Vídeo: Derivación de funciones trigonométricas recíprocas

En este video, vamos a aprender cómo hallar las derivadas de funciones trigonométricas, enfocándonos en las derivadas de las funciones cotangente, secante y cosecante.

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Transcripción del vídeo

En esta lección, vamos a aprender cómo hallar la derivada de funciones trigonométricas, centrándonos en las funciones cotangente, secante y cosecante. Vamos a comenzar por recordar las reglas que necesitamos para hallar estas derivadas antes de completar la derivación y, seguidamente, vamos a considerar cómo pueden ayudarnos estos resultados estándar a hallar las derivadas de funciones más complejas.

Comencemos recapitulando la derivada de las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente. La derivada de sen 𝑎𝑥 es 𝑎 cos de 𝑎𝑥. La derivada de cos 𝑎𝑥 es menos 𝑎 sen 𝑎𝑥. Y la derivada de tan 𝑎𝑥 es 𝑎 sec al cuadrado 𝑎𝑥. También necesitaremos usar la regla del producto. La cual nos dice que si tenemos dos funciones derivables, 𝑢 y 𝑣, la derivada de su producto, 𝑢 por 𝑣, es 𝑢 por d𝑣 sobre d𝑥 más 𝑣 por d𝑢 sobre d𝑥. También vamos a usar la regla del cociente. Y la derivada del cociente de dos funciones derivables, 𝑢 y 𝑣, viene dada por 𝑣 por d𝑢 por d𝑥 menos 𝑢 por d𝑣 por d𝑥 todo sobre 𝑣 al cuadrado. Vamos a referirnos a cada uno de estos resultados a lo largo de este video. Veamos el primer ejemplo.

Siendo 𝑦 igual a menos dos sec de dos 𝑥, determina la razón de cambio de 𝑦 cuando 𝑥 es igual a 11𝜋 sobre seis.

Recordemos que cuando nos referimos a la razón de cambio de algo, estamos en realidad interesados en la derivada. Por lo tanto, vamos a hallar la derivada de 𝑦 con respecto a 𝑥 y a evaluarla en el punto en donde 𝑥 es igual a 11𝜋 por seis. ¿Cómo derivamos esta función? Bien, vamos a comenzar usando la definición de la función secante. Sabemos que sec 𝑥 es igual a uno sobre cos 𝑥. Podemos escribir 𝑦 como siendo igual a menos dos sobre cos de dos 𝑥. Y después, hay un par de cosas que podríamos hacer. Podríamos reescribir esto como menos dos por cos dos 𝑥 a la menos uno y aplicar la regla de la cadena. O, mejor, ya que está escrito como una fracción, podemos aplicar la regla del cociente. Recordemos que esta dice que si 𝑢 y 𝑣 son funciones derivables, la derivada de ese cociente es 𝑣 por d𝑢 sobre d𝑥 menos 𝑢 por d𝑣 sobre d𝑥, todo esto sobre 𝑣 al cuadrado. El numerador de nuestra fracción es menos dos. Hacemos 𝑢 igual a menos dos. Y por consiguiente 𝑣 es igual a cos de dos 𝑥.

Para usar la regla del cociente, vamos a necesitar hallar la derivada de cada una de estas funciones. La derivada de una constante es cero. Por lo tanto, d𝑢 por d𝑥 es igual a cero. Y después hacemos uso del resultado estándar para la derivada de cos de 𝑎𝑥. Y vemos que d𝑣 sobre d𝑥 es igual a menos dos por sen dos 𝑥. Podemos sustituir todo lo que conocemos en la fórmula de la regla del cociente. Y vemos que d𝑦 sobre d𝑥 es igual a cos de dos 𝑥 por cero menos menos dos por menos dos sen de dos 𝑥 todo sobre cos dos 𝑥 al cuadrado. Esto se simplifica a menos cuatro sen de dos 𝑥 sobre cos al cuadrado dos 𝑥. Ahora, podemos separar esto y escribirlo como menos cuatro sen dos 𝑥 sobre cos dos 𝑥 por uno sobre cos dos 𝑥. Y recordamos la identidad sen 𝑥 sobre cos 𝑥 igual a tan 𝑥. Así, hemos hallado el resultado general de la derivada de la función secante.

Sin embargo, recordemos que queremos hallar la razón de cambio de 𝑦 cuando 𝑥 es igual a 11𝜋 partido por seis. Así que vamos a sustituir 𝑥 igual a 11𝜋 partido por seis en nuestra expresión para la derivada. Y en realidad es mejor dejarlo aquí en términos de seno y coseno. Sustituimos 𝑥 igual a 11𝜋 sobre seis. Y obtenemos menos cuatro sen de dos por 11𝜋 sobre seis sobre cos al cuadrado de dos por 11𝜋 sobre seis, que es ocho raíz de tres. La razón de cambio de 𝑦 cuando 𝑥 es igual a 11𝜋 sobre seis es ocho raíz de tres.

Y este ejemplo ha demostrado un resultado general. Hallamos que la derivada de sec 𝑎𝑥 es igual a 𝑎 sec de 𝑎𝑥 por tan de 𝑎𝑥. Ahora, vamos a realizar un proceso similar para ayudarnos a hallar la derivada de la función cotangente.

Determina d𝑦 sobre d𝑥 sabiendo que 𝑦 es igual a menos tres cos de cuatro 𝑥 más tres cot de cuatro 𝑥.

Para hallar la derivada de 𝑦 con respecto a 𝑥, podemos derivar por separado menos tres cos de cuatro 𝑥 y tres cot de cuatro 𝑥. Sabemos que la derivada de cos de 𝑎𝑥 es menos 𝑎 sen de 𝑎𝑥. Vemos que la derivada de menos tres cos de cuatro 𝑥 es menos tres por menos cuatro sen de cuatro 𝑥, que es 12 sen cuatro 𝑥. Pero ¿qué sucede con la derivada de tres cot de cuatro 𝑥? Bien, cot de 𝑥 es lo mismo que uno sobre tan 𝑥. Y tan 𝑥 es igual a sen 𝑥 sobre cos de 𝑥. Por lo tanto, podemos decir que cot de cuatro 𝑥 es lo mismo que uno sobre tan de cuatro 𝑥 o uno sobre sen de cuatro 𝑥 sobre cos de cuatro 𝑥. Y hallamos que tres cot de cuatro 𝑥 es por lo tanto tres sobre sen de cuatro 𝑥 sobre cos de cuatro 𝑥, lo cual puede ser escrito como tres cos de cuatro 𝑥 sobre sen de cuatro 𝑥.

Necesitamos derivar tres cos de cuatro 𝑥 sobre sen de cuatro 𝑥 con respecto a 𝑥. Y vamos a usar la regla del cociente para derivar esto. Igualamos 𝑢 a tres cos de cuatro 𝑥. Y 𝑣 es igual a sen de cuatro 𝑥. Sabemos que la derivada de cos de cuatro 𝑥 es menos cuatro sen de cuatro 𝑥. Así que d𝑢 sobre d𝑥 es menos 12 sen de cuatro 𝑥. También podemos usar el resultado general para la derivada de la función seno. Y hacemos d𝑣 sobre d𝑥 igual a cuatro cos de cuatro 𝑥. Podemos sustituir todo lo que sabemos sobre nuestra función en la derivada. Lo que nos deja con sen de cuatro 𝑥 por menos 12 sen de cuatro 𝑥 menos tres cos de cuatro 𝑥 por cuatro cos de cuatro 𝑥 sobre sen al cuadrado cuatro 𝑥. Esto se simplifica a menos 12 sen al cuadrado de cuatro 𝑥 menos 12 cos al cuadrado de cuatro 𝑥 sobre sen al cuadrado cuatro 𝑥.

Pero si factorizamos menos 12, vemos que el numerador de esta fracción es lo mismo que menos 12 por sen al cuadrado cuatro 𝑥 más cos al cuadrado cuatro 𝑥. Y podemos, por tanto, usar la identidad cos al cuadrado 𝑥 más sen al cuadrado 𝑥 igual uno para hallar que la derivada de tres cot de cuatro 𝑥 es menos 12 sobre sen al cuadrado de cuatro 𝑥. Hay una identidad más que podemos usar. Sabemos que uno sobre sen 𝑥 es igual a cosec de 𝑥. Así que podemos escribir menos 12 sobre sen al cuadrado de cuatro 𝑥 como menos 12 cosec al cuadrado de cuatro 𝑥, d𝑦 sobre d𝑥 es la suma de estos dos resultados. Así que es igual a 12 sen de cuatro 𝑥 menos 12 cosec al cuadrado de cuatro 𝑥.

En este ejemplo hemos demostrado un resultado que puede ser generalizado. Hemos visto que la derivada de tres cot de cuatro 𝑥 es menos 12 cosec al cuadrado de cuatro 𝑥. Del mismo modo, podemos generalizar el resultado para la derivada de cot 𝑎𝑥. Es menos 𝑎 cosec al cuadrado de 𝑎𝑥. En nuestro siguiente ejemplo, vamos a analizar cómo se halla la derivada de la función cosecante, antes de considerar cómo hallar la derivada de funciones más complicadas, usando nuestros resultados generalizados.

Sabiendo que 𝑦 es igual a menos 13 cosec de 𝜋 más cinco 𝑥, halla d𝑦 sobre d𝑥.

Para hallar la derivada de la función cosecante, vamos a comenzar recordando su definición. Sabemos que cosec de 𝑥 es igual a uno sobre sen de 𝑥. Esto significa que hay varias formas de hallar la derivada de nuestra 𝑦. Podemos usar las identidades trigonométricas de la suma. Podemos derivar cosec de cinco 𝑥 y después considerar la transformación que transforma cosec de cinco 𝑥 en menos 13 cosec de 𝜋 más cinco 𝑥. O alternativamente, podemos usar la regla de la cadena. La cual dice que si 𝑦 es una función en 𝑢 y 𝑢 es una función en 𝑥, entonces la derivada de 𝑦 con respecto a 𝑥 es igual a d𝑦 sobre d𝑢 por d𝑢 sobre d𝑥. Igualemos, pues, 𝑦 a menos 13 sobre sen 𝑢, en donde 𝑢 es igual a 𝜋 más cinco 𝑥. d𝑢 por d𝑥 es cinco. Pero vamos a necesitar usar la regla del cociente para hallar d𝑦 por d𝑢.

Estamos derivando 𝑦 con respecto a 𝑢. Así que vamos a redefinir la regla del cociente usando funciones 𝑝 y 𝑞 de la variable 𝑢. Y vemos que la derivada de 𝑝 sobre 𝑞 con respecto a 𝑢 es igual a 𝑞 por d𝑝 sobre d𝑢 menos 𝑝 por d𝑞 sobre d𝑢 sobre 𝑞 al cuadrado. Y esto significa, en nuestro caso, que debemos hacer 𝑝 igual a menos 13 y 𝑞 igual a sen 𝑢. La derivada de 𝑝 con respecto a 𝑢 es cero. Y sabemos que la derivada de sen 𝑢 con respecto a 𝑢 es cos 𝑢. Así que la derivada de 𝑦 con respecto a 𝑢 es sen 𝑢 por cero menos menos 13 por cos 𝑢 sobre sen al cuadrado 𝑢, lo que se simplifica a 13 cos 𝑢 sobre sen al cuadrado 𝑢. Vamos a escribir esto como 13 cos 𝑢 sobre sen 𝑢 por uno sobre sen 𝑢. Lo que quiere decir que d𝑦 por d𝑢 también puede ser escrito como 13 cot 𝑢 cosec 𝑢.

Sustituyamos todo lo que tenemos en la fórmula de la regla de la cadena. Esto es 13 cot 𝑢 cosec 𝑢 por cinco o 65 cot 𝑢 cosec 𝑢. Ahora reemplazamos 𝑢 por 𝜋 más cinco 𝑥. Y obtenemos d𝑦 sobre d𝑥 es igual a 65 cot de 𝜋 más cinco 𝑥 por cosec de 𝜋 más cinco 𝑥.

Los ejemplos que hemos visto hasta ahora nos dan los siguientes resultados para las derivadas de las funciones trigonométricas recíprocas cotangente, secante y cosecante. Es útil tenerlos en mente. Pero también debemos estar atentos y listos para aplicar la derivación donde sea necesario. Veamos cómo estos resultados pueden ayudarnos a hallar la derivada de otras funciones más complicadas.

Sabiendo que 𝑦 es igual a 𝑥 más tres por nueve 𝑥 más cosec 𝑥, halla d𝑦 sobre d𝑥.

Aquí tenemos una expresión la cual es el producto de dos funciones. Por lo tanto, vamos a usar la regla del producto para calcular d𝑦 sobre d𝑥. Esta regla nos dice que la derivada del producto de dos funciones derivables 𝑢 y 𝑣 es 𝑢 veces d𝑣 sobre d𝑥 más 𝑣 veces d𝑢 sobre d𝑥. Y por eso igualamos 𝑢 a 𝑥 más tres y 𝑣 a nueve 𝑥 más cosec 𝑥. La derivada de 𝑥 más tres es uno. Pero, ¿qué sucede con d𝑣 sobre d𝑥? Bien, sabemos que la derivada de nueve 𝑥 es nueve. Y la derivada de cosec 𝑥 es menos cosec 𝑥 cot 𝑥. Entonces d𝑣 sobre d𝑥 es igual a nueve menos cosec 𝑥 cot 𝑥. Sustituyamos lo que tenemos en la fórmula de la regla del producto. Vemos que d𝑦 sobre d𝑥 es igual a 𝑥 más tres por nueve menos cosec 𝑥 cot 𝑥 más nueve 𝑥 más cosec 𝑥 por uno. Desarrollamos nuestros paréntesis y luego recopilamos los términos similares. Obteniendo que d𝑦 por d𝑥 es 18𝑥 menos 𝑥 más tres por cosec 𝑥 cot 𝑥 más cosec 𝑥 más 27.

Siendo 𝑦 igual a menos nueve tan ocho 𝑥 sec ocho 𝑥, halla d𝑦 por d𝑥.

Aquí tenemos una función, la cual es el producto de dos funciones derivables. Así que vamos a usar la regla del producto. Esta regla nos dice que la derivada del producto de dos funciones derivables 𝑢 y 𝑣 es 𝑢 por d𝑣 sobre d𝑥 más 𝑣 por d𝑢 sobre d𝑥. Igualamos 𝑢 a menos nueve tan ocho 𝑥 y 𝑣 a sec ocho 𝑥. Ahora recordamos que el resultado general de la derivada de tan 𝑎𝑥 es 𝑎 sec al cuadrado 𝑎𝑥. Y esto significa que la derivada de menos nueve tan ocho 𝑥 es menos nueve por ocho sec al cuadrado ocho 𝑥, que es menos 72 sec al cuadrado ocho 𝑥.

También podemos utilizar el resultado general para la derivada de sec 𝑎𝑥. Que es 𝑎 sec 𝑎𝑥 por tan 𝑎𝑥, lo que significa que d𝑣 sobre d𝑥 es ocho sec ocho 𝑥 por tan ocho 𝑥. Podemos reemplazar toda la información que tenemos en la fórmula de la regla del producto. Es 𝑢 por d𝑣 sobre d𝑥 más 𝑣 por d𝑢 sobre d𝑥, que es menos 72 tan al cuadrado ocho 𝑥 sec ocho 𝑥 menos 72 sec al cubo ocho 𝑥.

Vamos a considerar una demostración más del uso de los resultados de las derivadas de funciones trigonométricas recíprocas.

Sabiendo que 𝑦 es igual a siete cot cinco 𝑥 más tres cosec seis 𝑥 elevado a menos uno, halla d𝑦 por d𝑥.

En este ejemplo, tenemos una función recíproca. Podemos escribir esto como una fracción y aplicar la regla del cociente. Alternativamente, podemos usar la regla de la cadena. Veamos cómo podemos usar la regla de la cadena. Esta regla nos dice que si 𝑦 es una función en 𝑢 y 𝑢 es una función en 𝑥, la derivada de 𝑦 con respecto a 𝑥 es d𝑦 sobre d𝑢 por d𝑢 sobre d𝑥. Igualaremos 𝑢 a siete cot de cinco 𝑥 más tres cosec seis 𝑥. Esto significa que 𝑦 es igual a 𝑢 a la menos uno. La derivada de 𝑦 con respecto a 𝑢 es bastante sencilla. Es menos uno por 𝑢 a la menos dos. Luego usamos la derivada para cot 𝑎𝑥 como menos 𝑎 cosec al cuadrado 𝑎𝑥 y la derivada de cosec 𝑎𝑥 como menos 𝑎 cosec 𝑎𝑥 cot 𝑎𝑥. Obteniendo que d𝑢 por d𝑥 es igual a menos 35 cosec al cuadrado cinco 𝑥 menos 18 cosec seis 𝑥 cot seis 𝑥.

La derivada de 𝑦 con respecto a 𝑥 es el producto de estas dos. Y recordamos que podemos escribir menos 𝑢 a la menos dos como uno sobre menos 𝑢 al cuadrado. Después lo dividimos por menos uno y sustituimos 𝑢 con siete cot cinco 𝑥 más tres cosec seis 𝑥. Y hemos obtenido d𝑦 sobre d𝑥 igual a 35 cosec al cuadrado cinco 𝑥 más 18 cosec seis 𝑥 cot seis 𝑥 sobre siete cot cinco 𝑥 más tres cosec seis 𝑥 todo al cuadrado.

En este video, hemos visto que podemos usar la regla del cociente para hallar las derivadas de una función trigonométrica recíproca, cot de 𝑥, sec de 𝑥, y cosec de 𝑥. Hemos visto que la derivada de cot de 𝑎𝑥 más 𝑏 es menos 𝑎 cosec al cuadrado 𝑎𝑥 más 𝑏. Hemos aprendido que la derivada de sec de 𝑎𝑥 más 𝑏 es 𝑎 sec de 𝑎𝑥 más 𝑏 por tan de 𝑎𝑥 más 𝑏. Y la derivada de cosec de 𝑎𝑥 más 𝑏 es menos 𝑎 cosec 𝑎𝑥 más 𝑏 por cot de 𝑎𝑥 más 𝑏. Y hemos visto también cómo podemos usar estos resultados estándar en conjunción con las reglas de derivación para hallar las derivadas de un gran número de funciones.

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