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Vídeo de la lección: Operaciones con números reales Matemáticas • Noveno grado

En este video, vamos a aprender cómo resolver problemas que requieren realizar operaciones con números reales y hacer uso de sus propiedades.

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Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender cómo resolver problemas que requieren realizar operaciones con números reales y hacer uso de sus propiedades. Esto incluye cálculos con radicales, como la raíz cuadrada de dos o la raíz cuadrada de cinco, y tendremos que considerar también operaciones inversas. En otras palabras, operaciones opuestas.

Comencemos por definir algunos términos. Cuando hablamos de inverso en matemáticas, estamos hablando de algo cuyo efecto es el opuesto. La inversa de una operación es otra operación que deshace lo hecho por aquella operación. Vamos a considerar el inverso aditivo y el inverso multiplicativo. El inverso aditivo u opuesto de un número 𝑎 es el número que cuando se suma a 𝑎 da cero. Y el inverso multiplicativo de un número 𝑎 es el número que cuando se multiplica por 𝑎 da uno. Otra forma de ver esto es como el recíproco, uno sobre 𝑎. Echemos un vistazo a cómo podemos calcularlos.

Halla el inverso aditivo de ocho menos la raíz cuadrada de 135.

Recuerda que el inverso aditivo u opuesto de un número 𝑎 es el número que cuando se suma a 𝑎 da cero. Así que necesitamos hallar un número que cuando se suma a ocho menos la raíz cuadrada de 135, da cero. Y una forma de hacer esto es usar álgebra. Sea 𝑥 el inverso aditivo de ocho menos la raíz cuadrada de 135. Sabemos que la suma de 𝑥 y ocho menos la raíz cuadrada de 135 es cero. Y como solo estamos sumando aquí, no necesitamos estos paréntesis.

Queremos obtener el valor de 𝑥. Recuerda que estamos tratando de hallar el inverso aditivo de nuestro número. Así que vamos a resolver esta ecuación. Tenemos 𝑥 más ocho menos la raíz cuadrada de 135. Comenzamos restando ocho a ambos lados de nuestra ecuación. En el lado izquierdo, eso nos deja con 𝑥 menos la raíz cuadrada de 135. Y en el lado derecho, obtenemos menos ocho. Por lo tanto, 𝑥 menos la raíz cuadrada de 135 es igual a menos ocho. Lo contrario a restar es sumar. Así que sumamos la raíz cuadrada de 135 a ambos lados. Obtenemos que 𝑥 es igual a menos ocho más la raíz cuadrada de 135. Y lo normal es escribir el número positivo primero.

Así que el opuesto o inverso aditivo de ocho menos la raíz cuadrada de 135 es la raíz cuadrada de 135 menos ocho. Y sabemos que el inverso aditivo de un número y ese número suman cero. Podemos comprobar nuestra solución sumando ocho menos la raíz cuadrada de 135 y la raíz cuadrada de 135 menos ocho. Lo que nos da ocho menos la raíz cuadrada de 135 más la raíz cuadrada de 135 menos ocho. Ocho menos ocho es cero y menos la raíz de 135 más la raíz de 135 es cero. Y obtenemos cero, como es requerido.

A continuación, vamos a ver un ejemplo de cómo hallar el inverso multiplicativo.

Halla el inverso multiplicativo de la raíz cuadrada de seis sobre 30.

Recuerda, el inverso multiplicativo de un número 𝑎 es el número que cuando lo multiplicamos por 𝑎 nos da uno. Otra forma de ver esto es como el recíproco de ese número. Si tenemos un número 𝑎, su recíproco es uno sobre 𝑎. Aquí, necesitamos encontrar el número que cuando se multiplica por la raíz cuadrada de seis sobre 30, nos da uno. Si 𝑥 es el inverso multiplicativo de la raíz cuadrada de seis sobre 30, entonces, 𝑥 multiplicado por la raíz cuadrada de seis sobre 30 es igual a uno.

De manera equivalente, lograríamos esto resolviendo esta ecuación. Hemos dicho que también es el recíproco del número original. Que es uno sobre el número. Es uno sobre la raíz cuadrada de seis sobre 30. Sin embargo, esto no tiene muy buena pinta. Vamos a recordar cómo dividir fracciones. Queremos dividir uno por la raíz cuadrada de seis sobre 30. Escribimos uno como uno sobre uno. Recuerda que, para dividir por una fracción, multiplicamos por el recíproco de esa fracción. A esto a veces se le llama dar la vuelta o voltear. 𝑥 es igual a uno sobre uno por 30 sobre raíz de seis.

Y si multiplicamos los numeradores y luego multiplicamos por separado los denominadores de nuestras fracciones, obtenemos 𝑥 igual a 30 sobre raíz de seis. Lo cierto es que, de hecho, no necesitábamos dar tantos pasos. Dada una fracción en la forma 𝑎 sobre 𝑏, su recíproco es simplemente 𝑏 sobre 𝑎. Pero, por supuesto, siempre es bueno entender de dónde vienen las cosas. En definitiva, hemos hallado que el inverso multiplicativo es 30 sobre la raíz cuadrada de seis.

Pero no hemos terminado. Necesitamos racionalizar el denominador. En otras palabras, queremos que el denominador de nuestra fracción sea racional. Por el momento, es un número irracional. La raíz cuadrada de seis no puede escribirse como una fracción donde el numerador y el denominador son números enteros. ¿Cómo lo logramos? Multiplicamos el numerador y el denominador de nuestra fracción por la raíz cuadrada de seis. Esto es lo mismo que multiplicar por la raíz cuadrada de seis sobre la raíz cuadrada de seis, que equivale a multiplicar por uno.

Haciendo esto creamos una fracción equivalente. 30 por la raíz cuadrada de seis es 30 raíz de seis. La raíz cuadrada de seis por sí misma es simplemente seis. Multiplicar un número por sí mismo es elevarlo al cuadrado y, elevar al cuadrado es lo contrario de hallar la raíz cuadrada. Vemos que nuestro inverso multiplicativo es 30 raíz de seis sobre seis. Finalmente, observamos que 30 y seis tienen un factor común de seis. Y así, dividiendo por seis, obtenemos cinco raíz de seis sobre uno, que es simplemente cinco raíz de seis. El inverso multiplicativo de la raíz cuadrada de seis sobre 30 es cinco raíz de seis.

En nuestro siguiente ejemplo, vamos a ver cómo hallar el inverso multiplicativo de la suma de dos radicales.

Halla el inverso multiplicativo de raíz de seis más raíz de siete, y expresa la respuesta en la forma más simple.

Recuerda que el inverso multiplicativo de un número 𝑎 es el número que cuando se multiplica por 𝑎 da uno. Es el recíproco de ese número, uno sobre 𝑎. Queremos encontrar el inverso multiplicativo de la raíz de seis más la raíz de siete. Ese es el recíproco de la raíz de seis más la raíz de siete. Es uno sobre esa expresión. El problema es que aún no hemos terminado. Necesitamos dar nuestra respuesta en la forma más simple. En otras palabras, necesitamos racionalizar el denominador.

Nuestro denominador es una expresión irracional. No se puede escribir como una fracción en la que tanto el numerador como el denominador son números enteros. Entonces, ¿cómo racionalizamos el denominador de nuestra fracción? Recordemos que multiplicar una expresión radical por su conjugado, es decir, multiplicarla por una expresión en la que el signo entre los dos términos está cambiado, nos da un resultado racional. Así que, si cambiamos el signo aquí, obtenemos que el conjugado de raíz de seis más raíz de siete es raíz de seis menos raíz de siete.

Sin embargo, no podemos simplemente multiplicar el denominador de nuestra fracción. Tenemos que hacer lo mismo con el numerador. Esto es como multiplicar por uno. Es obtener una fracción equivalente. Comencemos calculando el denominador de nuestra fracción. Vamos a multiplicar la raíz de seis más la raíz de siete por la raíz de seis menos la raíz de siete. Hay varias técnicas que podemos utilizar. Usemos el método PEIÚ para desarrollar los paréntesis.

Multiplicamos el primer término en cada expresión. La raíz cuadrada de seis por la raíz cuadrada de seis es seis. Luego multiplicamos los términos externos. Esa es la raíz cuadrada de seis por menos la raíz cuadrada de siete. Recordando que para los números reales 𝑎 y 𝑏, la raíz cuadrada de 𝑎 multiplicada por la raíz cuadrada de 𝑏 es la raíz cuadrada de 𝑎𝑏. Hallamos que la raíz cuadrada de seis por la raíz cuadrada de siete es la raíz de 42. Por tanto, nuestro segundo término es menos raíz de 42. Después, multiplicamos los términos internos y obtenemos raíz de 42. Finalmente, multiplicamos los últimos términos en cada expresión. Y dado que raíz de siete por sí misma es simplemente siete, obtenemos menos siete.

Notamos ahora que menos la raíz de 42 más la raíz de 42 es cero. Y así, nos quedamos con seis menos siete, que es simplemente menos uno. Desarrollar los paréntesis en nuestro numerador es un poco más fácil. Uno por raíz de seis y uno por menos raíz de siete nos da raíz de seis menos raíz de siete. Tenemos raíz de seis menos raíz de siete partido por menos uno.

Solo queda un paso más. Vamos a dividir cada término de nuestro numerador por menos uno. Raíz de seis dividida por menos uno es menos raíz de seis y raíz de siete dividida por menos uno es raíz de siete. Obtenemos menos raíz de seis más raíz siete, que podemos escribir como raíz de siete menos raíz de seis. Y hemos obtenido, que el inverso multiplicativo de raíz de seis más raíz de siete es raíz de siete menos raíz de seis.

Siempre podemos comprobar nuestro resultado hallando el producto de estos dos valores. Usamos el método PEIÚ nuevamente. Raíz de seis por raíz de siete es raíz de 42. Luego, multiplicamos raíz de seis por menos raíz de seis para obtener menos seis. Raíz de siete por raíz de siete es siete. Después, raíz de siete por menos raíz de seis es menos raíz de 42. La raíz de 42 se cancela y nos queda uno, como es requerido.

A continuación, vamos a ver cómo aplicar estas técnicas a un problema geométrico.

Sabiendo que las dimensiones de un rectángulo son 57 más siete raíz de dos centímetros y 57 menos siete raíz de dos centímetros, calcula su perímetro.

Recuerda que el perímetro de un rectángulo es la distancia total a lo largo del borde de la figura. Dibujemos el rectángulo indicando sus dimensiones. Sabemos que los lados opuestos de un rectángulo tienen la misma longitud. Esto significa que podemos marcar nuestros lados opuestos como se muestra. El perímetro es la suma de todas estas dimensiones. Es 57 menos siete raíz de dos más 57 más siete raíz de dos más 57 menos siete raíz de dos más 57 más siete raíz de dos. Y, de hecho, puesto que simplemente estamos buscando la suma, no necesitamos estos paréntesis.

A continuación, notamos que menos siete raíz de dos y siete raíz de dos son inversos aditivos uno del otro. Un inverso aditivo u opuesto de un número 𝑎 es el número que sumado a 𝑎 da cero. Esto significa que la suma de menos siete raíz de dos y siete raíz de dos es cero. Tenemos cero aquí y cero aquí. El perímetro es, por tanto, 57 más 57 más 57 más 57, o sea, 57 por cuatro. Que es 228, o 228 centímetros. La longitud del perímetro de nuestra figura es de 228 centímetros.

Veamos el efecto de elevar al cuadrado expresiones algebraicas que contienen raíces cuadradas.

Sabiendo que 𝑎 es igual a la raíz cuadrada de dos y 𝑏 es igual a la raíz cuadrada de seis, halla el valor de 𝑎 al cuadrado partido por 𝑏 al cuadrado.

Recuerda el orden de las operaciones. Para recordar esto, a veces se usa el acrónimo PEMDAS. Esto nos dice el orden en el que debemos realizar las operaciones cuando hay varias. Y, mirando nuestra expresión, 𝑎 al cuadrado sobre 𝑏 al cuadrado, vemos que tenemos exponentes. Y esta línea aquí significa división. Queramos usar PEMDAS o no, lo cierto es que los exponentes se han de calcular antes que las división. Así que vamos a comenzar calculando el valor de 𝑎 al cuadrado y de 𝑏 al cuadrado.

𝑎 es la raíz cuadrada de dos y 𝑏 es la raíz cuadrada de seis, lo que significa que 𝑎 al cuadrado debe ser raíz de dos al cuadrado y 𝑏 al cuadrado debe ser raíz de seis al cuadrado. Podemos reescribir cada uno de estos como raíz cuadrada de dos por raíz cuadrada de dos y raíz de seis por raíz de seis, respectivamente. Y sabemos, por supuesto, que hallar la raíz cuadrada y elevar al cuadrado son operaciones inversas. Son opuestas entre sí pues una deshace lo que la otra hace.

Esto significa que la raíz cuadrada de dos al cuadrado es simplemente dos, mientras que la raíz cuadrada de seis al cuadrado es seis. Así hemos calculado 𝑎 al cuadrado y 𝑏 al cuadrado. Reemplazamos 𝑎 al cuadrado con dos y 𝑏 al cuadrado con seis en nuestra expresión original. Y hallamos que 𝑎 al cuadrado sobre 𝑏 al cuadrado es dos sobre seis. Y como el numerador y el denominador de nuestra fracción comparten un factor común de dos, los dividimos a ambos por dos. Dos dividido por dos es uno y seis dividido por dos es tres. Por lo tanto, el valor de 𝑎 al cuadrado sobre 𝑏 al cuadrado es un tercio.

En nuestro último ejemplo, vamos a ver una aplicación más de estas técnicas en contextos de la vida real.

Un cuadrado tiene una longitud de lado de 𝑙 centímetros y un área de 63 centímetros cuadrados. Calcula el área de un cuadrado cuyo lado mide seis 𝑙 centímetros.

Sabemos que el área de un rectángulo se calcula multiplicando su ancho por su alto. Un cuadrado es simplemente un rectángulo cuyos lados tienen todos la misma longitud. Podemos decir que el área de un cuadrado es la longitud de sus lados multiplicada por sí misma o la longitud de sus lados al cuadrado. Nos dicen que nuestro cuadrado tiene un área de 63 centímetros cuadrados. También que la longitud de sus lados es 𝑙. Reemplazando el área con 63 y la longitud de lado con 𝑙, podemos formar una ecuación. Obtenemos 63 es igual a 𝑙 al cuadrado.

La cuestión nos pide calcular el área de un cuadrado cuya longitud de lado es seis 𝑙 centímetros. Lo que vamos a hacer es comenzar calculando el valor de 𝑙. En otras palabras, vamos a resolver esta ecuación para 𝑙. Para ello, realizamos una operación inversa. 𝑙 está elevado al cuadrado. Lo opuesto a elevar al cuadrado es hallar la raíz cuadrada. Esto básicamente deshace la operación anterior.

Si elevamos al cuadrado ambos lados de nuestra ecuación, obtenemos simplemente 𝑙 en el lado derecho. El lado izquierdo es igual a la raíz cuadrada de 63. Cabe recordar que cuando hallamos la raíz cuadrada en una ecuación, buscamos la raíz cuadradas positiva y la raíz cuadrada negativa del número. Pero esta es una longitud de lado, por lo que no puede tener un valor negativo. Y 𝑙 es igual a la raíz cuadrada de 63. Quizás pienses en simplificar este radical. Pero aún no hemos terminado. Así que lo dejaremos como está por ahora.

Nuestro nuevo cuadrado tiene una longitud de lado de seis 𝑙 centímetros. Acabamos de hallar que 𝑙 es igual a la raíz cuadrada de 63. Seis 𝑙 debe ser seis veces esto. Será igual a seis raíz de 63. Sabiendo que esta es la nueva longitud de lado de nuestro cuadrado, el área de este cuadrado es este valor al cuadrado. Es seis raíz de 63 por seis raíz de 63. Reorganizamos un poco aplicando las propiedades de las potencias. Obtenemos seis al cuadrado por raíz cuadrada de 63 al cuadrado. Seis al cuadrado es 36.

Y, por supuesto, elevar al cuadrado y sacar la raíz cuadrada son operaciones inversas la una de la otra. Deshacen la otra operación. La raíz cuadrada de 63 al cuadrado es simplemente 63. Esto significa que el área de nuestro cuadrado es 36 por 63, que es 2268. Y como estamos trabajando en centímetros, las unidades aquí son centímetros cuadrados.

En este video, hemos aprendido que cuando hablamos de inverso en matemáticas, estamos hablando de algo cuyo efecto es el opuesto. Una operación inversa es aquella que deshace lo realizado por la otra operación. También hemos aprendido sobre el inverso aditivo u opuesto. Hemos dicho que el inverso aditivo de un número 𝑎 es el número que cuando se suma al número original 𝑎 da cero. También hemos visto que el inverso multiplicativo de un número 𝑎 es el número que cuando se multiplica por 𝑎 da uno. Y otra forma de ver esto es como el recíproco, uno sobre 𝑎.

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