Transcripción del vídeo
En este video, vamos a aprender cómo identificar, escribir, evaluar y analizar funciones exponenciales.
Una función exponencial es una función con una regla de la forma 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑏 elevado a 𝑥, donde el número real constante 𝑏 se llama base, de modo que 𝑏 ha de ser mayor que cero y 𝑏 no puede ser igual a uno, y 𝑥 se llama exponente, el cual puede tomar cualquier valor real. Examinemos un poco 𝑓 de 𝑥 para algunos valores enteros positivos de 𝑥. Para 𝑥 igual a uno, tenemos 𝑏 a la primera potencia, que es simplemente 𝑏. Para 𝑥 igual a dos, tenemos 𝑏 a la segunda potencia o 𝑏 al cuadrado, que es igual a 𝑏 por 𝑏. Para 𝑥 igual a tres, tenemos 𝑏 a la tercera potencia o 𝑏 al cubo igual a 𝑏 por 𝑏 por 𝑏. Y para 𝑥 igual a cuatro, tenemos 𝑏 a la cuarta igual a 𝑏 por 𝑏 por 𝑏 por 𝑏.
Podemos ver que el valor anterior de 𝑓 de 𝑥 se multiplica por 𝑏 cada vez que 𝑥 aumenta en uno. Así que 𝑓 de dos es igual a 𝑓 de uno por 𝑏. 𝑓 de tres es igual a 𝑓 de dos por 𝑏, y 𝑓 de cuatro es igual a 𝑓 de tres por 𝑏. Esto alude a una propiedad más general de la función exponencial. Para la función exponencial 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑏 elevado a 𝑥, el valor de 𝑓 de 𝑥 es siempre el producto de 𝑓 de 𝑥 menos uno y 𝑏, lo que significa que 𝑏 es siempre el cociente de 𝑓 de 𝑥 y 𝑓 de 𝑥 menos uno. Es decir, 𝑓 de 𝑥 es igual a 𝑓 de 𝑥 menos uno por 𝑏, lo que a su vez significa que 𝑏 es igual a 𝑓 de 𝑥 dividido por 𝑓 de 𝑥 menos uno. Esto es cierto no solo para valores enteros de 𝑥 sino también para cualquier valor numérico real de 𝑥. A menudo podemos usar la relación entre 𝑏, 𝑓 de 𝑥 y 𝑓 de 𝑥 menos uno para hallar el valor de 𝑏 a partir de una gráfica o tabla.
Considera la gráfica que representa a 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑏 elevado a 𝑥 para un valor específico de 𝑏. Observa que la gráfica interseca el eje 𝑦 en uno. Este es el caso para cualquier valor numérico real de 𝑏 siempre que 𝑏 sea mayor que cero y 𝑏 no sea igual a uno. Podemos hallar el valor de 𝑏 en la función que representa la gráfica seleccionando dos puntos por los que pasa la gráfica que tengan coordenadas 𝑥 que difieran en uno. No importa qué puntos elijamos, pero ambos deben tener coordenadas 𝑥 y 𝑦 que sean fáciles de identificar. En este caso, es más fácil para nosotros seleccionar puntos con coordenadas 𝑥 que sean enteros consecutivos. Así que vamos a escoger 𝑥 igual a menos tres y 𝑥 igual a menos dos. En la gráfica, podemos ver que tienen coordenadas 𝑦 de ocho y cuatro, respectivamente. Tenemos 𝑓 de menos tres igual a ocho y 𝑓 de menos dos igual a cuatro.
Acabamos de demostrar que la base 𝑏 es igual a 𝑓 de 𝑥 dividido por 𝑓 de 𝑥 menos uno sin importar qué valor de 𝑥 elijamos. Así que podemos elegir que nuestro valor de 𝑥 sea menos dos. 𝑥 menos uno es menos tres. Así que tenemos que 𝑏 es igual a 𝑓 de menos dos sobre 𝑓 de menos tres. Y sustituyendo estos valores obtenidos en la gráfica, obtenemos 𝑏 igual a cuatro sobre ocho. Obtenemos 𝑏 igual a un medio. Y, por lo tanto, 𝑓 de 𝑥 es igual a un medio elevado a 𝑥.
Veamos ahora una tabla de valores de una función 𝑔 de 𝑥 igual a 𝑏 elevado a 𝑥 para otro valor específico de 𝑏. Para 𝑥 igual a uno, tenemos 𝑔 de 𝑥 igual a dos. Para 𝑥 igual a dos, tenemos 𝑔 de 𝑥 igual a cuatro. Para 𝑥 igual a tres, tenemos 𝑔 de 𝑥 igual a ocho. Y para 𝑥 igual a cuatro, tenemos 𝑔 de 𝑥 igual a 16. Como los valores de 𝑥 en la tabla difieren en una unidad, podemos usar el mismo procedimiento de antes para hallar el valor de 𝑏, hallando el cociente de cuatro y dos o de ocho y cuatro o de 16 y ocho. Sin embargo, en lugar de eso, vamos a sustituir el primer par de valores 𝑥 y 𝑦 de la tabla en la regla 𝑔 de 𝑥 igual a 𝑏 elevado a 𝑥.
Sustituyendo uno por 𝑥 y dos por 𝑔 de 𝑥, hallamos que dos es igual a 𝑏 a la primera potencia y, por lo tanto, 𝑏 es igual a dos. Hasta ahora, solo hemos considerado funciones exponenciales de esta forma particular. Pero las funciones exponenciales pueden tomar una forma más general que esta. Podemos multiplicar la base por alguna constante, 𝑎, y podemos multiplicar el exponente por una constante, 𝛼, y agregarle una constante, 𝛽. Y finalmente, podemos agregar una constante al final de la función, 𝑐. Estas son simplemente las transformaciones básicas de una función donde 𝑎 alarga la gráfica de la función a lo largo del eje 𝑦 por un factor de escala 𝑎, 𝛼 acorta la gráfica de la función a lo largo del eje 𝑥 por un factor de escala 𝛼, 𝛽 traslada la función a lo largo del eje 𝑥 un desplazamiento de menos 𝛽, y 𝑐 traslada la función a lo largo del eje 𝑦 un desplazamiento de menos 𝑐.
Así que algunos otros ejemplos de funciones exponenciales son 𝑔 de 𝑥 igual a cuatro por dos elevado a 𝑥 o ℎ de 𝑥 igual a 𝑒 elevado a 𝑥 más uno o 𝑘 igual a nueve elevado a cuatro 𝑥 más tres. Para 𝑔 de 𝑥, la base sigue siendo dos y el exponente sigue siendo 𝑥. Para ℎ de 𝑥, la base es 𝑒 y el exponente es 𝑥. Y para 𝑘 de 𝑥, la base es nueve y el exponente es cuatro 𝑥 más tres. Veamos un ejemplo de cómo hallar la base y el exponente de una función exponencial.
¿Cuáles son la base y el exponente de la función 𝑓 de 𝑥 igual a cinco a la 𝑥 menos cinco?
Recuerda que una función exponencial en su forma más simple es de la forma 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑏 elevado a 𝑥, donde 𝑏 es la base y 𝑥 es el exponente. Sabemos que la base 𝑏 es un número real, tal que 𝑏 es mayor que cero y 𝑏 no es igual a uno y el exponente 𝑥 puede ser cualquier número real. En la función dada, tenemos una base de cinco y esta se eleva a 𝑥 menos cinco. Esto aún cumple los criterios de una función exponencial. Así que la base es cinco y el exponente es 𝑥 menos cinco.
En el siguiente problema, nos dan una tabla de valores para una función exponencial y nos piden que hallemos la ecuación de la función.
Escribe una ecuación exponencial en la forma 𝑦 igual a 𝑏 elevado a 𝑥 para los números en la tabla. 𝑥 es igual a dos, cuatro y cinco con los correspondientes valores de 𝑦 nueve sobre 16, 81 sobre 256 y 243 sobre 1024.
Recordemos que una función exponencial en su forma más simple toma la forma 𝑦 igual a 𝑏 elevado a 𝑥, siendo 𝑏 la base, que ha de ser un número real mayor que cero y no igual a uno, y 𝑥 el exponente, que puede ser cualquier número real. Por lo tanto, necesitamos hallar el valor de 𝑏 de los valores en la tabla para resolver el problema. Comencemos sustituyendo uno de los pares de valores 𝑥 y 𝑦 de la tabla en la ecuación 𝑦 igual a 𝑏 elevado a 𝑥.
Haciendo 𝑥 igual a dos en la ecuación y haciendo 𝑦 igual a nueve sobre 16, obtenemos nueve sobre 16 igual a 𝑏 al cuadrado. Ahora despejamos 𝑏 y obtenemos 𝑏 igual a más o menos raíz cuadrada de nueve sobre 16. Y, usando propiedades de la raíz cuadrada, obtenemos más o menos la raíz cuadrada de nueve sobre la raíz cuadrada de 16. Esto se simplifica a más o menos tres cuartos. Y como 𝑏 debe ser mayor que cero, debe ser la raíz cuadrada positiva. Por lo tanto, 𝑏 es igual a tres cuartos. Sustituyendo este valor de 𝑏 en la ecuación de la función, obtenemos nuestra respuesta final: 𝑦 es igual a tres cuartos elevado a 𝑥.
Una forma de verificar nuestra respuesta es repetir el proceso con los otros pares de valores en la tabla. Sustituyendo los otros valores de 𝑥 y 𝑦, obtenemos 81 sobre 256 igual a 𝑏 a la cuarta y 243 sobre 1024 igual a 𝑏 a la quinta. Si dividimos la segunda ecuación por la primera, obtenemos 243 sobre 1024 dividido por 81 sobre 256 igual a 𝑏 a la quinta sobre 𝑏 a la cuarta. El lado derecho aquí se simplifica a 𝑏 elevado a cinco menos cuatro, y 𝑏 elevado a cinco menos cuatro es simplemente 𝑏 elevado a uno, que es simplemente 𝑏. Y tomando el cociente en el lado izquierdo, también obtenemos tres cuartos.
En el proceso de verificar nuestra respuesta, hemos usado la regla del cociente, que es una de las propiedades de los exponentes. Y dice que, al dividir expresiones exponenciales con la misma base, mantenemos la base y hallamos la diferencia de los exponentes. Es decir, 𝑏 elevado a 𝑚 sobre 𝑏 elevado a 𝑛 igual a 𝑏 elevado a 𝑚 menos 𝑛, donde 𝑏 es la base y 𝑚 y 𝑛 son los exponentes. Por ejemplo, usaríamos la regla del cociente para demostrar que cinco a la octava sobre cinco a la cuarta es igual a cinco a la octava menos cuatro, que es igual a cinco a la cuarta.
En el problema que sigue, nuevamente nos dan una tabla de valores para una función exponencial y nos piden que hallemos la ecuación de la función. Pero esta vez la ecuación está en una forma diferente a 𝑦 igual a 𝑏 elevado a 𝑥.
Escribe una ecuación exponencial en la forma 𝑦 igual a 𝑎 por 𝑏 elevado a 𝑥 para los números en la tabla. Para 𝑥 igual a cero, uno, dos y tres, los valores de 𝑦 correspondientes son 18, seis, dos y dos tercios.
En este problema, nos piden que escribamos una ecuación exponencial en la forma 𝑦 igual a 𝑎 por 𝑏 elevado a 𝑥 para los números en la tabla. Así que, para resolver el problema, debemos hallar los valores tanto de 𝑎 como de 𝑏. Comencemos sustituyendo uno de los pares de valores 𝑥 y 𝑦 de la tabla en la ecuación 𝑦 igual a 𝑎 por 𝑏 elevado a 𝑥. Sustituyendo el primer par de valores, 𝑥 igual a cero y 𝑦 igual a 18, obtenemos 18 igual a 𝑎 por 𝑏 elevado a cero. Como cualquier base elevada a cero es igual a uno, la ecuación se simplifica a 𝑎 igual a 18.
Sin embargo, todavía necesitamos hallar el valor de 𝑏, y podemos hacer esto sustituyendo otro par de valores de 𝑥 y 𝑦. Así que, sustituyendo el siguiente par de valores, 𝑥 igual a uno y 𝑦 igual a seis, obtenemos seis igual a 𝑎 por 𝑏 elevado a uno. Cualquier base 𝑏 elevada a uno es ella misma, así que esto se simplifica a seis igual a 𝑎𝑏. Ya hemos hallado que el valor de 𝑎 es igual a 18. Así que podemos sustituir esto en la ecuación para obtener seis igual a 18𝑏. Despejando 𝑏 obtenemos que 𝑏 es igual a un tercio. Sustituir estos valores de 𝑎 y 𝑏 en la ecuación exponencial nos da nuestra respuesta final, que es igual a 18 por un tercio elevado a 𝑥.
Podemos verificar nuestra respuesta sustituyendo los dos últimos valores de 𝑥 de la tabla en la ecuación para asegurarnos de que dan los valores de 𝑦 correctos. Sustituyendo 𝑥 por dos, obtenemos 𝑦 igual a 18 por un tercio al cuadrado, que es igual a 18 por un noveno, que es igual a dos, lo cual es correcto. Y sustituyendo 𝑥 por tres obtenemos 𝑦 igual a 18 por un tercio al cubo, que es igual a 18 por uno sobre 27, que es igual a dos tercios, que es nuevamente correcto.
En el proceso de resolver el último problema, hemos usado una de las propiedades de los exponentes llamada regla del exponente nulo, que dice que cualquier base elevada a cero es igual a uno. Es decir, 𝑏 elevado a cero es igual a uno, donde 𝑏 es la base. Por ejemplo, tres elevado a cero es igual a uno.
En el siguiente problema, vamos a ver cómo hallar la ecuación de una función exponencial a partir de su gráfica.
Fíjate bien en la gráfica y responde las siguientes preguntas. Halla la intersección con el eje 𝑦 de la gráfica que se muestra. Como esta gráfica representa una función exponencial, cada valor de 𝑦 se multiplica por 𝑏 cuando 𝑥 aumenta en Δ𝑥. Halla 𝑏 para Δ𝑥 igual a uno. Halla la ecuación que representa la gráfica, en la forma 𝑦 igual a 𝑎𝑏 elevado a 𝑥 sobre Δ𝑥.
Comencemos por hallar la intersección con el eje 𝑦, o sea, la ordenada en el origen de la gráfica. Podemos ver que la recta de la gráfica pasa por el punto cero, 10. Por lo tanto, la intersección con el eje 𝑦, es decir, la ordenada en el origen es 10. Ahora, hallemos el valor de 𝑏 en la ecuación de la gráfica. En la cuestión, nos dicen que la gráfica representa una función exponencial para la cual cada valor de 𝑦 se multiplica por 𝑏 cuando 𝑥 aumenta en Δ𝑥. Y nos piden hallar 𝑏 cuando Δ𝑥 es igual a uno. Ya hemos visto que la gráfica pasa por el punto cero, 10. Y también podemos ver que pasa por el punto uno, 20. El cambio en 𝑥 entre estos dos puntos es uno, por lo que satisface Δ𝑥 igual a uno.
Se nos dice que el valor de 𝑦 se multiplica por 𝑏 cuando 𝑥 aumenta en Δ𝑥. Si el valor 𝑦 de nuestro primer punto es 𝑦 uno y el valor 𝑦 de nuestro segundo punto es 𝑦 dos, entonces 𝑏 es igual a 𝑦 dos partido por 𝑦 uno, que es igual a 20 entre 10, que es igual a dos. Y finalmente, necesitamos hallar la ecuación que representa la gráfica en la forma 𝑦 igual a 𝑎𝑏 elevado a 𝑥 sobre Δ𝑥. Ya nos han dado Δ𝑥 igual a uno, y hemos hallado que el valor de 𝑏 es igual a dos. Por lo tanto, 𝑦 es igual a 𝑎 por dos elevado a 𝑥 sobre uno, que es igual a 𝑎 por dos elevado a 𝑥. Para hallar el valor de 𝑎, podemos sustituir los valores de los puntos 𝑥 y 𝑦 que están en la gráfica.
Ya hemos hallado que la intersección con 𝑦 es 10, por lo que sabemos que el punto cero, 10, se encuentra en la gráfica. Esto significa que podemos sustituir los valores de 𝑥 igual a cero y 𝑦 igual a 10 en la ecuación, y eso nos da 10 igual a 𝑎 por dos elevado a cero. Según la regla del exponente cero, dos elevado a cero es igual a uno. Por lo tanto, esto nos da 𝑎 igual a 10. Esto nos da nuestra ecuación y, por lo tanto, nuestra respuesta final, la cual es 𝑦 es igual a 10 por dos elevado a 𝑥.
En el siguiente problema, vamos a evaluar una expresión algebraica usando para ello la ecuación de una función exponencial.
Sabiendo que 𝑓 de 𝑥 es igual a cuatro elevado a 𝑥, halla el valor de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑓 de 𝑥 menos uno menos 𝑓 de 𝑥 menos uno sobre 𝑓 de 𝑥.
En este problema, nos piden hallar el valor de una expresión en términos de 𝑥 sin que se nos dé un valor para 𝑥, lo que sugiere que esta expresión tiene el mismo valor independientemente del valor de 𝑥. Nos dicen que 𝑓 de 𝑥 es igual a cuatro elevado a 𝑥. Por lo tanto, 𝑓 de 𝑥 menos uno es igual a cuatro elevado a 𝑥 menos uno. Así que, 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑓 de 𝑥 menos uno es igual a cuatro a la 𝑥 sobre cuatro a la 𝑥 menos uno. Usando la regla del cociente obtenemos cuatro a la 𝑥 menos 𝑥 menos uno, que es igual a cuatro elevado a uno, que es igual a cuatro. Así que este es el valor de la base de la función exponencial 𝑓 de 𝑥, pues ya sabemos que es igual a 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑓 de 𝑥 menos uno.
La segunda parte de la expresión es 𝑓 de 𝑥 menos uno sobre 𝑓 de 𝑥, que es simplemente el recíproco de lo que acabamos de hallar, uno sobre 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑓 de 𝑥 menos uno. Por lo tanto, esto es igual a uno sobre cuatro o un cuarto. Por lo tanto, 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑓 de 𝑥 menos uno menos 𝑓 de 𝑥 menos uno sobre 𝑓 de 𝑥 es igual a cuatro menos un cuarto, que es igual a 15 sobre cuatro.
En este problema hemos usado la regla del exponente negativo, que dice que cualquier base elevada a un exponente negativo es igual a uno partido por la base elevada al opuesto del exponente. Es decir, 𝑏 elevado a menos 𝑛 es igual a uno sobre 𝑏 elevado a 𝑛, donde 𝑏 es la base y 𝑛 y menos 𝑛 son los exponentes. Por ejemplo, seis elevado a menos dos es igual a uno sobre seis elevado a más dos, o seis al cuadrado, que es igual a uno sobre 36.
En la última cuestión, vamos a hallar los valores de la base de una función exponencial que hacen que la función disminuya.
Considera una función exponencial con base 𝑎. ¿Para qué valores de 𝑎 es decreciente la función?
En este problema, nos dan una función exponencial 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑎 elevado a 𝑥. Recuerda que la base 𝑎 está dada por 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑓 de 𝑥 menos uno. Recuerda que 𝑎 es un número real constante con 𝑎 mayor que cero y no igual a uno. Esto significa que independientemente del valor de 𝑥, el valor de 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑓 de 𝑥 menos uno es siempre una constante. Por lo tanto, para cualquier valor de 𝑥, el aumento en 𝑓 de 𝑥 entre 𝑥 menos uno y 𝑥 es siempre 𝑎.
Como una función exponencial es siempre positiva, si 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑓 de 𝑥 menos uno es mayor que uno implica que 𝑓 de 𝑥 es mayor que 𝑓 de 𝑥 menos uno y, por lo tanto, la función es creciente. E igualmente, si 𝑓 de 𝑥 sobre 𝑓 de 𝑥 menos uno es menor que uno implica que 𝑓 de 𝑥 es menor que 𝑓 de 𝑥 menos uno y, por lo tanto, que la función es siempre decreciente.
Como el lado izquierdo de ambas desigualdades es igual a 𝑎, esto significa que 𝑎 mayor que uno implica que la función aumenta y 𝑎 menor que uno implica que disminuye. Recuerda también que 𝑎 debe ser mayor que cero, así que esto nos da nuestra respuesta final. 𝑎 mayor que uno implica que la función es creciente y 𝑎 entre cero y uno implica que la función disminuye.
Este problema trata de otra propiedad de las funciones exponenciales, su monotonía. Una función exponencial es una función monótona, o sea, es una función que siempre aumenta o que siempre disminuye. Si la base 𝑏 es mayor que uno, se llama factor de crecimiento y la función siempre aumentará. Si la base es mayor que cero y menor que uno, se llama factor de decrecimiento y la función siempre disminuirá.
Y ahora vamos a terminar repasando los principales puntos de este video. Una función exponencial tiene la forma 𝑓 de 𝑥 igual a 𝑏 elevado a 𝑥, donde 𝑏 es la base, que es un número real positivo no igual a uno, y 𝑥 es el exponente, que puede ser cualquier número real. La regla del cociente dice que, al dividir expresiones exponenciales con la misma base, mantenemos la base y hallamos la diferencia de los exponentes. Es decir, 𝑏 elevado a 𝑚 sobre 𝑏 elevado a 𝑛 es igual a 𝑏 elevado a 𝑚 menos 𝑛. La regla del exponente nulo establece que cualquier base elevada a cero es igual a uno. Es decir, 𝑏 elevado a cero es igual a uno.
La regla del exponente negativo establece que cualquier base elevada a un exponente negativo es igual a uno partido por la base elevada al opuesto del exponente. Es decir, 𝑏 elevado a 𝑛 es igual a uno sobre 𝑏 elevado a 𝑛. Todas las funciones exponenciales son funciones monótonas; es decir, toda función exponencial bien crece o bien decrece en todo el conjunto de los números reales. Específicamente, si 𝑏 es mayor que uno, se llama factor de crecimiento y la función siempre aumenta. Y si 𝑏 está entre cero y uno, se llama factor de decrecimiento, y la función siempre disminuye.
