Video Transcript
El resto de una serie alternada
En este video, vamos a discutir la aproximación de ciertas series alternadas (o alternas) por sumas parciales. Vamos a ver los tipos de series alternas que podemos aproximar de esta manera, y también vamos a ver cómo calcular el error máximo incurrido usando esta aproximación. También vamos a ver cómo usar esto para hallar una aproximación con el nivel de error máximo que queramos. Aprenderemos a responder preguntas como, ¿cuántos términos necesitamos sumar para aproximar esta serie alternada hasta cierto nivel de error? Comencemos hablando de las series alternadas, que son el tipo de series que vamos a aproximar.
Sea 𝑎 𝑛 una sucesión positiva y decreciente donde el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑎 𝑛 es igual a cero. Elegimos estas propiedades para 𝑎 𝑛 para asegurarnos de que se satisface el criterio de Leibniz de convergencia para las series alternadas. Esto significa que la sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de menos uno a la 𝑛 más uno por 𝑎 𝑛 converge. Llamemos a este valor 𝑆. Sabemos que este valor es igual al límite de sus sumas parciales. Y como que límite converge, esto significa que el límite de las sumas parciales también converge. Por lo tanto, asegún vamos tomando más y más términos en nuestra suma parcial, nos acercamos más y más a 𝑆. Esto significa que podemos aproximar 𝑆 usando la 𝑛-ésima suma parcial. Simplemente hemos de tomar más y más términos para obtener una representación cada vez más precisa de 𝑆.
Pero ¿qué tan exacta es esta suma? Comencemos reescribiendo nuestra serie alternada infinita en términos de la 𝑛-ésima suma parcial. Nuestra serie alternada infinita es igual a la 𝑘-ésima suma parcial más todos los términos restantes. Nuestra serie infinita es igual a la 𝑘-ésima suma parcial más el resto correspondiente a 𝑘 términos. A este resto lo llamaremos 𝑅 𝑘. Y queremos saber qué tan cerca está esta suma parcial del valor real de 𝑆. Si 𝑆 es igual a la 𝑘-ésima suma parcial más el resto correspondiente a 𝑘 términos, al restar la 𝑘-ésima suma parcial de ambos lados de esta ecuación, tenemos que 𝑆 menos 𝑆 𝑘 es igual a 𝑅 𝑘. En otras palabras, la diferencia entre el valor real de nuestra serie y nuestra aproximación es simplemente 𝑅 𝑘. 𝑅 𝑘 nos dice, por lo tanto, qué tan precisa es nuestra aproximación.
De hecho, podemos reescribir nuestra ecuación inicial en términos de series de potencias para reflejar esto. La serie de potencias 𝑆 menos la serie de potencias de la 𝑘-ésima suma parcial es igual a nuestros restos. Así que, para estimar qué tan precisa es nuestra aproximación, solo necesitamos estimar el valor de 𝑅 𝑘. Para hallar una aproximación de 𝑅 𝑘, escribamos esta serie término a término. Podemos ver que esta es una serie alterna. Podemos ver que el signo de los términos alterna entre positivo y negativo. De hecho, si asumimos que 𝑘 es par, 𝑘 más dos es par, por lo que menos uno elevado a este exponente es simplemente uno. Por tanto, nuestro primer término, 𝑎 𝑘 más uno, es positivo. Y necesitamos alternar los signos del resto de los términos.
Al principio, puede parecer que esto no nos ayudará a aproximar el valor de esta serie. Sin embargo, elegimos nuestra sucesión decreciente. Eso significa que cada término en esta serie es cada vez más pequeño en valor absoluto. De hecho, también elegimos nuestra sucesión para que sea positiva. ¿Qué nos dice esto? Comparemos los valores de 𝑎 𝑘 más tres y menos 𝑎 𝑘 más dos. Sabemos que 𝑎 𝑘 más tres es menor que 𝑎 𝑘 más dos porque nuestra sucesión es decreciente. Esto es lo mismo que decir que menos 𝑎 𝑘 más dos más 𝑎 𝑘 más tres es menor que cero. Lo que hemos mostrado es, que si emparejamos estos dos términos en nuestra serie, obtenemos un término negativo.
También podemos ver que esto es cierto para los siguientes dos términos de nuestra serie. 𝑎 𝑘 más cinco es menor que 𝑎 𝑘 más cuatro, y ambos son positivos. Por lo tanto, emparejar estos dos términos en nuestra serie nos deja con otro número negativo. Pero recuerda, el primer término en nuestra secuencia es positivo, por lo que nuestra serie es un número positivo y luego sumamos números negativos. Esto significa que podemos acotar esto por arriba por 𝑎 𝑘 más uno, ya que sumar números negativos a un número positivo lo hará menor. Por lo tanto, hemos hallado una cota superior para nuestra estimación cuando tomamos un número par de términos en nuestra suma parcial. Pero ¿qué sucede si tomamos un número impar de términos en nuestra suma parcial?
Podemos escribir nuestra serie término a término nuevamente. Sin embargo, esta vez comenzamos con menos 𝑎 𝑘 más uno. Después, podemos intentar emparejar los términos del mismo modo que hicimos antes. Sin embargo, esta vez vemos que 𝑎 𝑘 más dos es mayor que 𝑎 𝑘 más tres. 𝑎 𝑘 más dos menos 𝑎 𝑘 más tres es mayor que cero. De hecho, esto es cierto para todos estos pares. Estamos restando un número positivo más pequeño de un número positivo más grande. Y vemos que el término principal de esta serie, menos 𝑎 𝑘 más uno, es negativo. En otras palabras, comenzamos con un número negativo y luego sumamos términos positivos. Esto hace que nuestro número sea mayor, por lo que podemos decir que es mayor o igual que menos 𝑎 𝑘 más uno.
Y ahora podemos ver que tenemos cotas muy similares en el caso donde 𝑘 es par y el caso donde 𝑘 es impar. Cuando 𝑘 es par, hemos demostrado que 𝑅 𝑘 es menor o igual que 𝑎 𝑘 más uno. Y cuando 𝑘 es impar, hemos demostrado que 𝑅 𝑘 es mayor o igual que menos 𝑎 𝑘 más uno. Para combinarlos en una sola cota, primero queremos demostrar que 𝑅 𝑘 es positivo cuando 𝑘 es par. Para hacer esto, volvamos a nuestro desarrollo de la serie cuando 𝑘 era par, excepto que esta vez vamos a emparejar nuestros términos de esta manera.
Y vemos que evaluar los términos dentro de los paréntesis siempre deja un número positivo. Así que, cuando 𝑘 es par, 𝑅 𝑘 es una suma de números positivos, por lo que es positivo. Como 𝑎 𝑘 más uno también es positivo, podemos tomar el valor absoluto de ambos lados de esta desigualdad. Y esto nos da que el valor absoluto de 𝑅 𝑘 es menor o igual que el primer término descartado 𝑎 𝑘 más uno.
Podemos hacer lo mismo cuando 𝑘 es impar. Necesitamos demostrar que 𝑅 𝑘 es negativo. Cuando 𝑘 es impar, escribimos nuestra serie término a término. Sin embargo, esta vez emparejamos nuestros términos de esta manera. Y si evaluamos las expresiones dentro de nuestros paréntesis, vemos que siempre obtenemos un valor negativo. Así que cuando 𝑘 es impar, 𝑅 𝑘 es negativo. Es una suma de términos negativos.
Nuevamente queremos tomar el valor absoluto de ambos lados de esta desigualdad. Sin embargo, debemos tener cuidado. Menos 𝑎 𝑘 más uno es negativo y 𝑅 𝑘 es negativo. Cuando tomamos el valor absoluto, necesitamos cambiar la dirección de la desigualdad. Y podemos simplificar el valor absoluto de menos 𝑎 𝑘 más uno. Es simplemente 𝑎 𝑘 más uno. En ambos casos, podemos acotar el error de nuestra aproximación por el valor absoluto del primer término descartado. Veamos cómo podemos usar esto para aproximar una serie alternada.
Halla la cota de error máximo al aproximar la serie sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de menos uno elevado a 𝑛 por la raíz cuadrada de tres 𝑛 más siete dividido por 𝑛 al cuadrado más uno usando la suma de los primeros 20 términos. Redondea la respuesta a cinco cifras decimales.
En la cuestión nos piden que hallemos el máximo error posible que podemos cometer al aproximar esta serie por la suma de los primeros 20 términos. Nos piden que redondeemos este valor a cinco cifras decimales. En la cuestión nos piden aproximar esta serie sumando los primeros 20 términos. Eso es lo mismo que tomar la vigésima suma parcial. Y la cota del error máximo posible es una cota del valor absoluto de 𝑆 menos nuestra vigésima suma parcial, donde 𝑆 es el valor al que converge nuestra serie.
Para ayudarnos a hallar esta cota, sabemos que si 𝑎 𝑛 es una sucesión positiva y decreciente donde el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑎 𝑛 es igual a cero, entonces, según el criterio de Leibniz de la serie alterna, la serie alterna sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de menos uno a la 𝑛-ésima potencia por 𝑎 𝑛 converge, y llamamos a este valor 𝑆.
Podemos acotar el error entre el valor de 𝑆 y nuestra 𝑛-ésima suma parcial usando que el valor absoluto de 𝑆 menos la 𝑛-ésima suma parcial es menor o igual que 𝑎 𝑛 más uno, el valor absoluto del primer término ignorado. Para la serie que nos dan en la cuestión, hemos de igualar 𝑎 𝑛 a la raíz cuadrada de tres 𝑛 más siete dividido por 𝑛 al cuadrado más uno. Si podemos demostrar que 𝑎 𝑛 es una sucesión positiva y decreciente cuyo límite cuando 𝑛 tiende a ∞ es igual a cero, al hacer 𝑛 igual a 20, habremos demostrado que el valor absoluto de 𝑆 menos la vigésima suma parcial es menor que o igual a 𝑎 21.
Comencemos demostrando que 𝑎 𝑛 es positivo. Sabemos que 𝑛 es mayor o igual que uno. Tres 𝑛 más siete es positivo, y 𝑛 al cuadrado más uno es positivo. Y estamos sacando la raíz cuadrada positiva. Nuestra secuencia 𝑎 𝑛 es positiva para todos los valores de 𝑛 ya que simplemente estamos sacando la raíz cuadrada, que es positiva por definición, de un número positivo.
Para comprobar que la secuencia es decreciente, hacemos 𝑓 de 𝑥 igual a la raíz cuadrada de tres 𝑥 más siete dividido por 𝑥 al cuadrado más uno. La secuencia será decreciente si la pendiente de esta función es negativa. Para ayudarnos a derivar esta función, comenzamos igualando 𝑢 a tres 𝑥 más siete dividido por 𝑥 al cuadrado más uno y luego usando la regla de la cadena. Como 𝑓 es una función de 𝑢 y 𝑢 es una función de 𝑥, según la regla de la cadena tenemos 𝑓 prima de 𝑥 igual a la derivada de la raíz cuadrada de 𝑢 con respecto a 𝑢, la cual podemos evaluar usando la regla de la potencia para la derivación. Esto nos da un medio multiplicado por 𝑢 elevado a menos un medio. Y luego, necesitamos multiplicar esto por d𝑢 sobre d𝑥.
Recuerda, solo necesitamos calcular si la pendiente es negativa o positiva. Como solo nos interesan los valores de 𝑥 donde 𝑥 es mayor o igual a uno, podemos ver que 𝑢 es positivo; es el cociente de dos números positivos. Por lo tanto, un medio es positivo y 𝑢 elevado a menos un medio también es positivo. Es uno dividido por la raíz cuadrada positiva de un número positivo. Para decidir si la pendiente es positiva o negativa, solo necesitamos calcular d𝑢 sobre d𝑥. Para hallar d𝑢 sobre d𝑥, vamos a usar la regla del cociente. Igualamos 𝑣 al numerador, tres 𝑥 más siete, y 𝑤 al denominador, 𝑥 al cuadrado más uno. Obtenemos que 𝑣 prima es tres y 𝑤 prima es dos 𝑥.
La regla del cociente nos dice que d𝑢 sobre d𝑥 es igual a 𝑣 prima 𝑤 menos 𝑣 por 𝑤 prima, todo dividido por 𝑤 al cuadrado. Esto nos da tres por 𝑥 al cuadrado más uno menos tres 𝑥 más siete por dos 𝑥 todo dividido por 𝑥 al cuadrado más uno todo al cuadrado. Podemos evaluar el numerador para obtener tres 𝑥 al cuadrado más tres menos seis 𝑥 al cuadrado más 14𝑥, que podemos simplificar para obtener menos tres 𝑥 al cuadrado menos 14𝑥 más tres, todo dividido por 𝑥 al cuadrado más uno al cuadrado.
Y vemos que, para valores de 𝑥 mayores o iguales que uno, 𝑥 al cuadrado más uno todo al cuadrado es positivo. Sin embargo, menos tres 𝑥 al cuadrado menos 14𝑥 más tres es negativo. Así que, d𝑢 sobre d𝑥 es negativo para estos valores de 𝑥. Esto significa que nuestra pendiente, 𝑓 prima de 𝑥, es un número positivo multiplicado por un número negativo, lo que significa que 𝑓 prima de 𝑥 es negativa. Y si nuestra pendiente es negativa para estos valores de 𝑥, nuestra secuencia debe ser decreciente.
Ahora queremos verificar que el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de 𝑎 𝑛 es igual a cero. Vemos que 𝑎 𝑛 es la raíz cuadrada de una fracción. Dividimos tanto el numerador como el denominador de esta fracción por la potencia más alta de 𝑛 que aparece en la fracción. Eso es 𝑛 al cuadrado. Dividir por 𝑛 al cuadrado nos da el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de la raíz cuadrada de tres sobre 𝑛 más siete sobre 𝑛 al cuadrado, todo dividido por uno más uno sobre 𝑛 al cuadrado.
Podemos ver que cuando 𝑛 tiende a ∞, nuestro numerador de tres sobre 𝑛 más siete sobre 𝑛 al cuadrado se aproxima a cero. Y podemos ver que el término uno sobre 𝑛 al cuadrado en nuestro denominador también se aproxima a cero. Sin embargo, el término uno permanece constante. Por lo tanto, esta fracción se aproxima a cero dividido por uno; tiende, pues, a cero. Y como el límite de una potencia es igual a la potencia del límite, esto significa que este límite es cero.
Hemos demostrado que cuando 𝑛 tiende a ∞, 𝑎 𝑛 tiende a cero. Esto significa que la cota de error máximo al sumar los primeros 20 términos de nuestra serie es simplemente 𝑎 21. Por lo tanto, si aproximamos esta serie sumando los primeros 20 términos, nuestro error sería como máximo 𝑎 21, que es igual a la raíz cuadrada de tres por 21 más siete dividido por 21 al cuadrado más uno. Y si calculamos esto con cinco cifras decimales, obtenemos 0.39796.
Hemos visto cómo usar estas técnicas para hallar el máximo error posible. Veamos cómo podemos usarlas para estimar el valor de una serie hasta cierto nivel de exactitud.
Calcula la suma parcial 𝑆 𝑛 de los primeros 𝑛 términos que garantiza que la sumatoria de los primeros 𝑛 términos de la serie alternada sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de menos uno a la 𝑛 más uno dividido por cinco a la 𝑛 difiere de la suma infinita en 10 a la menos seis como máximo. Da la respuesta con seis cifras decimales.
La cuestión nos pide aproximar esta serie alterna usando una suma parcial. Quiere que usemos una aproximación con el menor número de términos que garantice que la diferencia entre nuestra estimación y la suma infinita es como máximo 10 elevado a menos seis. Una vez que hayamos encontrado este valor de 𝑛, necesitamos calcular la suma parcial a seis lugares decimales. Vemos que la serie que se nos da es una serie geométrica con un término inicial 𝑎 igual a un quinto y una razón de términos sucesivos, 𝑟, igual a menos un quinto. En este caso, podemos simplemente calcular el valor de la suma infinita. Luego, todo lo que necesitamos hacer es sumar más y más términos a nuestras sumas parciales hasta que estemos dentro de 10 a la menos seis de la suma infinita. Y esto funcionaría.
Sin embargo, no sabemos cuántos términos necesitaríamos agregar. Esto, por lo que sabemos, puede necesitar cientos y cientos de términos. En su lugar, vamos a intentar determinar cuántos términos necesitaremos. Para ayudarnos a determinar el valor de 𝑛 que necesitamos, recordemos el siguiente hecho sobre las series alternas. Si 𝑎 𝑛 es una sucesión positiva y decreciente cuyo límite cuando 𝑛 tiende a ∞ es igual a cero, entonces la serie alternada sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de menos uno a la 𝑛 más uno por 𝑎 𝑛, es convergente según el criterio de Leibniz; llamaremos a esto 𝑆. Sabemos que podemos acotar el valor absoluto de 𝑆 menos la 𝑛-ésima suma parcial por el primer término que omitimos. Es menor o igual que 𝑎 𝑛 más uno. Vamos a hacer 𝑎 𝑛 igual a uno dividido por cinco a la 𝑛 -ésima potencia.
Y si igualamos 𝑎 a un quinto y 𝑟 también a un quinto, podemos ver que nuestra sucesión 𝑎 𝑛 también es una sucesión geométrica. De hecho, esto nos proporciona toda la información que necesitamos. Un quinto a la 𝑛 es siempre positivo. Y el valor absoluto de un quinto es menor que uno, por lo que es decreciente. Finalmente, sabemos que el límite cuando 𝑛 tiende a ∞ de uno dividido por cinco a la 𝑛 es igual a cero. Podemos, por lo tanto, usar esto para aproximar la diferencia entre la 𝑛-ésima suma parcial y el valor real de nuestra serie infinita 𝑆. El valor absoluto de 𝑆 menos la 𝑛-ésima suma parcial es menor o igual que uno dividido por cinco a la 𝑛 más uno.
Recuerda, queremos que este error sea como máximo 10 elevado a menos seis. Si elegimos un valor de 𝑛 tal que uno dividido por cinco a la 𝑛 más uno es menor o igual a 10 a la menos seis, entonces, para este valor particular de 𝑛, el valor absoluto de 𝑆 menos la 𝑛-ésima suma parcial es menor o igual que 10 elevado a menos seis. Este valor de 𝑛 es suficiente. Sin embargo, no es necesariamente el valor más bajo de 𝑛. Hallemos el valor suficiente de 𝑛. Queremos que uno dividido por cinco a la 𝑛 más uno sea menor o igual que 10 elevado a menos seis.
Ambos términos son positivos. Tomamos el recíproco de ambos lados de esta ecuación y luego invertimos la desigualdad. Luego tomamos el logaritmo en base cinco de ambos lados de esta desigualdad. Después, restamos uno de ambos lados de la desigualdad. Evaluar esto nos da que 𝑛 es mayor o igual que 7.6, que es lo mismo que decir que 𝑛 es mayor o igual que ocho. Lo que hemos hecho es que hemos demostrado que el valor absoluto de 𝑆 menos la octava suma parcial es menor o igual a uno dividido por cinco a la ocho más uno, que a su vez es menor o igual que 10 elevado a menos seis. En otras palabras, cuando 𝑛 es igual a ocho, nuestra aproximación está desviada como máximo en 10 elevado a menos seis.
Pero recuerda, la cuestión nos pide hallar el menor número de términos que tengan esta propiedad. Sabemos que ocho funciona, pero necesitamos verificar si siete funciona. Para hacer esto, comencemos calculando el valor de 𝑆. Podemos hacer esto ya que estamos calculando la suma infinita de una serie geométrica donde el valor absoluto de la razón de los términos sucesivos es menor que uno. Esta suma infinita es igual a 𝑎 dividido por uno menos 𝑟. 𝑆 es igual a un quinto dividido por uno menos menos un quinto, que podemos calcular para darnos un sexto.
Podemos calcular el valor de 𝑆 siete usando la fórmula para una suma finita de una serie geométrica. Sin embargo, también podemos usar una calculadora, lo que nos da aproximadamente 0.166665. Si luego calculamos la diferencia entre 𝑆 y nuestra séptima suma parcial, vemos que es aproximadamente 1.6 por 10 elevado a menos seis. Y vemos que es mayor que 10 elevado a menos seis. Esto significa que 𝑛 igual a ocho debe ser el menor número de términos que garantiza este nivel de exactitud. Y luego podemos calcular 𝑆 de ocho a seis cifras decimales para obtener 0.166666.
Hemos visto cómo aproximar la suma infinita de una serie alterna hasta cualquier nivel de precisión que queramos usando una suma parcial. E incluso podemos hallar el menor número de términos necesarios para este nivel de precisión. Por lo tanto, lo principal que hemos mostrado en este video es que, si tenemos una secuencia decreciente y positiva 𝑎 𝑛 cuyo límite cuando 𝑛 tiende a ∞ es cero. Según el criterio de Leibniz para series alternadas, la sumatoria desde 𝑛 igual a uno hasta ∞ de menos uno a la 𝑛 más uno por 𝑎 𝑛 es convergente, y usualmente llamamos a este valor 𝑆. Podemos aproximar esta suma infinita usando una suma parcial.
De hecho, el valor absoluto de 𝑆 menos la 𝑛-ésima suma parcial es menor o igual que 𝑎 𝑛 más uno. Lo que esto significa es que, en lugar de calcular la suma infinita, podemos simplemente calcular la suma de un número finito de términos y esto tendrá un error máximo de 𝑎 𝑛 más uno. Y si esto es exacto hasta un error máximo de 𝑎 𝑛 más uno, podemos usarlo para hallar el número mínimo de términos que necesitamos para que nuestra suma parcial sea exacta hasta un determinado nivel de exactitud. Hallamos el número suficiente de términos usando nuestra cota y desde ahí hallamos el término en el que ya no estamos dentro del nivel requerido de precisión.
