que la tangente de 𝜃 medios.

Así que ya hemos derivado expresiones para las identidades del ángulo doble y del ángulo mitad para el seno, el coseno y la tangente. Haciendo uso de lo que sabemos, vamos a practicar con estas identidades usando un ejemplo.

¿Cuál de las siguientes expresiones es igual a la raíz cuadrada de uno menos seno de dos 𝑥? (A) El valor absoluto de coseno de 𝑥 menos seno de 𝑥. (B) Coseno de 𝑥 menos seno de 𝑥. (C) El valor absoluto de coseno de 𝑥 más seno de 𝑥. (D) Coseno de 𝑥 más seno de 𝑥. (E) Seno de 𝑥 menos coseno de 𝑥.

Nos han dado esta expresión. Y nos piden identificar a cuál de estas cinco expresiones equivale. Lo primero que vemos es que estamos calculando el seno de dos por un ángulo 𝑥. Podemos considerar esto como el seno de un ángulo doble, donde 𝑥 es ese ángulo. Si recordamos la identidad del ángulo doble para la función seno, sabemos que el seno de dos 𝑥 es igual a dos por el seno de 𝑥 por el coseno de 𝑥. Al sustituir esto en nuestra raíz cuadrada, obtenemos este resultado.

Fijémonos en este término de uno. Según la identidad pitagórica, este uno es igual al seno al cuadrado de un ángulo más el coseno al cuadrado de ese mismo ángulo. Al sustituir esto obtenemos esta expresión. Puede que pienses que hemos complicado la raíz cuadrada en lugar de simplificarla. Pero ahora que tenemos estos tres términos —seno al cuadrado 𝑥, coseno al cuadrado 𝑥 y dos seno 𝑥 coseno 𝑥—podemos escribirlos como coseno 𝑥 menos seno 𝑥 al cuadrado. Por lo tanto, la operación de elevar al cuadrado y hacer la raíz cuadrada se invertirán entre sí. Así que esperamos que nuestro resultado final será coseno de 𝑥 menos seno de 𝑥.

Pero ¡ojo! aquí hemos de andarnos con cuidado, y asegurarnos de que este resultado es realmente igual a nuestra expresión original. Cuando consideramos la función seno, sabemos que tiene un máximo de uno y un mínimo de menos uno. Esto significa que uno menos seno de dos 𝑥 nunca será negativo. Y como esto se cumple para nuestra expresión original, también se debe cumplir para nuestra última expresión. Sin embargo, es posible que el coseno de 𝑥 menos el seno de 𝑥 sea negativo. Para corregir esto y hacer que nuestra expresión sea realmente igual a la raíz cuadrada de uno menos seno de dos 𝑥, tenemos que poner barras de valor absoluto alrededor. Y esta es nuestra respuesta final. Es valor absoluto de coseno de 𝑥 menos seno de 𝑥 la expresión que es igual a la raíz cuadrada de uno menos seno de dos 𝑥.

Veamos otro ejemplo.

¿Cuál de las siguientes expresiones es igual a la raíz cuadrada de uno menos coseno de dos 𝑥? (A) El valor absoluto de seno de 𝑥. (B) Dos veces el valor absoluto de coseno de 𝑥. (C) La raíz cuadrada de dos veces el valor absoluto de coseno de 𝑥. (D) Dos veces el valor absoluto de seno de 𝑥. (E) La raíz cuadrada de dos por el valor absoluto de seno de 𝑥.

Tenemos que hallar la forma de convertir esta raíz en una de las cinco expresiones que se nos dan. Lo primero que vemos es que tenemos el coseno de dos veces un ángulo 𝑥. Así que vamos a hacer uso de la identidad del ángulo doble para la función coseno. Y, como hemos visto, esta identidad puede expresarse de tres formas distintas. Podemos elegir cualquiera de ellas. Pero, fíjate en que, si elegimos la tercera, por ejemplo, al sustituir el término coseno de dos 𝑥 que está dentro de la raíz cuadrada, obtendremos menos uno más uno más cero. De esta forma simplificaríamos la raíz cuadrada. Así que vamos a elegir la tercera forma de la identidad del ángulo doble.

Cuando sustituimos, vemos que este menos uno sumado a más uno es cero. Y, al multiplicar los senos, obtenemos la raíz cuadrada de dos por el seno al cuadrado de 𝑥. Esto es igual a la raíz cuadrada de dos por la raíz cuadrada del seno al cuadrado de 𝑥. Pero aquí hemos de tener cuidado, pues podríamos decir que la raíz cuadrada del seno al cuadrado de 𝑥 es igual a seno de 𝑥. Sin embargo, aunque la raíz cuadrada del seno al cuadrado de 𝑥 nunca es negativa, el seno de 𝑥 sí puede serlo. Por lo tanto, al simplificar esta expresión, vamos a poner barras de valor absoluto alrededor del seno de 𝑥. De esta forma, nos aseguramos de que, independientemente de cuál sea el valor de 𝑥, nunca obtendremos un resultado general negativo.

Por lo tanto, nuestra respuesta final es que es la raíz cuadrada de dos por el valor absoluto de seno de 𝑥 la expresión que es igual a la raíz cuadrada de uno menos coseno de dos 𝑥.

Veamos los puntos clave que hemos visto en esta lección. En esta lección hemos demostrado las identidades del ángulo doble y del ángulo mitad para las funciones seno, coseno y tangente. Hemos visto también que las identidades del ángulo doble pueden derivarse a partir de la identidad pitagórica junto con las fórmulas de adición y sustracción de ángulos. Y que las identidades del ángulo mitad pueden demostrarse usando las identidades del ángulo doble como puntos de partida. Y estas son las principales identidades del ángulo doble y del ángulo mitad.

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