Vídeo: El problema de Monty Hall

En este vídeo, utilizamos probabilidades para diseñar una estrategia idónea para ganar el coche en el problema de Monty Hall.

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Transcripción del vídeo

En este video, examinamos el famoso problema de Monty Hall, que tiene su origen en un programa de televisión que se llamaba Hagamos un trato (Let’s Make a Deal). El concurso comenzó en los Estados Unidos en 1963. Desde entonces se ha venido haciendo en varios formatos en todo el mundo. Originalmente, fue presentado por un chico llamado Monty Hall. Y así es como este problema obtuvo su nombre.

El formato se basa en que, durante el programa, las personas hacen intercambios para ganar un premio. Se trata, en general, de intentar cambiar un premio pequeño por uno potencialmente mucho más valioso, pero el cual está escondido detrás de una cortina o una puerta, o en una caja.

Lo que importa es que pueden terminar obteniendo un premio fabuloso, como un auto nuevo, o pueden terminar con un premio sin valor alguno, como un montón de dinero falso o una prenda de ropa usada y rota, o incluso con un animal vivo que sería muy difícil de llevar a casa.

En algunos formatos de este tipo de concursos, como el español Un, dos, tres, el peor premio es una calabaza de plástico. El problema de Monty Hall se basa en una de estas situaciones donde hay que elegir y se trata de idear la mejor estrategia para ganar. El problema es el siguiente.

Estás invitado a hacer el gran negocio del día. El anfitrión te muestra tres puertas cerradas y te dice que detrás de una de ellas se encuentra el coche de tus sueños y detrás de cada una de las otras dos hay una cabra.

Las puertas están numeradas, uno, dos y tres. Todo lo que tienes que hacer es elegir una de las puertas y obtendrás el coche o la cabra que hay detrás de esa puerta. ¡Fácil! Así que haz tu elección. Por ejemplo, dirás: “¡Puerta dos!”

Ahora bien, el anfitrión sabe en qué puerta está el coche. Pero, en lugar de abrir la puerta dos, abrirá dramáticamente una de las otras puertas para revelar una cabra que mastica tranquilamente un poco de pasto. Además, y aquí es donde la cosa se complica, te dice: “Muy bien, ¿te gustaría quedarte con la puerta dos o te gustaría cambiar a la otra puerta cerrada?”

Bien, ¿qué te conviene, cambiar o no cambiar? ¿Hay alguna diferencia? Hay dos puertas que quedan para elegir. Y una tiene una cabra, y la otra tiene un coche. Es 50/50, ¿verdad? Bueno, pausa el video ahora y piensa en lo que harías antes de que veamos las matemáticas.

Lo cierto es que este problema causó una gran controversia cuando se publicó por primera vez. Y mucha gente no estaba de acuerdo con la mejor estrategia. Así que vamos a ir paso a paso. Parece que tienes una opción de dos puertas. Y una tiene una cabra. Y la otra tiene un coche detrás.

Parece obvio que no importa cuál elijas. Ambos tienen la misma probabilidad de tener escondido el auto o la cabra. Pero esto es no tener en cuenta toda la historia. Cuando hiciste tu elección de puerta, el anfitrión abrió una puerta diferente que tenía una cabra detrás.

Pero el anfitrión sabe dónde está el coche. Así que, si elegiste la puerta con el auto, entonces pudo abrir cualquiera de las otras puertas para revelar una cabra. Sin embargo, si elegiste la puerta con una cabra detrás, entonces el anfitrión tuvo que tener cuidado de elegir la otra puerta con una cabra para abrirla.

Y esta secuencia de eventos nos ha dejado en una situación en la que si acertaste al principio sobre qué puerta tenía el automóvil detrás, entonces si cambias de puerta ahora te equivocarás. Y si al principio te equivocaste acerca de qué puerta tenía un automóvil detrás, entonces si cambias de puerta ahora, acertarás.

Al principio, cuando te mostraron tres puertas y elegiste una al azar, había un 33 y un tercio por ciento de probabilidad de que obtuvieras el auto, había y un 66 y dos tercios por ciento de probabilidad de obtener una cabra.

Una de las tres puertas tiene un coche detrás. Y las otros dos tienen cabras. Eso significa que, si concursaras todas las semanas y mantuvieras tu elección original todas las veces, te llevarías un automóvil un tercio de las veces.

Sin embargo, si concursaras todas las semanas y cambiaras tu elección, entonces las veces en las que te equivocaste al principio se convertirían en ocasiones en que ganarías el automóvil. Eso es dos tercios. Y las veces en las que al principio acertaste se convertirían en ocasiones en que obtendrías la cabra. Eso es un tercio.

Así que, estadísticamente, la mejor estrategia para obtener el automóvil es cambiar de puerta. Estás aumentando tus posibilidades de ganar un auto de un tercio a dos tercios. Eso es un aumento del 100 por cien en tus posibilidades de ganar.

Pero podemos hablar de porcentajes en otra ocasión. Ahora usemos un diagrama de árbol para analizar esto. Primero, consideremos la estrategia de plantarse, es decir, de que te quedes con la puerta que elegiste originalmente. Primero tienes que elegir la puerta. Ahora, en un tercio de los casos, esa puerta tendrá un auto detrás. Y dos tercios de los casos, tendrá una cabra detrás.

Ahora, si eliges el auto por primera vez, como sigues con esa opción, hay una probabilidad de uno de que te quedes con el auto y hay una probabilidad de cero de que obtengas una cabra. Pero si la puerta que elegiste originalmente tenía una cabra detrás, y te quedas con esa opción, hay una probabilidad cero de que termines con un automóvil y la absoluta certeza de que terminarás con una cabra.

Ahora, si multiplicamos estas probabilidades condicionadas a lo largo de las ramas, encontramos que la probabilidad de que comenzáramos eligiendo un automóvil y termináramos con un automóvil en esta estrategia de adherencia es un tercio. La probabilidad de comenzar con un auto y terminar con una cabra es cero. La probabilidad de comenzar con una cabra y terminar con un auto es cero. Y la probabilidad de comenzar con una cabra y terminar con una cabra es dos tercios.

Esto significa que la probabilidad general de terminar con un automóvil es un tercio más cero, que es un tercio. Y la probabilidad general de terminar con una cabra es cero más dos tercios, que es dos tercios. Así que anotemos eso aquí.

Si nos plantamos, la probabilidad de obtener un automóvil es de un tercio y la probabilidad de obtener una cabra es de dos tercios. Ahora consideremos la estrategia de cambiar. Cuando elegiste una puerta al azar, hay, al igual que antes, una probabilidad de un tercio de que haya un automóvil detrás y dos tercios de que haya una cabra.

Ahora bien, puesto que el anfitrión abrió la otra puerta, esto quiere decir que, si la puerta que elegimos tenía un automóvil detrás y cambiamos, definitivamente tendremos una cabra y, definitivamente, no obtendremos el automóvil. Y si habíamos elegido la puerta con una cabra detrás y cambiamos, entonces, definitivamente, obtendremos el auto y, definitivamente, no terminaremos con una cabra.

Entonces, con la estrategia de cambiar, la probabilidad de obtener un auto es cero más dos tercios, que es dos tercios, y la probabilidad de obtener una cabra es un tercio más cero, que es un tercio. Así que la estrategia de cambiar te deja con la mejor probabilidad de ganar un auto.

Ahora, ¿esta estrategia significa que siempre ganarás el auto? Pues no, de ninguna manera. Pero sí significa que ganas dos tercios de las veces en lugar de solo un tercio de las veces. Así que vale la pena intentarlo. Para resumir todo entonces, hemos visto que un poco de razonamiento matemático puede ayudarnos a diseñar la mejor estrategia para ganar un automóvil (en lugar de una cabra).

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