Transcripción del vídeo
En este vídeo vamos a aprender cómo identificar y describir una sucesión y algunas de las propiedades comunes de las sucesiones. Como ya sabemos, en matemáticas, una sucesión, o progresión, es una lista ordenada de términos. En este vídeo en concreto nos vamos a centrar en las secuencias numéricas. Algunas de las sucesiones más familiares son los números enteros: uno, dos, tres, cuatro, etcétera; los números cuadrados: uno, cuatro, nueve, 16, etcétera; y las sucesiones correspondientes a varios otros tipos de números enteros. Hay que tener bien claro que el orden de una secuencia es fundamental. Por ejemplo, uno, cuatro, nueve, 16 no es lo mismo que uno, nueve, cuatro, 16. Esto es una diferencia clave entre una secuencia de números y un conjunto de números.
En este vídeo vamos a estudiar dos tipos de progresiones, las progresiones aritméticas y las progresiones geométricas. Una sucesión aritmética es aquella en la que cada término puede obtenerse del anterior sumando un mismo número 𝑑. Es decir, una progresión es aritmética si 𝑎 sub 𝑛 más uno es igual a 𝑎 sub 𝑛 más 𝑑 donde 𝑎 sub 𝑛 es el término general y 𝑛 es un número natural arbitrario. 𝑎 sub 𝑛 más uno será el término siguiente. Si restamos 𝑎 sub 𝑛 de ambos lados de la ecuación, obtenemos esta igualdad
Consideremos la progresión tres, nueve, 15, 21, etcétera. El primer término en esta sucesión, denotado por 𝑎 sub uno, es igual a tres, 𝑎 sub dos es igual a nueve, 𝑎 sub tres es 15 y 𝑎 sub cuatro es 21. Para demostrar que esta progresión es aritmética vamos a considerar la diferencia entre pares de términos consecutivos. Restamos el primer término del segundo término, y obtenemos nueve menos tres, que es seis. 𝑎 sub tres menos 𝑎 sub dos también es igual a seis. Cuando restamos el tercer término, 𝑎 sub tres, del cuarto término, 𝑎 sub cuatro, también obtenemos una respuesta de seis. La progresión tres, nueve, 15, 21 tiene una diferencia constante de seis y, por lo tanto, es aritmética. Es importante tener en cuenta que la diferencia puede ser negativa, en cuyo caso cada término de la sucesión será menor que el anterior.
Veamos ahora la definición de progresión geométrica. Una progresión geométrica es aquella en la que cada término puede obtenerse del término anterior multiplicando por el mismo número 𝑟. En otras palabras, una sucesión es geométrica si 𝑎 sub 𝑛 más uno es igual a 𝑎 sub 𝑛 multiplicado por 𝑟. Si dividimos por 𝑎 sub 𝑛, podemos reescribir esta igualdad como 𝑎 sub 𝑛 más uno dividido por 𝑎 sub 𝑛 es igual a la razón 𝑟. Consideremos la sucesión tres, seis, 12, 24, etcétera. Denotamos cada uno de los términos como 𝑎 sub uno, 𝑎 sub dos, 𝑎 sub tres y 𝑎 sub cuatro, respectivamente. Dividimos 𝑎 sub dos por 𝑎 sub uno, y obtenemos seis entre tres, que es dos. Cuando dividimos el tercer término por el segundo término, también obtenemos una respuesta de dos.
Por último, obtenemos una respuesta de dos al dividir 𝑎 sub cuatro por 𝑎 sub tres. Esto significa que tenemos un cociente constante de dos y, por lo tanto, la progresión tres, seis, 12, 24, etcétera, es geométrica. Cuando operamos con progresiones aritméticas, vimos que cada término sucesivo es más grande o más pequeño que el término anterior. Esto dependerá de si la diferencia es positiva o negativa. Una progresión geométrica, por otro lado, puede alternar entre valores positivos y negativos. Esto ocurre si la razón 𝑟 es negativa. Por ejemplo, la progresión tres, menos seis, 12, menos 24, etcétera, tiene una razón de menos dos. En la primera cuestión se nos pide identificar en una lista las sucesiones que no son ni aritméticas ni geométricas.
¿Cuál de las siguientes sucesiones no es ni aritmética ni geométrica? ¿Es (A) un medio, uno, tres medios, dos, etcétera? ¿(B) Un medio, un tercio, un cuarto, un quinto, etcétera? ¿(C) Un medio, un cuarto, un octavo, un dieciseisavo, etcétera? ¿(D) Un noveno, menos un tercio, uno, menos tres, etcétera? ¿O (E) Uno, un tercio, menos un tercio, menos cuatro tercios, etcétera?
Para responder a esta pregunta vamos a recordar qué es una progresión aritmética y qué es una progresión geométrica. Pero ¡ojo!, ten en cuenta que solo estamos buscando cuál de estas sucesiones no es ni geométrica ni aritmética. Una progresión es aritmética si 𝑎 sub 𝑛 más uno menos 𝑎 sub 𝑛 es igual a 𝑑. Es decir, la diferencia entre términos consecutivos es un número constante. Veamos si alguna de las sucesiones que se nos han dado satisface esta propiedad. Restamos el primer término del segundo término en la opción (A), y obtenemos un medio. Obtenemos la misma respuesta cuando restamos el segundo término del tercer término y cuando restamos el tercer término del cuarto término. Por lo tanto, podemos concluir que la progresión un medio, uno, tres medios, dos tiene una diferencia constante de un medio y, por lo tanto, es una progresión aritmética.
Sustituimos en los términos consecutivos de la opción (B), y vemos que no hay una diferencia constante. Esto significa que esta no es una progresión aritmética. Lo mismo ocurre con las opciones (C), (D) y (E). Sin embargo, vale la pena considerar la opción (E) más de cerca. Al restar el primer término del segundo término obtenemos menos dos tercios, y obtenemos la misma respuesta cuando restamos el segundo término del tercer término. Pero al restar el tercer término del cuarto término no obtenemos menos dos tercios. Este es un ejemplo de por qué es muy importante comprobar todos los pares de términos sucesivos.
Recordemos ahora nuestra definición de progresión geométrica. Una sucesión es geométrica si 𝑎 sub 𝑛 más uno dividido por 𝑎 sub 𝑛 es igual a una razón constante 𝑟. El cociente de términos sucesivos, llamado razón, debe ser constante. Al dividir los términos consecutivos de la opción (B), obtenemos un tercio dividido por un medio, un cuarto dividido por un tercio y un quinto dividido por un cuarto. Aplicando que dividir por una fracción es lo mismo que multiplicar por su recíproca, obtenemos las respuestas de dos tercios, tres cuartos y cuatro quintos. Esto significa que la sucesión (B) no tiene una razón constante y, por lo tanto, no es geométrica. Así que la opción (B) es una respuesta correcta. No puede clasificarse como aritmética ni geométrica.
Antes de pasar al siguiente problema, vamos a comprobar si las opciones (C), (D) y (E) representan progresiones geométricas. Al dividir los términos consecutivos de la opción (C) obtenemos una razón constante de un medio. Esto significa que esta sucesión es geométrica y, por lo tanto, no es una respuesta correcta. Al dividir los términos consecutivos de la opción (D) también obtenemos una razón constante, esta vez de menos tres. La progresión un noveno, menos un tercio, uno, menos tres es geométrica. Por último, al dividir los términos consecutivos de la opción (E), vemos que no hay una razón constante. Esto significa que esta sucesión no es geométrica, y ya hemos visto que tampoco es aritmética. Por lo tanto, las sucesiones un medio, un tercio, un cuarto, un quinto, etcétera, y uno, un tercio, menos un tercio, menos cuatro tercios, etc., no son ni aritméticas ni geométricas.
En el siguiente ejemplo se nos pide hallar el dominio y el rango de una sucesión. Recordemos primero lo que queremos decir con estos términos. El dominio de una función se refiere al conjunto de valores de entrada, mientras que el rango (recorrido) se refiere al conjunto de valores de salida. A diferencia de las funciones, cuando operamos con sucesiones, el dominio y el rango son conjuntos discretos. En el siguiente problema veremos esto representado en un gráfico.
Halla el rango de la progresión aritmética infinita representada por la siguiente figura. ¿Es (A) el conjunto de todos los valores reales? ¿(B) El conjunto de los números uno, dos, tres, cuatro, etcétera? ¿(C) Los valores en el intervalo cerrado de menos ocho a cuatro? ¿(D) El conjunto de los números cuatro, cero, menos cuatro, menos ocho? ¿O (E) el conjunto de los números cuatro, cero, menos cuatro, menos ocho, etcétera?
En el enunciado se nos dice que la progresión dada es aritmética. También se nos dice que es infinita, lo que significa que el rango también debe ser infinito. Así que podemos descartar las opciones (C) y (D), ya que corresponden a un conjunto finito de valores. Los cuatro puntos que se muestran en la figura tienen coordenadas uno, cuatro, dos, cero, tres, menos cuatro y cuatro, menos ocho. Sabemos que el rango o recorrido de una función es el conjunto de los valores de salida o valores de 𝑦. En este caso, los valores de 𝑇 sub 𝑛 son cuatro, cero, menos cuatro y menos ocho, El rango de la progresión aritmética infinita representada en la figura es cuatro, cero, menos cuatro, menos ocho, etcétera. Esto significa que la respuesta correcta es la opción (E).
La opción (B), el conjunto de valores uno, dos, tres, cuatro, etcétera, no es el rango de la sucesión sino su dominio, ya que este es el conjunto de valores de 𝑥, o valores de entrada. Cuando trabajamos con sucesiones, debemos saber que el rango es un conjunto discreto de valores. Como la opción (A) corresponde a un conjunto continuo, el conjunto de los números reales, podemos descartar esta opción. Esto confirma que la opción (E) es la correcta.
En el último ejemplo nos dan una sucesión de figuras geométricas.
Considera la siguiente sucesión de figuras geométricas. ¿Cuál de las siguientes sucesiones numéricas representa el número de triángulos azules sólidos de la sucesión de figuras geométricas? ¿Es (A) dos, ocho, 26, 80, etcétera? ¿(B) Uno, tres, nueve, 27, etcétera? ¿(C) Dos, seis, 18, 54, etcétera? ¿(D) Dos, cuatro, 12, 36, etcétera? ¿O (E) dos, cuatro, ocho, 16, etcétera? ¿Qué tipo de sucesión hallamos al contar el número de triángulos azules sólidos en la sucesión de figuras geométricas de arriba?
Para resolver este problema tenemos que hallar el número de triángulos azules sólidos que hay en cada término. Se nos dan cinco posibles secuencias que representan esto. En el término 1, está claro que hay dos triángulos azules. Esto descarta inmediatamente la opción (B), ya que el primer término de esta secuencia es uno. En el segundo término, hay seis triángulos azules. Esto descarta la opción (A), la opción (D) y la opción (E), ya que tienen un segundo término de ocho, cuatro y cuatro, respectivamente. Hasta ahora, los dos primeros términos coinciden con los de la opción (C). En el patrón 3, cada una de las secciones rodeadas con un círculo tiene tres triángulos azules. Como hay seis de estos, esto da un total de 18 triángulos azules. Esto, de nuevo, corresponde al tercer término de la opción (C).
En el término 4, cada una de las secciones rodeadas con un círculo tiene nueve triángulos azules, lo que da un total de 54. La sucesión que representa el número de triángulos azules sólidos es dos, seis, 18, 54, etcétera. Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción (C).
En la segunda parte del problema, se nos pide que determinemos el tipo de secuencia que hallamos. Puede ser una progresión aritmética, una progresión geométrica o ninguna de las dos. Recordemos que una progresión aritmética tiene una diferencia constante entre términos consecutivos. Y esto no es lo que ocurre con esta secuencia. Una progresión geométrica tiene un cociente constante, llamado razón, entre términos consecutivos. Como dos multiplicado por tres es seis, seis multiplicado por tres es 18 y 18 multiplicado por tres es 54, la sucesión dos, seis, 18, 54 tiene una razón, la cual vale tres. Por lo tanto, la progresión que hallamos al contar el número de triángulos azules sólidos en la secuencia de figuras geométricas es una progresión geométrica.
Resumamos ahora los puntos clave que hemos visto en este vídeo. Hemos visto que, una progresión 𝑎 sub 𝑘 es aritmética si 𝑎 sub 𝑛 más uno menos 𝑎 sub 𝑛 es igual a 𝑑 para todos los números naturales 𝑛. El valor constante 𝑑 se conoce como diferencia. También hemos visto que, una progresión 𝑎 sub 𝑘 es geométrica si 𝑎 sub 𝑛 más uno dividido por 𝑎 sub 𝑛 es un valor constante 𝑟 para todos los números naturales 𝑛, y en este caso 𝑟 se denomina razón de la sucesión. Una sucesión puede ser aritmética, geométrica o ni aritmética ni geométrica. Hemos visto, además, que el dominio de una sucesión es el conjunto de los valores de entrada, el cual es discreto y usualmente es el conjunto de los números enteros positivos, mientras que el rango de una sucesión es el conjunto de los valores de salida, el cual es también discreto. Cuando estos pares ordenados se representan en un sistema de coordenadas, su forma puede ayudarnos a identificar si la progresión es aritmética o geométrica.
