Vídeo: Resolver ecuaciones con expresiones racionales

En 𝑦 = (2𝑥 + 1)/(3𝑥 + 4), despeja 𝑥 y exprésala en términos de 𝑦.

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Transcripción del vídeo

En 𝑦 igual a dos 𝑥 más uno sobre tres 𝑥 más cuatro, despeja 𝑥 y exprésala en términos de 𝑦.

La ecuación que se nos ha dado en el problema nos da 𝑦 en términos de 𝑥: 𝑦 despejada en el lado izquierdo y algunas expresiones que incluyen 𝑥 en el lado derecho. Y el problema nos pide que tomemos esa ecuación y la reorganicemos para que tengamos la 𝑥 despejada en el lado de la izquierda y algunos términos con 𝑦 en el lado derecho.

Ahora, lo primero en lo que nos fijamos es que la variable 𝑥 aparece en este denominador. Y también deberíamos recordar que todos los términos en el numerador tienen que estar agrupados y todos los términos en el denominador también tienen que estar agrupados. Ahora, queremos eliminar ese denominador del lado de la derecha. Y podemos hacerlo multiplicando el lado derecho por el recíproco de uno sobre tres 𝑥 más cuatro porque uno sobre tres 𝑥 más cuatro por tres 𝑥 más cuatro sobre uno es igual a uno.

Básicamente, si dividimos el numerador por tres 𝑥 más cuatro, obtenemos uno. Si dividimos el denominador por tres 𝑥 más cuatro, obtenemos uno. Así que tenemos uno por uno sobre uno por uno, que es uno. Así que esos dos términos se cancelan entre sí. Pero el problema es que ahora hemos desequilibrado la ecuación. Hemos multiplicado este lado por tres 𝑥 más cuatro sobre uno, así que ya no es igual a este lado. Tenemos que utilizar la propiedad de igualdad de la multiplicación. Y eso quiere decir que si multiplicamos un lado de la ecuación por algo, tenemos que multiplicar el otro lado de la ecuación por lo mismo si se ha de mantener la igualdad.

Ahora, eso significa que tenemos que multiplicar el lado de la izquierda por tres 𝑥 más cuatro sobre uno también. Ahora, cuando hacemos eso, nos damos cuenta de que 𝑦 no tiene un denominador y que tres 𝑥 más cuatro sobre uno es lo mismo que tres 𝑥 más cuatro. Y esto quiere decir que en el lado de la izquierda tenemos 𝑦 por tres 𝑥 más cuatro. Ahora podemos utilizar la propiedad distributiva en el lado de la izquierda de la ecuación para obtener 𝑦 por tres 𝑥 y 𝑦 por cuatro.

Ahora, 𝑦 por tres 𝑥 puede escribirse como tres 𝑥𝑦. Y 𝑦 por cuatro puede escribirse como más cuatro 𝑦. Y por supuesto esto es igual a dos 𝑥 más uno en el lado de la derecha. Recordemos ahora lo que estamos tratando de hacer. Estamos intentando despejar la 𝑥 en el lado izquierdo de la ecuación. La mejor opción será deshacerse del dos 𝑥 en el lado derecho. Y podemos hacerlo utilizando la propiedad de igualdad de la resta; podemos restar dos 𝑥 a ambos lados.

Así, en el lado de la derecha tenemos dos 𝑥 más uno menos dos 𝑥. Bueno, dos 𝑥 menos dos 𝑥 es cero. Así que nos quedamos con más uno. Y si nos fijamos en el lado de la izquierda, vemos que no hay ningún término 𝑥 que podamos restar a dos 𝑥. Así que tenemos tres 𝑥𝑦 más cuatro 𝑦 menos dos 𝑥.

Ahora nos tenemos que quedar solo con los términos que incluyan 𝑥 en el lado izquierdo. Así que vamos a intentar eliminar este término 𝑦 del lado izquierdo. Y podemos hacerlo de nuevo utilizando la propiedad de igualdad de la resta y restando cuatro 𝑦 a ambos lados. Esto quiere decir que en el lado de la izquierda tenemos tres 𝑥𝑦 más cuatro 𝑦 menos dos 𝑥 menos cuatro 𝑦. Bueno, cuatro 𝑦 menos cuatro 𝑦 es igual a cero. Así que nos quedamos con tres 𝑥𝑦 menos dos 𝑥. Y en el lado derecho tenemos uno menos cuatro 𝑦.

De este modo, todos los términos 𝑥 están en el lado izquierdo y no hay ningún término con 𝑥 en el lado derecho. Pero solo queremos términos con 𝑥 en el lado izquierdo, y hay un término con 𝑥𝑦 ahí. Pero recordemos que tres 𝑥𝑦 significa tres por 𝑥 por 𝑦 y dos 𝑥 significa dos por 𝑥. Por lo que podemos ver que tenemos un factor común de 𝑥 en ambos términos. Así que podemos usar la propiedad distributiva para sacar el factor común 𝑥 de ambos términos. Eso quiere decir que tenemos 𝑥 por tres 𝑦 menos dos igual a uno menos cuatro 𝑦.

Ahora recordemos que uno sobre tres 𝑦 menos dos es el recíproco de tres 𝑦 menos dos. Así que si multiplicamos ambos lados por uno sobre tres 𝑦 menos dos, entonces los dos elementos se cancelan y obtenemos uno. Así que el lado de la izquierda se convierte en 𝑥. Y en el lado de la derecha tenemos uno menos cuatro 𝑦 por uno. Eso es uno menos cuatro 𝑦 sobre tres 𝑦 menos dos. Y, de hecho, ni siquiera necesitamos estos paréntesis ahí. Y ahí tenemos nuestra respuesta: una expresión para 𝑥 en términos de 𝑦. 𝑥 es igual a uno menos cuatro 𝑦 sobre tres 𝑦 menos dos.

Antes de terminar, vale la pena mencionar que si hubiéramos tomado algunas decisiones ligeramente distintas a lo largo del proceso, habríamos obtenido una versión ligeramente distinta de nuestra respuesta. Por ejemplo, en esta etapa de aquí, si hubiéramos restado tres 𝑥𝑦 a ambos lados en vez de dos 𝑥 a ambos lados, habríamos agrupado todos los términos con 𝑥 en el lado derecho de la ecuación. Entonces, podríamos haber restado uno a ambos lados para eliminar este término, luego eliminar esta 𝑥 de nuevo utilizando la propiedad distributiva, y, por último, multiplicar por el recíproco de dos menos tres 𝑦 para obtener una respuesta de 𝑥 igual a cuatro 𝑦 menos uno sobre dos menos tres 𝑦.

Esta respuesta se parece mucho a la que tenemos aquí. Pero tenemos cuatro 𝑦 menos uno en el numerador en vez de uno menos cuatro 𝑦 y tenemos dos menos tres 𝑦 en el denominador en vez de tres 𝑦 menos dos. Entonces, ¿cuál de nuestras dos respuestas es la correcta? Bueno, ambas son correctas; ambas son versiones equivalentes de la misma respuesta.

Si multiplicamos ambas respuestas por uno, creo que estaréis de acuerdo en que no estamos cambiando ninguna de ellas. Veamos qué pasa si multiplicamos esta por una versión distinta de uno, que es menos uno dividido por menos uno. Menos uno dividido por menos uno es uno. Y luego utilizamos la propiedad distributiva para multiplicar los términos del numerador por menos uno y hacemos lo mismo con los términos del denominador. Entonces menos uno por uno es menos uno; menos uno por menos cuatro 𝑦 es más cuatro 𝑦. Así que el denominador es menos uno más cuatro 𝑦. Y menos uno por tres 𝑦 es menos tres 𝑦, y menos uno por menos dos es más dos. Así que el denominador es menos tres 𝑦 más dos.

Entonces, si nos acordamos de que la suma es conmutativa, no importa en qué orden sumemos estos términos, por lo que menos uno más cuatro 𝑦 es lo mismo que cuatro 𝑦 más menos uno o cuatro 𝑦 menos uno. Y en el denominador, menos tres 𝑦 más dos es lo mismo que dos más menos tres 𝑦 o dos menos tres 𝑦. Así que, obtengamos esta respuesta o la otra, podemos ver que son equivalentes.

Ahora, merece la pena recordar este truco de multiplicar la respuesta por uno, bueno, la versión de uno que es menos uno sobre menos uno, si tenemos que reorganizar algo en un formato un tanto distinto. A veces, tenemos distintos tipos de problemas. Por ejemplo «muestra que 𝑦 es igual a dos 𝑥 más uno sobre tres 𝑥 más cuatro puede expresarse como 𝑥 es igual a cuatro 𝑦 menos uno sobre dos menos tres 𝑦».

Así que si nuestros cálculos nos dan la respuesta en este formato, tal vez debamos usar esta técnica para reorganizar la respuesta en el formato que nos pide el problema. Incluso aunque parezca un poco extraño al principio, es aconsejable practicar aplicando esta técnica en algunos problemas por nuestra cuenta.

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