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Vídeo de la lección: Longitud de una curva definida paramétricamente Matemáticas • Educación superior

En este vídeo vamos a aprender cómo usar integración para calcular la longitud de una curva definida paramétricamente.

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Transcripción del vídeo

En este vídeo vamos a aprender cómo usar integración para calcular la longitud (longitud de arco) de una curva que está definida por ecuaciones paramétricas de la forma 𝑥 igual a 𝑓 de 𝑡 y 𝑦 igual a 𝑔 de 𝑡. Para ello, comenzaremos recordando la fórmula para calcular la longitud de una curva definida por una ecuación de la forma 𝑦 igual a una función de 𝑥. Seguidamente aprenderemos cómo generalizar esta fórmula para curvas definidas paramétricamente y consideraremos una serie de ejemplos.

Dada una ecuación 𝑦 en términos de 𝑥 para valores de 𝑥 mayores o iguales que 𝑎 y menores o iguales que 𝑏, la longitud de arco 𝐿 viene dada por la integral definida entre 𝑎 y 𝑏 de la raíz cuadrada de uno más d𝑦 sobre d𝑥 al cuadrado con respecto a 𝑥. Queremos hallar la forma de utilizar esta fórmula para las curvas definidas paramétricamente. Según hemos dicho, estas son de la forma 𝑥 igual a 𝑓 de 𝑡 y 𝑦 igual a 𝑔 de 𝑡. Y, como sabemos, en este caso, d𝑦 sobre d𝑥 es igual a d𝑦 sobre d𝑡 partido por d𝑥 sobre d𝑡, que puede escribirse como 𝑔 prima de 𝑡 partido por 𝑓 prima de 𝑡.

Ahora, si usamos el hecho de que d𝑥 sobre d𝑡 es igual a 𝑓 prima de 𝑡, podemos decir, igualmente, que d𝑥 es igual a 𝑓 prima de 𝑡 d𝑡. Redefinimos los límites para que estén en términos de 𝑡 y vemos que podemos reescribir la longitud de arco como la integral definida entre 𝛼 y 𝛽 de la raíz cuadrada de uno más d𝑦 sobre d𝑡 partido por d𝑥 sobre d𝑡 al cuadrado 𝑓 prima de 𝑡 d𝑡. Separamos los componentes de la fracción y reescribimos 𝑓 prima de 𝑡 como d𝑥 sobre d𝑡. Bueno, esta fórmula es fea con avaricia. Pero no te preocupes, vamos a arreglarla empezando por sumar las fracciones dentro de la raíz poniendo un denominador común de d𝑥 sobre d𝑡 al cuadrado.

Así que dentro de la raíz tenemos d𝑥 sobre d𝑡, todo al cuadrado, partido por d𝑥 sobre d𝑡, todo al cuadrado, más d𝑦 sobre d𝑡, todo al cuadrado, partido por d𝑥 sobre d𝑡, todo al cuadrado. Podemos extraer el denominador como factor común que es, pero para ello debemos usar valor absoluto, pues necesitamos que esto sea positivo para poder hacerlo. De esta forma, vemos que la longitud de arco es igual a la integral definida entre 𝛼 y 𝛽 de uno partido por el valor absoluto de d𝑥 sobre d𝑡 multiplicado por la raíz cuadrada de d𝑥 sobre d𝑡 al cuadrado más d𝑦 sobre d𝑡 al cuadrado por d𝑥 sobre d𝑡 d𝑡. Si suponemos ahora que la curva es recorrida de izquierda a derecha, podemos, de hecho, eliminar el símbolo de valor absoluto. Y nos damos cuenta de que uno partido por d𝑥 sobre d𝑡 multiplicado por d𝑥 sobre d𝑡 es uno. De este modo hemos obtenido la fórmula que buscábamos para la longitud de una curva entre 𝑡 igual a 𝛼 y 𝑡 igual a 𝛽.

Ahora bien, es importante señalar que la forma cartesiana de la fórmula de la longitud del arco para 𝑦 igual a 𝑓 de 𝑥 es solo válida si 𝑓 prima es continua en el intervalo cerrado de 𝑎 a 𝑏. Por lo tanto, usar esto para hacer nuestra versión paramétrica, tiene una consecuencia parecida para las ecuaciones paramétricas en las que podemos usar esta fórmula. De hecho, si utilizamos las ecuaciones paramétricas 𝑥 igual a 𝑓 de 𝑡 y 𝑦 igual a 𝑔 de 𝑡, entonces 𝑓 prima y 𝑔 prima deben ser continuas en el intervalo cerrado de 𝛼 a 𝛽. También debemos recordar que, en las ecuaciones paramétricas, la curva puede superponerse sobre sí misma. Esto podría llevarnos a obtener soluciones más largas que la longitud real de la curva, en cuyo caso tendríamos que determinar un recorrido para 𝑡 de modo que el arco sea recorrido solo una vez.

Veamos pues cómo aplicar esta fórmula.

Expresa, como una integral, la longitud de la curva definida por las ecuaciones paramétricas 𝑥 igual a 𝑡 al cuadrado menos 𝑡 y 𝑦 igual a 𝑡 a la cuarta sabiendo que 𝑡 es mayor o igual que uno y menor o igual que cuatro.

Como ya sabemos, la fórmula de la longitud de arco 𝐿 de una curva definida paramétricamente entre los límites 𝑡 igual a 𝛼 y 𝑡 igual a 𝛽 es la integral definida entre 𝛼 y 𝛽 de la raíz cuadrada de d𝑥 sobre d𝑡 al cuadrado más d𝑦 sobre d𝑡 al cuadrado con respecto a 𝑡. Nuestra curva está definida paramétricamente por 𝑥 igual a 𝑡 al cuadrado menos 𝑡 y 𝑦 igual a 𝑡 a la cuarta. Y queremos calcular esta longitud de arco entre los límites 𝑡 igual a uno y 𝑡 igual a cuatro. Así que hacemos 𝛼 igual a uno y 𝛽 igual a cuatro. Y derivamos 𝑥 y 𝑦 con respecto a 𝑡.

Para derivar un polinomio, multiplicamos cada término por su exponente y luego reducimos el exponente en uno. Así que la derivada de 𝑡 al cuadrado es dos 𝑡. Y cuando derivamos menos 𝑡, obtenemos menos uno. Por lo tanto, d𝑥 sobre d𝑡 es dos 𝑡 menos uno. Y esto cumple la condición de que la derivada de esta función debe ser continua. d𝑦 sobre d𝑡 es la primera derivada de 𝑡 a la cuarta. Eso es cuatro 𝑡 al cubo, que también es una función continua. Como ves, vamos a tener que elevar al cuadrado estas expresiones en la fórmula para la longitud del arco. Así que vamos a calcular d𝑥 sobre d𝑡 al cuadrado y d𝑦 sobre d𝑡 al cuadrado antes de sustituir en la fórmula.

Desarrollamos los paréntesis y hallamos que dos 𝑡 menos uno todo al cuadrado es cuatro 𝑡 al cuadrado menos cuatro 𝑡 más uno. Y cuatro 𝑡 al cubo todo al cuadrado es 16𝑡 a la sexta. El último paso es sustituir estas expresiones en la fórmula de la longitud de arco. De esta forma, obtenemos que 𝐿 es igual a la integral definida entre uno y cuatro de la raíz cuadrada de cuatro 𝑡 al cuadrado menos cuatro 𝑡 más uno más 16𝑡 a la sexta d𝑡. Podemos reescribir la expresión dentro de la raíz en potencias descendentes de 𝑡. Al hacerlo, obtenemos que la longitud de la curva definida por estas ecuaciones paramétricas para 𝑡 mayor o igual que uno y menor o igual que cuatro es la integral que se muestra en pantalla.

En el próximo ejemplo vamos, de hecho, a ver cómo se calcula la longitud de la curva.

Calcula la longitud de la curva con ecuaciones paramétricas 𝑥 igual a tres coseno de 𝑡 menos coseno de tres 𝑡 y 𝑦 igual a tres seno de 𝑡 menos seno de tres 𝑡, donde 𝑡 es mayor o igual que cero y menor o igual que 𝜋.

Recordamos que la fórmula que utilizamos para calcular la longitud de arco de una curva definida paramétricamente para valores de 𝑡 desde 𝛼 hasta 𝛽 es la integral definida entre 𝛼 y 𝛽 de la raíz cuadrada de d𝑥 sobre d𝑡 al cuadrado más d𝑦 sobre d𝑡 al cuadrado con respecto a 𝑡. En este caso, 𝑥 es igual a tres coseno de 𝑡 menos coseno de tres 𝑡 y 𝑦 es igual a tres seno de 𝑡 menos seno de tres 𝑡. Y queremos hallar la longitud de la curva entre 𝑡 mayor o igual que cero y menor o igual que 𝜋.

Así que hacemos 𝛼 igual a cero y 𝛽 igual a 𝜋. También tenemos que calcular d𝑥 sobre d𝑡 y d𝑦 sobre d𝑡. Y como estamos operando con expresiones trigonométricas, debemos acordarnos de las derivadas de coseno de 𝑎𝑡 y de seno de 𝑎𝑡. Son menos 𝑎 seno de 𝑎𝑡 y 𝑎 coseno de 𝑎𝑡, respectivamente, para valores constantes reales de 𝑎. Esto significa que d𝑥 sobre d𝑡 es menos tres seno de 𝑡 menos menos tres seno de tres 𝑡. Y esto se convierte en más tres seno de tres 𝑡. Del mismo modo, d𝑦 sobre d𝑡 es tres coseno de 𝑡 menos tres coseno de tres 𝑡.

Antes de introducir estas expresiones en la fórmula, vamos a elevarlas al cuadrado y calcular su suma. Menos tres seno de 𝑡 más tres seno de tres 𝑡 todo al cuadrado es nueve seno al cuadrado de 𝑡 menos 18 seno de 𝑡 seno tres 𝑡 más nueve seno al cuadrado tres 𝑡. De esta forma, tres coseno 𝑡 menos tres coseno tres 𝑡, todo al cuadrado, es nueve coseno al cuadrado 𝑡 menos 18 coseno 𝑡 coseno tres 𝑡 más nueve coseno al cuadrado tres 𝑡. En este paso conviene recordar la identidad trigonométrica seno al cuadrado 𝑡 más coseno al cuadrado 𝑡 igual a uno. Y vemos que tenemos nueve seno al cuadrado 𝑡 más nueve coseno al cuadrado 𝑡. Y eso es igual a nueve. Análogamente, tenemos nueve seno al cuadrado tres 𝑡 más nueve coseno al cuadrado tres 𝑡, que también es igual a nueve. Y tenemos, además, menos 18 por seno de 𝑡 seno tres 𝑡 más coseno de 𝑡 coseno tres 𝑡. Lo que hemos hecho aquí ha sido simplemente extraer el factor común 18.

A continuación, vamos a usar la identidad trigonométrica coseno de 𝐴 menos 𝐵 igual a coseno de 𝐴 coseno de 𝐵 más seno de 𝐴 seno de 𝐵. Esto implica que seno de 𝑡 seno tres 𝑡 más coseno de 𝑡 coseno tres 𝑡 debe ser igual a coseno de tres 𝑡 menos 𝑡, que es coseno de dos 𝑡. Así que esto se convierte en 18 menos 18 coseno de dos 𝑡. De esta forma hallamos que la longitud de arco es igual a la integral definida entre cero y 𝜋 de la raíz cuadrada de 18 menos 18 coseno de dos 𝑡 d𝑡.

Vamos a hacer un poco de sitio para calcular esta integral. Como puedes ver, la integral de la raíz cuadrada de 18 menos 18 coseno de dos 𝑡 no parece muy sencilla de calcular. Así que vamos a utilizar la identidad que dice que coseno de dos 𝑡 es igual a dos coseno al cuadrado de 𝑡 menos uno. Sustituimos coseno de dos 𝑡 en esta expresión y desarrollamos los paréntesis. Ahora nuestro integrando es igual a la raíz cuadrada de 36 menos 36 coseno al cuadrado de 𝑡. Sacamos el factor común de 36 y escribimos, además, la identidad seno al cuadrado de 𝑡 más coseno al cuadrado de 𝑡 igual a uno. De modo que uno menos coseno al cuadrado de 𝑡 es igual a seno al cuadrado de 𝑡. Por lo tanto, nuestro integrando es seis por la raíz cuadrada de seno al cuadrado de 𝑡, que es seis seno de 𝑡.

Cuando integramos seis seno de 𝑡, obtenemos menos seis coseno de 𝑡. Así que la longitud de arco es igual a menos seis coseno de 𝑡 calculada entre esos límites. Eso es menos seis coseno de 𝜋 menos menos seis coseno de cero, que es 12. De esta forma hemos hallado que la longitud de arco de la curva es 12 unidades. Como puedes imaginar, este procedimiento no solo sirve para curvas definidas por ecuaciones trigonométricas, sino también para aquellas definidas por ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

Calcula la longitud de la curva con ecuaciones paramétricas 𝑥 igual a 𝑒 elevado a 𝑡 menos 𝑡 y 𝑦 igual a cuatro 𝑒 elevado a 𝑡 sobre dos, sabiendo que 𝑡 es mayor o igual que cero y menor o igual que dos.

Como sabes, la fórmula que hemos utilizado para calcular la longitud de arco de las curvas definidas paramétricamente para valores de 𝑡 mayores o iguales que 𝛼 y menores o iguales que 𝛽 es la integral definida entre 𝛼 y 𝛽 de la raíz cuadrada de d𝑥 sobre d𝑡 al cuadrado más d𝑦 sobre d𝑡 al cuadrado con respecto a 𝑡. En este caso queremos hallar la longitud de la curva donde 𝑡 es mayor o igual que cero y menor o igual que 𝑡. Así que hacemos 𝛼 igual a cero y 𝛽 igual a dos. Y nuestras ecuaciones paramétricas son 𝑥 igual a 𝑒 elevado a 𝑡 menos 𝑡 y 𝑦 igual a cuatro 𝑒 elevado a 𝑡 sobre dos.

Es evidente que aquí vamos a tener que calcular d𝑥 sobre d𝑡 y d𝑦 sobre d𝑡. Y para hacerlo debemos recordar que la derivada de 𝑒 elevado a 𝑡 es 𝑒 elevado a 𝑡. La derivada de menos 𝑡 es uno. Así que d𝑥 sobre d𝑡 es 𝑒 elevado a 𝑡 menos uno. Ahora vamos a utilizar la regla de la cadena para derivar 𝑦 con respecto a 𝑡. Hacemos 𝑢 igual a 𝑡 medios. De modo que d𝑢 sobre d𝑡 es igual a un medio. Entonces, d𝑦 sobre d𝑡 es d𝑦 sobre d𝑢 por d𝑢 sobre d𝑡. Ahora, 𝑦 es igual a cuatro 𝑒 elevado a 𝑢. Así que d𝑦 sobre d𝑡 es cuatro 𝑒 elevado a 𝑢 por un medio, que es dos 𝑒 elevado a 𝑢. Pero queremos hallar d𝑦 sobre d𝑡 en términos de 𝑡. Así que sustituimos 𝑢 por 𝑡 medios. Y hallamos que d𝑦 sobre d𝑡 es igual a dos 𝑒 elevado a 𝑡 medios.

Ahora, para la fórmula de la longitud del arco necesitamos d𝑥 sobre d𝑡 al cuadrado y d𝑦 sobre d𝑡 al cuadrado. Así que elevamos al cuadrado cada una de las expresiones. Al hacerlo, hallamos que 𝑒 elevado a 𝑡 menos uno al cuadrado es 𝑒 elevado a dos 𝑡 menos dos 𝑒 elevado a 𝑡 más uno. Y d𝑦 sobre d𝑡 al cuadrado es cuatro 𝑒 elevado a 𝑡. Ahora sustituimos todo lo que tenemos en la fórmula para la longitud de arco. Y obtenemos la integral definida entre cero y dos de la raíz cuadrada de 𝑒 elevado a dos 𝑡 menos dos 𝑒 elevado a 𝑡 más uno más cuatro 𝑒 elevado a 𝑡 con respecto a 𝑡.

Vemos que menos dos 𝑒 elevado a 𝑡 más cuatro 𝑒 elevado a 𝑡 es dos 𝑒 elevado a 𝑡. Esto nos viene de perlas, pues vemos que podemos factorizar 𝑒 elevado a dos 𝑡 más dos 𝑒 elevado a 𝑡 más uno de forma muy similar a como lo haríamos con un polinomio de segundo grado. Obtenemos 𝑒 elevado a 𝑡 más uno por 𝑒 elevado a 𝑡 más uno o 𝑒 elevado a 𝑡 más uno al cuadrado. Y, por supuesto, la raíz cuadrada de 𝑒 elevado a 𝑡 más uno al cuadrado es 𝑒 elevado a 𝑡 más uno. Cuando integramos 𝑒 elevado a 𝑡, obtenemos 𝑒 elevado a 𝑡. Y la integral de uno es 𝑡.

Esto significa que la longitud del arco es 𝑒 al cuadrado más dos menos 𝑒 elevado a cero más cero. Y 𝑒 elevado a cero es uno. Y esto se simplifica a 𝑒 elevado a dos más uno. Por lo tanto, la longitud de la curva definida por estas ecuaciones paramétricas para valores de 𝑡 desde cero hasta dos es 𝑒 elevado a dos más una unidades.

En este vídeo hemos aprendido que para una curva definida paramétricamente por 𝑥 igual a 𝑓 de 𝑡 y 𝑦 igual a 𝑔 de 𝑡, la longitud de la curva —también llamada longitud de arco de la curva— para valores de 𝑡 mayores o iguales que 𝛼 y menores o iguales que 𝛽 viene dada por la integral definida entre 𝛼 y 𝛽 de la raíz cuadrada de d𝑥 sobre d𝑡 al cuadrado más d𝑦 sobre d𝑡 al cuadrado con respecto a 𝑡. En este caso, 𝑓 prima y 𝑔 prima deben ser funciones continuas en el intervalo cerrado de 𝛼 a 𝛽. También hemos visto que, en las ecuaciones paramétricas, la curva puede superponerse a sí misma. Y, en ese caso, necesitamos determinar un recorrido para 𝑡 para el cual el arco es trazado solo una vez.

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