Vídeo: Integración numérica: la regla del trapecio

En este vídeo vamos a aprender a calcular el valor aproximado de integrales definidas aplicando la regla del trapecio y a estimar el error generado.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender a calcular el valor aproximado de integrales definidas aplicando la regla del trapecio y a estimar el error que genera la regla. Probablemente ya sepas que se puede calcular el área exacta entre una curva y el eje de abscisas realizando una integral definida de la función que describe esa curva entre los dos puntos que nos interesan. Cuando aproximamos integrales, y, por lo tanto, el área, normalmente usamos rectángulos. Esto se conoce como el método de las sumas de Riemann del punto medio. En este vídeo vamos a averiguar cómo, usando trapecios, podemos obtener una mejor aproximación que con los rectángulos, usando el mismo número de subdivisiones. Y luego vamos a derivar una fórmula que se conoce como regla del trapecio.

Imaginemos que queremos hallar el valor aproximado del área bajo la gráfica de la función 𝑓 de 𝑥 igual a ocho menos dos 𝑥 al cuadrado más tres 𝑥 y el eje 𝑥. Delimitada por las rectas que vienen dadas por 𝑥 igual a cero y 𝑥 igual a dos. A estas alturas tenemos a nuestra disposición varios métodos. Podemos usar una suma de punto medio, para la que dividiríamos el área en rectángulos. Digamos dos de ellos, y calcularíamos la altura del rectángulo como el valor de la función en el punto medio de cada intervalo. Bueno, este es un método. Pero vamos a fijarnos en la forma de la curva. ¿No tendría más sentido elegir una figura distinta del rectángulo? Bien, de hecho, tiene sentido utilizar trapecios.

Supongamos que queremos usar cuatro subintervalos. Los trapecios quedarían así. Vemos que este método parece, sin duda, dar una mejor aproximación que si usamos rectángulos. Y podemos usar la fórmula del área de un trapecio para calcular el área total entre la curva y el eje 𝑥. Es un medio por 𝑎 más 𝑏 por ℎ. Donde 𝑎 y 𝑏 son las longitudes de las bases del trapecio. Y ℎ es la altura entre ellas. Podemos ver que la altura de cada uno de los trapecios es igual a la anchura del subintervalo. Aquí es 0.5 unidades.

Podemos utilizar la ecuación de nuestra curva para calcular las longitudes de cada una de las bases. Nos será útil hacer una tabla. De algún modo, y de forma contradictoria con los cuatro subintervalos, hay cinco columnas. Y, de hecho, este es siempre el caso. Siempre tendremos una columna más que el número de subintervalos. La longitud de la primera base en el primer trapecio está dada por 𝑓 de cero. Eso es ocho menos dos por cero al cuadrado más tres por cero, que es ocho. La segunda base en este primer trapecio es ocho menos dos por 0.5 al cuadrado más tres por 0.5; que es nueve. 𝑓 de uno es ocho menos dos por uno al cuadrado más tres por uno, que, a pesar de la gráfica, que es un poco deficiente, también es nueve. Y, del mismo modo, obtenemos que 𝑓 de 1.5 es esta altura de aquí. Y eso es ocho. Y 𝑓 de dos es esta altura de aquí. Y eso es seis.

Ahora vamos a calcular el área de cada uno de los trapecios. El primer trapecio tiene un área de un medio por ocho más nueve por 0.5; que es 4.25 unidades cuadradas. El segundo tiene un área de un medio por nueve más nueve por 0.5; que es 4.5 unidades cuadradas. El tercero tiene un área de un medio por nueve más ocho por 0.5; que es, de nuevo, 4.25. Y el último trapecio tiene un área de un medio por ocho más seis por 0.5; que es 3.5 unidades cuadradas. La suma de las áreas es 16.5. Y sabemos que normalmente usamos la integral definida para calcular el área que está debajo de la curva. Así que podemos decir que una aproximación a la integral definida calculada entre cero y dos de ocho menos dos 𝑥 al cuadrado más tres 𝑥 es igual a 16.5. Bueno, hasta ahora todo bien. Pero puede que estés pensando en que debe haber una forma más rápida de realizar este cálculo. Y estás de suerte, pues la hay. Vamos a tomar una función genérica 𝑓 de 𝑥 y vamos a dividirla en 𝑛 subintervalos.

Supongamos que la altura de cada trapecio es Δ𝑥. Hemos visto que las longitudes de las bases del primer trapecio se calculan sustituyendo el primer valor de 𝑥 y el segundo valor de 𝑥 en la función. Así que podemos decir que 𝑎 uno es igual a un medio por 𝑓 de 𝑥 cero más 𝑓 de 𝑥 uno por Δ𝑥. Del mismo modo, el segundo trapecio tiene un área de un medio por 𝑓 de 𝑥 uno más 𝑓 de 𝑥 dos por Δ𝑥. El tercero tiene un área de un medio por 𝑓 de 𝑥 dos más 𝑓 de 𝑥 tres por Δ𝑥. Y así continuamos hasta el trapecio 𝑛, que tendrá un área de un medio por 𝑓 de 𝑥 𝑛 menos uno más 𝑓 de 𝑥 𝑛 por Δ𝑥.

El área total bajo la curva y, por lo tanto, una aproximación de la integral definida de 𝑓 de 𝑥 entre el primer valor de 𝑥 y el último valor de 𝑥 es la suma de todas estas áreas. Cuando calculamos su suma, podemos factorizar un medio y Δ𝑥. Y obtenemos que el área total de los trapecios es Δ𝑥 sobre dos por 𝑓 de 𝑥 cero más 𝑓 de 𝑥 uno más otro 𝑓 de 𝑥 uno. Y así todo el camino hasta 𝑓 de 𝑥 𝑛 menos uno más otro 𝑓 de 𝑥 𝑛 menos uno más 𝑓 de 𝑥 𝑛.

Ahora podemos simplificar esto un poco más para obtener la fórmula general de la regla del trapecio usando 𝑛 subintervalos. Combinamos todos los 𝑓 de 𝑥 uno, todos los 𝑓 de 𝑥 dos, etcétera, hasta los 𝑓 de 𝑥 𝑛 menos uno. La regla es Δ𝑥 sobre dos por 𝑓 de 𝑥 cero más 𝑓 de 𝑥 𝑛 más dos por todo lo demás. 𝑓 de 𝑥 uno más 𝑓 de 𝑥 dos hasta 𝑓 de 𝑥 𝑛 menos uno. Y Δ𝑥 puede hallarse muy fácilmente. Es 𝑏 menos 𝑎 dividido por 𝑛, donde 𝑎 y 𝑏 son los extremos de nuestro intervalo. Y nuestros valores para 𝑥 sub 𝑖 se hallan sumando 𝑖 veces Δ𝑥 al límite inferior de nuestro intervalo. Esto es 𝑎 más 𝑖Δ𝑥. Ahora vamos a echar un vistazo a la aplicación de esta regla.

Usa la regla del trapecio para estimar la integral definida entre cero y dos de 𝑥 al cubo con respecto a 𝑥 usando cuatro intervalos.

Recordemos que la regla del trapecio dice que podemos hallar un valor aproximado de la integral definida entre los límites 𝑎 y 𝑏 de 𝑓 de 𝑥 usando la fórmula Δ𝑥 sobre dos por 𝑓 de 𝑥 cero más 𝑓 de 𝑥 𝑛 más dos veces 𝑓 de 𝑥 uno más 𝑓 de 𝑥 dos hasta 𝑓 de 𝑥 𝑛 menos uno. Donde Δ𝑥 es igual a 𝑏 menos 𝑎 sobre 𝑛. Y 𝑥 sub 𝑖 es igual a 𝑎 más 𝑖 por Δ𝑥.

Vamos a hacer esto por partes y vamos a comenzar calculando el valor de Δ𝑥. Según el contexto, Δ𝑥 es el ancho de cada uno de los subintervalos. En este caso, estamos operando con cuatro subintervalos. Así que podemos decir que 𝑛 es igual a cuatro. 𝑎 es el límite inferior de nuestra integral. Así que 𝑎 es igual a cero, y 𝑏 es el límite superior. Y eso es igual a dos. Δ𝑥 es, por lo tanto, dos menos cero sobre cuatro, que es un medio o 0.5. Tendremos que esforzarnos más para hallar los valores de 𝑓 de 𝑥 cero y 𝑓 de 𝑥 uno y así sucesivamente. Pero podemos hacerlo más fácil haciendo uso de una tabla.

Es conveniente recordar que siempre vamos a tener 𝑛 más una columnas en la tabla. Por lo tanto, aquí, es cuatro más una que es cinco. Hay cinco columnas en la tabla. Los valores de 𝑥 van de 𝑎 a 𝑏. Esto es de cero a dos. Y los que están en medio se hallan sumando Δ𝑥 repetidamente, que es 0.5; a 𝑎, que es cero. Eso es 0.5, uno, y 1.5. Y así obtenemos que las cuatro franjas tienen un ancho de 0.5 unidades. Ahora simplemente tenemos que sustituir cada valor de 𝑥 en nuestra función. Comenzamos por 𝑓 de cero. Eso es cero al cubo, que es cero. Luego tenemos 𝑓 de 0.5. Eso es 0.5 al cubo, que es 0.125. 𝑓 de uno es uno al cubo, que sigue siendo uno. Y hallamos los últimos dos valores de una forma parecida. 𝑓 de 1.5 es 3.375. Y 𝑓 de dos es ocho. Ya hemos completado el paso más difícil. Lo único que nos falta es sustituir estos valores en la fórmula de la regla del trapecio.

Es Δ𝑥 sobre dos, que es 0.5 sobre dos, por el primer valor 𝑓 de 𝑥 más el último valor 𝑓 de 𝑥. Eso es cero más ocho más dos veces todo lo demás. Eso es dos por 0.125 más uno más 3.375. Esto nos da un valor de 17 sobre cuatro. Por lo tanto, usando los cuatro subintervalos, la regla del trapecio nos dice que una aproximación de la integral definida de 𝑥 al cubo entre cero y dos es 17 sobre cuatro. Ahora, en la medida de lo posible, vamos a comprobar esto de diversas maneras. Podríamos calcular una suma del punto medio o de Riemann o simplemente efectuar la integral.

Cuando integramos 𝑥 al cubo, obtenemos 𝑥 a la cuarta dividido por cuatro. Si calculamos esto entre los límites de cero y dos obtenemos dos a la cuarta dividido por cuatro menos cero a la cuarta dividido por cuatro, que es 16 sobre cuatro. Y esto está bastante cerca de la respuesta que hemos hallado, por lo que parece que hemos realizado bien nuestros cálculos. Vamos a fijarnos ahora en un ejemplo que incluye una consideración sobre la exactitud.

Calcula el valor aproximado de la integral definida entre los límites de uno y dos de 𝑒 elevado a 𝑥 sobre 𝑥 d𝑥 aplicando la regla del trapecio con cuatro subintervalos. Redondea la respuesta a las centésimas.

Recordemos que la regla del trapecio dice que podemos hallar una aproximación de la integral definida de una función 𝑓 de 𝑥 entre los límites de 𝑎 y 𝑏 realizando el cálculo Δ𝑥 sobre dos por 𝑓 de 𝑥 cero más 𝑓 de 𝑥 𝑛 más dos por 𝑓 de 𝑥 uno más 𝑓 de 𝑥 dos a lo largo de 𝑓 de 𝑥 𝑛 menos uno. Y aquí Δ𝑥 es 𝑏 menos 𝑎 sobre 𝑛, siendo 𝑛 el número de subintervalos. Y 𝑥 𝑖 es 𝑎 más 𝑖 veces Δ𝑥. Vamos a empezar calculando Δ𝑥. En este contexto, Δ𝑥 es el ancho de cada uno de los subintervalos. Aquí estamos operando con cuatro subintervalos. Así que 𝑛 es cuatro. 𝑎 es igual a uno. Y 𝑏 es igual a dos. Δ𝑥 es, por lo tanto, dos menos uno sobre cuatro, que es un cuarto o 0.25. Esa es la altura perpendicular de cada trapecio.

Hallar los valores de 𝑓 de 𝑥 cero y de 𝑥 uno y así sucesivamente es un poco más complicado. Sin embargo, vamos a hacerlo lo más sencillo posible usando una tabla. Recordemos que siempre habrá un valor más de 𝑓 de 𝑥 que del número de subintervalos. Por lo tanto, aquí, eso va a ser cuatro más uno, que es igual a cinco valores de 𝑓 de 𝑥. Los valores de 𝑥 van de 𝑎 a 𝑏. Eso es aquí de uno a dos. Y los valores que están en el medio se hallan sumando repetidamente Δ𝑥, eso es 0.25; a 𝑎, que es uno. Así que estos valores son 1.25, 1.5 y 1.75. Y estos nos da cuatro franjas de 0.25 unidades de ancho. Ahora vamos a sustituir cada valor de 𝑥 en nuestra función.

Aquí vamos a tener que tomar una decisión sobre la exactitud. Mientras que el problema nos dice que aproximemos a las centésimas, eso solo se aplica a la respuesta. Como regla general es conveniente usar al menos cinco cifras decimales. Comenzamos con 𝑓 de uno. Eso es 𝑒 elevado a uno sobre uno, que es 2.71828 con cinco cifras decimales. Tenemos 𝑓 de 1.25, que es 𝑒 elevado a 1.25 dividido por 1.25. Eso es, con cinco cifras decimales, 2.79227. Repetimos el mismo proceso para 1.5. 𝑓 de 1.5 es 2.98779. 𝑓 de 1.75 es 3.28834. Y 𝑓 de dos es 3.69453 con cinco cifras decimales. Lo que nos queda por hacer es sustituir lo que tenemos en la fórmula de la regla del trapecio. Es Δ𝑥 sobre dos. Eso es 0.25 sobre dos por 𝑓 de uno. Eso es 2.71828 más 𝑓 de dos. Que es 3.69453 más dos veces todo lo demás. Eso es 2.79227, 2.98779 y 3.28834. Esto nos da 3.0687, que, redondeado a las centésimas es 3.07.

Es conveniente recordar que podemos comprobar si esta respuesta es razonable usando la función de integración en la calculadora. Al hacerlo, obtenemos 3.06 redondeado a las centésimas. Esto está muy cerca de la respuesta que hemos obtenido, por lo que es probable que hayamos realizado nuestros cálculos correctamente. Y, por lo tanto, un valor aproximado de la integral calculada entre uno y dos de 𝑒 elevado a 𝑥 sobre 𝑥 d𝑥 es 3.07. En nuestro último ejemplo vamos a ver cómo hallar el error en nuestra aproximación.

Está fuera del alcance de este vídeo explicar de dónde viene. Pero la fórmula que vamos a utilizar es conocida. El valor absoluto del error es menor que o igual a 𝑚 por 𝑏 menos 𝑎 al cubo sobre 12𝑛 al cuadrado. Y esto puede usarse siempre que la segunda derivada de la función sea continua. Y 𝑚 es una cota superior del módulo de la segunda derivada en el intervalo cerrado 𝑎 a 𝑏.

a) Para 𝑛 igual a cuatro, halla la cota de error para la aproximación por la regla del trapecio de la integral definida de uno sobre 𝑥 calculada entre uno y dos. Y b) ¿Cómo de grande debe ser 𝑛 para garantizar que la aproximación por la regla del trapecio para la integral de uno sobre 𝑥 entre uno y dos tenga una cota de error menor que 0.0001?

Vemos que vamos a tener que calcular 𝑓 doble prima de 𝑥, la segunda derivada de la función uno sobre 𝑥. Vamos a escribir de forma alternativa 𝑓 de 𝑥 como 𝑥 elevado a menos uno. Entonces, 𝑓 prima de 𝑥, la primera derivada, es menos 𝑥 elevado a menos dos. Y 𝑓 doble prima de 𝑥 es dos 𝑥 elevado a menos tres o dos sobre 𝑥 al cubo. Sabemos que 𝑥 es mayor o igual que uno y menor o igual que dos. Y eso nos dice que uno sobre 𝑥 debe ser menor o igual que uno.

Vamos a considerar lo que se nos dice sobre el valor absoluto de la segunda derivada de 𝑓 de 𝑥. Bueno, es el valor absoluto de dos sobre 𝑥 al cubo. Y eso debe ser menor o igual que dos sobre uno al cubo, que sabemos es dos. Así que vamos a considerar 𝑚 igual a dos, pues este es el límite superior para la segunda derivada en este problema. 𝑎 es uno y 𝑏 es dos. Y el problema nos dice que 𝑛 es cuatro. Esto significa que el valor absoluto de nuestro error es menor o igual que dos por dos menos uno al cubo sobre 12 por cuatro al cuadrado, que es aproximadamente igual a 0.01041 y así sucesivamente. Por lo tanto, podemos decir que el valor absoluto para la cota de error es menor que 0.01042; redondeado a cinco cifras decimales.

Entonces, para la segunda parte de este problema, vamos a usar lo que hemos hecho en la primera parte. Sin embargo, esta vez queremos hallar el valor de 𝑛. Así que decimos que el valor absoluto de nuestra cota de error es menor o igual que dos por dos menos uno al cubo sobre 12 por 𝑛 al cuadrado, que se simplifica a uno sobre seis 𝑛 al cuadrado. Necesitamos que sea menor que 0.0001. De este modo, formamos la inecuación uno sobre seis 𝑛 al cuadrado menor que 0.0001. Y hallamos la 𝑛. Si reorganizamos, obtenemos la inecuación 𝑛 al cuadrado es mayor que uno sobre 0.0006. Y luego hacemos la raíz cuadrada de ambos lados. Aquí no tenemos que preocuparnos sobre la raíz cuadrada negativa de uno sobre 0.0006. Pues ya sabemos, por definición, que 𝑛 debe ser un número positivo. Así que obtenemos que 𝑛 es mayor que 40.824. Para poder garantizar que el valor aproximado sea exacto hasta 0.0001; decimos que 𝑛 es igual a 41.

En este vídeo hemos aprendido que la regla del trapecio puede utilizarse para aproximar integrales definidas. Hemos obtenido la fórmula para la aproximación por la regla del trapecio, que se muestra aquí. Y hemos visto que, en ciertas circunstancias, podemos determinar una cota de error en estas aproximaciones usando esta fórmula.

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