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Vídeo de la lección: Ecuaciones de rectas paralelas y perpendiculares Matemáticas • Undécimo grado

En este vídeo vamos a aprender cómo escribir la ecuación de una recta paralela o perpendicular a otra recta.

17:13

Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo escribir la ecuación de una recta paralela o perpendicular a otra recta. Veremos casos en los que la pendiente es conocida. Y también veremos casos en los que se nos dan dos puntos de la recta y se nos pide que hallemos la pendiente de la recta para así calcular la pendiente de una recta paralela o perpendicular.

Pero antes de comenzar vamos a repasar algunas cosas básicas sobre rectas. 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑏 es una ecuación de una recta. Esta ecuación en particular se conoce como ecuación explícita. En la ecuación explícita, el coeficiente de 𝑥 —la constante 𝑚— es la pendiente. Y 𝑏 es igual a la ordenada 𝑦 en el origen, es decir, la ordenada del punto donde la recta corta el eje de las 𝑦. Como ya hemos dicho antes, en este vídeo vamos a hablar de rectas paralelas y rectas perpendiculares.

Sabemos que las rectas paralelas nunca se intersecan, es decir, nunca se cortan. Normalmente representamos esto con un triangulito en cada recta. Y, cuando hay más de un par de rectas paralelas, se suelen señalar con varios triangulitos. En ese caso, las rectas paralelas serán aquellas que tienen símbolos que se corresponden. Lo que ves aquí son dos conjuntos de rectas paralelas.

Es importante señalar, además, que es posible que veas este símbolo, el cual se utiliza para indicar que dos rectas son paralelas. Aquí, el segmento 𝐴𝐵 es paralelo al segmento 𝐶𝐷. Pero lo más importante que debemos recordar sobre las rectas paralelas es que tienen la misma pendiente. Si nos fijamos en la ecuación explícita de dos rectas, y vemos que tienen el mismo valor de la constante 𝑚, o sea, del coeficiente de 𝑥, serán paralelas.

Veamos ahora cómo son las rectas perpendiculares. Las rectas perpendiculares se intersecan en un ángulo de 90 grados. Esto se suele indicar con el símbolo de ángulo recto. El conjunto de rectas perpendiculares que hemos dibujado aquí son horizontales y verticales. Pero esto no tiene por qué ser así. Las rectas perpendiculares pueden tener cualquier orientación. Y con respecto a las pendientes de rectas perpendiculares, decimos que son recíprocas opuestas. O sea, rectas paralelas tienen la misma pendiente; tienen el mismo valor de 𝑚. Pero, para rectas perpendiculares, si una de las rectas tiene una pendiente 𝑚, la otra recta tendrá la pendiente recíproca opuesta, o sea, menos uno partido por 𝑚. Conviene señalar aquí, además, que hay rectas que no son paralelas, y por lo tanto intersecan, pero tampoco son perpendiculares. Las rectas que se intersecan formando un ángulo que no es recto no entran en las categorías de rectas paralelas o de rectas perpendiculares.

Usemos los datos que tenemos para comenzar a operar con las ecuaciones de rectas paralelas y perpendiculares.

Determina si las rectas 𝑦 igual a menos un séptimo 𝑥 menos cinco y 𝑦 igual a menos un séptimo 𝑥 menos uno, son paralelas, perpendiculares o no son paralelas ni perpendiculares

Las categorías «paralelas,» «perpendiculares» o «ni paralelas ni perpendiculares» abarcan todas las posibilidades. Las rectas paralelas no se cortan. Las rectas perpendiculares se intersecan en un ángulo de 90 grados. La categoría «ni paralelas ni perpendiculares» contiene todas las rectas que se intersecan pero que no forman un ángulo de 90 grados. Paralelas, perpendiculares o ni paralelas ni perpendiculares.

Sin embargo, no tenemos una gráfica de estas dos rectas. Y podríamos, por supuesto, tratar de dibujar una gráfica para estas dos rectas. No obstante, podemos determinar si dos rectas son paralelas, perpendiculares o ni paralelas ni perpendiculares sin necesidad de dibujar la gráfica de estas dos ecuaciones. Estas dos rectas tienen ecuaciones de la forma 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑏. En ambos casos, el coeficiente de 𝑥, la constante 𝑚, es menos un séptimo. La constante 𝑚 representa la pendiente. Y, por lo tanto, podemos decir que la pendiente de la recta uno es menos un séptimo y que la pendiente de la recta dos es menos un séptimo también, lo que nos recuerda que «rectas paralelas tienen la misma pendiente». Y es por eso que no se cortan. Como ambas rectas tienen una pendiente de menos un séptimo, podemos decir que son rectas paralelas sin necesidad de dibujar su gráfica.

En este problema se nos pide, de nuevo, que clasifiquemos las rectas. Pero esta vez no nos dan sus ecuaciones. Solo se nos dan dos puntos de cada una de las rectas.

Sabiendo que las coordenadas de los puntos 𝐴, 𝐵, 𝐶 y 𝐷 son menos 15, ocho; menos seis, 10; menos ocho, menos siete; y menos seis, menos 16, respectivamente, determina si la recta 𝐴𝐵 y la recta 𝐶𝐷 son paralelas, perpendiculares o ni paralelas ni perpendiculares.

Los puntos 𝐴 y 𝐵 se encuentran en la recta 𝐴𝐵 y los puntos 𝐶 y 𝐷 se encuentran en la recta 𝐶𝐷. Para clasificar las rectas, tenemos que recordar que las rectas paralelas tienen la misma pendiente y por tanto nunca se cortan. Las rectas perpendiculares tienen pendientes recíprocas opuestas y se intersecan en un ángulo de 90 grados. Y «ni paralelas ni perpendiculares» son aquellas rectas que no son paralelas ni perpendiculares, es decir, se intersecan pero no forman un ángulo recto. Esto significa que, para determinar si estas rectas son paralelas o perpendiculares, necesitamos calcular sus pendientes.

En la ecuación general de una recta, 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑏, la constante 𝑚 representa la pendiente. Y podemos hallar la pendiente, 𝑚, si tenemos dos puntos, haciendo 𝑚 igual a 𝑦 dos menos 𝑦 uno partido por 𝑥 dos menos 𝑥 uno. Para clasificar estas rectas, tenemos que hallar las pendientes de las rectas 𝐴𝐵 y 𝐶𝐷. Comencemos con la recta 𝐴𝐵. Sea el punto 𝐴 𝑥 uno, 𝑦 uno y el punto 𝐵 𝑥 dos, 𝑦 dos. De esta forma, la pendiente será 10 menos ocho partido entre menos seis menos menos 15. 10 menos ocho es dos. Menos seis menos menos 15 es menos seis más 15, que es más nueve. Por lo tanto, podemos decir que la pendiente de la recta 𝐴𝐵 es dos novenos.

Ahora repetimos el mismo procedimiento para la recta 𝐶𝐷. Sea 𝐶 𝑥 uno, 𝑦 uno y 𝐷 𝑥 dos, 𝑦 dos. De esta forma tenemos 𝑚 igual a menos 16 menos menos siete partido por menos seis menos menos ocho. Menos 16 menos menos siete es menos 16 más siete, que es menos nueve. Menos seis menos menos ocho es menos seis más ocho, que es dos. La pendiente de la recta 𝐶𝐷 es, por tanto, menos nueve medios.

Si comparamos estas dos pendientes, menos nueve medios es el recíproco opuesto de dos novenos. Y si no estás seguro, puedes multiplicar para comprobarlo. Al multiplicar los recíprocos obtenemos uno y al multiplicar los recíprocos opuestos obtenemos menos uno. Estas dos pendientes son recíprocas opuestas, lo que significa que estas rectas son perpendiculares.

Aquí tenemos otro ejemplo.

¿A qué eje es paralela la recta 𝑦 igual a tres?

En primer lugar, sabemos que las rectas paralelas no se cortan y que tienen la misma pendiente. Tenemos la ecuación 𝑦 igual a tres. Si consideramos la ecuación general de una recta, 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑏, y tenemos que 𝑦 es igual a tres, entonces tenemos una pendiente de cero. Ahora, si dibujamos un sistema de coordenadas con los ejes 𝑦 y 𝑥, y representamos gráficamente la recta 𝑦 igual a tres, obtendremos esta figura. Podemos ver aquí que la recta 𝑦 igual a tres corta el eje de las 𝑦. Sabemos que es así porque tiene un valor de 𝑏 de tres. Y en la ecuación general de la recta, la 𝑏 representa la intersección con el eje de las 𝑦.

Por lo tanto, podemos decir que la recta 𝑦 igual a tres no es paralela al eje de las 𝑦 porque corta el eje de las 𝑦. Pero podemos ver que 𝑦 igual a tres es paralela al eje de las 𝑥. El eje de las 𝑥 es la recta de ecuación 𝑦 igual a cero. La recta 𝑦 igual a tres es, por lo tanto, paralela al eje de las 𝑥.

En el siguiente problema se nos pide hallar la ecuación de una recta conociendo un punto en esa recta y otros dos puntos en una recta perpendicular a dicha recta.

Determina, en forma explícita, la ecuación de la recta que pasa por 𝐴, 13, menos siete, y es perpendicular a la recta que pasa por 𝐵, ocho, menos nueve. y por 𝐶, menos ocho, 10.

Veamos los datos que tenemos. Tenemos los puntos 𝐵 y 𝐶, que determinan una recta. El punto 𝐴 no se encuentra en esta recta. El punto 𝐴 se encuentra en una recta perpendicular a la recta 𝐵𝐶. Y se nos pide que hallemos la ecuación explícita de la recta que pasa por el punto 𝐴. La ecuación explícita de una recta es 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑏. Eso significa que necesitamos conocer la pendiente de la recta y el punto de intersección con el eje de las 𝑦. Pero como no conocemos dos puntos en esta recta, tendremos que hallar la pendiente de otra manera.

Recordemos que las rectas perpendiculares tienen pendientes recíprocas opuestas. Y como conocemos dos puntos en la recta 𝐵𝐶, podemos hallar la pendiente de la recta 𝐵𝐶. Y la pendiente de la recta que pasa por el punto 𝐴 es menos uno partido por la pendiente de la recta 𝐵𝐶. Esta es una forma matemática de decir que estos dos valores son recíprocos opuestos. Esto significa que lo primero que tenemos que hacer es hallar la pendiente de la recta 𝐵𝐶. Si conocemos dos puntos en la recta, podemos hallar su pendiente calculando 𝑦 dos menos 𝑦 uno partido por 𝑥 dos menos 𝑥 uno.

Sea 𝐵 𝑥 uno, 𝑦 uno y 𝐶 𝑥 dos, 𝑦 dos. La pendiente de la recta 𝐵𝐶 será igual a 10 menos menos nueve partido por menos ocho menos ocho. 10 menos menos nueve es 19. Y menos ocho menos ocho es menos 16. Podemos decir, pues, que la pendiente de la recta 𝐵𝐶 es 19 partido por menos 16. Pero lo normal es llevar el signo menos al numerador, por lo que decimos que la pendiente de la recta 𝐵𝐶 es menos 19 partido por 16. La pendiente de la recta que contiene el punto 𝐴 es la recíproca opuesta de este valor.

Para hallar el recíproco de una fracción, le damos la vuelta. El recíproco de menos 19 partido por 16 es 16 partido por menos 19. Pero hay que andarse con ojo aquí pues lo que buscamos es el recíproco opuesto. Y eso significa que menos 16 partido por menos 19 se simplifica a 16 partido por 19. Por lo tanto, la pendiente de la recta que pasa por el punto 𝐴 es 16 partido por 19. Ya tenemos la pendiente de la recta que pasa por el punto 𝐴. Y tenemos un punto que se encuentra en esa recta.

Para hallar el punto de intersección con el eje de las 𝑦 de esta ecuación, podemos usar la ecuación en la forma de punto y pendiente, que dice que 𝑦 menos 𝑦 uno es igual a 𝑚 por 𝑥 menos 𝑥 uno, donde 𝑥 uno, 𝑦 uno es un punto en la recta. El punto 𝐴 es 𝑥 uno, 𝑦 uno. De esta forma, tenemos 𝑦 menos menos siete es igual a 16 partido entre 9 por 𝑥 menos 13. Menos menos siete es más siete. Y en el otro lado tenemos 16 partido entre 19 por 𝑥. Y también tenemos 16 partido entre 19 por menos 13, que es igual a menos 208 partido entre 19.

Como queremos que la ecuación esté en forma de punto y pendiente, tenemos que despejar la 𝑦 restando siete en ambos lados. Menos 208 partido por 19 menos siete es menos 341 partido por 19. Esta recta, 𝑦 igual a 16 partido por 19𝑥 menos 341 partido por 19 es perpendicular a la recta 𝐵𝐶 y pasa por el punto 𝐴.

Veamos otro problema de rectas paralelas.

Las rectas ocho 𝑥 más cinco 𝑦 igual a ocho y ocho 𝑥 más 𝑎𝑦 igual a menos ocho son paralelas. ¿Cuál es el valor de 𝑎?

Sabemos que las rectas paralelas tienen la misma pendiente. Y en la forma explícita, 𝑦 igual a 𝑚𝑥 más 𝑏, el coeficiente de la variable 𝑥, 𝑚, representa la pendiente. El enunciado nos dice que estas dos rectas son paralelas. Y eso significa que tendrán la misma pendiente. Para hallar la pendiente de estas rectas, las convertiremos a la forma explícita. Para hacerlo, despejamos la 𝑦. Como en las dos ecuaciones ocho 𝑥 está a la izquierda, restaremos ocho 𝑥 de ambos lados en ambas ecuaciones. De esta forma, en el miembro izquierdo obtenemos cinco 𝑦 igual a menos ocho 𝑥 más ocho. Y en el lado derecho obtenemos que 𝑎𝑦 es igual a menos ocho 𝑥 menos ocho. Necesitamos despejar la 𝑦 para obtener la ecuación en la forma explícita. Así que vamos a dividir por cinco. De esta forma, la ecuación de la izquierda en forma explícita es 𝑦 igual a menos ocho quintos 𝑥 más ocho quintos.

A la derecha vamos a seguir un procedimiento parecido. Para despejar 𝑦 vamos a dividir por 𝑎. Por tanto, tenemos que la segunda ecuación es 𝑦 igual a menos ocho partido por 𝑎𝑥 menos ocho partido por 𝑎. Estas pendientes tienen que ser iguales si estas rectas son paralelas. Como una de las pendientes es menos ocho quintos, la otra pendiente tendrá que ser también menos ocho quintos. Por lo tanto, 𝑎 debe valer cinco para que estas dos rectas sean paralelas. Si sustituimos cinco por 𝑎, vemos que los cocientes de los coeficientes entre estas dos ecuaciones son iguales, por lo que las rectas son paralelas.

En el último problema se nos darán tres puntos que forman un triángulo rectángulo. Y usaremos lo que sabemos sobre rectas paralelas y rectas perpendiculares para hallar la coordenada que falta en uno de los puntos.

Supongamos que los puntos 𝐴: menos tres, menos uno; 𝐵: uno, dos; y 𝐶: siete, 𝑦, forman un triángulo con un ángulo recto en 𝐵. ¿Cuánto vale 𝑦?

Para hallarlo vamos a representar estos tres puntos en un sistema de coordenadas. 𝐴 es menos tres, menos uno. 𝐵 es uno, dos. Sabemos que la coordenada 𝑥 del punto 𝐶 es siete. Y eso significa que 𝐶 estará ubicado en algún lugar en esta recta. Conocemos la recta 𝐴𝐵. Y se nos ha dicho que el ángulo recto de este triángulo está en el punto 𝐵. Podemos hacernos una idea general de dónde puede estar el punto 𝐶. Sin embargo, si lo hacemos de esta forma no podremos hallar una respuesta exacta. Pero como sabemos que este es un triángulo rectángulo, podemos decir que la recta 𝐴𝐵 es perpendicular a la recta 𝐵𝐶. Eso significa que la pendiente del segmento 𝐵𝐶 es la recíproca opuesta de la pendiente del segmento 𝐴𝐵.

Para resolver este problema vamos a tener que hacer tres cosas. Primero vamos a hallar la pendiente del segmento 𝐴𝐵. Usaremos esa pendiente para hallar la recíproca opuesta, es decir, la pendiente del segmento 𝐵𝐶. A continuación, tomaremos la pendiente del segmento 𝐵𝐶 y la usaremos para hallar el valor de 𝑦 en el punto 𝐶. Como tenemos dos puntos, hallamos la pendiente usando 𝑚 igual a 𝑦 dos menos 𝑦 uno partido por 𝑥 dos menos 𝑥 uno. Para los puntos 𝐴 y 𝐵, eso sería dos menos menos uno partido entre uno menos menos tres, que es tres cuartos. Por lo tanto, la pendiente del segmento 𝐴𝐵 es tres cuartos. Ya hemos completado el primer paso.

En el paso dos vamos a hallar la recíproca opuesta de la pendiente que hallamos en el paso uno. El recíproco opuesto de tres cuartos es menos cuatro tercios. Y ese es el segundo paso. Ahora, en el paso tres, vamos a considerar el punto 𝐵: uno, dos y el punto 𝐶: siete, 𝑦. Sea 𝐵 𝑥 uno, 𝑦 uno y 𝐶 𝑥 dos, 𝑦 dos. La pendiente menos cuatro tercios es igual a 𝑦 menos dos partido por siete menos uno. Siete menos uno es seis. Para resolver esto, multiplicamos en cruz. Menos cuatro por seis es igual a tres por 𝑦 menos dos. Menos 24 es igual a tres 𝑦 menos seis.

Escribimos aquí para tener algo más de espacio para despejar 𝑦, sumamos seis a ambos lados y obtenemos menos 18 igual a tres 𝑦. Dividimos ambos lados de la ecuación por tres y obtenemos menos seis igual a 𝑦. En el paso tres hemos hallado que 𝑦 es igual a menos seis. Esto significa que, para que este sea un triángulo rectángulo, el punto 𝐶 debe estar ubicado en siete, menos seis. Así, hemos hallado el valor faltante, que es menos seis.

Antes de terminar vamos a repasar los puntos clave que hemos visto en este vídeo. Las rectas paralelas no se intersecan y tienen la misma pendiente. Las rectas perpendiculares se intersecan en un ángulo de 90 grados y tienen pendientes recíprocas opuestas.

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