Vídeo: El teorema del valor medio

En este vídeo vamos a aprender cómo interpretar y cómo aplicar el teorema de Rolle y el teorema del valor medio.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo interpretar y cómo aplicar el teorema de Rolle y el teorema del valor medio. Primero, vamos a explicar qué es el teorema de Rolle. Luego, antes de considerar varios ejemplos en los que aplicaremos este teorema, vamos a ver cómo nos conduce al teorema del valor medio. El teorema de Rolle fue formulado en 1691 por el matemático francés Michel Rolle. Este matemático fue primero un duro crítico del cálculo, tachándolo de inexacto y de colección de falacias ingeniosas, pero luego cambió de opinión.

El teorema de Rolle dice que, si 𝑓 es una función que satisface las siguientes tres hipótesis. Es continua en el intervalo cerrado 𝑎, 𝑏; es derivable en el intervalo abierto 𝑎, 𝑏. Y 𝑓 de 𝑎 es igual a 𝑓 de 𝑏. Entonces, existe un número 𝑐 en el intervalo abierto 𝑎, 𝑏 tal que la derivada de 𝑓 calculada en 𝑐, que es 𝑓 prima de 𝑐, es igual a cero. En otras palabras, si la función satisface estos criterios, entonces hay un punto en la gráfica en este intervalo cerrado en el cual la pendiente de la curva es cero. La tangente de la curva en este punto es horizontal. Esta afirmación también tiene una interpretación física. Si un cuerpo se mueve a lo largo de una recta, y, tras un periodo de tiempo vuelve al punto de partida. Entonces, hay un momento en este periodo de tiempo en el que la velocidad instantánea del cuerpo es igual a cero.

Ahora bien, este teorema no se utiliza a menudo, pues, a pesar de decirnos que existe una solución, no nos indica cómo llegar hasta ella. Sin embargo, nos es de mucha ayuda a la hora de derivar el teorema del valor medio. Vamos a ver en qué consiste este segundo teorema. Este teorema lo formuló otro gran matemático francés, Joseph-Louis Lagrange. De él desconocemos, sin embargo, si fue tan crítico con el cálculo como Michel Rolle. El teorema del valor medio dice que, si 𝑓 de 𝑥 es una función continua en un intervalo cerrado de 𝑎 a 𝑏 y derivable en cada punto del intervalo abierto de 𝑎 a 𝑏. Entonces, existe un punto 𝑐 en este intervalo abierto. Tal que la derivada de 𝑓 calculada en 𝑐, 𝑓 prima de 𝑐, es igual a 𝑓 de 𝑏 menos 𝑓 de 𝑎 partido entre 𝑏 menos 𝑎. Como ves, el lado derecho es básicamente la fórmula de la pendiente. 𝑚 igual a 𝑦 dos menos 𝑦 uno sobre 𝑥 dos menos 𝑥 uno, en notación de función. Por lo tanto, esta fórmula nos dice que hay un valor de 𝑥 en el intervalo abierto 𝑎, 𝑏, en el que la pendiente de la recta tangente es la misma que la pendiente de la recta secante que pasa por los dos extremos del intervalo cerrado. Vamos a demostrar esto.

Definamos 𝑔 de 𝑥 como la función lineal representada por la recta secante a 𝑓 de 𝑥 que pasa por 𝑎, 𝑓 de 𝑎 y 𝑏, 𝑓 de 𝑏. Hallamos la ecuación de 𝑔 de 𝑥 usando la fórmula de la ecuación de una recta. Es 𝑦 menos 𝑦 uno igual a 𝑚 por 𝑥 menos 𝑥 uno. Igualamos 𝑥 uno a 𝑎. Y, por lo tanto, 𝑦 uno es igual a 𝑓 de 𝑎. También sustituimos 𝑦 por 𝑔 de 𝑥. Y sabemos que la pendiente 𝑚 viene dada por el cambio en 𝑦 sobre el cambio en 𝑥. Eso es 𝑓 de 𝑏 menos 𝑓 de 𝑎 partido entre 𝑏 menos 𝑎. Y obtenemos que 𝑔 de 𝑥 menos 𝑓 de 𝑎 es igual a 𝑓 de 𝑏 menos 𝑓 de 𝑎 partido por 𝑏 menos 𝑎 por 𝑥 menos 𝑎. Ahora hallamos 𝑔 de 𝑥 sumando 𝑓 de 𝑎 a ambos lados de la ecuación.

Definamos ahora una nueva función ℎ. Esta es la distancia vertical entre 𝑓 de 𝑥 y la recta secante 𝑔 de 𝑥. Por lo tanto, ℎ de 𝑥 se define como 𝑓 de 𝑥 menos 𝑔 de 𝑥. A continuación, sustituimos la expresión de 𝑔 de 𝑥 en la ecuación de ℎ de 𝑥. Pero, ¿para qué nos sirve esto? Bien, como vemos, ℎ de 𝑎 y ℎ de 𝑏 son iguales. Y ambas son cero, pues la distancia vertical entre la función 𝑓 de 𝑥 y la recta secante es cero en estos extremos. Bien, recordemos el teorema de Rolle. ℎ de 𝑥 es continua y derivable en el intervalo abierto 𝑎 a 𝑏. Y, por lo tanto, existe un valor de 𝑥, 𝑐, en este intervalo, tal que ℎ prima de 𝑐, la derivada de ℎ calculada en 𝑐, es igual a cero. Derivemos, pues, los dos lados de esta ecuación.

La derivada de ℎ es ℎ prima. Y la derivada de 𝑓 es 𝑓 prima. Vamos a hacer con cuidado lo que hay dentro del paréntesis. Desarrollamos los paréntesis, y obtenemos este cociente, que es una constante que se está multiplicando por 𝑥 y, a continuación, por otra constante. Asimismo, 𝑓 de 𝑎 es también una constante. Sabemos que la derivada de una constante es cero. Y también sabemos que la derivada de una constante multiplicada por 𝑥 es esa constante. Por lo tanto, ℎ prima de 𝑥 es igual a 𝑓 prima de 𝑥 menos 𝑓 de 𝑏 menos 𝑓 de 𝑎 partido entre 𝑏 menos 𝑎. Si aplicamos el teorema de Rolle, podemos decir que ℎ prima de 𝑐 igual a 𝑓 prima de 𝑐 menos 𝑓 de 𝑏 menos 𝑓 de 𝑎 partido entre 𝑏 menos 𝑎, es igual a cero. Y, de hecho, hemos probado el teorema del valor medio. Si despejamos 𝑓 prima de 𝑐, obtenemos que 𝑓 prima de 𝑐 es igual a 𝑓 de 𝑏 menos 𝑓 de 𝑎 sobre 𝑏 menos 𝑎

Ahora que hemos probado el teorema del valor medio, veamos un ejemplo de cómo determinar dónde se puede aplicar realmente el teorema.

¿Se aplica el teorema del valor medio a la función 𝑦 igual a dos 𝑥 al cubo menos cuatro 𝑥 más siete en el intervalo cerrado de cero a cinco?

Para poder aplicar el teorema del valor medio, es necesario que se cumplan dos condiciones sobre la función 𝑓 de 𝑥. En primer lugar, debe ser continua en el intervalo cerrado de 𝑎 a 𝑏. Y, en segundo lugar, debe ser derivable en el intervalo abierto de 𝑎 a 𝑏. Bien, la función dos 𝑥 al cubo menos cuatro 𝑥 más siete es continua en el intervalo cerrado de cero a cinco. Tiene una gráfica cúbica sencilla con más o menos este aspecto en ese intervalo cerrado. Para comprobar la segunda condición vamos a ver lo que pasa cuando derivamos con respecto a 𝑥. La derivada de dos 𝑥 al cubo es tres por dos 𝑥 al cuadrado. Eso es seis 𝑥 al cuadrado. Y la derivada de menos cuatro 𝑥 es menos cuatro. De este modo, obtenemos que d𝑦 sobre d𝑥 es igual a seis 𝑥 al cuadrado menos cuatro. Esta función está definida en el intervalo abierto cero a cinco. Y, por lo tanto, vemos que el teorema del valor medio sí se aplica.

Este ejemplo demuestra que solo tenemos que comprobar si se cumplen las condiciones necesarias para aplicar el teorema del valor medio para saber si puede utilizarse para una función o no. Veamos ahora un ejemplo de cómo podemos aplicarlo.

Para la función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cubo menos cuatro 𝑥, halla todos los valores posibles de 𝑐 que satisfacen el teorema del valor medio en el intervalo cerrado de menos dos a dos.

Como sabemos, el teorema del valor medio dice que, si 𝑓 es una función continua en un intervalo cerrado 𝑎, 𝑏, y es derivable en cada punto del intervalo abierto 𝑎, 𝑏. Entonces, existe un punto 𝑐 en ese intervalo abierto tal que 𝑓 prima de 𝑐 es igual a 𝑓 de 𝑏 menos 𝑓 de 𝑎 partido por 𝑏 menos 𝑎. 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑥 al cubo menos cuatro 𝑥. Y el intervalo cerrado es menos dos, dos. Queremos hallar el valor de 𝑐 tal que la derivada de la función calculada en 𝑐 sea igual a 𝑓 de 𝑏 menos 𝑓 de 𝑎 partido por 𝑏 menos 𝑎. Eso es 𝑓 de dos menos 𝑓 de menos dos partido por dos menos menos dos. Bien, vamos a hacer dos cosas. Vamos a calcular este cociente. Y vamos a hallar una expresión para la derivada de la función. 𝑓 de dos es dos al cubo menos cuatro por dos. Y 𝑓 de menos dos es menos dos al cubo menos cuatro por menos dos. Y obtenemos que esto es cero. Por lo tanto, para hallar los valores de 𝑐 tales que 𝑓 prima de 𝑐 sea igual a cero, vamos a hallar la derivada de la función.

La derivada de 𝑥 al cubo es tres 𝑥 al cuadrado. Y la derivada de menos cuatro 𝑥 es menos cuatro. Por lo tanto, 𝑓 prima de 𝑥 es tres 𝑥 al cuadrado menos cuatro. Así, 𝑓 prima de 𝑐 es igual a tres 𝑐 al cuadrado menos cuatro. Igualemos esto a cero y despejemos 𝑐. Sumamos cuatro a ambos lados de la ecuación y obtenemos que tres 𝑐 al cuadrado es igual a cuatro. Luego, dividimos por tres. Y obtenemos que 𝑐 al cuadrado es igual a cuatro tercios. Por último, hacemos la raíz cuadrada en ambos lados, acordándonos de usar tanto la raíz cuadrada positiva como la negativa de cuatro tercios. Y obtenemos que 𝑐 es igual a más menos la raíz cuadrada de cuatro partido por tres. Y podemos decir que es igual a dos partido por raíz cuadrada de tres y menos dos partido por raíz cuadrada tres. Como ves, estos valores de 𝑐 se encuentran en el intervalo cerrado de menos dos a dos, tal y como nos pide el teorema del valor medio.

Para la función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 menos uno elevado a ocho, halla todos los valores posibles de 𝑐 que satisfacen el teorema del valor medio en el intervalo cerrado de cero a dos.

Como ya hemos visto, el teorema del valor medio dice que, si 𝑓 es una función continua en el intervalo cerrado de 𝑎 a 𝑏 y es derivable en cada punto del intervalo abierto 𝑎 a 𝑏. Entonces, existe un punto 𝑐 en ese intervalo abierto tal que 𝑓 prima de 𝑐 es igual a 𝑓 de 𝑏 menos 𝑓 de 𝑎 partido entre 𝑏 menos 𝑎. 𝑓 de 𝑥 es 𝑥 menos uno elevado a ocho. Y el intervalo cerrado va de cero a dos. Queremos hallar valores de 𝑐 tales que la derivada de la función calculada en 𝑐 sea igual a 𝑓 de 𝑏 menos 𝑓 de 𝑎 partido por 𝑏 menos 𝑎. Eso es 𝑓 de dos menos 𝑓 de cero sobre dos menos cero. Así que vamos a hacer dos cosas. Primero, vamos a calcular este cociente. Después, hallaremos una expresión para la derivada de la función y luego la calcularemos en 𝑐. 𝑓 de dos menos 𝑓 de cero es dos menos uno elevado a ocho menos cero menos uno elevado a ocho. Y obtenemos que 𝑓 de dos menos 𝑓 de cero partido por dos menos cero es cero entre dos, que es cero.

Ahora vamos a hallar la derivada de la función. Y, para ello, vamos a aplicar la regla de la potencia. Esta regla dice que, si 𝑔 de 𝑥 es una función derivable y 𝑛 es un número real constante tal que 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑔 de 𝑥 elevado a 𝑛. Entonces, la derivada de 𝑓 de 𝑥, 𝑓 prima de 𝑥, es igual a 𝑛 por 𝑔 de 𝑥 elevado a 𝑛 menos uno por la derivada de 𝑔 de 𝑥. Eso es 𝑔 prima de 𝑥. La derivada de la función 𝑥 menos uno elevado a ocho es, por lo tanto, ocho por 𝑥 menos uno elevado a siete por la derivada de 𝑥 menos uno, que es uno. Y, así, obtenemos que 𝑓 prima de 𝑥 es ocho por 𝑥 menos uno elevado a siete.

Como podemos ver, 𝑓 prima de 𝑐 es ocho por 𝑐 menos uno elevado a siete. Y, como sabemos, hemos hallado que 𝑓 de 𝑏 menos 𝑓 de 𝑎 sobre 𝑏 menos 𝑎 es cero. Así que igualamos esto a cero y luego hallamos 𝑐. Dividimos por ocho. Y vemos que 𝑐 menos uno elevado a siete es cero. Aplicamos la raíz de índice siete a ambos lados de la ecuación y obtenemos que 𝑐 menos uno es igual a cero, lo que significa que 𝑐 igual a uno es el único valor de 𝑐 que satisface el teorema del valor medio. Fíjate que se encuentra en el intervalo cerrado de cero a dos, tal y como nos pide el teorema.

En el último ejemplo vamos a ver cómo podemos aplicar este teorema a un problema en un contexto del mundo real.

Una piedra se deja caer desde una altura de 81 pies. Su posición, a los 𝑡 segundos de dejarse caer, y hasta que choca contra el suelo, viene dada por la función 𝑠 de 𝑡 igual a menos 16𝑡 al cuadrado más 81. Calcula el tiempo que tardará la piedra en chocar contra el suelo. Calcula la velocidad media de la piedra desde que se deja caer hasta que alcanza el suelo. Y, aplicando el teorema del valor medio, determina el instante 𝑡 en el que la velocidad instantánea de la piedra es igual a la velocidad media.

La piedra chocará contra el suelo cuando su posición 𝑠 de 𝑡 sea igual a cero. Por lo tanto, igualamos la expresión menos 16𝑡 al cuadrado más 81 a cero y hallamos 𝑡. Sumamos 16𝑡 al cuadrado a ambos lados y luego dividimos por 16. Así, obtenemos que 𝑡 al cuadrado es igual a 81 partido por 16. Después, hallamos la raíz cuadrada de ambos lados, acordándonos de hacer tatno la raíz cuadrada positiva como la negativa de 81 entre 16. Y vemos que 𝑡 es igual a más menos nueve cuartos. En realidad, podemos hacer caso omiso de menos nueve cuartos, pues el tiempo ha de ser positivo. Hemos llegado a la solución de que la piedra choca contra el suelo a los nueve cuartos de segundo.

Ahora tenemos que calcular la velocidad media de la piedra durante este periodo de tiempo. La velocidad media es el desplazamiento dividido por el tiempo. El desplazamiento de la piedra es su cambio de posición. Esto es menos 81 pies. Y tarda nueve cuartos de segundo en recorrer esta distancia. Por lo tanto, la velocidad es menos 81 dividido entre nueve partido por cuatro. Recordemos que, para dividir por una fracción, multiplicamos por el recíproco de esa fracción. Así que tenemos menos 81 por cuatro partido por nueve. Y cancelamos el nueve. Y llegamos a la solución de que la velocidad media de la piedra es de 36 pies por segundo.

Para resolver la última parte del problema vamos a recurrir al teorema del valor medio. Como sabemos, este teorema dice que, si 𝑓 es una función continua en un intervalo cerrado 𝑎, 𝑏 y es derivable en cada punto del intervalo abierto 𝑎, 𝑏. Entonces, existe un punto 𝑐 en ese intervalo tal que 𝑓 prima de 𝑐 es igual a 𝑓 de 𝑏 menos 𝑓 de 𝑎 partido entre 𝑏 menos 𝑎. Sabemos que la velocidad media es menos 36 pies por segundo. Esto equivale a este cociente. La velocidad instantánea se puede calcular derivando la función para la posición. Eso es 𝑠 prima de 𝑡 igual a menos 32𝑡. Por lo tanto, decimos que 𝑠 prima de 𝑐 es igual a menos 32𝑐. Y obtenemos la ecuación menos 32𝑐 igual a menos 36. Hallamos 𝑐 dividiendo ambos lados por menos 32. Y obtenemos que el instante en que la velocidad instantánea de la piedra es igual a la velocidad media es nueve octavos de segundo.

En este vídeo hemos analizado brevemente el teorema de Rolle. Este teorema establece que, si una función 𝑓 satisface tres criterios. Es continua en el intervalo cerrado de 𝑎 a 𝑏, es derivable en el intervalo abierto de 𝑎 a 𝑏, y 𝑓 de 𝑎 es igual a 𝑓 de 𝑏. Entonces, hay un número 𝑐 en ese intervalo abierto tal que la derivada de 𝑓 calculada en 𝑐 es igual a cero. Seguidamente, hemos aprendido cómo usar el teorema de Rolle para probar el teorema del valor medio. Y este teorema dice que, si 𝑓 de 𝑥 es continua en un intervalo cerrado 𝑎, 𝑏 y derivable en el intervalo abierto 𝑎, 𝑏. Entonces, hay un número 𝑐 en ese intervalo abierto tal que 𝑓 prima de 𝑐 es igual a 𝑓 de 𝑏 menos 𝑓 de 𝑎 partido por 𝑏 menos 𝑎.

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