Transcripción del vídeo
En este vídeo vamos a aprender cómo hallar integrales indefinidas de funciones
trigonométricas. Primero, vamos a repasar el teorema fundamental del cálculo antes de ver cómo nos
puede ayudar a integrar una variedad de funciones trigonométricas y explorar las
aplicaciones que tienen estas integrales. Vamos a empezar repasando el teorema fundamental del cálculo. En este teorema, 𝑓 es una función real continua y definida en un intervalo cerrado
de 𝑎 a 𝑏. Y 𝐹 mayúscula es la función definida, para todos los valores de 𝑥 en ese intervalo
cerrado, como 𝐹 mayúscula de 𝑥 igual a la integral de 𝑓 de 𝑡 con respecto a 𝑡,
calculada entre 𝑎 y 𝑥. El teorema dice que, entonces, 𝐹 mayúscula es uniformemente continua en este
intervalo cerrado, es derivable en el intervalo abierto de 𝑎 a 𝑏, y 𝐹 mayúscula
prima de 𝑥 es igual a 𝑓 de 𝑥 para todos los valores de 𝑥 en el intervalo cerrado
de 𝑎 a 𝑏.
El teorema dice, por lo tanto, que 𝐹 es la antiderivada de la función 𝑓. O sea, la función cuya derivada es igual a la función original. Y, básicamente, esto significa que la integración es el proceso inverso a la
derivación. Bien, vamos a empezar considerando una función 𝑓 de 𝑥 igual a seno de 𝑎𝑥, siendo
𝑎 una constante real. Y 𝑥 debe estar expresado en radianes. Como sabemos, la derivada de coseno de 𝑎𝑥 es menos 𝑎 seno de 𝑎𝑥. Por lo tanto, la integral indefinida de menos 𝑎 seno de 𝑎𝑥 calculada con respecto
a 𝑥 debe ser coseno de 𝑥. Es importante tener en cuenta que, como estamos operando con una integral indefinida,
tenemos que sumar esta constante de integración; llamémosla 𝑐.
Muy bien, parece que hemos empezado con buen pie. Pero lo que queremos es hallar la integral indefinida de seno de 𝑎𝑥, no de menos 𝑎
seno de 𝑎𝑥. Afortunadamente, está permitido sacar la constante menos 𝑎 fuera de la integral. Así, vemos que menos 𝑎 por la integral indefinida de seno de 𝑎𝑥 es igual a coseno
de 𝑎𝑥 más 𝑐. Y como menos 𝑎 es una constante, podemos dividir ambos lados por menos 𝑎. Y obtenemos que la integral indefinida de seno de 𝑎𝑥 es menos uno partido entre 𝑎
por coseno de 𝑎𝑥 más 𝐶 mayúscula. Como habrás podido comprobar, hemos cambiado 𝑐 minúscula por 𝐶 mayúscula. Esta mayúscula se debe a que hemos dividido la constante original por otra
constante. Y queremos representar que este número ha cambiado de valor.
Repetimos el mismo proceso para la función 𝑓 de 𝑥 igual a coseno de 𝑎𝑥. De nuevo, 𝑎 es una constante real y 𝑥 se mide en radianes. Hacemos uso de la propiedad que dice que la derivada de seno de 𝑎𝑥 es igual a 𝑎
coseno de 𝑎𝑥. Por lo tanto, decimos que la integral indefinida de 𝑎 coseno de 𝑎𝑥 calculada
respecto a 𝑥 debe ser igual a seno 𝑎𝑥 más una constante de integración 𝑐. Dejamos la constante 𝑎 fuera de la integral, y el lado derecho de la igualdad no
varía. Por último, dividimos por 𝑎. Y obtenemos que la integral de coseno de 𝑎𝑥, calculada con respecto a 𝑥, es uno
sobre 𝑎 por seno de 𝑎𝑥 más 𝐶 mayúscula.
Puede que te acuerdes de que el proceso para derivar las funciones seno y coseno
forma un ciclo. Es decir, la derivada de seno 𝑥 es coseno 𝑥. Y, si derivamos de nuevo, obtenemos menos seno 𝑥. Derivamos otra vez y obtenemos menos coseno de 𝑥. Y si derivamos una vez más, volvemos al principio y obtenemos seno de 𝑥. La integración recorre ese mismo ciclo, pero al revés, como se muestra. Ahora vamos a ver una serie de ejemplos en los que hay que integrar las funciones
seno y coseno.
Determina la integral indefinida de menos seno de 𝑥 menos nueve coseno de 𝑥
calculada con respecto a 𝑥.
Es conveniente que conozcas las propiedades de la integral antes de calcular
esto. En primer lugar, debes saber que la integral de la suma de dos o más funciones es
igual a la suma de las integrales de cada uno de esas funciones. También debes saber que puedes sacar cualquier factor constante fuera de lo integral
para centrarte así en integrar la expresión en 𝑥. Esto significa que podemos reescribir nuestra integral como menos la integral de seno
de 𝑥 calculada con respecto a 𝑥 menos nueve por la integral de coseno de 𝑥
calculada con respecto a 𝑥. Esto quiere decir que podemos reescribir la integral de este modo. Y, por supuesto, conocemos los resultados generales de la integral de las funciones
seno y coseno.
La integral indefinida de seno de 𝑎𝑥 es menos uno partido por 𝑎 coseno de 𝑎𝑥 más
una constante 𝑐. Y la integral indefinida de coseno de 𝑎𝑥 es uno partido entre 𝑎 por seno de 𝑎𝑥
más 𝑐. Por lo tanto, la integral es menos menos coseno de 𝑥 más 𝐴 menos nueve por seno de
𝑥 más 𝐵. Hemos escogido 𝐴 y 𝐵 para señalar que estas son constantes de integración
distintas. Desarrollamos el paréntesis, combinamos las constantes en una constante nueva, y
concluimos que la integral de menos seno de 𝑥 menos nueve coseno de 𝑥 calculada
con respecto a 𝑥 es coseno de 𝑥 menos nueve seno de 𝑥 más 𝑐.
Determina la integral indefinida de menos ocho seno de ocho 𝑥 menos siete coseno de
cinco 𝑥 calculada con respecto a 𝑥.
En este problema tenemos que integrar la suma de dos funciones en 𝑥. En primer lugar, debemos acordarnos de la propiedad que dice que la integral de la
suma de dos o más funciones es igual a la suma de las integrales de cada una de esas
funciones. Por lo tanto, expresamos la suma como la integral de menos ocho seno de ocho 𝑥 con
respecto a 𝑥 más la integral de menos siete coseno de cinco 𝑥 d𝑥. Como sabemos, podemos sacar las constantes fuera de las integrales para centrarnos en
integrar cada expresión en 𝑥. Así que podemos reescribir nuestra expresión como menos ocho por la integral de seno
de ocho 𝑥 con respecto a 𝑥 menos siete por la integral de coseno de cinco 𝑥 con
respecto a 𝑥.
Ahora debemos acordarnos del resultado general de la integral de seno y coseno. La integral de seno de 𝑎𝑥 es menos uno sobre 𝑎 coseno de 𝑎𝑥 más 𝑐. Y la integral indefinida de coseno de 𝑎𝑥 es uno sobre 𝑎 seno de 𝑎𝑥 más 𝑐. Integramos las dos funciones, y obtenemos que la integral de seno de ocho 𝑥 es menos
un octavo coseno de ocho 𝑥 más 𝐴. Y que la integral indefinida de coseno de cinco 𝑥 es un quinto seno de cinco 𝑥 más
𝐵. Hemos escogido 𝐴 y 𝐵, en lugar de solo una constante 𝑐, para señalar que se trata
de dos constantes distintas.
Por último, desarrollaremos el paréntesis. Menos ocho por menos un octavo coseno de ocho 𝑥 es coseno de ocho 𝑥. Menos siete por un quinto de seno de cinco 𝑥 es menos siete quintos seno de cinco
𝑥. Multiplicamos menos ocho por 𝐴 y menos siete por 𝐵, y sumamos. Y obtenemos esta nueva constante 𝐶. Así, hemos hallado que la integral que se nos ha pedido es coseno de ocho 𝑥 menos
siete quintos de seno de cinco 𝑥 más 𝐶.
Ahora vamos a considerar otras derivadas. Como sabemos, la derivada de tangente de 𝑎𝑥 es 𝑎 secante al cuadrado de 𝑎𝑥. Es posible que ahora necesites pausar el vídeo un momento para reflexionar sobre lo
que nos dice esto sobre la integral de secante al cuadrado de 𝑎𝑥. Bien, vamos a verlo. El teorema fundamental del cálculo nos dice, básicamente, que la integración es el
proceso inverso a la derivación. Y, por lo tanto, la integral de 𝑎 secante al cuadrado de 𝑎𝑥 calculada con respecto
a 𝑥 debe ser tangente de 𝑎𝑥, y, como se trata de una integral indefinida, sumamos
𝑐. Sacamos la constante 𝑎 y dividimos. Así, obtenemos que la integral de secante al cuadrado de 𝑎𝑥 calculada con respecto
a 𝑥 es uno sobre 𝑎 tangente de 𝑎𝑥 más 𝐶 mayúscula.
En este vídeo no queremos dedicar demasiado tiempo a estudiar estas otras
integrales. Sin embargo, aplicando esencialmente el mismo método, obtenemos las siguientes
integrales relacionadas con las derivadas de las funciones trigonométricas
recíprocas. La integral de csc 𝑎𝑥 cot 𝑎𝑥 es menos uno sobre 𝑎 csc 𝑎𝑥. La integral de sec 𝑎𝑥 tan 𝑎𝑥 es uno sobre 𝑎 sec 𝑎𝑥. Y la derivada de csc al cuadrado de 𝑎𝑥 es menos uno sobre 𝑎 por cotangente de
𝑎𝑥. Ahora vamos a ver algunos ejemplos de cómo usar estos resultados y vamos a ver con
qué frecuencia vamos a necesitar hacer uso de identidades trigonométricas para
calcular estas integrales.
Determina la integral indefinida de menos secante al cuadrado de seis 𝑥 calculada
con respecto a 𝑥.
Para resolver esta cuestión basta con escribir el resultado general de la integral de
secante al cuadrado de 𝑎𝑥. Es uno sobre 𝑎 por la tangente de 𝑎𝑥. Aunque es conveniente sacar menos uno fuera de la integral, tal y como se
muestra. Al hacerlo, obtenemos que la solución es menos uno por un sexto de tangente de seis
𝑥 más 𝑐. Ahora, lo que nos queda por hacer es desarrollar el paréntesis. Menos uno por un sexto de tangente de seis 𝑥 es menos un sexto de tangente de seis
𝑥. Y menos uno por 𝑐 es 𝐶 mayúscula. Por lo tanto, obtenemos que nuestra integral indefinida es menos un sexto de tangente
de seis 𝑥 más 𝐶.
Determina la integral indefinida de dos coseno al cubo de tres 𝑥 más uno sobre nueve
coseno al cuadrado de tres 𝑥 calculada con respecto a 𝑥.
A primera vista, este problema parece un poco complicado. Pero, como vemos, podemos reorganizar un poco este cociente. Básicamente invertimos el proceso que llevaríamos a cabo al sumar dos fracciones. Y vemos que podemos escribir el cociente como dos coseno al cubo de tres 𝑥 partido
por nueve coseno al cuadrado de tres 𝑥 más uno partido por nueve coseno al cuadrado
de tres 𝑥. La primera fracción se simplifica a dos novenos de coseno de tres 𝑥. Luego, para ver lo que debemos hacer a continuación, reescribimos la segunda fracción
como un noveno por uno partido de coseno al cuadrado de tres 𝑥. Ahora debemos recordar que la integral de la suma de dos o más funciones es igual a
la suma de las integrales de esas funciones. Así, expresamos esto como la integral de dos novenos de coseno de tres 𝑥 calculada
con respecto a 𝑥 más la integral de un noveno por uno sobre coseno al cuadrado de
tres 𝑥, calculada, de nuevo, con respecto a 𝑥.
También sabemos que podemos sacar la constante fuera de la integral para centrarnos
en integrar la expresión en 𝑥. Por lo tanto, escribimos dos novenos por la integral de coseno de tres 𝑥 d𝑥 más un
noveno por la integral de uno sobre coseno al cuadrado de tres 𝑥 d𝑥. Y recordamos el resultado general de la integral de coseno de 𝑎𝑥. Es uno partido por 𝑎 seno de 𝑎𝑥. Esto quiere decir que la integral de coseno de tres 𝑥 es un tercio seno de tres 𝑥
más una constante de integración. Llamémosla 𝐴. Pero, ¿qué hacemos con la segunda integral? Bueno, conocemos la identidad trigonométrica que dice que uno sobre coseno de 𝑥 es
igual a secante de 𝑥. Así que podemos reescribir uno sobre coseno al cuadrado de tres 𝑥 como secante al
cuadrado de tres 𝑥. Y conocemos el resultado general de la integral de secante al cuadrado de 𝑎𝑥
d𝑥. Es uno sobre 𝑎 tangente de 𝑎𝑥 más una constante. Por lo tanto, escribimos la integral de secante al cuadrado de tres 𝑥 como un tercio
tangente de tres 𝑥 más otra constante de integración 𝐵.
Desarrollamos el paréntesis y obtenemos que dos novenos por un tercio seno de tres 𝑥
es dos veintisieteavos seno de tres 𝑥. Asimismo, obtenemos que un noveno por un tercio de tangente de tres 𝑥 es un
veintisieteavo de tangente de tres 𝑥. Y, por último, cuando multiplicamos una de las constantes por dos novenos y la otra
por un noveno, y sumamos, obtenemos una nueva constante 𝐶. Y hemos hallado que la integral es igual a dos veintisieteavos seno de tres 𝑥 más un
veintisieteavo tangente de tres 𝑥 más 𝐶.
Por último, vamos a ver un ejemplo en el que necesitaremos las integrales que hemos
visto y algunas identidades trigonométricas.
Determina la integral indefinida de menos tres tangente al cuadrado de ocho 𝑥 por
cosecante al cuadrado de ocho 𝑥 calculada con respecto a 𝑥. A primera vista, este problema parece un poco difícil. Sin embargo, si recordamos algunas de las identidades trigonométricas que hemos
visto, se vuelve bastante más sencillo. Sabemos que tangente de 𝑥 es igual a seno de 𝑥 sobre coseno de 𝑥. Y también sabemos que cosecante de 𝑥 es igual a uno sobre seno de 𝑥. Así que reescribimos la integral como menos tres por seno al cuadrado de ocho 𝑥
sobre coseno al cuadrado de ocho 𝑥 por uno sobre seno al cuadrado de ocho 𝑥. Los senos al cuadrado de ocho 𝑥 se cancelan. Sacamos el menos tres fuera de la integral para facilitar el siguiente paso. Y obtenemos menos tres por la integral de uno sobre coseno al cuadrado de ocho 𝑥
d𝑥.
Pero sabemos que uno partido por coseno de 𝑥 es igual a secante de 𝑥. Así que nuestra integral se convierte en menos tres por la integral de secante al
cuadrado de ocho 𝑥 calculada con respecto a 𝑥. Y la integral de secante al cuadrado de 𝑎𝑥, calculada con respecto a 𝑥, es uno
partido por 𝑎 tangente de 𝑎𝑥 más una constante de integración 𝑐. Por lo tanto, la integral de secante al cuadrado de ocho 𝑥 es un octavo tangente de
ocho 𝑥 más 𝑐. Desarrollamos el paréntesis. Y obtenemos menos tres octavos de tangente de ocho 𝑥 más una nueva constante, pues
hemos multiplicado la original por menos tres. Vamos a llamarla 𝐶 mayúscula.
En este vídeo hemos aprendido que podemos hacer uso de la propiedad que dice que la
integración es el proceso inverso a la derivación para calcular las integrales
indefinidas de seno de 𝑎𝑥, coseno de 𝑎𝑥 y secante al cuadrado de 𝑎𝑥. También hemos visto que saber de memoria algunas identidades trigonométricas, como
que tangente de 𝑥 es igual a seno de 𝑥 sobre coseno 𝑥 o que uno sobre seno de 𝑥
es igual a cosecante de 𝑥, puede ayudarnos a calcular integrales de una forma más
fácil.
