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Vídeo de la lección: Operaciones con vectores en el plano Matemáticas • Duodécimo grado

En este video, vamos a aprender cómo realizar algebraicamente operaciones con vectores en el plano, concretamente vamos a aprender cómo sumar, restar y multiplicar un vector por un número.

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Transcripción del vídeo

En este video, vamos a aprender cómo realizar algebraicamente operaciones con vectores en el plano, concretamente vamos a aprender cómo sumar, restar y multiplicar un vector por un número. Además, vamos a aprender cómo combinar dos o más de estas operaciones. Comencemos recordando cómo realizamos las operaciones individuales.

Un vector del plano tiene una componente horizontal y una vertical, las cuales describen su módulo, o magnitud, su dirección y su sentido. Estos vectores se pueden representar gráficamente en el plano de coordenadas 𝑥𝑦, donde el vector unitario 𝐢 representa una unidad en la dirección 𝑥 positiva y el vector unitario 𝐣 representa una unidad en la dirección 𝑦 positiva. El vector 𝐮 igual a cuatro 𝐢 más tres 𝐣 representa un desplazamiento de cuatro unidades en la dirección 𝑥 positiva y de tres unidades en la dirección 𝑦 positiva. Del mismo modo, el vector 𝐯, que es igual a menos dos 𝐢 más cinco 𝐣, representa un desplazamiento de dos unidades en la dirección 𝑥 negativa y de cinco unidades en la dirección 𝑦 positiva. Estos vectores también se pueden escribir en términos de sus componentes como se muestra.

Al sumar o restar dos vectores, sumamos las componentes horizontal y vertical por separado. Para sumar los vectores 𝐮 y 𝐯, hacemos cuatro, tres más menos dos, cinco. Como cuatro más menos dos es igual a dos y tres más cinco es ocho, esto es igual al vector dos, ocho. 𝐮 menos 𝐯 es igual a cuatro, tres menos menos dos, cinco. Restando las componentes correspondientes obtenemos el vector seis, menos dos. Al multiplicar un vector por un escalar, multiplicamos cada una de las coordenadas por ese escalar. Por ejemplo, cuatro 𝐮 es igual a cuatro multiplicado por el vector cuatro, tres. Multiplicamos cuatro por cuatro y luego cuatro por tres, lo que nos da el vector 16, 12.

Finalmente, podemos calcular el módulo (o magnitud) de cualquier vector recordando que, si el vector 𝐮 es igual a 𝑥, 𝑦, entonces el módulo del vector 𝐮 es igual a la raíz cuadrada de 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado. En nuestro ejemplo, la magnitud del vector 𝐮 es igual a la raíz cuadrada de cuatro al cuadrado más tres al cuadrado. Y como cuatro al cuadrado es igual a 16 y tres al cuadrado es igual a nueve, esto es igual a la raíz cuadrada de 25, que es igual a cinco. En los tres ejemplos a continuación, vamos a ver cómo podemos usar diferentes combinaciones de las cuatro operaciones para resolver una variedad de problemas que contienen vectores.

Sabiendo que el vector a es igual a menos cuatro, menos uno y el vector b es igual a menos dos, menos uno, expresa el vector c, que es igual a menos ocho, menos uno, en términos del vector a y vector b.

Como queremos expresar el vector c en términos de los vectores a y b, igualamos c a una constante 𝑝 multiplicada por a más una constante 𝑞 multiplicada por b. Sustituyendo en los valores de los vectores a, b y c, tenemos menos ocho, menos uno es igual a 𝑝 multiplicado por menos cuatro, menos uno más 𝑞 multiplicado por menos dos, menos uno. Recordemos que al multiplicar cualquier vector por un escalar o constante, multiplicamos cada una de las componentes por el escalar. Esto significa que 𝑝 multiplicado por menos cuatro, menos uno es igual a menos cuatro 𝑝, menos 𝑝. Del mismo modo, 𝑞 multiplicado por menos dos, menos uno es igual a menos dos 𝑞, menos 𝑞.

Tenemos la suma de dos vectores, y sabemos que es igual al vector menos ocho, menos uno. Al sumar dos vectores, sumamos las componentes correspondientes por separado. Esto significa que el lado derecho de nuestra ecuación es igual al vector menos cuatro 𝑝 menos dos 𝑞, menos 𝑝 menos 𝑞. Como esto debe ser igual al vector menos ocho, menos uno, podemos igualar las componentes a cada lado de nuestra ecuación. Tenemos dos ecuaciones: menos ocho es igual a menos cuatro 𝑝 menos dos 𝑞, y menos uno es igual a menos 𝑝 menos 𝑞.

Podemos simplificar ambas ecuaciones y eliminar los signos negativos multiplicando la ecuación superior por menos un medio y la segunda ecuación por menos uno. Esto nos da dos ecuaciones simultáneas: cuatro es igual a dos 𝑝 más 𝑞 y uno es igual a 𝑝 más 𝑞. Una forma de resolver estas ecuaciones para calcular los valores de 𝑝 y 𝑞 es por reducción. Restando la ecuación dos de la ecuación uno, las 𝑞 se cancelan y nos queda 𝑝 igual a tres. Después sustituimos este valor de 𝑝 en la ecuación dos, lo que nos da que uno es igual a tres más 𝑞. Restando tres de ambos lados de esta ecuación, hallamos que 𝑞 es igual a menos dos. Ahora tenemos los valores de las constantes 𝑝 y 𝑞. Y, por lo tanto, podemos concluir que el vector c es igual a tres a menos dos b.

Nuestro siguiente ejemplo es un problema más complicado que también incluye la multiplicación escalar y la suma de vectores.

En una celosía, donde el vector 𝐀𝐂 es igual a tres, tres; el vector 𝐁𝐂 es igual a 13, menos siete; y dos 𝐂 más dos 𝐀𝐁 es igual a menos cuatro, menos cuatro, halla las coordenadas del punto 𝐶.

Si comenzamos considerando los tres puntos 𝐴, 𝐵 y 𝐶 que se muestran en el diagrama, sabemos que el vector 𝐀𝐂 es igual a tres, tres. Esto representa un desplazamiento de tres unidades en la dirección 𝑥 positiva y tres unidades en la dirección 𝑦 positiva. El vector 𝐁𝐂 es igual a 13, menos siete. Para ir del punto 𝐵 al punto 𝐶, hay que desplazarse 13 unidades en la dirección 𝑥 positiva y siete unidades en la dirección 𝑦 negativa.

Podemos usar esta información para hallar el vector 𝐀𝐁. Una forma de movernos del punto 𝐴 al punto 𝐵 es a través del punto 𝐶. Para hacer esto, nos movemos a lo largo de los vectores 𝐀𝐂 y 𝐂𝐁. Sabemos que el vector 𝐀𝐂 es tres, tres. El vector 𝐂𝐁 tiene el mismo módulo y dirección que el vector 𝐁𝐂 pero tiene sentido opuesto. Esto significa que el vector 𝐂𝐁 es igual a menos 13, siete. El vector 𝐀𝐁 es, por lo tanto, igual a tres, tres más menos 13, siete.

Sabemos que podemos sumar dos vectores sumando sus componentes correspondientes por separado. Tres más menos 13 es igual a menos 10, y tres más siete es 10. Por lo tanto, el vector 𝐀𝐁 es igual a menos 10, 10. Si decimos que el punto 𝐶 tiene coordenadas 𝑥, 𝑦, entonces el vector de posición del punto 𝐶, también escrito 𝐎𝐂, es igual al vector 𝑥, 𝑦. Sustituyendo esto junto con el vector 𝐀𝐁 en la ecuación, tenemos dos multiplicado por 𝑥, 𝑦 más dos multiplicado por menos 10, 10 es igual a menos cuatro, menos cuatro.

Recordemos que podemos multiplicar un vector por un escalar multiplicando cada una de las componentes por ese escalar. Nuestra ecuación se simplifica a dos 𝑥, dos 𝑦 más menos 20, 20 es igual a menos cuatro, menos cuatro. Podemos sumar los dos vectores en el lado izquierdo y obtenemos que dos 𝑥 menos 20, dos 𝑦 más 20 es igual a menos cuatro, menos cuatro. Y finalmente, para calcular los valores de 𝑥 y 𝑦, podemos igualar las componentes correspondientes. Tenemos dos ecuaciones: dos 𝑥 menos 20 es igual a menos cuatro, y dos 𝑦 más 20 es igual a menos cuatro. Resolviendo la primera ecuación obtenemos que 𝑥 es igual a ocho. Y resolviendo la segunda ecuación, obtenemos que 𝑦 es igual a menos 12. Por lo tanto, podemos concluir que las coordenadas del punto 𝐶 son ocho, menos 12.

En nuestro último ejemplo, vamos a combinar nuestros conocimientos de suma de vectores, de multiplicación por un número y de hallar la magnitud de un vector.

Si el vector a es igual a cinco, menos tres y el vector b es igual a dos, uno, entonces el módulo de a más tres b es igual a cuántas unidades de longitud.

En esta cuestión, nos dan los vectores bidimensionales a y b en términos de sus componentes 𝑥 y 𝑦. Nos piden calcular la magnitud del vector a más tres multiplicado por el vector b. Hacemos esto en tres pasos, primero usamos la multiplicación por un número para calcular tres b. Cuando multiplicamos un vector por un número, simplemente multiplicamos cada una de las componentes individuales por ese escalar. Esto significa que tres multiplicado por el vector dos, uno nos da el vector seis, tres. Nuestro siguiente paso es sumar esto al vector a. Y hacemos esto usando el proceso de suma vectorial. Hacemos esto sumando las componentes correspondientes por separado, lo que nos da el vector 11, cero.

Nuestro último paso es hallar el módulo de este vector. Como la componente 𝑦 de nuestro vector es cero, aquí podríamos utilizar un atajo. Sin embargo, vamos a comenzar recordando cómo se calcula el módulo (o magnitud) de cualquier vector bidimensional. Si el vector 𝐮 es igual a 𝑥, 𝑦, entonces el módulo del vector 𝐮 es igual a la raíz cuadrada de 𝑥 al cuadrado más 𝑦 al cuadrado. Hallamos la suma de los cuadrados de las componentes individuales y luego sacamos la raíz cuadrada en nuestra del resultado. Esto significa que el módulo del vector 11, cero es igual a la raíz cuadrada de 11 al cuadrado más cero al cuadrado. Esto es igual a la raíz cuadrada de 121, que es igual a 11. Si el vector a es igual a cinco, menos tres, el vector b es igual a dos, uno, entonces el módulo de a más tres b es igual a 11 unidades de longitud.

Como mencionamos anteriormente, hay un atajo para calcular la magnitud de un vector cuando una de las coordenadas es igual a cero. En esta cuestión, la coordenada 𝑦 era igual a cero. Esto significa que el vector 11, cero representa un desplazamiento de 11 unidades en la dirección 𝑥 positiva. Como el módulo de un vector es su longitud, esto confirma que la magnitud del vector 11, cero es 11 unidades de longitud. Cuando un vector del plano tiene una de sus coordenadas igual a cero, entonces el modulo de ese vector es igual al valor absoluto de la coordenada distinta de cero.

A continuación, vamos a resumir los puntos clave de este video. Hemos visto que podemos combinar las habilidades de sumar, restar, multiplicar un vector por un número y hallar el módulo de un vector para resolver problemas que incluyen vectores bidimensionales. Hemos hecho esto recordando que, si el vector 𝐮 tiene coordenadas 𝑥 sub uno, 𝑦 sub uno y el vector 𝐯 tiene coordenadas 𝑥 sub dos, 𝑦 sub dos, podemos sumar o restar nuestros dos vectores sumando o restando las coordenadas correspondientes. Multiplicar un vector por un número 𝑘 implica multiplicar cada una de las coordenadas del vector por ese número. Y el módulo o magnitud de un vector es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las coordenadas del vector.

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