Vídeo: Ecuaciones diferenciales: conceptos básicos

En este vídeo vamos a aprender cómo clasificar una ecuación diferencial como ordinaria o en derivadas parciales, y como lineal o no lineal, y cómo identificar su orden.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender los conceptos básicos de las ecuaciones diferenciales. En primer lugar, aprenderemos lo que es una ecuación diferencial y que puede estar presente en muchísimos problemas de física así como en muchas áreas de las matemáticas. Seguidamente, introduciremos terminología relacionada con las ecuaciones diferenciales. Por último, veremos, con una serie de ejemplos, cómo clasificar las ecuaciones diferenciales según su tipo y orden.

En primer lugar, vamos a explicar un poco lo que es una ecuación diferencial. Es una ecuación que contiene una función y una o más de sus derivadas con respecto a una variable independiente. Por ejemplo, la ecuación d𝑦 sobre d𝑥 más 𝑦 igual a tres 𝑥 es una ecuación diferencial. En esta ecuación, la incógnita es 𝑦. Es una función de la variable independiente 𝑥, y la ecuación incluye la primera derivada de 𝑦 con respecto a 𝑥.

Evidentemente, existen ecuaciones diferenciales mucho más complicadas. Por ejemplo, la ecuación d dos 𝑦 sobre d𝑥 al cuadrado más cuatro 𝑦 por d𝑦 sobre d𝑥 todo al cuadrado más tres 𝑦 igual a seno de 𝑥. Esta ecuación diferencial incluye la primera derivada d𝑦 sobre d𝑥 al cuadrado y la segunda derivada de 𝑦 con respecto a 𝑥, d dos 𝑦 sobre d𝑥 al cuadrado. Por lo tanto, tenemos una ecuación que contiene una función 𝑦, su primera derivada d𝑦 sobre d𝑥, y su segunda derivada d dos 𝑦 sobre d𝑥 al cuadrado.

El primero de estos dos ejemplos es una ecuación diferencial de primer orden, pues la derivada de mayor orden que contiene es una primera derivada, la primera derivada de 𝑦 con respecto a 𝑥, d𝑦 sobre d𝑥. El segundo ejemplo es una ecuación diferencial de segundo orden porque la derivada de mayor orden que contiene es una segunda derivada, d dos 𝑦 sobre d𝑥 al cuadrado. En términos más generales, las ecuaciones diferenciales pueden clasificarse según la derivada de mayor orden que contengan. De esta forma, una ecuación diferencial en la que la derivada de mayor orden es una derivada de orden 𝑛 es clasificada como una ecuación diferencial de orden 𝑛.

Como hemos comentado antes, nos podemos encontrar con ecuaciones diferenciales en muchos problemas de física. Por ejemplo, el crecimiento de la población, en el que, digamos, la tasa de crecimiento de la población 𝑃 es proporcional a la población. Esto puede modelarse por la ecuación diferencial d𝑃 sobre d𝑡 igual a 𝑘𝑃. Aquí, 𝑡 representa el tiempo y 𝑘 es la constante de proporcionalidad.

No forma parte de los objetivos de este vídeo aprender cómo resolver una ecuación diferencial de este tipo. No obstante, si tenemos la condición inicial de que la población en el instante cero es igual a un valor 𝑃 cero, entonces se puede demostrar que la solución de esta ecuación diferencial es que la población en el instante 𝑡 es igual a 𝑃 cero por 𝑒 elevado a 𝑘𝑡. Por lo tanto, la población presenta un crecimiento exponencial.

Resolver una ecuación diferencial significa hallar una expresión para la variable dependiente, que en este caso sería 𝑃, en términos de la variable independiente, que aquí sería 𝑡. La solución es una función tal que esa función y sus derivadas satisfacen la ecuación diferencial. No obstante, cuando resolvemos una ecuación diferencial, no obtenemos una única solución, sino una familia de soluciones, la cual está compuesta por funciones que satisfacen la ecuación diferencial pero que difieren entre sí en los valores de algunas constantes.

Si en el problema se nos proporciona información adicional, como en este caso, donde se nos ha dado el valor de la población en el instante cero, entonces podemos determinar los valores de estas constantes y obtener así una solución particular de la ecuación diferencial. Esta información adicional se conoce como condición de contorno, condición de frontera, o, a veces, condición inicial si especifica el valor de la función cuando el valor de la variable independiente es cero.

Sin embargo, la resolución de ecuaciones diferenciales no es el punto central de este vídeo. Lo que nos interesa, más bien, es entenderlas y clasificarlas. Pero vamos a ver un ejemplo de cómo confirmar que una función dada satisface una ecuación diferencial.

¿Es la función 𝑦 igual a uno sobre dos más 𝑥 una solución de la ecuación diferencial 𝑦 prima igual a menos 𝑦 al cuadrado?

Recuerda que 𝑦 prima es otra forma de decir d𝑦 sobre d𝑥, la primera derivada de 𝑦 con respecto a 𝑥. Muy bien, tenemos una ecuación diferencial de primer orden, y queremos saber si la función dada, 𝑦, es una solución de la misma. Es decir, necesitamos saber si la función 𝑦 satisface esta ecuación.

Comencemos averiguando en primer lugar a qué es igual 𝑦 prima, o d𝑦 sobre d𝑥, para esta función 𝑦. Para hacerlo, vamos a expresar 𝑦 de otra forma. Podemos expresarla como dos más 𝑥 elevado a menos uno. Seguidamente hallamos esta derivada utilizando la regla general de la potencia, que dice que, si tenemos una función 𝑓 de 𝑥 elevada a una potencia 𝑛, entonces su derivada con respecto a 𝑥 es igual a 𝑛 por 𝑓 prima de 𝑥 por 𝑓 de 𝑥 elevado a 𝑛 menos uno.

Aquí nuestra función 𝑓 de 𝑥 es dos más 𝑥, y nuestro exponente 𝑛 es menos uno. Por lo tanto, si aplicamos la regla general de la potencia, tenemos 𝑛, que es menos uno, multiplicado por la derivada de dos más 𝑥, que es uno, multiplicado por 𝑓 de 𝑥. Eso es dos más 𝑥, elevado a 𝑛 menos uno. Y eso es un exponente de menos dos. Vamos a reescribir esto como menos uno sobre dos más 𝑥 todo al cuadrado. De esta forma ya sabemos cuál es el lado izquierdo de esta ecuación diferencial para esta función 𝑦.

En el lado derecho, tenemos menos 𝑦 al cuadrado. Esta es la función original 𝑦 al cuadrado y luego la multiplicamos por menos uno, obteniendo menos uno sobre dos más 𝑥 todo al cuadrado. Para elevar al cuadrado una fracción, elevamos al cuadrado el numerador y el denominador. Así que tenemos menos uno al cuadrado, que es uno, sobre dos más 𝑥 todo al cuadrado.

Ahora, comparamos las expresiones para 𝑦 prima y para menos 𝑦 al cuadrado. Y vemos que ambas son iguales a menos uno sobre dos más 𝑥 al cuadrado. Es decir, son iguales entre sí. Esto nos dice que la función 𝑦 igual a uno sobre dos más 𝑥 satisface la ecuación diferencial dada y, por lo tanto, es una solución.

A continuación, veremos algunos ejemplos más e introduciremos la terminología necesaria para describir la amplia variedad de ecuaciones diferenciales con las que nos podemos encontrar.

Determina el orden de la ecuación diferencial d dos 𝑦 sobre d𝑥 al cuadrado, todo al cubo, menos 𝑦 triple prima a la cuarta potencia más 𝑥 igual a cero.

Recordemos, en primer lugar, que el orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada de mayor orden que aparece en esa ecuación. Podemos ver a simple vista que esta ecuación diferencial implica una segunda derivada, d dos 𝑦 sobre d𝑥 al cuadrado. Pero si nos fijamos un poco más, vemos que la ecuación también contiene 𝑦 triple prima, que es la notación alternativa de la tercera derivada. La derivada de mayor orden es, pues, tres. Y por lo tanto, el orden de esta ecuación diferencial es tres.

Así que no te dejes engañar por los exponentes. Esto es, el exponente de tres de la segunda derivada y el exponente de cuatro de la tercera derivada. El orden de una ecuación diferencial no se determina en función del mayor exponente de la variable o de cualquiera de sus derivadas que aparezca en la ecuación. Es el orden de la derivada de mayor orden en la ecuación. Por lo tanto, el exponente de tres del primer término y el exponente de cuatro del segundo término son totalmente irrelevantes para determinar el orden de una ecuación diferencial.

En el próximo ejemplo vamos a aprender la diferencia entre las ecuaciones diferenciales lineales y las no lineales.

¿Es la ecuación diferencial d𝑦 sobre d𝑥 más 𝑥 raíz de 𝑦 igual a 𝑥 al cuadrado lineal?

Una ecuación diferencial lineal es aquella que puede expresarse como un polinomio lineal de la incógnita, en este caso 𝑦, y sus derivadas. Lo que esto significa es que los únicos exponentes de la función incógnita y de sus derivadas que aparecen en la ecuación son uno — o cero, en el caso de que la ecuación no contenga derivadas de ese orden. Además, la función y sus derivadas solo están multiplicadas por funciones de 𝑥.

De esta forma, la ecuación dos por d𝑦 sobre d𝑥 más cuatro 𝑥𝑦 igual a tres 𝑥 es un ejemplo de una ecuación diferencial lineal. Porque el exponente de 𝑦 y de d𝑦 sobre d𝑥 es uno, y cada uno de ellos está multiplicado solamente por una función de 𝑥. Mientras que la ecuación dos por d𝑦 sobre d𝑥 más cuatro 𝑥 sobre 𝑦 igual a tres 𝑥 es no lineal, pues en el segundo término, el exponente de 𝑦 es menos uno. La ecuación cuatro 𝑥 d dos 𝑦 sobre d𝑥 al cuadrado más dos 𝑦 d𝑦 sobre d𝑥 igual a siete también es no lineal, pues en el segundo término, d𝑦 sobre d𝑥 está multiplicado por una función de 𝑦, no por una función de 𝑥.

Más formalmente, decimos que una ecuación diferencial es lineal si puede ser expresada en la forma que se muestra aquí. Cada derivada de orden 𝑛 de 𝑦 y la propia función 𝑦 están multiplicadas solo por una función de 𝑥. Bien, veamos la ecuación diferencial que se nos ha dado. Enseguida nos damos cuenta de que incluye la raíz cuadrada de 𝑦. Otra forma de expresar la raíz cuadrada de 𝑦 es 𝑦 elevado a un medio. Por lo tanto, esta ecuación diferencial es no lineal, pues el exponente de 𝑦 no es igual a uno.

Fíjate en que no es la presencia del término 𝑥 al cuadrado en el lado derecho lo que hace que esta ecuación diferencial sea no lineal. 𝑥 es la variable independiente de esta ecuación. Y son solo los exponentes de la variable dependiente y sus derivadas, que son 𝑦 y d𝑦 sobre d𝑥, y así sucesivamente, los que deben ser todos iguales a uno para que la ecuación sea lineal.

En el último ejemplo vamos a aprender la diferencia entre las ecuaciones diferenciales ordinarias y las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.

¿Cuál de las relaciones siguientes es una ecuación diferencial ordinaria?

Como sabes, en primer lugar, una ecuación diferencial contiene una función y una o más de sus derivadas con respecto a una variable independiente. Si consideramos la primera ecuación, 𝑧 igual a cinco 𝑥𝑦, vemos que no contiene ninguna derivada. Y, por lo tanto, no es una ecuación diferencial. Es una ecuación que relaciona las tres variables 𝑥, 𝑦 y 𝑧. Así que descartamos la opción A.

Del mismo modo, si consideramos la última ecuación, 𝑦 igual a la raíz cuadrada de 𝑥 al cuadrado menos cuatro, vemos que tampoco se trata de una ecuación diferencial, pues no contiene ninguna derivada. Tan solo expresa la relación entre las variables 𝑥 y 𝑦. Así que solo nos quedan dos opciones, la B y la C. Consideramos la segunda ecuación y vemos que contiene una variable desconocida 𝑦 y su derivada con respecto a una variable independiente 𝑥. Por lo tanto, esta sí es una ecuación diferencial.

Pero el problema no solo nos pide que hallemos cuál de estas ecuaciones es una ecuación diferencial. Nos pide que hallemos cuál es una ecuación diferencial ordinaria. Por lo tanto, tenemos que considerar lo que el término «ordinaria» significa en este contexto. La tercera ecuación también contiene una derivada. De hecho, es una segunda derivada. Pero vemos que la notación utilizada es un tanto distinta. Esta notación representa la segunda derivada parcial de la variable 𝑧 con respecto a 𝑥.

Lo que esta notación de la derivada significa es que la función 𝑧 no es solo función de 𝑥, sino también de otra variable, que puede ser 𝑦, o de más variables incluso. La derivada parcial de 𝑧 con respecto a 𝑥 es la función que obtenemos si, al derivar, tratamos cada una de las otras variables como una constante. De hecho, la segunda derivada parcial de 𝑧 con respecto a 𝑥 es lo que obtenemos si hacemos esto dos veces.

Volvamos al término «ordinaria» de la cuestión. Una ecuación diferencial ordinaria contiene solo derivadas ordinarias, a diferencia de las derivadas parciales, pues la función incógnita es una función de solo una variable independiente. A partir de la notación utilizada en la ecuación B, vemos que esta contiene solo la función 𝑦 y su primera derivada ordinaria. Por lo tanto, esta es una ecuación diferencial ordinaria. Sin embargo, la opción C contiene una derivada parcial, por lo que es una ecuación diferencial parcial.

Verás que se emplean a menudo las siglas EDO y EDP para describir las ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales, respectivamente. Por lo tanto, nuestra respuesta a la pregunta de cuál de las siguientes relaciones es una ecuación diferencial ordinaria, es B. Las opciones A y D no son ecuaciones diferenciales. Y la C es una ecuación diferencial, pero es una ecuación diferencial en derivadas parciales.

Vamos a resumir lo aprendido en este vídeo. En primer lugar, las ecuaciones diferenciales son ecuaciones que relacionan una función y una o más de sus derivadas. El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada de mayor orden que contiene. Por tanto, una ecuación diferencial en la que la derivada de mayor orden es una tercera derivada tiene un orden de tres, o sea, es de tercer orden.

Una ecuación diferencial lineal puede expresarse en la forma que se muestra aquí. El exponente de la función 𝑦 y de cada una de sus derivadas es uno o cero. Y 𝑦, y cada una de sus derivadas pueden estar multiplicadas por funciones exclusivamente de 𝑥. Por último, hemos visto que las ecuaciones diferenciales ordinarias, o EDO, por sus siglas, solo contienen derivadas ordinarias, como d𝑦 sobre d𝑥. Y, por lo tanto, la función 𝑦 ha de ser una función de una sola variable independiente, como 𝑥.

Por el contrario, una ecuación en derivadas parciales — o EDP, según sus siglas — contiene derivadas parciales. Y, por lo tanto, la función 𝑦 es una función de más de una variable independiente. Las ecuaciones diferenciales tienen muchísimas aplicaciones y pueden utilizarse para modelar una amplísima variedad de fenómenos físicos.

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