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Vídeo de la lección: Introducción a la suma y resta de fracciones algebraicas

En este vídeo vamos a repasar cómo sumar y restar fracciones numéricas, y luego vamos a extender esto a fracciones que tienen expresiones lineales sencillas en el numerador o en el denominador.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo sumar y restar expresiones racionales. Estas expresiones —que también se conocen como fracciones algebraicas— son fracciones con polinomios en el numerador o en el denominador, o en ambos. Hemos puesto «introducción» en el título de este vídeo porque vamos a ver solo ejemplos sencillos que usaremos para introducir los conceptos y métodos básicos de este tema.

Pero antes de comenzar con las fracciones algebraicas conviene que recordemos cómo sumar fracciones numéricas que tienen denominadores distintos. Y prestaremos mucha atención al procedimiento que vamos a seguir cuando hacemos esto, así como a la manera en que presentamos los cálculos según los vamos haciendo. Bien, aquí tenemos denominadores distintos: un sexto es más pequeño que un medio, así que tenemos una porción de algo más una porción bastante más grande de lo mismo. La forma más ilustrativa de resolver este ejercicio es hallar un denominador común. Por lo tanto, lo que estamos buscando son fracciones equivalentes a un sexto y a un medio, pero con el mismo denominador. La forma más rápida que hay de conseguir esto es tomar este denominador de aquí y multiplicar la parte de arriba y de abajo de la otra fracción por este denominador. Así que tomamos un sexto y lo multiplicamos por, bueno, dos dividido por dos, que es uno. Y cuando multiplicamos un número por uno, este número no cambia. Así que esta parte de aquí sigue siendo un sexto; o sea, es un sexto pero escrito de otra forma. Tomamos también el denominador de la primera fracción, seis, y multiplicamos la parte de arriba y la de abajo de la otra fracción por ese valor. De nuevo, un medio por seis partido entre seis es un medio por uno, que es un medio. Ahora bien, si estás pensando en que hay una forma más rápida y fácil de hacer esto, no te preocupes. En un momento hablaremos de eso. Sigamos con el ejemplo. Tenemos dos por uno partido entre doce más uno por seis partido entre doce. Y podemos combinar estas dos fracciones en una fracción más grande, y dos por uno es dos y uno por seis es seis. Así que tenemos dos más seis partido entre doce, que es ocho doceavos. Ahora dividimos la parte de arriba y la de abajo por cuatro. Ocho entre cuatro es dos. Doce entre cuatro es tres. Por lo tanto, la respuesta final es dos tercios.

Vamos a recapitular lo que hemos hecho aquí. Primero, hallamos un denominador común para esas fracciones. Y el procedimiento que seguimos para hacerlo fue tomar este denominador de aquí y multiplicarlo por el numerador y el denominador de la otra fracción. Tomamos este denominador de aquí y lo multiplicamos por la parte de arriba y de abajo de la otra fracción. Seguidamente, las combinamos en una fracción. Por último, sumamos los numeradores. Y pudimos simplificar la fracción dividiendo por cuatro, obteniendo así una fracción irreducible. Este es básicamente el método que usamos. Incluso si tenemos polinomios, es decir, fracciones algebraicas. Ahora, como hemos dicho, vamos a calcular esta parte de aquí de nuevo pero tomando un camino algo distinto esta vez. Como ves, fue muy sencillo operar con estos números de aquí. No nos supuso un gran problema, pero hay otra forma un poco distinta de hacerlo, que nos ayudará cuando tengamos que lidiar con fracciones algebraicas más complicadas. Una cosa que podríamos haber hecho al inicio es expresar el primer denominador como un producto de factores. Así, seis es igual a tres por dos. Cuando buscamos un denominador común, vemos que este denominador es múltiplo de dos y que este denominador es también múltiplo de dos. Así que lo que tenemos que hacer es tomar este tres de aquí, y multiplicar la parte de arriba y la de abajo de la otra fracción por tres. De esta forma, tenemos que tres tercios es igual a uno, de nuevo. Así que se aplica el mismo principio de antes.

Como ves, lo que hemos hecho en ese primer paso es reducir considerablemente el número de pasos pues no hemos tenido que cambiar el primer término. Lo único que estamos haciendo es añadir el factor que falta del denominador común, y crear otra versión del segundo término, para así obtener el mismo denominador. Así que uno por tres es tres, por lo que tenemos uno partido entre tres por dos más tres partido entre tres por dos o dos por tres. Y las podemos combinar en una sola fracción, pues ambas tienen el mismo denominador, y obtenemos cuatro partido entre tres por dos. Y podemos dividir el numerador entre dos, pues cuatro entre dos es dos. También podemos dividir el denominador por dos, que se simplifica a tres. Como ves, hemos llegado a la misma solución que antes: dos tercios. Pero hemos tratado con números más pequeños durante todo el proceso. Aun así, los números eran fáciles, no supusieron ningún problema. Pero en ejercicios de niveles superiores esto podría ayudarnos enormemente. Así que estas son las técnicas básicas que necesitamos. Veamos ahora algunas cuestiones de fracciones algebraicas.

En el primer ejercicio se nos pide que simplifiquemos 𝑥 partido por tres más 𝑥 partido por cinco. Pero tres es un número primo y cinco es un número primo, por lo que no vamos a poder descomponer en factores ninguno de los denominadores. Así que seguimos adelante y escribimos esto. Para obtener un denominador común, multiplicamos ambas fracciones por uno. Pero la versión de uno por la que vamos a multiplicar la primera fracción es cinco quintos, porque ese es el denominador de la otra fracción. Y la versión por la que vamos a multiplicar la segunda fracción es tres tercios. Por lo tanto, si combinamos esto en una sola fracción, pues tenemos un denominador común aquí que es cinco por tres, obtenemos cinco por 𝑥, que es cinco 𝑥, más 𝑥 por tres, que es tres 𝑥. Así que estamos sumando esto, todo partido por cinco multiplicado por tres en el denominador, que es quince. Y cinco 𝑥 más tres 𝑥 es ocho 𝑥. Ocho y quince no tienen ningún factor en común. Así que la respuesta final aquí es ocho 𝑥 partido por quince. Como has podido ver, hemos hecho lo mismo que hicimos cuando operamos con fracciones. Pero en este caso, tenemos algunas letras en el problema, lo que hace que se complique un poco.

Bien, subamos un poco el nivel. Este ejercicio va a ser un poco más difícil que el último, pero no te preocupes, pues no será demasiado complicado.

Simplifica dos 𝑥 partido por cinco más tres 𝑥 partido por cuatro. Vemos, de nuevo, que los denominadores no comparten ningún factor además de uno, por lo que vamos a tener que multiplicar ambas fracciones por alguna versión de uno para obtener fracciones equivalentes. Multiplicamos la segunda fracción por cinco quintos y la primera fracción por cuatro cuartos. Ahora tenemos el mismo denominador de cuatro por cinco en ambas fracciones. Y como tenemos esos denominadores comunes, podemos combinar las dos fracciones en una. Tenemos, pues, cuatro veces dos 𝑥 más cinco veces tres 𝑥, todo partido entre cuatro por cinco, así que tenemos que hacer algunos cálculos. Cuatro por dos 𝑥 es ocho 𝑥, cinco por tres 𝑥 es quince 𝑥, por lo que escribimos quince 𝑥, y cuatro por cinco en la parte de abajo es veinte. Ocho 𝑥 más quince 𝑥 es veintitrés 𝑥. No podemos simplificar más, así que esta es nuestra respuesta final.

Ahora, para resolver esta cuestión vamos a ir por dos caminos distintos. En el primero vamos a aplicar el método que hemos visto hasta ahora, y luego vamos a dar marcha atrás para ver si hallamos alguna forma más rápida y fácil de resolver el problema.

Nos piden simplificar uno partido por tres 𝑥 más dos partido por ocho 𝑥. Para hacerlo, tomamos el primer denominador y lo multiplicamos por la parte de arriba y de abajo de la otra fracción. Hacemos lo mismo con el segundo denominador, lo multiplicamos por la parte superior e inferior de la primera fracción. Al combinarlas en una sola fracción, obtenemos uno por ocho 𝑥 más dos por tres 𝑥 en el numerador y un denominador común de ocho 𝑥 por tres 𝑥. Esto nos da ocho 𝑥 más seis 𝑥 en el numerador, y tres por ocho es veinticuatro. Y 𝑥 por 𝑥 es 𝑥 al cuadrado. Ocho 𝑥 más seis 𝑥 es catorce 𝑥. Así que tenemos catorce 𝑥 partido por veinticuatro 𝑥 al cuadrado, y ahora podemos cancelar. Catorce y veinticuatro son ambos divisibles por dos. Catorce entre dos es siete, veinticuatro entre dos es doce. 𝑥 puede dividirse por 𝑥 para darnos uno, y 𝑥 al cuadrado puede dividirse por 𝑥 para obtener una sola 𝑥. De esta forma, en el numerador tenemos siete por uno, que es siete. Y en el denominador tenemos doce por 𝑥, que es doce 𝑥. Así que esta es la respuesta final.

Bien, volvamos al principio. Podemos ver que en el enunciado, en este segundo término, dos partido por ocho 𝑥, podríamos haber dividido el numerador por dos y el denominador también por dos para tener cuatro. Así que tenemos uno partido por tres 𝑥 más uno partido por cuatro 𝑥. Ahora, si nos fijamos en los denominadores, vemos que este tiene un factor de 𝑥 y que este también tiene un factor de 𝑥. De este modo, los términos por los que tenemos que multiplicar cada una de estas fracciones no son cuatro 𝑥 y tres 𝑥, sino que solo tenemos que multiplicar por el factor que falta en el denominador común. Entonces, para la segunda fracción de aquí. Vamos a multiplicar por tres el numerador y el denominador. Y para la primera fracción vamos a multiplicar por cuatro el numerador y el denominador. Así, este primer término de aquí es cuatro por uno, y el segundo término de aquí es uno por tres. Y cuando los combinamos en una sola fracción, el denominador es cuatro por tres por 𝑥. Operamos, y obtenemos que cuatro por uno es cuatro, que uno por tres es tres, y que cuatro por tres 𝑥 es doce 𝑥. Cuatro más tres es siete. Así que siete partido por doce 𝑥 es nuestra respuesta final, pues no puede simplificarse más. Por lo tanto, nos hemos fijado con más atención en el enunciado y hemos sido más cuidadosos a la hora de obtener el denominador común, y podemos ver que este segundo camino ha sido mucho más fácil que el primero.

Muy bien, continuemos.

Simplifica cuatro partido por 𝑥 más tres más dos partido por 𝑥 menos dos. Este problema parece un poco más difícil, pero no te preocupes porque el procedimiento que vamos a seguir es exactamente el mismo que el que hemos usado hasta ahora. Pero conviene que esta vez pongamos paréntesis alrededor de los denominadores, porque eso nos facilitará enormemente las cosas y nos aseguraremos de que no cometemos ningún error. Tomamos el primer denominador y lo multiplicamos por la parte superior e inferior de la otra fracción. Tomamos el segundo denominador y lo multiplicamos por la parte superior e inferior de la primera fracción. Así que este paso sigue siendo válido, 𝑥 menos dos dividido por 𝑥 menos dos es uno. Todavía tenemos uno multiplicado por la primera fracción, por lo que sigue siendo la primera fracción. Y 𝑥 más tres dividido por 𝑥 más tres sigue siendo uno. Así que tenemos uno multiplicado por la segunda fracción. Por lo que seguimos teniendo dos partido por 𝑥 menos dos. Bien, vamos a multiplicarlos. Y ahora los combinamos en una fracción aquí. Tenemos cuatro por 𝑥 menos dos más dos por 𝑥 más tres todo partido por el denominador común de 𝑥 menos dos por 𝑥 más tres. Así que ahora hacemos cuatro por 𝑥 y cuatro por menos dos, y añadimos dos por 𝑥 y dos por más tres. Cuatro por 𝑥 es cuatro 𝑥 y cuatro por menos dos es menos ocho. Dos por 𝑥 es más dos 𝑥 y dos por tres es más seis. Pero no vamos a multiplicar el denominador aún, pues no hemos terminado con el numerador. ¿Quién sabe? Tal vez podamos descomponer en factores y simplificar. Si desarrollamos el denominador no podremos darnos cuenta de eso.

Cuatro 𝑥 más dos 𝑥 es seis 𝑥 y menos ocho más seis es menos dos. Así que tenemos seis 𝑥 menos dos partido entre 𝑥 menos dos por 𝑥 más tres. Pero si nos fijamos en el numerador, vemos que se puede descomponer en factores. Seis y dos tienen un factor común de dos. Entonces, ¿por qué número tenemos que multiplicar dos para obtener seis 𝑥? Es tres 𝑥. ¿Y por qué número tenemos que multiplicar dos para obtener menos dos? Pues menos uno. Así que ya lo tenemos. Ahora bien, lo que tenemos dentro del paréntesis no es lo mismo que lo que tenemos en ninguno de los paréntesis del denominador. Así que no podemos cancelar, pero tenemos la respuesta en una buena forma factorizada. Si hubiéramos multiplicado el denominador y no hubiéramos descompuesto el numerador en factores, esa es la solución que habríamos obtenido y seguiría siendo una respuesta perfectamente correcta. Pero lo normal es dejarla en este formato factorizado en lugar de este formato desarrollado.

El siguiente ejemplo es un problema de resta.

Simplifica dos partido por tres 𝑥 menos uno partido por cinco 𝑥. Vamos a enfocar esto de la misma manera que lo hicimos antes. Pero en lugar de sumar las dos fracciones, vamos a restar la segunda de la primera. Podemos ver que ambas tienen una 𝑥 en común en los denominadores. Así que los factores que faltan es lo que vamos a usar para hallar fracciones equivalentes, como el tres. Así que vamos a multiplicar la parte superior e inferior de la segunda fracción por tres, y el cinco, y vamos a multiplicar la parte superior e inferior de la primera fracción por cinco. Por lo que, cuando combinamos eso en una fracción, obtenemos cinco por dos menos uno por tres, todo partido entre cinco por tres por 𝑥. Y obtenemos diez menos tres todo partido por quince 𝑥, que es siete partido por quince 𝑥. Y no podemos simplificar más, por lo que esta es la respuesta final. Como ves, la resta es como la suma, la única diferencia es que tenemos que quitar cosas en lugar de añadirlas.

Veamos un último ejemplo.

Tenemos que simplificar tres partido por tres menos 𝑥 menos seis partido por seis menos 𝑥, así que vamos a hacer lo que hicimos anteriormente. Y eso es poner paréntesis en los denominadores y hallar fracciones equivalentes para obtener un denominador común. Así que vamos a tomar este tres menos 𝑥 y multiplicarlo por el numerador y el denominador de la segunda fracción. Tomamos el seis menos 𝑥 y lo multiplicamos por el numerador y el denominador de la primera fracción. Así que tenemos tres por seis menos 𝑥 como numerador de la primera fracción y seis por tres menos 𝑥 en el segundo numerador. Vamos a juntar estos términos para hacer una sola fracción. Esto es lo que tenemos. ¡Ojo!, tenemos que ser muy, muy cuidadosos cuando multiplicamos estos paréntesis, porque el signo menos del segundo término en el numerador afecta a todos los términos en el paréntesis. Veamos cómo funciona. Tenemos tres por seis y tres por menos 𝑥. Tres por seis es dieciocho y tres por menos 𝑥 es menos tres 𝑥, pero estamos restando seis veces tres. Y estamos restando seis por menos 𝑥, así que seis por menos 𝑥 es menos seis 𝑥. Si restamos menos seis 𝑥, eso significa que estamos sumando seis 𝑥. Ahora, si nos fijamos en el numerador, vemos que tenemos dieciocho menos dieciocho, que es cero. Y tenemos menos tres 𝑥 más seis 𝑥, que es más tres 𝑥. Ninguno de estos términos se cancelan, así que la respuesta final es tres 𝑥 partido entre seis menos 𝑥 por tres menos 𝑥.

Por lo tanto, a lo que teníamos que prestar atención era este paso de aquí. Cuando estábamos restando cosas. Recuerda que teníamos que restar toda esta expresión de aquí, lo que significaba que debíamos prestar atención a los signos que obteníamos aquí. Este es el paso en el que la mayoría de la gente se equivoca al resolver este tipo de problemas. Así que mucho ojo con esto.

Recapitulemos de nuevo todo el proceso. Porque ya sea que estemos sumando o restando fracciones numéricas o expresiones racionales, el procedimiento es exactamente el mismo. En primer lugar, tuvimos que hallar un denominador común, lo que significaba encontrar fracciones equivalentes para cada una de ellas, usando para ello denominadores para multiplicar las otras fracciones. Este denominador de aquí se utiliza para multiplicar esta otra fracción. A veces tuvimos que multiplicar por todo el denominador, a veces nos bastó simplemente con multiplicar por uno de sus factores. Y esta es la forma de obtener denominadores comunes. Una vez que tenemos los denominadores comunes, hemos de combinar esas dos fracciones en una sola fracción, una gran raya de fracción aquí, todo partido por el denominador común. Y por último, calculamos ese numerador, y a veces obtenemos algo que puede descomponerse en factores. Pero a veces no se puede. A veces se cancelará con algo en el denominador aquí abajo, pero tenemos que seguir todos esos procesos y tratar de simplificar la expresión lo máximo posible cuando llegamos al final. Estos tres pasos, uno, dos, tres son siempre los mismos para este tipo de cuestiones.

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