Vídeo: Concavidad y puntos de inflexión

En este vídeo vamos a aprender cómo determinar la concavidad y los puntos de inflexión de una función haciendo uso de la segunda derivada.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo determinar la concavidad y los puntos de inflexión de una función haciendo uso de la segunda derivada. Para mejor aprovechar este vídeo debes saber cómo hallar la primera y la segunda derivadas de una función usando las reglas de derivación, y debes estar acostumbrado a aplicar el criterio de la primera derivada para determinar la naturaleza de los puntos críticos. Vamos a ver lo que significa que una función sea cóncava hacia arriba o hacia abajo y que tenga un punto de inflexión. También aprenderemos a usar la segunda derivada como método alternativo al criterio de la primera derivada.

Vamos a fijarnos en la forma de las siguientes gráficas. Aquí tenemos la gráfica de 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cuadrado, de 𝑔 de 𝑥 igual a menos 𝑥 al cuadrado y de ℎ de 𝑥 igual a 𝑥 al cubo. 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cuadrado es un claro ejemplo de una función que es cóncava hacia arriba en todo su dominio. La función se curva hacia arriba en todo el dominio y su pendiente es creciente. Otra forma de enfocar esto es decir que, si la gráfica de una función se encuentra por encima de todas sus tangentes en un intervalo, entonces es cóncava hacia arriba en ese intervalo. Del mismo modo, 𝑔 de 𝑥 igual a menos 𝑥 al cuadrado es un buen ejemplo de una función que es cóncava hacia abajo. La función se curva hacia abajo en todo su dominio y su pendiente es decreciente.

Otra forma de verlo es decir que, si la gráfica de la función se encuentra por debajo de todas sus tangentes en un intervalo, entonces es cóncava hacia abajo en ese intervalo. Podemos ver que, en la función 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cuadrado, el punto crítico en cero, cero es un mínimo. Y, de hecho, es un mínimo absoluto. Es el punto más bajo de la curva en todo su dominio. En la gráfica 𝑔 de 𝑥 igual a menos 𝑥 al cuadrado, el punto crítico en cero, cero es un máximo absoluto. Es el punto más alto de la curva en todo su dominio.

La gráfica ℎ de 𝑥 igual a 𝑥 al cubo nos dice algo un tanto distinto. El punto crítico en cero, cero, se conoce como punto de inflexión. Es un punto crítico en el que el comportamiento de la función cambia. Pasa de ser cóncava hacia abajo a ser cóncava hacia arriba, o viceversa. Muy bien, ahora que tenemos una definición, vamos a pensar en cómo determinar la naturaleza del punto crítico y, por ende, su concavidad. Vamos a fijarnos de nuevo en la gráfica de 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cuadrado. Su derivada 𝑓 prima de 𝑥 igual a dos 𝑥 se llama, a veces, función gradiente, pues nos da el gradiente o la pendiente de la tangente de la curva en un punto cualquiera. Podemos ver que la pendiente de la tangente de la curva en 𝑥 igual a menos uno, justo antes del punto crítico, es negativa. También vemos que la pendiente de la tangente a la curva en un punto que se encuentra justo después del punto crítico, 𝑥 igual a uno, es positiva.

Anteriormente, habríamos calculado esto aplicando el criterio de la primera derivada. Habríamos sustituido estos valores en la ecuación de la primera derivada y habríamos comprobado que es, como ya hemos visto, negativa antes del punto crítico y positiva después del punto crítico. Sin embargo, vamos a fijarnos en lo que le está ocurriendo a la derivada. Pasa de un número menor que cero a un número mayor que cero. En otras palabras, la función 𝑓 prima de 𝑥 es creciente. Otra forma de enfocarlo es decir que la derivada de 𝑓 prima de 𝑥 debe ser mayor que cero. Es decir, 𝑓 doble prima de 𝑥, la segunda derivada de la función, debe ser mayor que cero. Este es el criterio de la segunda derivada.

Vamos a calcular la segunda derivada en el punto crítico. Si es mayor que cero, hay un mínimo relativo. Y este mismo criterio nos permite determinar la concavidad. Si la segunda derivada de la función es mayor que cero para todos los valores de 𝑥 en un intervalo 𝐼, entonces la gráfica es cóncava hacia arriba en ese intervalo. Vamos a considerar también la gráfica de 𝑔 de 𝑥 igual a menos 𝑥 al cuadrado. Justo antes del punto crítico, la tangente tiene un gradiente positivo, es decir, una pendiente positiva. Y, justo después del punto crítico, la tangente tiene un gradiente negativo. Esto significa que 𝑓 prima de 𝑥 es decreciente. Es decir, la derivada de 𝑓 prima de 𝑥 debe ser menor que cero. O sea, 𝑓 doble prima de 𝑥, la segunda derivada, debe ser menor que cero.

Si calculamos la segunda derivada en el punto crítico y vemos que es menor que cero, entonces tenemos un máximo relativo. Si la segunda derivada de nuestra función es menor que cero para todos los valores de 𝑥 en un intervalo 𝐼, entonces la gráfica es cóncava hacia abajo en ese intervalo. Pero falta algo. ¿Qué pasa si 𝑓 doble prima de 𝑥 de la segunda derivada es igual a cero? Si la segunda derivada es igual a cero o es indefinida, puede haber un punto de inflexión. Pero debemos tener cuidado, y no asumir que cualquier punto en el que 𝑓 doble prima de 𝑥 es igual a cero es un punto de inflexión. En vez de eso, tenemos que comprobar la naturaleza de la segunda derivada a ambos lados del punto y ver si la función pasa de ser cóncava hacia arriba a ser cóncava hacia abajo, o viceversa. Veamos un ejemplo de cómo podemos aplicar algunas de estas definiciones.

Halla los intervalos en los que la función 𝑓 de 𝑥 igual a menos cuatro 𝑥 elevado a cinco más 𝑥 al cubo es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo.

Como ya hemos visto, si la segunda derivada de la función, 𝑓 doble prima de 𝑥, es mayor que cero para todos los valores de 𝑥 en un intervalo 𝐼, 𝑓 es cóncava hacia arriba en ese intervalo. Del mismo modo, si la segunda derivada es menor que cero para todos los valores de 𝑥 en un intervalo 𝐼, entonces 𝑓 es cóncava hacia abajo en ese intervalo. Por lo tanto, tenemos que hallar la segunda derivada de la función y utilizarla para determinar los intervalos en los que 𝑓 doble prima de 𝑥 es mayor que cero y menor que cero.

En primer lugar, hallamos la primera derivada de la función. Es cinco por menos cuatro 𝑥 a la cuarta más tres por 𝑥 al cuadrado, que es menos 20𝑥 a la cuarta más tres 𝑥 al cuadrado. Derivamos de nuevo para hallar la segunda derivada. Esta vez es cuatro por menos 20𝑥 al cubo más dos por tres equis, que es menos 80𝑥 al cubo más seis 𝑥. Ahora tenemos que hallar el intervalo en el que esta derivada es mayor que cero y en el que es menor que cero. Comenzamos igualándola a cero y despejando 𝑥. Factorizamos y obtenemos dos 𝑥 por menos 40𝑥 al cuadrado más tres. Por lo tanto, sabemos que, para que el producto de dos 𝑥 y menos 40𝑥 al cuadrado más tres sea igual a cero, o bien 𝑥 es igual a cero, lo que significa que 𝑥 es igual a cero, o bien menos 40𝑥 al cuadrado más tres es igual a cero.

Para resolver esto, sumamos 40𝑥 al cuadrado a ambos lados de la ecuación, dividimos por 40 y luego hallamos la raíz cuadrada, y debemos acordarnos de hallar tanto la raíz cuadrada positiva como la raíz negativa de tres partido por 40. Racionalizamos el denominador y obtenemos 𝑥 igual a más menos la raíz de 30 partido por 20. A continuación, trazamos la curva de 𝑓 doble prima de 𝑥 para ayudarnos a ver dónde es menor que cero, y dónde igual a cero. Es la gráfica de una función cúbica con un coeficiente de 𝑥 al cubo negativo, y cuyas raíces son menos raíz de 30 partido entre 20, raíz de 30 partido entre 20 y cero. Quedaría así. Como vemos, 𝑓 doble prima de 𝑥 es menor que cero aquí y aquí. Y es mayor que cero aquí y aquí. Como la segunda derivada es mayor que cero en el intervalo abierto menos infinito a menos raíz de 30 sobre 20 y en el intervalo abierto cero a raíz de 30 sobre 20, 𝑓 de 𝑥 es cóncava hacia arriba en estos intervalos. Asimismo, es cóncava hacia abajo en los intervalos abiertos menos raíz de 30 sobre 20, cero, y raíz de 30 sobre 20, infinito.

En el siguiente ejemplo vamos a ver cómo podemos hallar los puntos de inflexión de una curva.

Determina los puntos de inflexión de la curva 𝑦 igual a 𝑥 al cuadrado más dos 𝑥 menos cinco.

Como sabemos, puede haber un punto de inflexión en la curva 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 si la segunda derivada es igual a cero, o si la segunda derivada no está definida en un punto. Pero vamos a formalizar esto un poco. En su lugar, decimos que, si 𝑝 es un punto de inflexión en una función continua 𝑓, entonces 𝑓 doble prima de 𝑥, la segunda derivada, es igual a cero o no está definida, y la curva pasa de ser cóncava hacia arriba a ser cóncava hacia abajo, o viceversa, en 𝑝. Como siempre, vamos a empezar hallando los puntos críticos, y luego determinamos su naturaleza. Derivamos nuestra función 𝑦 con respecto a 𝑥. La primera derivada es dos 𝑥 más dos.

Para hallar un punto crítico, vamos a igualar esto a cero. De este modo, dos 𝑥 más dos es igual a cero. Para hallar 𝑥, restamos dos a ambos lados de la ecuación. Y dividimos por dos. Por lo tanto, vemos que hay un punto crítico en 𝑥 igual a menos uno. Pero, ¿qué tipo de punto crítico es? Vamos a hallar ahora la segunda derivada. La segunda derivada de nuestra función es dos. Curiosamente, la segunda derivada aquí es una constante. Y es mayor que cero. En otras palabras, la segunda derivada es mayor que cero en todo el dominio. 𝑦 es cóncava hacia arriba, y la concavidad nunca cambia. Por lo tanto, esta curva no tiene puntos de inflexión.

En el siguiente ejemplo vamos a aprender cómo usar la segunda derivada para hallar el punto de inflexión de una curva.

Halla el punto de inflexión en la gráfica de 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑥 al cubo menos nueve 𝑥 al cuadrado más seis 𝑥.

Si 𝑝 es un punto de inflexión en una función continua 𝑓, entonces la segunda derivada de 𝑓 de 𝑥 es igual a cero o es indefinida en este punto. Y la concavidad de la curva cambia en este punto. Para resolver esta cuestión, vamos a empezar hallando la segunda derivada de la función. La primera derivada es tres 𝑥 al cuadrado menos dos por nueve 𝑥 más seis, que se simplifica a tres 𝑥 al cuadrado menos 18𝑥 más seis. La segunda derivada es seis 𝑥 menos 18. Sabemos que puede haber un punto de inflexión cuando la segunda derivada es igual a cero. Así que igualamos esto a cero y despejamos 𝑥. Sumamos 18 a ambos lados de la ecuación y dividimos por seis. Así, 𝑥 es igual a tres.

El hecho de que la segunda derivada de 𝑓 de tres sea igual a cero, no nos asegura que sea un punto de inflexión. Vamos a comprobar la concavidad de la curva a ambos lados de este punto. Vamos a considerar 𝑓 doble prima de dos y 𝑓 doble prima de cuatro. 𝑓 doble prima de dos es seis por dos menos 18, que es menos seis. Y 𝑓 doble prima de cuatro es seis por cuatro menos 18, que es seis. La segunda derivada de 𝑓 en dos es menor que cero y en cuatro es mayor que cero. La curva pasa de ser cóncava hacia abajo a ser cóncava hacia arriba. Por lo tanto, 𝑥 igual a tres es un punto de inflexión. Ahora sabemos que podemos sustituir 𝑥 igual a tres en la ecuación 𝑓 de 𝑥 para hallar 𝑓 de tres. Eso es tres al cubo menos nueve por tres al cuadrado más seis por tres, que es menos 36. El punto de inflexión de la función se encuentra en tres, menos 36.

En los dos últimos ejemplos siguientes, vamos a ver cómo pueden aplicarse las reglas de derivación para ayudarnos a comprobar la concavidad y los puntos de inflexión fijándonos en funciones trigonométricas y logarítmicas.

Sabiendo que 𝑓 de 𝑥 es igual a seno de cuatro 𝑥 más coseno de cuatro 𝑥, y que 𝑥 es mayor o igual que cero y menor o igual que 𝜋 sobre dos, determina los puntos de inflexión de 𝑓.

Como ya hemos visto, un punto de inflexión en una curva es un punto en el que la curva pasa de ser cóncava hacia abajo a ser cóncava hacia arriba, o viceversa. Esto ocurre cuando 𝑓 doble prima de 𝑥 es igual a cero o es indefinida. Pero recordemos que, el hecho de que 𝑓 doble prima de 𝑥 sea igual a cero no nos asegura que haya un punto de inflexión. Por lo tanto, siempre debemos hacer una segunda comprobación. Vamos a comenzar hallando la primera derivada de la función. Conocemos, por supuesto, las derivadas de seno de 𝑎 𝑥 y de coseno de 𝑎 𝑥. Así que 𝑓 prima de 𝑥 es igual a cuatro coseno de cuatro 𝑥 menos cuatro seno de cuatro 𝑥.

A continuación, hallamos la segunda derivada. Y vemos que 𝑓 doble prima de 𝑥 es igual a menos 16 seno de cuatro 𝑥 menos 16 coseno de cuatro 𝑥. Estamos buscando un punto de inflexión. Así que igualamos esto a cero y hallamos 𝑥 sabiendo que estamos considerando el intervalo cerrado cero, 𝜋 partido por dos radianes. Dividimos por menos 16 y restamos coseno de cuatro 𝑥 a ambos lados. Luego, debemos acordarnos de la propiedad que dice que tangente es igual a seno de 𝑥 sobre coseno de 𝑥. Así que seno de cuatro 𝑥 dividido por coseno de cuatro 𝑥 es tangente de cuatro 𝑥. Y obtenemos tangente de cuatro 𝑥 igual a menos uno. Hallamos la arcotangente de menos uno, que sabemos es menos 𝜋 partido por cuatro radianes.

Pero debemos recordar que tangente de 𝑥 tiene un periodo de 𝜋 radianes. Por lo tanto, puede haber más de una solución. Modificamos el intervalo multiplicando por cuatro. Y vemos que cuatro 𝑥 debe ser mayor o igual que cero y menor o igual que dos 𝜋. Podemos hallar todos los valores de cuatro 𝑥 en este intervalo sumando múltiplos de 𝜋 a nuestra solución. Sumamos 𝜋 a menos 𝜋 sobre cuatro y obtenemos tres 𝜋 sobre cuatro. Sumamos 𝜋 de nuevo y obtenemos siete 𝜋 sobre cuatro. Por último, dividimos por cuatro y vemos que 𝑥 es igual a tres 𝜋 partido por 16 y siete 𝜋 partido por 16 radianes. Recordemos que, el hecho de que la segunda derivada sea igual a cero, no garantiza que haya un punto de inflexión. Así que vamos a comprobar la concavidad a ambos lados de estos valores.

Hacemos 𝑥 igual a 0.5 y 0.6. Estos son valores a cada lado de tres 𝜋 sobre 16. Y también vamos a probar con 𝑥 igual a 1.3 y 𝑥 igual a 1.4, que son valores a cada lado de siete 𝜋 sobre 16. 𝑓 doble prima de 0.5 es un valor negativo y 𝑓 doble prima de 0.6 es un valor positivo. Del mismo modo, 𝑓 doble prima de 1.3 es mayor que cero y 𝑓 doble prima de 1.4 es menor que cero. Y vemos que, en el punto 𝑥 igual a tres 𝜋 sobre 16, la gráfica pasa de ser cóncava hacia abajo a ser cóncava hacia arriba. Y alrededor de 𝑥 igual a siete 𝜋 sobre 16, pasa de ser cóncava hacia arriba a ser cóncava hacia abajo. Estos dos puntos son puntos de inflexión. Podemos sustituir cada valor en 𝑓 de 𝑥 para hallar las coordenadas 𝑦 correspondientes. Los puntos de inflexión se encuentran en tres 𝜋 sobre 16, cero y en siete 𝜋 sobre 16, cero.

Halla, si hay, los puntos de inflexión de 𝑓 de 𝑥 igual a tres 𝑥 al cuadrado por el logaritmo neperiano de dos 𝑥.

Para hallar los puntos de inflexión, vamos a calcular la segunda derivada de la función y la vamos a igualar a cero. Vemos que esta función es el producto de dos funciones. Así que vamos a utilizar la regla del producto para derivarla. Esta regla dice que, para dos funciones derivables, 𝑢 y 𝑣, la derivada de su producto es 𝑢 por d𝑣 sobre d𝑥 más 𝑣 por d𝑢 sobre d𝑥. Igualamos 𝑢 a tres 𝑥 al cuadrado y 𝑣 al logaritmo neperiano de dos 𝑥. Así, d𝑢 sobre d𝑥 es seis 𝑥 y d𝑣 sobre d𝑥 es uno partido por 𝑥. Por lo tanto, 𝑓 prima, la primera derivada de nuestra función, es tres 𝑥 al cuadrado por uno sobre 𝑥 más seis 𝑥 por el logaritmo neperiano de dos 𝑥 o tres 𝑥 más seis 𝑥 por el logaritmo neperiano de dos 𝑥. Vamos a derivar esto de nuevo.

Utilizamos la regla del producto para hallar que la derivada de seis 𝑥 por el logaritmo neperiano de dos 𝑥 es seis más seis por el logaritmo neperiano de dos 𝑥. Así que la segunda derivada es nueve más seis por el logaritmo neperiano de dos 𝑥. Igualamos esto a cero. Para hallar 𝑥, restamos nueve y dividimos por seis. Ponemos ambos lados de la ecuación como exponentes de 𝑒. Y luego dividimos por dos. Por lo tanto, posiblemente, hay un punto de inflexión en 𝑥 igual a un medio de 𝑒 elevado a menos tres partido por dos. Pero debemos comprobar si esto es verdaderamente un punto de inflexión, y lo hacemos comprobando los valores de 𝑓 doble prima o la segunda derivada, a ambos lados de este punto.

Un medio de 𝑒 elevado a menos tres sobre dos es aproximadamente 0.112. Así que vamos a probar con 𝑥 igual a 0.1 y con 𝑥 igual a 0.12. La segunda derivada, 𝑓 doble prima, en 0.1 es menor que cero. Y 𝑓 doble prima en 0.12 es mayor que cero. La curva pasa de ser cóncava hacia abajo a ser cóncava hacia arriba. Podemos decir que tenemos un punto de inflexión en 𝑥 igual a un medio de 𝑒 elevado a menos tres sobre dos. Sustituimos este valor de 𝑥 en la función original y obtenemos menos nueve partido por ocho 𝑒 al cubo. 𝑓 tiene un punto de inflexión en 𝑒 elevado a menos tres sobre dos sobre dos, menos nueve sobre ocho 𝑒 al cubo.

En este vídeo hemos aprendido que, si la segunda derivada de 𝑥 es mayor que cero para todos los valores de 𝑥 en un intervalo 𝐼, la gráfica de 𝑓 es cóncava hacia arriba en 𝐼. También hemos aprendido que, en caso contrario, 𝑓 es cóncava hacia abajo en 𝐼. Asimismo, hemos visto que un punto de inflexión ocurre cuando la concavidad de la gráfica cambia. Y esto se produce cuando la segunda derivada es igual a cero o es indefinida en ese punto. También hemos visto que, el hecho de que 𝑓 doble prima de 𝑥 sea igual a cero o sea indefinida no nos garantiza que haya un punto de inflexión. Y, por lo tanto, hemos de aplicar el criterio de la segunda derivada, es decir, comprobar la concavidad a ambos lados.

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