Video Transcript
En este video, vamos a aprender cómo trasladar puntos, segmentos y figuras geométricas en el plano de coordenadas.
Las traslaciones son una de las maneras fundamentales de mover objetos geométricos sin cambiar su forma. De hecho, podemos pensar que trasladar un objeto es moverlo a otro sitio sin cambiar su tamaño ni su orientación. Las traslaciones se definen por tres datos: en primer lugar, su magnitud, que nos dice qué tan lejos debe moverse el objeto; en segundo lugar, su dirección, que nos indica el ángulo de desplazamiento; y en tercer lugar, su sentido, que nos indica hacia dónde se desplaza el objeto. Cuando pensamos en la dirección y sentido de una traslación, describimos cómo debe moverse el objeto horizontalmente y cómo debe moverse verticalmente. Por ejemplo, podemos decir que una traslación mueve un objeto cuatro unidades hacia la derecha y dos unidades hacia arriba.
En este plano de coordenadas, tenemos un punto 𝐴, que tiene las coordenadas tres, cuatro. Si movemos este punto una unidad hacia la derecha y luego dos unidades hacia arriba, termina en el punto cuatro, seis. Llamamos a este punto la imagen de 𝐴 por la traslación dada y lo denotamos usando la notación 𝐴 prima. También podemos hallar la imagen del punto 𝐴 por esta traslación sin tener que dibujar en un sistema de coordenadas si hacemos uso del efecto que la traslación tiene sobre las coordenadas de un punto.
Mover un punto una unidad a la derecha aumenta su coordenada 𝑥 en uno. Y mover un punto dos unidades hacia arriba aumenta su coordenada 𝑦 en dos. Por lo tanto, podemos decir que, mediante esta traslación de mover un punto una unidad hacia la derecha y dos unidades hacia arriba, el punto con coordenadas 𝑥, 𝑦 pasa a tener coordenadas 𝑥 más uno, 𝑦 más dos. El punto 𝐴, que tiene coordenadas tres, cuatro, es llevado al punto 𝐴 prima, que tiene coordenadas tres más uno, cuatro más dos, que es de hecho el punto con coordenadas cuatro, seis.
Si queremos trasladar objetos hacia la izquierda o hacia abajo, describimos el desplazamiento usando números negativos. Por ejemplo, una traslación de tres unidades hacia la izquierda corresponde a restar tres de la coordenada 𝑥. De modo que el desplazamiento horizontal es menos tres. Una traslación de seis unidades hacia abajo corresponde a restar seis de la coordenada 𝑦. De modo que el desplazamiento vertical es menos seis.
Podemos definir las traslaciones usando una notación más formal de la siguiente manera. Si una traslación en el plano de coordenadas tiene un desplazamiento horizontal de 𝑎 unidades y un desplazamiento vertical de 𝑏 unidades, entonces el punto con coordenadas 𝑥, 𝑦 se asignará al punto con coordenadas 𝑥 más 𝑎, 𝑦 más 𝑏. Y podemos escribir esto usando una flecha como notación. Los signos 𝑎 y 𝑏 nos dicen la dirección del desplazamiento: positivo para hacia la derecha o hacia arriba y negativo para hacia la izquierda o hacia abajo. Consideremos ahora un ejemplo de cómo aplicar esta definición para hallar las coordenadas de la imagen de un punto bajo una traslación.
Halla las coordenadas de la imagen del punto 13, cuatro por la traslación que lleva 𝑥, 𝑦 a 𝑥 más cinco, 𝑦 menos dos.
Nos han dado esta transformación algebraicamente. Podemos recordar que la notación dada significa que esta traslación tiene un desplazamiento horizontal de cinco unidades y un desplazamiento vertical de menos dos unidades. En otras palabras, la traslación desplaza cada punto cinco unidades a la derecha y dos unidades hacia abajo. Son dos unidades hacia abajo porque estamos restando dos de la coordenada 𝑦.
Aplicar esta traslación al punto con coordenadas 13, cuatro da como resultado el punto con coordenadas 13 más cinco, cuatro menos dos, que es el punto con coordenadas 18, dos. Podemos aplicar esta transformación gráficamente si tenemos acceso a papel cuadriculado en el que dibujar un sistema de coordenadas. Aquí está el punto con coordenadas 13, cuatro. Para sumar cinco a la coordenada 𝑥, nos movemos cinco unidades hacia la derecha. Y luego para restar dos de la coordenada 𝑦, nos movemos dos unidades hacia abajo. La imagen del punto 13, cuatro después de esta traslación es definitivamente el punto con coordenadas 18, dos.
Vemos ahora otro ejemplo en el que reescribiremos una traslación en términos de los desplazamientos horizontal y vertical que representa.
¿Cuál de las siguientes opciones es equivalente a una traslación de 𝑥, 𝑦 a 𝑥 más dos, 𝑦 menos tres? (A) Una traslación de dos unidades hacia la derecha y tres unidades hacia arriba. (B) Una traslación de dos unidades hacia la izquierda y tres unidades hacia abajo. (C) Una traslación de dos unidades hacia la derecha y tres unidades hacia abajo. (D) Una traslación de tres unidades hacia la derecha y dos unidades hacia arriba. O (E) una traslación de tres unidades hacia la derecha y dos unidades hacia abajo.
Nos han dado esta traslación y queremos determinar qué significa en palabras. Podemos recordar que, en general, la traslación representada por 𝑥, 𝑦 es llevado a 𝑥 más 𝑎, 𝑦 más 𝑏 tiene un desplazamiento horizontal de 𝑎 unidades y un desplazamiento vertical de 𝑏 unidades. Los signos de 𝑎 y 𝑏 nos dicen la dirección en la que ocurre la traslación.
Mirando esta traslación aquí, el valor de 𝑎 es más dos y el valor de 𝑏 es menos tres. De modo que el desplazamiento horizontal es dos, lo que significa dos unidades a la derecha. El desplazamiento vertical es menos tres. Y como restamos tres de la coordenada 𝑦, esto significa tres unidades hacia abajo. Mirando detenidamente las cinco opciones que nos dieron, podemos ver que una traslación de dos unidades hacia la derecha y tres unidades hacia abajo es la opción (C).
Otra forma de describir las traslaciones es como un movimiento a lo largo de un segmento orientado o vector. Por ejemplo, consideremos cómo podemos trasladar un punto 𝐶 𝐴𝐵 unidades en la dirección del segmento orientado o vector 𝐴𝐵. Aquí, la dirección de la traslación se expresa como la dirección del vector que empieza en 𝐴 y termina en 𝐵. Y la magnitud de la traslación es la longitud del segmento 𝐴𝐵. Hacemos esto dibujando primero una recta comenzando en el punto 𝐶 de modo que sea paralela al segmento 𝐴𝐵 y en la misma dirección. Luego marcamos en esta recta el punto que está a 𝐴𝐵 unidades de distancia de 𝐶 para que 𝐴𝐵 tenga la misma longitud que 𝐶𝐶 prima.
Sin cuadrículas, podemos construir esta recta paralela usando un compás y una regla. Y podemos hallar la posición de la imagen del punto 𝐶 en esta recta usando un compás con la longitud ajustada a la longitud del segmento 𝐴𝐵. Este es un método que nos permite hallar la imagen del punto 𝐶 por la traslación. Sin embargo, también podemos pensar en esta traslación en términos de los desplazamientos horizontal y vertical.
Para desplazarnos a lo largo de la recta de 𝐴 a 𝐵, necesitamos movernos tres unidades hacia la izquierda y una unidad hacia abajo. Por lo tanto, para trasladar el punto 𝐶 𝐴𝐵 unidades en la dirección de la recta 𝐴𝐵, también podemos mover el punto 𝐶 tres unidades hacia la izquierda y luego una unidad hacia abajo. A continuación, vamos a ver un ejemplo en el que trasladamos un triángulo en un sistema de coordenadas usando las coordenadas de sus tres vértices.
Enumera las coordenadas 𝐴 prima, 𝐵 prima y 𝐶 prima que representan la imagen del triángulo 𝐴𝐵𝐶 por la traslación de magnitud 𝑋𝑌 en la dirección de la recta 𝑋𝑌, donde 𝑋 tiene coordenadas uno, tres y 𝑌 tiene coordenadas cuatro, cinco sabiendo que 𝐴 tiene coordenadas cinco, tres; 𝐵 tiene coordenadas uno, dos; y 𝐶 tiene coordenadas tres, seis.
Comencemos reescribiendo la traslación en términos de cómo afecta las coordenadas 𝑋 y 𝑌. Y para hacer esto, comenzaremos dibujando 𝑋 y 𝑌. Una traslación de magnitud 𝑋𝑌 en la dirección de la recta 𝑋𝑌 es equivalente a la traslación que lleva el punto 𝑋 al punto 𝑌, ya que 𝑌 está a 𝑋𝑌 unidades de distancia de 𝑋 en la dirección de la recta 𝑋𝑌. En nuestro diagrama, podemos ver que esta traslación tiene el efecto de aumentar la coordenada 𝑋 en tres y aumentar la coordenada 𝑌 en dos. Así que podemos describir esta traslación diciendo que un punto de coordenadas 𝑥 minúscula, 𝑦 minúscula pasa a tener coordenadas 𝑥 más tres, 𝑦 más dos.
Y tenemos que aplicar esta transformación a cada vértice del triángulo. El punto 𝐴, que tiene coordenadas cinco, tres, es trasladado al punto cinco más tres, tres más dos. Así que 𝐴 prima tiene coordenadas ocho, cinco. El punto 𝐵 con coordenadas uno, dos es trasladado al punto con coordenadas uno más tres, dos más dos. Así que 𝐵 prima tiene coordenadas cuatro, cuatro. Finalmente, para el vértice 𝐶, el punto tres, seis, pasa a ser el punto tres más tres, seis más dos. Así que 𝐶 prima tiene coordenadas seis, ocho.
Podemos verificar nuestra respuesta marcando los puntos 𝐴, 𝐵 y 𝐶 junto con los puntos de la imagen 𝐴 prima, 𝐵 prima y 𝐶 prima en el plano de coordenadas. Podemos ver que cada punto ha sido trasladado tres unidades hacia la derecha y dos unidades hacia arriba. Sabemos que las coordenadas de 𝐴 prima son ocho, cinco; las coordenadas de 𝐵 prima son cuatro, cuatro; y las coordenadas de 𝐶 prima son seis, ocho.
Mirando los dos triángulos del ejemplo anterior, podemos ver que son congruentes. Es decir, tienen exactamente la misma forma y tamaño. Esto ilustra algunas propiedades útiles de las traslaciones. En primer lugar, el tamaño de un objeto se conserva en las traslaciones. Se conserva el tamaño de las figuras porque las traslaciones preservan las longitudes de los segmentos. Así que, por ejemplo, podemos decir que el segmento 𝐵𝐶 tiene la misma longitud que el segmento 𝐵 prima, 𝐶 prima. En segundo lugar, la orientación de una figura es conservada bajo una traslación. Esto significa que un segmento y el segmento trasladado son paralelos. Así que, por ejemplo, el segmento 𝐵𝐴 es paralelo al segmento 𝐵 prima, 𝐴 prima. En tercer lugar, las traslaciones conservan la medida de todo ángulo. Así que la medida del ángulo 𝐵𝐴𝐶 es la misma que la medida del ángulo 𝐵 prima 𝐴 prima 𝐶 prima. Y lo mismo es cierto para los otros dos ángulos en nuestros triángulos.
Consideremos ahora otro ejemplo en el que nos piden hallar la imagen de un punto en el plano cartesiano bajo una traslación cuya magnitud y dirección están dadas en términos de un segmento entre dos puntos.
La siguiente traslación 𝐴𝐵 es equivalente a un desplazamiento horizontal de uno a cinco y un desplazamiento vertical de cuatro a dos. Halla la imagen del punto 𝐶 realizando la traslación 𝐴𝐵 en la dirección del vector 𝐴𝐵.
Nos dicen que esta traslación 𝐴𝐵, que es la transformación necesaria para llevar el punto 𝐴 al punto 𝐵, es equivalente a un desplazamiento horizontal de uno a cinco y un desplazamiento vertical de cuatro a dos. Así que podemos calcular tanto el desplazamiento horizontal como el vertical. La posición horizontal aumenta en cuatro unidades y la posición vertical disminuye en dos unidades. Podemos expresar esta traslación en notación de transformación escribiendo que el punto 𝑥, 𝑦 es transformado en el punto 𝑥 más cuatro, 𝑦 menos dos.
A partir de la figura, podemos determinar que el punto 𝐶 tiene coordenadas uno, dos. Aplicando esta transformación, el punto 𝐶 pasará a ser el punto de coordenadas uno más cuatro, dos menos dos, que es el punto cinco, cero. Podemos comprobar que esta respuesta es correcta aplicando la traslación gráficamente. Como la traslación lleva 𝐴 a 𝐵, el punto 𝐶 debe desplazarse la misma distancia y dirección que el punto 𝐴. Podemos dibujar un vector comenzando en el punto 𝐶, que tiene la misma longitud que el segmento 𝐴𝐵 y en la dirección del vector 𝐴𝐵, para hallar el punto 𝐶 prima. Esto confirma que las coordenadas de 𝐶 prima, que es la imagen del punto 𝐶 después de la traslación 𝐴𝐵 en la dirección de 𝐴𝐵, son cinco, cero.
Veamos un último ejemplo en el que aplicaremos una transformación a tres puntos en un sistema de coordenadas.
Tres puntos —𝐴 uno, menos cinco; 𝐵 dos, menos cinco; y 𝐶 dos, cuatro— son trasladados por la transformación definida por 𝑥, 𝑦 es transformado en 𝑥 menos tres, 𝑦 más uno a los puntos 𝐴 prima, 𝐵 prima y 𝐶 prima. Determina 𝐴 prima, 𝐵 prima y 𝐶 prima.
Recordemos primero que la notación 𝑥, 𝑦 trasladados a 𝑥 más 𝑎, 𝑦 más 𝑏 describe la traslación que traslada el punto 𝑥, 𝑦 al punto con coordenadas 𝑥 más 𝑎 y 𝑦 más 𝑏. Se trata de una traslación con un desplazamiento horizontal de 𝑎 unidades y un desplazamiento vertical de 𝑏 unidades. Para la traslación en esta cuestión, tenemos 𝑎 igual a menos tres y 𝑏 igual a más uno. Estamos disminuyendo la coordenada 𝑥 en tres y aumentando la coordenada 𝑦 en uno.
Para hallar la imagen de cada punto bajo esta traslación, podemos sustituir las coordenadas 𝑥 y 𝑦 de cada punto en el resultado de la transformación. Para el punto 𝐴, que tiene coordenadas uno, menos cinco, su imagen es el punto con coordenadas uno menos tres, menos cinco más uno. Ese es el punto menos dos, menos cuatro. 𝐵, que tiene coordenadas dos, menos cinco, es trasladado al punto con coordenadas dos menos tres, menos cinco más uno. Por lo tanto, 𝐵 prima tiene coordenadas menos uno, menos cuatro. Y finalmente, el punto 𝐶, que tiene coordenadas dos, cuatro, se transformará en el punto de coordenadas dos menos tres, cuatro más uno, que es el punto menos uno, cinco.
Hemos determinado 𝐴 prima, 𝐵 prima y 𝐶 prima. También podemos considerar esta traslación gráficamente. Aquí están los puntos 𝐴, 𝐵 y 𝐶 representados en un plano de coordenadas. Un desplazamiento horizontal de menos tres unidades significa que estamos disminuyendo la coordenada 𝑥 de cada punto en tres unidades. Y un desplazamiento vertical de una unidad significa que estamos aumentando la coordenada 𝑦 de cada punto en una unidad. Esto confirma que las coordenadas de 𝐴 prima, 𝐵 prima y 𝐶 prima son menos dos, menos cuatro; menos uno, menos cuatro; y menos uno, cinco, respectivamente.
Para concluir, resumamos los puntos clave de este video. En primer lugar, cualquier traslación en el plano de coordenadas puede pensarse en términos de los desplazamientos horizontal y vertical. En general, una traslación en el plano de coordenadas con un desplazamiento horizontal de 𝑎 unidades y un desplazamiento vertical de 𝑏 unidades se puede expresar como 𝑥, 𝑦 es llevado a 𝑥 más 𝑎, 𝑦 más 𝑏. Si 𝑎 es positivo, el desplazamiento horizontal es hacia la derecha, mientras que, si 𝑎 es negativo, el desplazamiento horizontal es hacia la izquierda. Si 𝑏 es positivo, el desplazamiento vertical es hacia arriba, y si 𝑏 es negativo, el desplazamiento vertical es hacia abajo. También, hemos visto que un objeto y su imagen por una traslación son congruentes, lo que implica las siguientes propiedades. Las longitudes de los segmentos son conservadas por las traslaciones. Una recta y su imagen por una traslación son paralelas. Y finalmente, la medida de todo ángulo es conservada bajo traslaciones.
