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Vídeo de la lección: Descomponer en factores hallando el máximo común divisor Matemáticas • Séptimo grado

En este vídeo vamos a aprender cómo factorizar —o sea, cómo descomponer en factores— una expresión algebraica hallando el máximo común divisor (MCD).

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo factorizar —o sea, cómo descomponer en factores— una expresión algebraica hallando el máximo común divisor. Antes de ver lo que es el máximo común divisor, conviene recordar primero lo que es un divisor. Podemos escribir números como un producto de factores. Por ejemplo, si tenemos el número 12, podemos expresarlo como el producto de dos y seis. Así que decimos que dos y seis son divisores de 12. Y también sabemos que seis es dos por tres, por lo que 12 es igual a dos por dos por tres. Vamos a hacer lo mismo con el número 18. Dos por nueve es 18. Y tres por tres es nueve. Así que 18 es igual a dos por tres por tres.

Cuando comparamos dos números, un método que nos puede ayudar es identificar los divisores comunes. Los divisores comunes son los números que son divisores de ambos números. En este caso, 12 y 18 tienen ambos un divisor de dos y un divisor de tres. Estos son divisores comunes. Pero lo cierto es que, cuando comparamos números, a menudo no buscamos hallar los divisores comunes. Lo que buscamos es hallar el máximo común divisor. Se conoce por sus siglas como MCD o m.c.d. También lo puedes ver como el mayor divisor común o MDC. El máximo común divisor o mayor divisor común es el número entero más grande que es un divisor de ambos números. También es el producto de todos los factores primos comunes.

Aquí vemos que 12 es dos por seis, y que 18 es tres por seis. Seis es el factor más grande de estas dos multiplicaciones. Por lo que el MCD de 12 y 18 es seis. Pero ¿qué pasa si queremos comparar estos dos valores, dos 𝑥 al cuadrado 𝑦 y cuatro 𝑥𝑦? ¿Cuál es el máximo común divisor aquí? Para responder a esta pregunta vamos a descomponer los monomios en factores. Este monomio es igual a dos por 𝑥 al cuadrado 𝑦. Y los factores de 𝑥 al cuadrado 𝑦 son 𝑥 al cuadrado y 𝑦. 𝑥 al cuadrado tiene dos factores, 𝑥 y 𝑥. De esta forma, al descomponer en factores dos 𝑥 al cuadrado 𝑦, obtenemos dos por 𝑥 por 𝑥 por 𝑦. Hacemos lo mismo con el monomio cuatro 𝑥𝑦, cuatro por 𝑥𝑦. El cuatro se puede descomponer en dos factores de dos. Y 𝑥𝑦 es 𝑥 por 𝑦, así que cuatro 𝑥𝑦 es igual a dos por dos por 𝑥 por 𝑦.

Los dos monomios tienen los factores dos, 𝑥 y 𝑦. Por lo tanto, el máximo común divisor es dos 𝑥𝑦. Usamos el máximo común divisor para simplificar ciertas expresiones. Pero antes de hacerlo, vamos a recordar una propiedad muy importante, la propiedad distributiva. Esta propiedad nos dice que 𝑎 por 𝑏 más 𝑐 es igual a 𝑎 por 𝑏 más 𝑎 por 𝑐. Como puedes ver, 𝑎 aquí es el máximo común divisor de los términos 𝑎 por 𝑏 y 𝑎 por 𝑐. Por lo tanto, simplificar usando el máximo común divisor es extraer el máximo común divisor de los términos. Veamos el ejemplo que teníamos en la pantalla de inicio del vídeo. Vamos a simplificar la expresión usando el máximo común divisor.

Usando el diagrama, extrae factor común en cuatro 𝑥 más 12.

En este diagrama tenemos dibujos que representan cuatro 𝑥 y 12. En el diagrama de la derecha se han combinado los dos dibujos. Se ha tomado el cuadro de tamaño 12 y ha sido transformado en cuatro barras de igual tamaño. Sabemos que 12 dividido por cuatro es tres. Este diagrama ha extraído un factor de cuatro del 12 y del cuatro 𝑥. 12 entre cuatro es tres. Y cuatro 𝑥 entre cuatro es 𝑥.

Vemos que cuatro por 𝑥 más cuatro por tres es igual a cuatro 𝑥 más 12. Estas son expresiones equivalentes. Así que podemos decir que cuatro 𝑥 más 12 es igual a cuatro por 𝑥 más tres. Y concluimos que el máximo común divisor de cuatro 𝑥 y 12 es cuatro. Hemos extraído el máximo común divisor de estos dos términos para obtener cuatro por 𝑥 más tres.

Veamos otro ejemplo.

Factoriza 15𝑒 más 15𝑓 completamente.

Tenemos la expresión 15𝑒 más 15𝑓. Sabemos que 15𝑒 es igual a 15 por 𝑒, y sabemos que 15𝑓 es igual a 15 por 𝑓. Ambos términos tienen un factor común de 15, lo que significa que 15 es el máximo común divisor. Y si extraemos este 15, podemos expresar 15𝑒 más 15𝑓 de esta forma. 15 por 𝑒 más 𝑓. Podemos hacer esto gracias a la propiedad distributiva, que dice que 𝑎 por 𝑏 más 𝑐 es igual a 𝑎 por 𝑏 más 𝑎 por 𝑐. Como no tenemos ninguna información adicional, esta expresión en forma factorizada es 15 por 𝑒 más 𝑓.

Veamos otro ejemplo en el que se nos pide hallar el máximo común divisor de dos términos que tienen variables.

Halla el máximo común divisor de los dos términos en este polinomio, cuatro 𝑥 a la cuarta menos 18𝑥 al cubo.

El polinomio que se nos ha dado es cuatro 𝑥 a la cuarta menos 18𝑥 al cubo. Y aquí están los dos monomios. Queremos hallar el máximo común divisor. El primer término tiene un factor de cuatro y un factor de 𝑥 a la cuarta. El segundo término tiene factores de 18 y de 𝑥 al cubo. Cuatro no es un divisor de 18. Pero nos damos cuenta de que cuatro y 18 son los dos números pares, por lo que sabemos que dos es un divisor de ambos. Cuatro es dos por dos, y 18 es dos por nueve. Así que esto confirma lo que ya sabemos, que ambos tienen un divisor de dos.

Ahora tenemos que pensar en qué hacer con 𝑥 a la cuarta y 𝑥 al cubo. Podemos decir que 𝑥 a la cuarta es igual a 𝑥 elevado a uno por 𝑥 al cubo. Vemos que ambos términos tienen un factor de 𝑥 al cubo. Así que podemos reescribir cuatro por 𝑥 a la cuarta como dos por 𝑥 al cubo por dos 𝑥. Y reescribimos 18𝑥 al cubo como dos 𝑥 al cubo por nueve, lo que demuestra que dos 𝑥 al cubo es el máximo común divisor de estos dos términos.

Hasta el momento lo que hemos hecho ha sido comparar dos números o expresiones de solo dos términos. Ahora vamos a hallar el máximo común divisor de una expresión de tres términos. Vamos a aplicar el mismo procedimiento, pues no varía en función de los términos que tiene una expresión.

Factoriza completamente la expresión seis 𝑝 al cuadrado más tres 𝑝 menos seis 𝑝𝑞.

Se nos da la expresión seis 𝑝 al cuadrado más tres 𝑝 menos seis 𝑝𝑞 y se nos pide que hallemos el máximo común divisor. Los coeficientes de los tres términos son divisibles por tres. Por lo tanto, podemos extraer un tres. Para el primer término, seis 𝑝 al cuadrado es igual a tres por dos 𝑝 al cuadrado. Para el segundo término, si eliminamos un factor de tres, nos quedaremos con 𝑝, pues tres por 𝑝 es igual a tres 𝑝. Para el tercer término, tenemos tres por menos dos 𝑝𝑞 porque tres por menos dos 𝑝𝑞 es menos seis 𝑝𝑞.

Pero aún no hemos extraído el máximo común divisor. Pues vemos que todavía hay un factor común en los tres términos. Los tres términos tienen al menos un factor de 𝑝. Queremos extraer este factor de 𝑝, es decir, un factor de 𝑝 elevado a uno. Si extraemos un factor de 𝑝 del primer término, nos quedaremos con dos 𝑝. El término medio es el más difícil. Para sacar fuera el factor de 𝑝, debemos pensar por qué número multiplicado 𝑝 elevado a uno es igual a 𝑝 elevado a uno. Es uno. 𝑝 entre 𝑝 es uno.

Por último, si extraemos un factor de 𝑝 de menos dos 𝑝𝑞, nos quedamos con menos dos 𝑞, lo que significa que tenemos tres 𝑝 por dos 𝑝 más uno menos dos 𝑞 como nuestra expresión factorizada. Si queremos asegurarnos de que esto es correcto, lo único que tenemos que hacer es volver a distribuir el término tres 𝑝 entre los tres términos de dentro del paréntesis. Tres 𝑝 por dos 𝑝 es seis 𝑝 al cuadrado. Tres 𝑝 por uno es tres 𝑝. Y tres 𝑝 por menos dos 𝑞 es menos seis 𝑝𝑞. Esta es la expresión con la que empezamos, y hemos hallado su forma factorizada. Tres 𝑝 por dos 𝑝 más uno menos dos 𝑞.

Veamos otro ejemplo.

Factoriza completamente 𝑎 menos 10 por 𝑎 más ocho menos dos por 𝑎 más ocho.

Se nos da la expresión 𝑎 menos 10 por 𝑎 más ocho menos dos por 𝑎 más ocho, y para poder factorizarla necesitamos hallar un factor común entre los dos términos. Estos son los dos términos. El primer término tiene un factor 𝑎 menos 10 y un factor 𝑎 más ocho. Y el segundo término tiene los factores menos dos y 𝑎 más ocho, lo que significa que ambos términos comparten un factor 𝑎 más ocho. Eso significa que podemos extraer el factor 𝑎 más ocho. En el primer término, si eliminamos el factor 𝑎 más ocho, el factor restante será 𝑎 menos 10.

En el segundo término, si eliminamos el factor 𝑎 más ocho, nos quedaremos con menos dos. Hemos reescrito nuestra expresión original como 𝑎 más ocho por 𝑎 menos 10 menos dos. Vamos a simplificar los paréntesis. Como solo hay suma o resta dentro del paréntesis, podemos eliminar el paréntesis. De esta forma obtenemos 𝑎 más ocho por 𝑎 menos 10 menos dos. Y 𝑎 menos 10 menos dos es 𝑎 menos 12. La forma completamente factorizada de la expresión original es esta. 𝑎 más ocho por 𝑎 menos 12.

En el último ejemplo vamos a considerar una expresión con múltiples variables.

Extrayendo el MCD, factoriza la expresión 14𝑥 a la quinta 𝑦 al cuadrado menos cuatro 𝑥 al cubo 𝑦 más ocho 𝑥 al cuadrado 𝑦.

Tenemos la expresión 14𝑥 a la quinta 𝑦 al cuadrado menos cuatro 𝑥 al cubo 𝑦 más ocho 𝑥 al cuadrado 𝑦, y se nos pide que hallemos el MCD, el máximo común divisor. Vamos a comenzar considerando el máximo común divisor de los coeficientes de estos tres términos. 14 es igual a dos por siete. Cuatro es igual a dos por dos. Y ocho es igual a dos por cuatro. El factor común aquí es dos. Es cierto que ocho y cuatro comparten un factor de cuatro, pero 14 no es divisible por cuatro. Así que decimos que el factor común de los tres coeficientes es dos. Así que reescribimos nuestra expresión como dos por siete 𝑥 a la quinta 𝑦 al cuadrado menos dos 𝑥 al cubo 𝑦 más cuatro 𝑥 al cuadrado 𝑦.

Ahora nos fijamos en el factor común de 𝑥. El tercer término tiene el factor más pequeño de 𝑥, 𝑥 al cuadrado, lo que significa que 𝑥 al cuadrado es el mayor factor de 𝑥 que podemos sacar. Así que sacamos un factor de 𝑥 al cuadrado de estos tres términos. 𝑥 a la quinta dividido por 𝑥 al cuadrado es 𝑥 al cubo. Dejamos el 𝑦 al cuadrado. 𝑥 al cubo dividido por 𝑥 al cuadrado es 𝑥 elevado a uno. Y cuatro 𝑥 al cuadrado 𝑦 dividido por 𝑥 al cuadrado es igual a cuatro 𝑦. Ya tenemos una segunda expresión equivalente. Pero aún no hemos hallado el máximo común divisor. Pues los tres términos tienen al menos un factor de 𝑦. El factor más pequeño de 𝑦 aquí es 𝑦 elevado a uno. Eso significa que es lo máximo que podemos extraer de los tres términos. Extraemos 𝑦 elevado a uno de los tres términos.

El primer término se convierte en siete 𝑥 al cubo 𝑦 elevado a uno. El segundo término es menos dos 𝑥 elevado a uno. Cuando eliminamos un factor de 𝑦 elevado a uno del tercer término, obtenemos cuatro. Como puedes ver, no hay factores comunes dentro del paréntesis. Eso significa que el máximo común divisor es lo que hemos sacado fuera. Al extraer el máximo común divisor dos 𝑥 al cuadrado 𝑦, obtenemos una expresión completamente factorizada, dos 𝑥 al cuadrado 𝑦 por siete 𝑥 al cubo 𝑦 menos dos 𝑥 más cuatro. Si queremos comprobar si esto es correcto, tan solo tenemos que multiplicar el máximo común divisor por los tres términos que están dentro del paréntesis, y obtendríamos la expresión que teníamos al inicio.

Resumiendo lo que hemos visto, el máximo común divisor, MCD, o el mayor divisor común, MDC, es el factor común más grande que comparten dos o más números o expresiones. Hemos utilizado la propiedad distributiva, que nos dice que 𝑎 por 𝑏 más 𝑐 es igual a 𝑎 por 𝑏 más 𝑎 por 𝑐. Y hemos hallado el MCD usando la propiedad distributiva para simplificar expresiones.

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