Vídeo: Las propiedades de la suma y de la multiplicación

En este vídeo vamos a explorar, haciendo uso de varios ejemplos, las propiedades conmutativa, asociativa y de identidad, y vamos a aprender cómo se aplican a las operaciones de suma y multiplicación. Además, vamos a aprender cómo se aplica la propiedad distributiva a sumandos entre paréntesis dentro de un producto.

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Transcripción del vídeo

¿Qué son las propiedades de la suma y la multiplicación? Las propiedades son enunciados que se cumplen para todos los números. Primero, la propiedad conmutativa. Vamos a empezar con la propiedad conmutativa de la suma. La propiedad conmutativa de la suma dice que el orden en el que se suman dos números no altera el resultado. Una representación con variables dice que 𝑎 más 𝑏 es lo mismo que decir 𝑏 más 𝑎. Por ejemplo, cuatro más tres es lo mismo que hacer tres más cuatro. El orden aquí no importa. La propiedad conmutativa también puede aplicarse a la multiplicación.

Veamos qué ha cambiado en la pantalla. La propiedad conmutativa de la multiplicación dice que el orden de la multiplicación de dos números no altera su producto. En este caso, 𝑎 por 𝑏 es igual a 𝑏 por 𝑎. Un ejemplo de esto es que cinco por cuatro es igual a cuatro por cinco. Una manera de acordarnos de la propiedad conmutativa es pensar en la palabra «conmutar». Las palabras conmutar y conmutativo se refieren a cambio de lugar, sustitución e intercambio. Aquí la propiedad conmutativa se refiere a que cambiamos el orden de la suma o de la multiplicación. Y, en este caso, el resultado no se ve alterado por el orden.

A continuación, la propiedad asociativa. Y, de nuevo, empezamos por la suma. La propiedad asociativa de la suma dice que la manera en la que se agrupan tres números cuando se suman no altera el resultado. Esto quedaría así con variables. 𝑎 más 𝑏 más 𝑐 es igual a 𝑎 más 𝑏 más 𝑐. Esto quiere decir que, si sumamos 𝑏 y 𝑐 primero, y luego sumamos 𝑎, esa suma será igual que si sumamos 𝑎 y 𝑏 primero, y luego sumamos 𝑐. Por ejemplo, uno más dos más tres es lo mismo que uno más dos más tres. Uno más cinco es lo mismo que tres más tres. Esta propiedad puede aplicarse también a la multiplicación. Fíjate en los cambios de aquí. La propiedad asociativa de la multiplicación dice que la manera en la que se agrupan tres números cuando se multiplican no altera su producto. Si multiplicamos 𝑏 y 𝑐 primero y luego tomamos ese valor y lo multiplicamos por 𝑎, obtendremos el mismo producto que si multiplicamos 𝑎 y 𝑏 y luego multiplicamos ese valor por 𝑐.

Podemos acordarnos de la propiedad asociativa a partir de la palabra «asociar». Asociación se refiere a agrupación. La forma en la que se agrupan tres números cuando se suman o multiplican no altera su suma o su producto. Y, la tercera en nuestra lista, la propiedad de identidad. Empezamos con la propiedad de identidad de la suma; esta propiedad dice que la suma de un sumando y cero es ese sumando. 𝑎 más cero es 𝑎. Siete más cero es siete. Ahora echemos un vistazo a la propiedad de identidad de la multiplicación y fijémonos en todos los cambios. La propiedad de identidad de la multiplicación dice que el producto de un factor y uno es ese factor. En nuestro ejemplo, 𝑎 por uno es 𝑎. Vemos que la propiedad de identidad de la multiplicación se aplica al multiplicar el factor por uno.

Vamos a analizar estas propiedades conjuntamente. Cuando sumamos cero a cualquier valor, obtenemos ese mismo valor. Y ocurre lo mismo cuando multiplicamos por uno. Una manera de acordarnos de la propiedad de identidad es pensando en mirarse en un espejo. 𝑎 no cambia cuando sumamos cero. 𝑎 sigue igual cuando multiplicamos por uno. La última propiedad es un poco distinta. La propiedad distributiva nos muestra cómo podemos combinar la suma y la multiplicación. La propiedad distributiva dice lo siguiente. Para multiplicar una suma por un número, multiplicamos cada sumando de la suma por el número que está fuera del paréntesis. Bueno, esto son muchas palabras. Veamos una ilustración de esto. Vamos a empezar con un ejemplo con números.

Esta propiedad nos pide que multipliquemos una suma por un número. Aquí tenemos nuestra suma y aquí está el número. Tenemos que multiplicar cada sumando de la suma. Cuatro y seis son los sumandos. Y los multiplicamos por el número que está fuera del paréntesis, en este caso, el tres. Si calculamos ambos lados de la igualdad obtenemos que treinta es igual a treinta. La propiedad distributiva nos ayuda a tomar este tres y a distribuirlo al cuatro y al seis, los dos sumandos. Una representación algebraica de la propiedad distributiva, o sea, una representación con variables, quedaría así. 𝑎 por 𝑏 más 𝑐 es igual a 𝑎 por 𝑏 más 𝑎 por 𝑐. Lo que estamos haciendo aquí es tomar la 𝑎 y distribuirla al sumando 𝑏 y al sumando 𝑐. Esto también se cumple a la inversa. A la inversa, también se cumple.

En este ejemplo queremos sacar la 𝑎 fuera, ponerla fuera del paréntesis y sumar 𝑏 y 𝑐 primero. Aquí tenemos un ejemplo con números. Cinco por dos más cinco por tres es lo mismo que decir cinco por cinco o cinco por dos más tres. Aquí tenemos una tabla en la que están resumidas todas las propiedades. Estas propiedades son la clave a la hora de resolver todo tipo de ecuaciones.

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