Transcripción del vídeo
En este video, vamos a aprender cómo usar el teorema del coseno y el teorema del seno para resolver problemas en contexto de la vida real. A medida que estudiamos algunas aplicaciones de estos teoremas, iremos adquiriendo familiaridad con las leyes mismas. Pero no vamos a explicar en detalle estos teoremas ni cómo probarlos en este video.
Comenzaremos, sin embargo, con un repaso rápido de las leyes del seno y del coseno y cuándo se pueden usar. Supongamos que tenemos un triángulo 𝐴𝐵𝐶 señalado como se muestra. Recordemos que las letras mayúsculas representan los ángulos y las letras minúsculas representan los lados, siendo los lados siempre opuestos al ángulo con la misma letra. Ninguno de los ángulos en este triángulo son necesariamente ángulos rectos. Así que el primer punto clave que debemos recordar es que las leyes del seno y del coseno nos permiten calcular longitudes de lados y medidas de ángulos en triángulos no rectángulos.
Vamos a comenzar con el teorema del seno o la ley de los senos. Este nos dice que, en cualquier triángulo, la razón entre la longitud de cada lado y el seno de su ángulo opuesto es constante, que podemos escribir como 𝑎 sobre sen 𝐴 igual a 𝑏 sobre sen 𝐵, que es igual a 𝑐 sobre sen 𝐶. Y recuerda, las letras minúsculas representan la longitud de los lados y las letras mayúsculas representan los ángulos.
No necesitamos usar a la vez los tres miembros de la igualdad, solo dos miembros de esta igualdad. La información necesaria para aplicar la ley de los senos son dos ángulos y sus lados opuestos. Así que podemos reconocer la necesidad de usar la ley de los senos cuando conocemos datos sobre pares opuestos.
Esta primera versión de la ley de los senos es particularmente útil para calcular la longitud de un lado faltante, ya que los lados están en los numeradores de las fracciones, por lo que se requiere menos reordenamiento. También tenemos una versión recíproca, que es particularmente útil para calcular la medida de un ángulo. sen 𝐴 sobre 𝑎 es igual a sen 𝐵 sobre 𝑏, que es igual a sen 𝐶 sobre 𝑐. Esa es la ley de los senos, y ahora veamos el teorema del coseno o la ley del coseno.
La forma más común en la que se ve esto escrito es la siguiente. 𝑎 al cuadrado es igual a 𝑏 al cuadrado más 𝑐 al cuadrado menos dos 𝑏𝑐 cos de 𝐴. Lo usamos para calcular la longitud de un lado, en este caso la longitud del lado 𝑎, cuando conocemos los otros dos lados del triángulo y el ángulo incluido. Así que conocemos los lados 𝑏 y 𝑐 y el ángulo 𝐴.
También podemos usar la ley del coseno para calcular cualquier ángulo en el triángulo si conocemos las longitudes de los tres lados, y esto es fácil de ver si reorganizamos la ecuación. El reordenamiento es sencillo, y obtenemos que cos de 𝐴 es igual a 𝑏 al cuadrado más 𝑐 al cuadrado menos 𝑎 al cuadrado todo sobre dos 𝑏𝑐. Y esta versión nos sirve, como dijimos, si conocemos las longitudes de los tres lados y queremos calcular uno de los ángulos.
Como ya dijimos, demostraciones y aplicaciones básicas de estas leyes no están incluidas en este video. En cambio, nos vamos a centrar en aplicar estas leyes a algunos problemas en contexto de la vida real. Veamos nuestra primera cuestión.
Un avión recorre 800 metros a lo largo de la pista antes de despegar en un ángulo de 10 grados. Se desplaza otros 1 000 metros en este ángulo, como se ve en la figura. Calcula la distancia del avión desde su punto de partida. Da la respuesta con dos cifras decimales.
Mirando el diagrama, podemos ver que tenemos un triángulo. Queremos calcular la distancia del avión desde su punto de partida. Esa es esta longitud aquí, a la que podemos referirnos como 𝑑 metros. Conocemos las longitudes de los otros dos lados de este triángulo. Son 800 metros y 1 000 metros. Y usando el hecho de que los ángulos en línea recta suman 180 grados, podemos calcular el tamaño de este ángulo aquí. Es 180 grados menos 10 grados, que es 170 grados.
Como este es un triángulo no rectángulo, necesitamos resolver este problema usando la ley de los senos o la ley de los cosenos. Así que el primer paso es decidir cuál de estos necesitamos. Y eso dependerá de la combinación específica de información que nos hayan dado y de lo que queramos calcular.
En este triángulo, conocemos dos lados y el ángulo incluido. Y queremos calcular el tercer lado. Recordemos entonces que esto significa que debemos usar la ley de los cosenos. Recordemos pues la ley de los cosenos. La cual es 𝑎 al cuadrado igual a 𝑏 al cuadrado más 𝑐 al cuadrado menos dos 𝑏𝑐 cos 𝐴. Ahora bien, no es necesario etiquetar nuestro triángulo con las letras 𝐴, 𝐵 y 𝐶. Simplemente debemos tener en cuenta que las letras minúsculas 𝑏 y 𝑐 representan los dos lados que conocemos y la letra mayúscula 𝐴 representa el ángulo incluido.
Usando 800 y 1 000 como las longitudes de los dos lados 𝑏 y 𝑐 y 170 grados como el ángulo 𝐴, tenemos la ecuación 𝑑 al cuadrado igual a 800 al cuadrado más 1 000 al cuadrado menos dos por 800 por 1 000 por cos de 170 grados. Podemos escribir esto directamente en nuestra calculadora o puede ser una buena idea hacer el cálculo en varias etapas. En cualquier caso, hallamos que 𝑑 al cuadrado es igual a 3 215 692.405.
Ahora, debemos recordar que esto es 𝑑 al cuadrado. No es 𝑑, así que no hemos terminado. Tenemos que sacar la raíz cuadrada para hallar el valor de 𝑑. Sin embargo, es un error muy común olvidarse de hacer esto. La raíz cuadrada nos da 𝑑 igual a
1 793.235178. La cuestión nos pide que demos nuestra respuesta con dos cifras decimales. Así que, redondeando adecuadamente, hemos calculado la distancia del avión desde su punto de partida. Es 1 793.24 metros con dos cifras decimales.
En este ejemplo, nos dieron un diagrama para usar. A menudo, este no es el caso, y necesitaremos usar la información de una descripción para dibujar nuestro propio diagrama para así ayudarnos a resolver la cuestión. Veamos ahora un ejemplo de esto.
Un barco navega hacia el sur a una velocidad de 36 kilómetros por hora. Un témpano de hielo se encuentra a 24 grados al norte del este. Después de una hora, el barco está a 33 grados al sur del oeste del témpano de hielo. Halla la distancia entre el barco y el témpano en este momento, dando la respuesta al kilómetro más cercano.
Gran parte de la habilidad requerida en esta cuestión está en dibujar el diagrama. Comencemos con un pequeño dibujo para mostrar las cuatro direcciones. Después tomaremos cada afirmación por separado y consideraremos cómo representarla. En primer lugar, sabemos que el barco navega hacia el sur. Inicialmente, nos dicen que un témpano de hielo está a 24 grados al norte del este del punto de partida del barco.
El este se halla directamente a la derecha de la nave en nuestro diagrama. Y 24 grados al norte del este significa que el témpano está en algún lugar a lo largo de esta línea. Luego nos dicen que, después de una hora, el barco está a 33 grados al sur del oeste del témpano. Ahora bien, el oeste sería la dirección directamente a la izquierda de nuestro témpano. Y usando ángulos alternos en rectas paralelas, sabemos que el ángulo formado aquí es de 24 grados.
Así que el ángulo completo entre la horizontal y la posición a la que se ha movido el barco es de 33 grados. Y ahora podemos ver que tenemos un triángulo. Podemos calcular los ángulos en nuestro triángulo. Por ejemplo, este ángulo aquí es la diferencia entre 33 grados y 24 grados. Son nueve grados. También podríamos calcular este ángulo aquí, es de 24 grados, más el ángulo entre el sur y el este, que es de 90 grados, lo que da un total de 114 grados.
La única información que no hemos usado aún es que el barco viaja a una velocidad de 36 kilómetros por hora. Y sabemos que el barco tarda una hora en pasar de su posición original a su nueva posición. Por lo tanto, el barco habrá recorrido 36 kilómetros en este tiempo. Así que también conocemos la longitud de un lado en nuestro triángulo.
Lo que nos pidieron calcular es la distancia entre el barco y el témpano de hielo en este momento posterior. Y es este lado de aquí, al que podemos referirnos como 𝑑 kilómetros. Ahora hemos elaborado nuestro diagrama, y vemos que tenemos un triángulo que no es rectángulo, lo que significa que tenemos que aplicar la ley de los senos o la ley de los cosenos. Veamos la combinación particular de información que tenemos.
Conocemos un ángulo de nueve grados y el lado opuesto de 36 kilómetros. También conocemos un ángulo de 114 grados. Y queremos calcular el lado opuesto de 𝑑 kilómetros. Por lo tanto, tenemos pares de lados y ángulos opuestos, lo que nos dice que debemos usar el teorema de los senos para resolver esta cuestión.
Recuerda, este nos dice que el cociente entre la longitud de cada lado, representada con letras minúsculas, y el seno de su ángulo opuesto, representado con letras mayúsculas, es constante. O sea, 𝑎 sobre sen 𝐴 es igual a 𝑏 sobre sen 𝐵, que es igual a 𝑐 sobre sen 𝐶. Solo necesitamos usar dos partes de esta razón. Y no es necesario etiquetar nuestro triángulo con las letras 𝐴, 𝐵 y 𝐶 siempre y cuando sepamos claramente lo que representan.
Nuestro lado 𝑑 está opuesto al ángulo de 114 grados, y el lado de 36 kilómetros está opuesto al ángulo de nueve grados. Así que tenemos 𝑑 sobre sen de 114 grados igual a 36 sobre sen de nueve grados. Podemos resolver esta ecuación multiplicando cada lado por sen de 114 grados, que es solo un valor. Y nos da 𝑑 igual a 36 sen 114 grados sobre sen de nueve grados. Evaluando esto en una calculadora, asegurándonos de que nuestra calculadora está en modo de grados obtenemos 210.23267.
La cuestión nos pide que demos nuestra respuesta al kilómetro más cercano. Redondeando, hallamos que la distancia entre el barco y el témpano en este momento es de 210 kilómetros.
Hemos visto un ejemplo de uso de la ley de los senos y la ley de los cosenos para calcular la longitud de un lado. En nuestro siguiente ejemplo, vamos a ver cómo podemos aplicar la ley de los cosenos para calcular todos los ángulos faltantes en un triángulo cuando conocemos las longitudes de sus tres lados.
Los Ángeles está a 1 744 millas de Chicago, Chicago está a 712 millas de Nueva York y Nueva York está a 2 451 millas de Los Ángeles. Halla los ángulos del triángulo que tiene como vértices las tres ciudades.
Lo cierto es que, aunque un poco de conocimiento de la geografía de los Estados Unidos de América puede ser útil aquí, no es esencial para resolver el problema. Podemos dibujar un triángulo usando las tres longitudes dadas en la cuestión. Y si nuestro triángulo resulta estar al revés, no es el fin del mundo. El triángulo debería verse un poco así, y podemos poner las tres distancias.
Ahora bien, este triángulo ciertamente parece que sea un triángulo rectángulo. Así que vamos a necesitar aplicar la ley de los senos o la ley de los cosenos a esta cuestión. Conocemos las tres longitudes de los lados y queremos calcular cada uno de los ángulos, lo que nos dice que debemos usar la ley de los cosenos. La versión reorganizada de esto, que es útil para calcular ángulos, es cos de 𝐴 igual a 𝑏 al cuadrado más 𝑐 al cuadrado menos 𝑎 al cuadrado todo sobre dos 𝑏𝑐. Si no puedes recordar esto, tendrás que realizar el reordenamiento empezando en la forma usual de la ley de los cosenos.
En esta cuestión, usemos 𝐴 para representar Los Ángeles, 𝐶 para representar a Chicago y 𝐵 para representar a Nueva York. Vamos a usar las letras minúsculas correspondientes para representar los lados opuestos. Para calcular nuestro primer ángulo, que es este ángulo de aquí, sustituimos los valores relevantes. Y obtenemos cos de 𝐴 es igual a 1 744 al cuadrado más 2 451 al cuadrado menos 712 al cuadrado todo sobre dos multiplicado por 1 744 multiplicado por 2 451.
Podemos evaluar esto en una calculadora. Y luego, para hallar el valor de 𝐴, necesitamos usar la inversa de la función coseno. Haciendo esto, hallamos que 𝐴 es igual a 2 334 grados. Así que hemos hallado el primer ángulo del triángulo. Y damos nuestra respuesta con dos cifras decimales.
Para calcular el siguiente ángulo en este triángulo, el ángulo 𝐶, no necesitamos volver a etiquetar nuestro triángulo. Solo necesitamos recordar que las letras 𝑏 y 𝑐 representan los dos lados que encierran el ángulo y la letra 𝑎 representa el lado opuesto. Así que usamos 1 744 y 712 para los dos lados que encierran el ángulo y 2 451 para el lado opuesto. Y obtenemos cos de 𝐶 igual a menos 0.9901. Y nuevamente, aplicando la función inversa del coseno, hallamos que el ángulo 𝐶 es igual a 171.939 grados.
De esta manera, hemos obtenido dos ángulos en el triángulo. Y, de hecho, para hallar el tercero, podemos restar el total de los dos ángulos que hemos hallado de 180 grados. Pero si no usamos ese método, todavía será una verificación útil. Exactamente de la misma manera, pero esta vez usando 712 y 2 451 como los dos lados que encierran el ángulo y 1 744 como el lado opuesto, hallamos que la medida del ángulo 𝐵 es 5.726 grados.
Sumando los tres ángulos que hemos encontrado, ahora cada uno redondeado a dos cifras decimales, obtenemos 180 grados. Así que podemos tener confianza en nuestra respuesta. Las medidas de los tres ángulos en el triángulo formado por estas tres ciudades, cada una con dos cifras decimales, son 2.33 grados, 5.73 grados y 171.94 grados.
En nuestro ejemplo final, veamos cómo podemos usar la ley de los senos y la ley de los cosenos para resolver problemas en otros contextos matemáticos.
𝑀 es el centro de un círculo y 𝐴, 𝐵 y 𝐶 son puntos en su circunferencia. Si 𝐵𝐶 es igual a 13 centímetros y la medida del ángulo 𝐶𝑀𝐵 es 84 grados, halla el área del círculo de centro 𝑀, dando la respuesta al centímetro cuadrado más cercano.
Sabemos que el área de un círculo es 𝜋𝑟 al cuadrado. Así que, en realidad, en este problema se trata de hallar el radio del círculo. Comencemos poniendo la información que nos han dado en el diagrama. 𝐵𝐶 mide 13 centímetros y la medida del ángulo 𝐶𝑀𝐵 es 84 grados. No sabemos las longitudes de 𝑀𝐶 o 𝑀𝐵, pero cada una de ellas es el radio de la circunferencia.
Existen muchos enfoques diferentes que podemos tomar. Pero uno de ellos es aplicar la ley de los cosenos en el triángulo 𝐶𝑀𝐵. Esta nos dice que 𝑎 al cuadrado es igual a 𝑏 al cuadrado más 𝑐 al cuadrado menos dos 𝑏𝑐 cos 𝐴, donde 𝑏 y 𝑐 representan dos lados de un triángulo y 𝐴 representa el ángulo incluido. En nuestro triángulo, 𝑎 mide 13 centímetros. El ángulo 𝐴 mide 84 grados. Y los dos lados que encierran este ángulo 𝐴 son cada uno el radio de la circunferencia 𝑟.
Por lo tanto, podemos formar una ecuación. 13 al cuadrado es igual a 𝑟 al cuadrado más 𝑟 al cuadrado menos dos 𝑟 al cuadrado cos de 84 grados. Podemos resolver esta ecuación para hallar el valor de 𝑟 al cuadrado, que luego podemos sustituir directamente en nuestra fórmula del área. Factorizando el lado derecho de nuestra ecuación por 𝑟 al cuadrado, tenemos 169 igual a 𝑟 al cuadrado multiplicado por dos menos dos cos de 84 grados. Dividiendo, obtenemos que 𝑟 al cuadrado es igual a 169 sobre dos menos dos cos 84 grados. Y mantenemos nuestro valor para 𝑟 al cuadrado en esta forma exacta.
Luego podemos sustituir este valor de 𝑟 al cuadrado en la fórmula del área y evaluarla en una calculadora. Redondeando nuestra respuesta, tenemos que el área del círculo de centro 𝑀 al centímetro cuadrado más cercano es 296 centímetros cuadrados.
Como mencionamos anteriormente, existen numerosos enfoques para esta cuestión que puedes probar por ti mismo si deseas. Podríamos, por ejemplo, haber aplicado la ley de los senos en el triángulo 𝐶𝑀𝐵. O podríamos haberlo dividido por la mitad para formar dos triángulos rectángulos y luego haber usado trigonometría de triángulos rectángulos.
Resumamos ahora los puntos clave de este video. En primer lugar, la ley (o teorema) de los senos y la ley (o teorema) del coseno se pueden usar para calcular las longitudes de los lados y las medidas de los ángulos en triángulos no rectos. La ley de los senos en cualquiera de sus dos formas se puede usar para calcular un lado o un ángulo cuando conocemos datos sobre pares opuestos. La ley de los cosenos en su primera forma se puede usar para calcular la longitud de un lado cuando conocemos los otros dos lados y el ángulo incluido. Y en su forma reorganizada, se puede usar para calcular cualquier ángulo cuando conocemos los tres lados.
Podemos aplicar el teorema de los senos y el teorema del coseno a muchos problemas de triángulos. Y aunque no hemos visto un ejemplo de esto, a veces, en el mismo problema, hay que aplicar una regla después de la otra.
