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En este video, vamos a aprender cómo simplificar y evaluar expresiones numéricas con logaritmos en la misma base usando las leyes de los logaritmos.
Un logaritmo es una función que determina el número de veces, 𝑛, que hay que multiplicar un número, la base 𝑏, por sí misma para obtener otro número, 𝑚. Y los logaritmos suelen aparecer en los lugares más inesperados. Por ejemplo, sabemos que las notas musicales varían en una escala logarítmica y, por ello, la separación entre las cuerdas de una guitarra o de un ukelele se puede calcular utilizando logaritmos. Vamos a comenzar nuestra discusión sobre la evaluación de logaritmos recordando que la función logarítmica es la inversa de la función exponencial. Por ejemplo, si consideramos la función exponencial 𝑦 igual a 10 a la 𝑥, y, digamos, 𝑥 es igual a tres, entonces 𝑦 es igual a 10 al cubo. Y eso es igual a 1000. Y ocurre que si 𝑦 es igual a 10 al cubo es 1000, entonces el logaritmo en base 10 de 1000 es igual a tres.
En general, si el logaritmo en base 𝑏 de 𝑚 es igual a 𝑛, entonces se sigue que 𝑏 elevado a 𝑛 es igual a 𝑚, siendo 𝑏 la base del logaritmo, 𝑚 el argumento, y 𝑛 el exponente. Y podemos escribir esta relación en tres formas esencialmente equivalentes. Si el logaritmo en base 𝑏 de 𝑚 es igual a 𝑛, entonces 𝑏 elevado a 𝑛 es igual a 𝑚 y la raíz 𝑛-ésima de 𝑚 es igual a 𝑏. Y es importante poder moverse entre estas formas al resolver problemas con potencias o logaritmos.
También es importante saber que hay dos bases especiales de los logaritmos, y, al ser especiales, a menudo estas dos bases no se muestran explícitamente. Si vemos el símbolo log sin base, eso significa que es el logaritmo decimal, es decir, el logaritmo en base 10. Y si vemos L-N, eso significa que es ln, o sea el logaritmo neperiano o logaritmo natural, que significa log en base 𝑒, siendo 𝑒 el número de Euler. Nos vamos a centrar en las dos primeras expresiones de nuestra equivalencia. Veamos algunos ejemplos de cómo usamos esta equivalencia entre nuestras expresiones para evaluar algunos logaritmos.
¿Cuál es el valor del logaritmo en base dos de ocho?
Como ya hemos dicho el logaritmo en base dos de ocho es la cantidad de veces que hay que multiplicar dos por sí mismo para obtener ocho. Nos están preguntando, pues, «¿A qué potencia elevamos el número dos para obtener ocho?». Para hallar esto, usamos el hecho de que la inversa del logaritmo es la potencia. Esto significa que, si el logaritmo en base 𝑏 de 𝑚 es igual a 𝑛, entonces 𝑏 elevado a la 𝑛 es igual a 𝑚. En nuestro caso, 𝑏 es igual a dos y 𝑚 es igual a ocho. Y queremos encontrar el valor de 𝑛.
Traduciendo esto a potencias, esto significa que dos a la 𝑛 es igual a ocho. Necesitamos resolver esta ecuación para 𝑛. Sabemos que dos elevado a uno es dos, dos al cuadrado es cuatro y dos al cubo es ocho. Esto significa que 𝑛 es igual a tres. Por lo tanto, el valor del logaritmo en base dos de ocho es tres.
Continuemos con un ejemplo un poco más complicado pues la base es un número fraccionario.
¿Cuál es el valor de log en base un medio de 128?
Nos piden hallar un logaritmo que tiene como base un quebrado, en concreto el logaritmo en base un medio de 128. Para resolver esto, vamos a usar el hecho de que las funciones logarítmicas y las funciones exponenciales son inversas entre sí, lo que implica que, si log en base 𝑏 de 𝑚 es igual a 𝑥, entonces 𝑏 a la 𝑥 es igual a 𝑚. En nuestro caso, la base 𝑏 es igual a un medio, 𝑚 es igual a 128 y buscamos el valor de 𝑥. Notamos que nuestra base 𝑏 es un número fraccionario. Y sabemos que, si elevamos un medio a cualquier exponente positivo, esto nos dará otra fracción. Por ejemplo, un medio al cuadrado es un cuarto, un medio al cubo es un octavo, y así sucesivamente.
Pero sabemos, por la correspondencia entre logaritmos y exponentes, que uno sobre dos, elevado todo al exponente 𝑥 es 128. Según las leyes de las potencias, esto significa que uno partido por dos a la 𝑥 es 128. Pero también sabemos por las leyes de los potencias que uno sobre 𝑎 a la 𝑥 es 𝑎 a la menos 𝑥. Y esto significa que nuestro exponente será un número negativo. Ahora bien, para resolver nuestra nueva ecuación, es decir, dos elevado a menos 𝑥 igual a 128, vamos a echar una ojeada a los valores de las potencias de dos.
Sabemos que dos elevado a uno es dos, dos al cuadrado es cuatro, y así sucesivamente hasta dos a la sexta que es 64. Y dos a la séptima, que es 128. Y es este dos a la séptima lo que nos interesa. Porque si dos elevado a menos 𝑥 es 128 y dos a la séptima es 128, el valor de menos 𝑥 debe ser siete. Y si menos 𝑥 es igual a siete, 𝑥 es igual a menos siete. Por lo tanto, el valor del logaritmo en base un medio de 128 es menos siete.
Los logaritmos tienen algunas propiedades realmente útiles que podemos usar para ayudarnos a calcularlos. Así que antes de continuar con más ejemplos, vamos a repasar con cierto detalle las reglas de los logaritmos. Las reglas de los logaritmos se satisfacen para números positivos 𝑏, 𝑚 y 𝑛 cualesquiera, y para cualquier número real 𝑥.
Nuestra primera regla es que para cualquier base 𝑏, el logaritmo de uno es igual a cero. Nuestra segunda regla dice que para cualquier base 𝑏, log en base 𝑏 de 𝑏 es igual a uno. Nuestra tercera regla, que es la regla de la potencia para los logaritmos, dice que el logaritmo en base 𝑏 de 𝑚 elevado a 𝑥 es igual a 𝑥 multiplicado por el logaritmo en base 𝑏 de 𝑚. Lo que significa esta propiedad, pues, es que, si el argumento de nuestro log tiene un exponente, podemos «bajar» el exponente, y colocarlo justo a la izquierda de nuestro log multiplicándolo.
Nuestra cuarta regla dice que logaritmo en base 𝑏 de 𝑚 por 𝑛 es igual a logaritmo en base 𝑏 de 𝑚 más logaritmo en base 𝑏 de 𝑛. Y esta es la regla del producto para los logaritmos. Y nuestra quinta y última regla dice que el logaritmo en base 𝑏 de 𝑚 sobre 𝑛 es igual al logaritmo en base 𝑏 de 𝑚 menos el logaritmo en base 𝑏 de 𝑛. Y esta es la regla del cociente para los logaritmos.
Podemos ver cómo estas reglas se relacionan con las reglas de las potencias. Sabemos, por ejemplo, que cualquier número positivo 𝑏 elevado al exponente cero es igual a uno, y que cualquier número positivo elevado a uno es igual a sí mismo. La regla de la potencia para los logaritmos se corresponde claramente con la regla de la potencia de las potencias. Veamos cómo es esto con un poco de detalle. Sabemos por la definición de logaritmo que decir que log en base 𝑏 de 𝑚 es igual a 𝑛 es equivalente a decir que 𝑏 elevado a 𝑛 es igual a 𝑚.
Si ahora reemplazamos 𝑛 en el exponente por log en base 𝑏 de 𝑚, tenemos 𝑏 elevado a logaritmo en base 𝑏 de 𝑚 es igual a 𝑚. Y ahora vamos a elevar ambos lados al exponente 𝑛. Y, según las leyes de las potencias, 𝑎 a la 𝑏 elevado a la 𝑐 es igual a 𝑎 a la 𝑏 por 𝑐. Hemos obtenido 𝑏 elevado a 𝑛 por log en base 𝑏 de 𝑚 es igual a 𝑚 elevado a 𝑛.
Pero, si miramos nuestra expresión de aquí, la cual derivamos de la definición de nuestro logaritmo, 𝑏 elevado a logaritmo en base 𝑏 de 𝑚 a la 𝑛 es igual a 𝑚 a la 𝑛. Tenemos, pues, 𝑏 elevado a logaritmo en base 𝑏 de 𝑚 elevado a 𝑛 es igual a 𝑚 elevado a la 𝑛, que, a su vez, es igual a 𝑏 elevado a 𝑛 log en base 𝑏 de 𝑚. Y, según las reglas de las potencias, para una base 𝑎 no igual a menos uno, cero o uno, si 𝑎 a la 𝑏 es igual a 𝑎 a la 𝑐, entonces 𝑏 debe ser igual a 𝑐. En nuestro caso, esto significa que log en base 𝑏 de 𝑚 a la 𝑛 es igual a 𝑛 por log en base 𝑏 de 𝑚. Esta es la regla de la potencia para logaritmos.
Si miramos también la regla del producto, la regla del producto equivalente para potencias es 𝑏 a la 𝑛 por 𝑏 a la 𝑛 es igual a 𝑏 a la 𝑚 más 𝑛. Y de manera similar, para la regla del cociente, la regla equivalente de las potencias es 𝑏 a la 𝑛 dividido por 𝑏 a la 𝑚 es 𝑏 a la 𝑛 menos 𝑚. Ahora que tenemos nuestras leyes de los logaritmos, usemos algunas de ellas en los siguientes ejemplos.
¿Cuánto vale logaritmo en base dos de uno sobre 128?
Para hallar el logaritmo en base dos de uno sobre 128, primero notamos que uno sobre 128 es igual a 128 elevado a menos uno. Lo que significa que el logaritmo en base dos de uno sobre 128 es el logaritmo en base dos de 128 elevado a menos uno. Y ahora podemos aplicar la regla de la potencia de los logaritmos. Esta dice que el log en base 𝑏 de 𝑚 a la 𝑥 es igual a 𝑥 por log en base 𝑏 de 𝑚. Y lo que esto significa es que, si el argumento del logaritmo tiene un exponente 𝑥, podemos «bajar» este número y multiplicar nuestro logaritmo por él.
En este caso, nuestro exponente es menos uno, por lo que tenemos menos uno por log en base dos de 128. Volviendo a nuestra definición de logaritmo, si el logaritmo en base 𝑏 de 𝑚 es igual a 𝑛, entonces 𝑏 a la 𝑛 es igual a 𝑚. Y esto significa que 𝑛 es la cantidad de veces que multiplicamos la base 𝑏 por sí misma para obtener 𝑚. Así que estamos buscando el número de veces que multiplicamos la base dos por sí misma para obtener 128. Por lo tanto, necesitamos encontrar un valor de 𝑛 para el cual dos elevado a 𝑛 es 128.
Y si miramos las potencias de dos, podemos ver que dos a la séptima es 128. De modo que nuestra 𝑛 es igual a siete. Esto significa que el log en base dos de 128 es igual a siete. Por lo tanto, menos log en base dos de 128 es menos siete. Y, por lo tanto, nuestra solución a log en base dos de uno sobre 128 es menos siete.
Vale la pena señalar que podríamos haber hecho esto de una manera un tanto diferente, usando el hecho de que dos a la séptima es 128. Tenemos log en base dos de uno sobre 128 es igual a menos log en base dos de 128, y podemos escribir esto como menos logaritmo en base dos de dos a la séptima. Y usando la regla de la potencia para logaritmos una vez más, obtenemos menos siete log en base dos de dos. Pero sabemos por nuestras leyes de los logaritmos que log en base 𝑏 de 𝑏 es igual a uno. Y aquí tenemos log en base dos de dos, que es, por lo tanto, igual a uno. Así que, otra vez, llegamos a nuestra respuesta de menos siete.
Veamos un ejemplo en el que tenemos que aplicar tanto la regla de la potencia como la regla del producto para calcular logaritmos.
Calcula dos log cuatro más siete log 13, dando la respuesta a la milésima más cercana.
Nos piden que calculemos dos log cuatro más siete log 13. Podemos comenzar usando la regla de la potencia para los logaritmos. Esta dice que 𝑥 por el logaritmo en base 𝑏 de 𝑚 es igual al logaritmo en base 𝑏 de 𝑚 a la 𝑥. En nuestro caso, podemos usar esto dos veces. En nuestra primera expresión dos log cuatro, 𝑥 es dos y 𝑚 es cuatro. Por lo tanto, al elevar 𝑚 a la 𝑥, podemos reescribir esto como log de cuatro al cuadrado. Y luego, para nuestro segundo término, siete log 13, donde 𝑥 es siete y 𝑚 es 13, tenemos log de 13 a la séptima.
Debemos recordar aquí que, si el logaritmo se escribe sin una base, como el nuestro, esto significa que la base es 10. Y así, tenemos que dos log cuatro más siete log 13 es log cuatro al cuadrado más log 13 a la séptima, donde todos nuestros logaritmos tienen base 10. Para simplificar nuestra expresión en el lado derecho, vamos a usar la regla del producto para los logaritmos. Esta dice que log en base 𝑏 de 𝑚 por 𝑛 es igual al log en base 𝑏 de 𝑚 más log en base 𝑏 de 𝑛.
Y como 𝑚 es igual a cuatro al cuadrado y 𝑛 es igual a 13 elevado a siete, tenemos que dos log cuatro más siete log 13 es igual a log de cuatro al cuadrado por 13 a la séptima. Y ahora, simplemente necesitamos usar el botón de log en nuestra calculadora para evaluar esto. Obtenemos 9.00172 etcétera, que a la milésima más cercana es 9.002. Y así, a la milésima más cercana, hemos hallado que dos log cuatro más siete log 13 es 9.002.
En nuestro ejemplo final, vamos a usar una combinación de las reglas de los logaritmos para evaluar una expresión logarítmica.
Halla el valor logaritmo en base dos de log de 𝑥 elevado a 32 menos log en base dos de log de 𝑥 elevado a cuatro.
Nos piden que encontremos el valor de una complicada expresión algebraica con logaritmos. Tenemos un logaritmo en base dos de otro logaritmo en base 10. Ya dijimos que un logaritmo escrito sin base es un logaritmo en base 10, y este es el logaritmo de 𝑥 elevado a 32. Y nuestra segunda expresión es similar. Además, lo que tenemos es un logaritmo en base dos menos otro logaritmo en base dos. Por lo que podemos usar la regla del cociente para los logaritmos. La cual dice que log en base 𝑏 de 𝑚 menos log en base 𝑏 de 𝑛 es igual a log en base 𝑏 de 𝑚 dividido por 𝑛.
En nuestro caso, donde nuestra base 𝑏 es igual a dos, tenemos log en base dos de log de 𝑥 elevado a 32 dividido por log de 𝑥 elevado a cuatro. Y para cada una de las expresiones en nuestro cociente, podemos usar la regla de la potencia para los logaritmos. Esta dice que log en base 𝑏 de 𝑚 a la 𝑥 es igual a 𝑥 por log en base 𝑏 de 𝑚. Es decir, si nuestro argumento tiene un exponente, simplemente lo podemos bajar y multiplicarlo por el logaritmo. En nuestro caso, nuestros exponentes son 32 y cuatro. Y si los extraemos del logaritmo, obtenemos 32 log 𝑥 dividido por cuatro log 𝑥. Log 𝑥 dividido por log 𝑥 es igual a uno. Así que simplemente tenemos log en base dos de 32 sobre cuatro, que es, por supuesto, log en base dos de ocho.
Y ahora, podemos usar la definición de logaritmo para obtener su valor. Es decir, si el log en base 𝑏 de 𝑚 es igual a 𝑛, 𝑏 a la 𝑛 es igual a 𝑚. O sea, 𝑛 es el número de veces que 𝑏, la base, ha de ser multiplicada por sí misma para obtener 𝑚. En nuestro caso, la base 𝑏 es dos y 𝑚, el argumento, es ocho. Por lo tanto, necesitamos saber cuántas veces dos ha de ser multiplicado por sí mismo para obtener ocho, o a qué exponente 𝑛 hemos de elevar dos para obtener ocho. Sabemos que dos por dos por dos, que es dos al cubo, es igual a ocho. De modo que 𝑛 es igual a tres. Hemos obtenido, pues, que log en base dos de log de 𝑥 a la 32 menos log en base dos de log de 𝑥 a la cuatro es igual a tres.
También podríamos haber usado otras reglas de los logaritmos en los pasos finales para obtener nuestra respuesta. Ya que logaritmo en base dos de ocho es igual a log en base dos de dos al cubo. Y según la regla de la potencia, eso es igual a tres por log en base dos de dos. Y como logaritmo en base 𝑏 de 𝑏 es igual a uno, para cualquier base 𝑏, nuestro logaritmo en base dos de dos es igual a uno. Y obtenemos nuevamente nuestra respuesta tres.
Terminemos resumiendo algunos puntos clave de la evaluación de logaritmos. Recuerda que si un logaritmo en base 𝑏 de 𝑚 es igual a 𝑛, entonces 𝑛 indica las veces que la base debe ser multiplicada por sí misma para obtener el argumento 𝑚. La función logarítmica es la inversa de la función exponencial. De modo que, si el logaritmo en base 𝑏 de 𝑚 es igual a 𝑛, entonces 𝑏 a la 𝑛 es igual a 𝑚. Hay dos casos en los que no se muestran las bases, eso es log, que significa log en base 10, y L-N o ln, que significa log en base 𝑒, o sea, logaritmo neperiano o natural. Y podemos usar las reglas de los logaritmos para simplificar, calcular y evaluar logaritmos y expresiones logarítmicas.
Para números positivos 𝑏, 𝑚 y 𝑛 cualesquiera, y un número real 𝑥 cualquiera, las reglas de los logaritmos son log en base 𝑏 de uno es igual a cero, log en base 𝑏 de 𝑏 es igual a uno, log en base 𝑏 de 𝑚 a la 𝑥 es igual a 𝑥 por log en base 𝑏 de 𝑚. Esta es la regla de las potencias. Log en base 𝑏 de 𝑚 por 𝑛 es igual a log en base 𝑏 de 𝑚 más log en base 𝑏 de 𝑛. Y esta es la regla del producto. Y finalmente, log en base 𝑏 de 𝑚 sobre 𝑛 es igual a log en base 𝑏 de 𝑚 menos log en base 𝑏 de 𝑛. Y esta es la regla del cociente.
