Vídeo: El teorema de los valores intermedios

En este video, vamos a aprender cómo interpretar el teorema de los valores intermedios y cómo usarlo para aproximar un cero de una función.

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Transcripción del vídeo

En este video vamos a estudiar el teorema de los valores intermedios, un teorema sobre funciones continuas que es muy intuitivo pero también muy potente. Pero antes de hablar sobre este teorema, hablemos de la función raíz cuadrada.

¿Cuál es la raíz cuadrada de cuatro? Bien, esta pregunta es muy fácil. Sabemos que es dos. Y podemos verificar que es cierto hallando el cuadrado de dos, es decir multiplicándolo por sí mismo. Y, haciendo esto, obtenemos como resultado cuatro. Sabemos que menos dos al cuadrado es también cuatro. Así que, tal vez, hay razones para decir que la raíz cuadrada de cuatro también puede ser menos dos. Pero como queremos que la raíz cuadrada sea una función, necesitamos una respuesta única para la raíz cuadrada de cuatro. Por eso elegimos el valor positivo. Que es dos.

¿Cuál es la raíz cuadrada de 49 partido entre 25? Es un poco más complicada. Pero podemos verificar que la respuesta es siete sobre cinco, elevando al cuadrado siete sobre cinco y viendo que obtenemos 49 sobre 25. Para hallar la raíz cuadrada de 10.89, necesitaremos usar nuestra calculadora. Pero habiendo obtenido el valor 3.3, es fácil de comprobar. Podemos incluso verificarlo de forma manual si no confiamos en nuestras calculadoras.

Pero ¿qué pasa con la raíz cuadrada de dos? Nuestra calculadora nos puede decir que este valor es 1.414213562 o algo así. Y si elevamos este valor al cuadrado usando la calculadora, obtenemos dos, lo que es una buena noticia, ¿verdad? Sin embargo, cuando lo elevamos al cuadrado usando la computadora, que es más precisa que la calculadora, obtenemos que este número al cuadrado es 1.99999999894, el cual está muy cerca, pero no es igual a dos. La razón por la que esto sucede es que este valor 1.414213562 no es exacto. La secuencia de decimales continúa 370395 y simplemente no termina.

Sabemos que la raíz cuadrada de dos es un número irracional. Y por eso no podemos escribirla en forma de fracción, como siete sobre cinco. Por lo tanto, no podemos verificar que su cuadrado es realmente dos de la misma forma que comprobamos que el cuadrado de siete sobre cinco es 49 sobre 25. La parte decimal de la raíz cuadrada de dos no termina, los dígitos continúan y continúan. Así que no podemos hallar el cuadrado realizando una multiplicación, como lo hicimos para 3.3. De hecho, no podemos siquiera escribir su valor exacto, al menos no como fracción o decimal. Si nos pidiesen que lo escribiéramos exactamente, escribiríamos solo la raíz cuadrada de dos, lo que parece es hacer trampa de alguna manera. La raíz cuadrada de dos es igual a la raíz cuadrada de dos. Sea como fuere, la raíz cuadrada de dos es un número real. Y decimos lo mismo para la raíz cuadrada de tres, la cual tiene los mismos problemas.

Por otro lado, decimos que la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real. ¿Por qué esta diferencia? La respuesta viene del teorema de los valores intermedios. Aquí tenemos un gráfico de 𝑦 igual a 𝑥 al cuadrado. Usando este gráfico, podemos elevar al cuadrado. Por ejemplo, podemos hallar uno al cuadrado identificando uno en el eje de las 𝑥, subiendo desde uno en el eje de las 𝑥 hasta alcanzar la curva y luego a lo largo del eje de las 𝑦. Y leemos uno al cuadrado, que es uno.

También podemos hallar la raíz cuadrada usando este gráfico. Por ejemplo, para hallar la raíz cuadrada de cuatro, identificamos cuatro en el eje de las 𝑦 y vamos en esta dirección hasta alcanzar la curva y luego hacia abajo hasta llegar a dos en el eje de las 𝑥. Así que la raíz cuadrada de cuatro es dos. Ahora, para hallar la raíz cuadrada de dos, podemos ir desde dos en el eje de las 𝑦 hasta llegar a la curva. Y descendiendo hasta el eje de las 𝑥 obtenemos la raíz cuadrada de dos. Si llamamos a este número, 𝑐, entonces está claro que 𝑐 al cuadrado es igual a dos. Por tanto, 𝑐 es la raíz cuadrada de dos. Del mismo modo, podemos hallar la raíz cuadrada de tres.

¿Nos permitirá esto hallar la raíz cuadrada de cualquier número? No, de ninguna manera, pues si el número es negativo no habrá forma de localizarlo en la curva. No podemos hallar la raíz cuadrada de menos uno de esta forma. Podemos hallar las raíces cuadradas de dos y tres porque estos valores se encuentran entre los valores de 𝑓 de uno, que es uno, y 𝑓 de dos, que es cuatro. La función es continua en el intervalo de uno a dos. Por eso, el valor de 𝑦 en la curva, el cual es el valor de la función, cambia suavemente de uno a cuatro, pasando por dos y por tres según crece. La curva debe, entonces, tener valor 𝑦 igual a dos y valor 𝑦 igual a tres. Y además, los valores de 𝑥 en los cuales esto ocurre deben hallarse en el intervalo de uno a dos.

Podemos escribir en palabras por qué pensamos que esto es cierto. Sea 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cuadrado, y como dos está entre 𝑓 de uno, que es uno, y 𝑓 de dos, que es cuatro. Y siendo 𝑓 continua, debe existir un número 𝑐 en el intervalo abierto de uno a dos, tal que 𝑓 de 𝑐 es igual a dos. En otras palabras, 𝑐 al cuadrado es dos y 𝑐 es la raíz cuadrada de dos. Por supuesto, esto no funciona solo para la raíz cuadrada de dos. También podemos hallar la raíz cuadrada de tres de la misma manera. ¿Qué hay de cinco? Bien, cinco no está entre 𝑓 de uno que es uno y 𝑓 de dos, que es cuatro. Pero se encuentra entre 𝑓 de dos, que es cuatro, y 𝑓 de tres, que es nueve. Por tanto, debe existir un número 𝑐 en el intervalo abierto de dos a tres tal que 𝑓 de 𝑐 es cinco.

Para cualquier número real positivo 𝑁, podemos hallar 𝑎 y 𝑏 tal que 𝑁 esté entre 𝑓 de 𝑎 y 𝑓 de 𝑏. Así que, su raíz cuadrada 𝑐 debe estar entre 𝑎 y 𝑏. Hemos estado hablando de la función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cuadrado y hallado raíces cuadradas usando esto. Pero con argumentos parecidos podríamos estar hablando de raíces cúbicas, y lo mismo se aplica a la raíz quinta. De hecho, lo único que usamos de 𝑓 es que es continua. Podemos, por lo tanto, indicar un resultado general. Si 𝑓 es continua en el intervalo cerrado de 𝑎 a 𝑏 y el número 𝑁 se halla entre 𝑓 de 𝑎 y 𝑓 de 𝑏, entonces existe un número 𝑐 en el intervalo abierto de 𝑎 a 𝑏, tal que 𝑓 de 𝑐 es igual a 𝑁. Podemos comprobar que esto es lo mismo que afirmamos anteriormente, solo que ahora solo decimos que 𝑓 de 𝑥 ha de ser continua.

Dibujemos una gráfica un poco más general para visualizar esto. Tenemos la función 𝑓, la cual es continua en el intervalo cerrado 𝑎, 𝑏 y 𝑁 está entre 𝑓 de 𝑎 y 𝑓 de 𝑏. Entonces, existe 𝑐 en el intervalo abierto de 𝑎 a 𝑏 tal que 𝑓 de 𝑐 es igual a 𝑁. Esto parece ser cierto. Notemos que dependiendo del valor de 𝑁, esta opción de 𝑐 puede no ser única. Puede haber muchos valores de 𝑐, pero al menos uno está garantizado. Necesitamos que 𝑁 esté entre 𝑓 de 𝑎 y 𝑓 de 𝑏 para que esto sea cierto. En otras palabras, necesitamos que 𝑁 sea un valor intermedio de 𝑓 de 𝑎 y 𝑓 de 𝑏. Si 𝑁 no es un valor intermedio de 𝑓 de 𝑎 y 𝑓 de 𝑏, entonces podríamos obtener algunos valores de 𝑐. Pero no hay garantías.

Por esta razón, la afirmación se llama teorema de los valores intermedios. Es un teorema porque a pesar de que parezca obvio, es, de hecho, algo que puede, y debe, demostrarse utilizando la definición de continuidad. Sin embargo, la prueba es más bien técnica, usando la definición formal de continuidad. Y no la vamos a ver en este video. Lo que vamos a ver son muchas aplicaciones. Veamos la primera.

La figura muestra la gráfica de la función 𝑓 en el intervalo cerrado de cero a 16 junto con la línea discontinua de ecuación 𝑦 igual a 30. 𝑓 de cero es menor que 30 y 𝑓 de 16 es mayor que 30. Pero 𝑓 de 𝑥 no es igual a 30 en ninguna parte del intervalo cerrado de cero a 16. ¿Por qué esto no contradice el teorema de los valores intermedios?

Verifiquemos lo que nos dice la pregunta. ¿Es 𝑓 de cero menor que 30? Sí, lo es, podemos ver aquí que 𝑓 de cero parece valer algo así como 12. Y, asimismo, 𝑓 de 16 es mayor que 30. Al parecer es 32. Pero 𝑓 de 𝑥 no es igual a 30 en el intervalo. Esto es cierto porque la línea discontinua 𝑦 igual a 30 en ninguna parte interseca la gráfica de nuestra función. La pregunta es, ¿por qué esto no infringe el teorema de los valores intermedios? ¿Qué dice el teorema de los valores intermedios? Dice que, si una función 𝑓 es continua en un intervalo cerrado de 𝑎 a 𝑏 y si el número 𝑁 está entre 𝑓 de 𝑎 y 𝑓 de 𝑏, los valores de la función en los puntos finales del intervalo. Entonces, existe 𝑐 en el intervalo abierto de 𝑎 a 𝑏 tal que 𝑓 de 𝑐 es 𝑁.

Podemos ver cómo podría parecer que tenemos un contraejemplo del teorema de los valores intermedios. Sabemos que 𝑁 es igual a 30, y notamos que 30 está entre 𝑓 de cero y 𝑓 de 16. Sin embargo, no existe ningún valor 𝑐 en el intervalo abierto de cero a 16, tal que 𝑓 de 𝑐 sea 30. ¿Por qué esto no es un contraejemplo del teorema de los valores intermedios? Bien, el teorema de los valores intermedios solo se aplica si 𝑓 es continua. Nuestra función no satisface esta condición. Podemos ver que hay una discontinuidad aquí en 𝑥 igual a ocho.

Entonces, ¿por qué no va en contra del teorema de los valores inmediatos? Porque la función no es continua en 𝑥 igual a ocho. Así que no es continua en el intervalo cerrado de cero a 16, lo que sería necesario para que se pudiera aplicar el teorema de los valores intermedios. Ahora que hemos visto que no podemos aplicar nuestro teorema a funciones que no son continuas, veamos por qué el teorema de los valores intermedios es útil para funciones que sí son continuas.

Sea 𝑓 de 𝑥 igual a tres elevado a 𝑥 menos 𝑥 a la quinta. Según el teorema de los valores intermedios, ¿cuál de los siguientes intervalos contiene la solución de 𝑓 de 𝑥 igual a cero? ¿el intervalo cerrado de dos a tres, el intervalo cerrado de cero a uno, el intervalo cerrado de menos tres a menos dos, el intervalo cerrado de uno a dos, o el intervalo cerrado de menos dos a menos uno?

Nos han dado una función. ¿Cómo podemos usar el teorema de los valores intermedios para decidir cuál de estos intervalos contiene una raíz de esta función, una solución a 𝑓 de 𝑥 igual a cero? Bien, recordemos el teorema de los valores intermedios. Nos dice que si una función 𝑓 es continua en el intervalo cerrado de 𝑎 a 𝑏 y 𝑁 es un número entre los valores de la función en los extremos de ese intervalo. Esto es 𝑓 de 𝑎 y 𝑓 de 𝑏. Entonces hay un número 𝑐 en el intervalo abierto de 𝑎 a 𝑏, tal que 𝑓 de 𝑐 es igual a 𝑁. Lo primero que notamos es que nuestra función 𝑓 es continua en los números reales, y, por lo tanto, también será continua en cualquiera de los intervalos en las opciones. Así que esta condición es cierta.

Ahora, recordemos que queremos hallar una solución a 𝑓 de 𝑥 igual a cero. Comparando esto con 𝑓 de 𝑐 igual a 𝑁, parece que debemos hacer 𝑁 igual a cero. De modo que el teorema de los valores intermedios nos dice que para una función continua 𝑓, si cero está entre 𝑓 de 𝑎 y 𝑓 de 𝑏, entonces existe 𝑐 en el intervalo abierto de 𝑎 a 𝑏 tal que 𝑓 de 𝑐 es cero. En otras palabras, si 𝑓 de 𝑎 y 𝑓 de 𝑏 tienen signos diferentes, entonces habrá algún número 𝑐 entre 𝑎 y 𝑏 el cual es una raíz de 𝑓.

Así que, para resolver esta pregunta, tomamos cada intervalo en las opciones por turno, comenzando con el intervalo de dos a tres. Si los signos de 𝑓 de dos y 𝑓 de tres son diferentes, es decir, si uno de ellos es positivo y el otro es negativo, entonces sabemos que debe haber una raíz, una solución de 𝑓 de 𝑥 igual a cero en este intervalo. Por lo tanto, calculemos 𝑓 de dos y 𝑓 de tres. Hacemos esto usando la definición de 𝑓 de 𝑥 que tenemos en la pregunta. Podemos evaluarlos manualmente o usando una calculadora, y hallamos que 𝑓 de tres es menos 216 y 𝑓 de dos es menos 23. No hay cambio de signos en esta función. Ambos valores son negativos.

Por el teorema de los valores intermedios sabemos que la función 𝑓 debe tomar todos los valores entre menos 23 y menos 216 a medida que su argumento cambia de dos a tres. Tendríamos una solución a 𝑓 de 𝑥 igual a menos 100. Por ejemplo, en este intervalo. Sin embargo, como cero no está entre menos 23 y menos 216, no podemos decir que debe haber una solución a 𝑓 de 𝑥 igual a cero en este intervalo.

Pasemos a la opción B. El intervalo cerrado de cero a uno. Calculamos los valores de la función en los extremos. Hallamos que 𝑓 de uno es dos y 𝑓 de cero es uno. Nuevamente, no hay cambios de signo, así que no hay garantía de que haya un cero en este intervalo. Sin embargo, podemos ver un cambio de signo entre 𝑓 de uno y 𝑓 de dos. 𝑓 de uno es positivo y 𝑓 de dos es negativo. El teorema de los valores intermedios nos dice que, si 𝑓 es continua en el intervalo cerrado de uno a dos, y cero está entre 𝑓 de uno, que es dos, y 𝑓 de dos, que es menos 23. Entonces existe un número 𝑐 en el intervalo abierto de uno a dos tal que 𝑓 de 𝑐 es cero. Y como 𝑐 está en el intervalo abierto de uno a dos, también debe estar en el intervalo cerrado de uno a dos. Así que debe haber una solución de 𝑓 de 𝑥 igual a cero en el intervalo cerrado de uno a dos. Esta es la opción D.

Podemos, si así lo deseamos, hallar los valores de la función en los extremos de los intervalos de las otras opciones y comprobamos que no hay un cambio de signo en ninguno de los intervalos C o E. Por tanto, D es definitivamente la única respuesta correcta. Si bien el teorema de los valores intermedios nos garantiza que una raíz, o solución para 𝑓 de 𝑥 igual a cero, existe en el intervalo de uno a dos, no podemos decir simplemente basándonos en el teorema de los valores intermedios, que no haya raíces en los otros intervalos. ¿Vemos por qué no?

Si 𝑓 de 𝑥 es continua en el intervalo cerrado de cero a tres, 𝑓 de cero es mayor que cero, y 𝑓 de tres es mayor que cero, ¿podemos usar el teorema de los valores intermedios para concluir que 𝑓 de 𝑥 no tiene ceros en el intervalo de cero a tres?

Intentemos dibujar este escenario en un gráfico. Sabemos que 𝑓 de cero es positivo. Pongámoslo aquí y 𝑓 de tres también es positivo. Entonces, tal vez, la gráfica pasa por este punto, y sabemos que 𝑓 de 𝑥 es continua. ¿Esto quiere decir que 𝑓 de 𝑥 no tiene ceros en el intervalo de cero a tres? Pues no. Podemos dibujar la gráfica de una función continua 𝑓 para la cual tanto 𝑓 de cero como 𝑓 de tres son positivas, pero que tiene ceros en el intervalo cerrado de cero a tres. Por tanto, no podemos usar el teorema de los valores intermedios para concluir que 𝑓 de 𝑥 no tiene ceros, porque simplemente eso no es cierto.

¿Por qué podríamos pensar que el teorema de los valores intermedios implica esta afirmación incorrecta? Lo que el teorema de los valores intermedios dice es que, si 𝑓 es continua en el intervalo cerrado de 𝑎 a 𝑏 y 𝑁 es un número entre 𝑓 de 𝑎 y 𝑓 de 𝑏, entonces existe un número 𝑐 en el intervalo abierto de 𝑎 a 𝑏 tal que 𝑓 de 𝑐 es igual a 𝑁. Haciendo 𝑁 igual a cero, obtenemos el caso especial de que si 𝑓 es una función continua y 𝑓 de 𝑎 y 𝑓 de 𝑏 tienen signos opuestos, entonces existe un número 𝑐 en el intervalo abierto 𝑎 a 𝑏 tal que 𝑓 de 𝑐 es cero. En otras palabras, hay un cero de la función 𝑓 en el intervalo.

Este caso especial es a veces conocido como el teorema de Bolzano. Debemos ser cuidadosos aquí. El teorema de los valores intermedios no significa que si 𝑁 no está entre 𝑓 de 𝑎 y 𝑓 de 𝑏, entonces no existe un número 𝑐 en el intervalo abierto de 𝑎 a 𝑏 tal que 𝑓 de 𝑐 sea igual a 𝑁. Así que este caso especial no quiere decir que si 𝑓 de 𝑎 y 𝑓 de 𝑏 tienen el mismo signo. En otras palabras, que si ambos son positivos o ambos negativos, entonces no pueda existir un número 𝑐, el cual sea un cero de 𝑓. Esta es una afirmación sobre la que nos preguntan en la cuestión y que no se deriva del teorema de los valores intermedios. Nuestra respuesta, por lo tanto, es no. No podemos concluir que 𝑓 de 𝑥 no tiene ceros en el intervalo de cero a tres.

Pensemos ahora en los puntos clave que hemos cubierto en este video. Primero la afirmación del teorema de los valores intermedios. Si 𝑓 es continua en el intervalo cerrado 𝑎𝑏 y 𝑁 es un número entre 𝑓 de 𝑎 y 𝑓 de 𝑏, entonces existe 𝑐 entre 𝑎 y 𝑏 para el cual 𝑓 de 𝑐 es igual a 𝑁. Esto puede parecer algo obvio, pero no todo lo que es obvio es cierto. Sin embargo, este es un teorema que puede ser demostrado.

Es importante interpretar la afirmación del teorema correctamente. El teorema no dice que 𝑐 deba ser único. Puede haber más de un valor de 𝑐 en el intervalo abierto para el cual 𝑓 de 𝑐 es 𝑁. El teorema tampoco nos dice que, si 𝑚 no está entre 𝑓 de 𝑎 y 𝑓 de 𝑏, entonces no hay 𝑑 para el cual 𝑓 de 𝑑 sea igual a 𝑚. Esto simplemente no es cierto como podemos ver en el diagrama.

También hemos visto que el teorema de los valores intermedios puede ser usado para demostrar la existencia de ceros de las funciones. Podría pensarse que esto no es muy útil. Pero en realidad es una herramienta muy poderosa que puede ser usada para probar cosas que no son obvias en absoluto.

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